Minimalne drzewo rozpinaj¡ce

Minimalne drzewo rozpinaj¡ce
dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu)
2013
Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach
matematyczno-przyrodniczych
Poddziaªanie 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
2
Spis tre±ci
1 Wst¦p
3
1.1
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Drzewo rozpinaj¡ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Drzewo rozpinaj¡ce przykªad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Minimalne drzewo rozpinaj¡ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Minimalne drzewo rozpinaj¡ce przykªad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Cel - poszukiwanie MST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Idee
5
2.1
Strategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Idea algorytmu Kruskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Idea algorytmu Prima
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Zbiory rozª¡czne
7
3.1
Struktury danych dla zbiorów rozª¡cznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Proste zastosowanie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Heurystyka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4
Implementacja listy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5
Implementacja drzewa z korzeniem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Kruskal
7
11
4.1
Poprawno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Przekroje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3
Algorytm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.4
Przebieg algorytmu Kruskala
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Prim
11
13
14
5.1
Poprawno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2
Implementacja
15
5.3
Algorytm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
5.4
Przebieg algorytmu Prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1
Wst¦p
1.1
Problem
Ustalmy spójny niezorientowany graf
G = (V, E)
Rozwa»my nast¦puj¡c¡ interpretacj¦ grafu
V = {1, 2, . . . , n}
z funkcj¡ wagi
w : E → R+ .
G:
•
wierzchoªki
•
kraw¦dzie = potencjalne bezpo±rednie drogowe poª¡czenia pomi¦dzy miastami,
•
waga
w(i, j)
kraw¦dzi
{i, j} ∈ E
Zagadnienie optymalizacyjne.
(czyli wybra¢ podgraf
G0
= miasta,
grafu
G)
= koszt budowy poª¡czenia pomi¦dzy miastami
i i j.
Zbudowa¢ tylko te drogi spo±ród opisanych przez graf
G
tak, by:
1. pomi¦dzy ka»d¡ par¡ miast (wierzchoªków) istniaªo drogowe poª¡czenie (niekoniecznie
bezpo±rednie),
2. koszt budowy tej sieci dróg byª najni»szy spo±ród wszystkich rozwi¡za« speªniaj¡cych
punkt 1.
Šatwo zauwa»y¢, »e je»eli podgraf
G0
speªnia te wªasno±ci, to
1. zawiera wszystkie wierzchoªki grafu
G,
2. jest spójny,
3. nie zawiera cykli.
W szczególno±ci 2 i 3 oznaczaj¡, »e
rozpinaj¡cym,
G0
powinien by¢ drzewem. Tzw.
minimalnym drzewem
które za chwil¦ zdeniujemy w sposób bardziej formalny.
Problem ten pojawia si¦ w wielu innych kontekstach informatycznych, cz¦sto znalezienie
minimalnego drzewa rozpinaj¡cego jest pierwszym krokiem w rozwi¡zaniach innych problemów.
Czasem stosuje si¦ te» nazw¦ minimalne drzewo spinaj¡ce.
1.2
Drzewo rozpinaj¡ce
Niech
G = (V, E)
E0
b¦dzie spójnym grafem niezorientowanym.
Denicja. Drzewo rozpinaj¡ce (ang. spanning tree) grafu G = drzewo T = (V, E 0 ) takie, »e
⊆ E.
Tzn.
T
jest drzewem zawieraj¡cym wszystkie wierzchoªki
podzbiorem zbioru kraw¦dzi
1.3
G,
za± jego zbiór kraw¦dzi jest
G.
•
Drzewo rozpinaj¡ce powstaje z grafu
•
Ka»de drzewo rozpinaj¡ce grafu
G
G
ma
poprzez usuni¦cie kraw¦dzi nale»¡cych do cykli.
|V | − 1
Drzewo rozpinaj¡ce przykªad
Drzewo rozpinaj¡ce nie jest poj¦ciem jednoznacznym.
kraw¦dzi.
4
Dla grafu
G:
v
f
@
@
f
v
f
v
@v
f
f
v
f
v
f
v
@v
f
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
f
v
@
f
v
Drzewem rozpinaj¡cym jest podgraf
T:
v
f
@
@
@
f
v
Ale te» podgraf
Oraz podgraf
T2 :
T3 :
1.4
Minimalne drzewo rozpinaj¡ce
Niech
G = (V, E)
b¦dzie spójnym grafem niezorientowanym z wag¡
T = (V, E 0 ) grafu G
X
w(T ) =
w(u, v).
Dla dowolnego drzewa rozpinaj¡cego
w : E → R+ .
deniujemy jego wag¦
(u,v)∈E 0
Denicja. Minimalne drzewo rozpinaj¡ce
drzewo rozpinaj¡ce
T
(ang.
w(T )
o minimalnej wadze
minimal spanning tree
G).
