Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki.
Zestaw 8
1. Znajdź bazę i wymiar przestrzeni U ∩ V oraz U + V , gdzie
U =< (0, 2, 1, 1), (1, 0, 1, 2) >, V =< (1, 1, 0, 1), (1, 2, 0, 3) > .
2. Czy istnieje przekształcenie liniowe f : R3 → R2 takie, że
(a) ker f = h(1, 1, 1)i oraz im f = h(2, 3)i,
(b) ker f = h(1, 0, 0), (1, 2, 3)i oraz im f = h(4, 5)i.
Jeśli tak, to podaj przykład. Jeśli nie, to uzasadnij dlaczego.
3. Niech przekształcenie liniowe f

2
 1
0
: R2 → R3 dane będzie macierzą

1
0 
3
w bazach B1 = {(1, 1), (0, 1)}, B2 = {stand.}. Znaleźć macierz odwzorowania
f w bazach B10 = {(0, 1), (1, 0)}, B20 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}.
4. Niech przekształcenie liniowe f : V → W dane będzie macierzą
0 1 2
3 4 5
w bazach {e1 , e2 , e3 } przestrzeni V oraz {f1 , f2 } przestrzeni W . Znaleźć macierz odwzorowania f w bazach {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 } oraz {f1 , f1 + f2 }.
5. Macierz przekształcenia liniowego f : K3 → K3 ma w
postać 




· · 0
· · 0
· ·





· ·
(b) · · 0
(c)
(a) · · 0
· · 1
· · 0
0 0
Jakie własności przekształcenia f można stąd odczytać?
bazie {e1 , e2 , e3 }

0
0 .
·
6. Niech F oznacza ciało q elementowe. Dla k ≤ n wyznacz:
(a) liczbę odwzorowań liniowych przestrzeni F n w przestrzeń F k ,
(b) liczbę odwzorowań liniowych przestrzeni F n na przestrzeń F k .
2
2
7. Niech
ϕ : R → R będzie przekształceniem liniowym danym macierzą
1 2
w bazie {f1 , f2 }, przy czym f1 = e1 , f2 = e1 + e2 . Znajdź macierz
1 −1
przekształcenia sprzężonego ϕ∗ w bazie {e∗1 , e∗2 }.
8∗ . Niech V będzie przestrzenią skończenie wymiarową, a W jej podprzestrzenią. Pokaż, że dim W + dim W ⊥ = dim V , gdzie W ⊥ = {f ∈ V ∗ ; f (w) =
0, w ∈ W }.
9. Niech odwzorowania αi , β i przestrzeni R[x]n w R będą dane wzorami:
i
(i)
i
Z
i
f (x)dx.
α (f ) = f (0), β (f ) =
0
Wykaż, że poniższe układy są bazami przestrzeni sprzężonej R[x]∗n
(a) α0 , α1 , . . . , αn ,
(b) β 1 , β 2 , . . . , β n+1 .