1.5
Minimalne drzewo rozpinaj¡ce przykªad
Dla grafu z wagami:
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
@v
f
v
f
13
f
v
9
10
8
f
v
przykªadowe wagi drzew rozpinaj¡cych:
T :
v
f
@
@
2
v
f
f
v
1
@
13
@v
f
MST) grafu
G
=
(spo±ród wszystkich drzew rozpinaj¡cych grafu
f
v
w(T ) = 35
9
10
f
v
T2 :
5
2
f
v
f
v
15
8
f
v
f
v
13
2
f
v
Nietrudno sprawdzi¢, »e dla powy»szego grafu
f
v
8
w(T3 ) = 33
f
v
G minimalnym drzewem rozpinaj¡cym jest T3 .
T3 :
nie jest jedynym MST. Inne drzewo rozpinaj¡ce o tej samej wadze co
v
f
@
@
T4 :
2
v
f
1.6
9
f
v
13
w(T2 ) = 48
f
v
1
f
v
T3
10
f
v
T3 :
Ale zauwa»my, »e
f
v
f
v
f
v
1
@
13
9
@v
f
8
w(T4 ) = 33
f
v
Cel - poszukiwanie MST
Rozwi¡zanie naiwne:
Wygenerowa¢ wszystkie drzewa rozpinaj¡ce i wybra¢ te o najmniejszej
wadze.
Oczywista wada:
Drzew rozpinaj¡cych jest na ogóª bardzo du»o.
Ponadto, wcale nie jest to takie proste pod wzgl¦dem implementacyjnym.
Cel:
2
Opracowa¢ efektywn¡ metod¦ znajdowania (jakiegokolwiek) MST.
Idee
2.1
Strategia
Ogólna strategia zachªanna rozrastanie si¦ podgrafu T
o zbiorze kraw¦dzi
A, który na ko«cu
b¦dzie MST.
Dane:
Cel:
Spójny graf niezorientowany
Znalezienie MST dla
G = (V, E)
w : E → R+ .
G.
•
Podgraf
•
W czasie algorytmu trzymamy zbiór
T
z funkcj¡ wagow¡
rozrasta si¦ w wyniku dodawania kolejnych kraw¦dzi.
A,
który zawsze jest podzbiorem zbioru kraw¦dzi
pewnego MST.
•
W ka»dym kroku wyznaczamy kraw¦d¹, któr¡ mo»na doda¢ do
no±ci (kraw¦d¹
bezpieczn¡
dla
A).
A
bez straty jego wªas-
6
B¦dziemy zatem realizowa¢ strategi¦ opisan¡ przez bardzo ogólny pseudokod:
GenericMST(G, w)
1
begin
∅;
2
A :=
3
while A
4
nie tworzy drzewa rozpinaj¡cego
do
begin
znajd¹ kraw¦d¹ {u, v} ∈ E\A bezpieczn¡ dla A;
∪ { {u, v} }
5
6
A := A
7
end
8
end;
Poprawno±¢ ogólnie:
•
Niezmiennik A jest podzbiorem zbioru kraw¦dzi pewnego MST jest zachowany w ka»dym
kroku.
•
2.2
Kraw¦d¹ bezpieczna w ka»dym kroku istnieje gwarantuje to niezmiennik.
Problem
Gªówny problem. Jak rozpoznawa¢ bezpieczn¡ kraw¦d¹?
Omówimy dwa ró»ne rozwi¡zania tego problemu, tj. dwie ró»ne realizacje ogólnej strategii
GenericMST:
2.3
•
Algorytm Kruskala.
•
Algorytm Prima.
Idea algorytmu Kruskala
Nieformalny opis
•
W ka»dym kroku rozrastaj¡cy si¦ podgraf
T = (V, A)
grafu
G
jest lasem (tj.
jego
skªadowe s¡ drzewami).
•
Na pocz¡tku
•
Dodaj¡c bezpieczn¡ kraw¦d¹ do
•
Na ko«cu
•
W poszukiwaniu kraw¦dzi bezpiecznych w kolejnych krokach przetwarzamy kraw¦dzie
T
A = ∅,
tj. skªadowe
T
A
to jednowierzchoªkowe drzewa.
scalamy dwie skªadowe
T
w jedn¡.
scali si¦ w jedno drzewo.
w kolejno±ci ich rosn¡cych (niemalej¡cych) wag.
•
Kraw¦d¹
e
jest bezpieczna, gdy dodanie jej do
(jest to równowa»ne z tym, »e
e
A
nie spowoduje pojawienia si¦ cyklu
ª¡czy dwie ró»ne dotychczasowe skªadowe w
Nale»y zatem umie¢ rozpoznawa¢ ró»ne skªadowe w grae
struktur¦ danych, tzw.
struktur¦ zbiorów rozª¡cznych.
T.
T ).
Do tego wykorzystamy now¡
7
2.4
Idea algorytmu Prima
Nieformalny opis
•
W odró»nieniu od algorytmu Kruskala, tu
•
Na pocz¡tku
•
W ka»dym kroku kraw¦d¹ bezpieczna to kraw¦d¹ o najmniejszej wadze spo±ród kraw¦dzi
T
wystaj¡cych z
T
zawsze stanowi jedno drzewo.
ma 1 wierzchoªek (dowolnie wybrany z
T
(tj. ª¡cz¡cych wierzchoªek z
T
G).
z wierzchoªkiem spoza
T ).
Nale»y zatem umie¢ efektywnie wybiera¢ kraw¦dzie bezpieczne j.w. Do tego wykorzystamy
odpowiedni¡ kolejk¦ priorytetow¡.
3
Zbiory rozª¡czne
3.1
Struktury danych dla zbiorów rozª¡cznych
W algorytmie Kruskala wykorzystamy nast¦puj¡c¡ dynamiczn¡ struktur¦ danych.
Kontekst: n ró»nych elementów pogrupowanych w pewn¡ liczb¦ zbiorów rozª¡cznych.
Cel:
zdeniowanie i zarz¡dzanie strukturami danych umo»liwiaj¡cymi operacje m.in.:
•
ª¡czenia dwóch zbiorów,
•
stwierdzania, do którego zbioru nale»y element
•
stwierdzania, czy dwa elementy
Zarz¡dzanie rodzin¡
Pomysª:
x, y
S = {S1 , S2 , . . . , Sk }
ka»dy zbiór
x,
nale»¡ do tego samego zbioru.
rozª¡cznych zbiorów dynamicznych.
Si identykujemy poprzez jego reprezentanta, czyli wyró»niony element
x ∈ Si .
Warunki nakªadane na reprezentanta:
•
na ogóª nie ma znaczenia, który element jest reprezentantem,
•
wa»ne jest, by zadaj¡c dwukrotnie pytanie o reprezentanta danego zbioru, otrzyma¢ tak¡
sam¡ odpowied¹, o ile zbiór w tym czasie si¦ nie zmieniaª,
•
czasami ustala si¦ na pocz¡tku pewn¡ zasad¦ wyboru reprezentanta (np.
element z
najmniejszym kluczem...).
Podstawowe operacje:
•
MakeSet(x) tworzy nowy jednoelementowy zbiór
S = {x}
(o reprezentancie
x); x
nie
mo»e by¢ elementem innego zbioru.
•
Union(x,
zbiór
y) Sx ∪ Sy .
ª¡czy dwa rozª¡czne zbiory
Sx , Sy
zawieraj¡ce odpowiednio
Jego reprezentantem mo»e by¢ dowolny element
xiy
w nowy
Sx ∪ Sy , na ogóª reprezentant Sx
lub
Sy .
•
⇒
FindSet(x) zwraca wska¹nik do reprezentanta (jedynego) zbioru zawieraj¡cego
stwierdzanie, czy dwa elementy
FindSet(y).
x, y
x.
nale»¡ do tego samego zbioru: test FindSet(x) =
8
3.2
Proste zastosowanie
Przykªad zastosowania:
rozpoznawanie spójnych skªadowych w grae (niezorientowanym)
G = (V, E).
ConnectedComponents(G)
1
begin
2
for ka»dy v
∈
V do
3
MakeSet(v);
4
for ka»da (u, v)
5
∈
E do
if FindSet(u) <> FindSet(v) then
6
Union(u, v);
7
end;
Po wykonaniu podziaª wierzchoªków na zbiory rozª¡czne odpowiada podziaªowi na skªadowe
spójno±ci.
W podobnym kontek±cie wykorzystamy zbiory rozª¡czne w algorytmie Kruskala
(który jest de facto pewn¡ modykacj¡ powy»szej procedury).
Teraz, do testowania czy wierzchoªki
u i v nale»¡ do tej samej skªadowej mo»emy wykorzysta¢
procedur¦:
SameComponent(u, v)
1
begin
2
if FindSet(u) = FindSet(v) then
3
return true
4
else return false
5
end;
• Wiemy:
•
do wyznaczania skªadowych mo»na wykorzysta¢ przegl¡danie grafu.
Gdy do grafu kraw¦dzie s¡ dodawane w czasie dziaªania algorytmu (czyli trzeba uaktualnia¢
spójne skªadowe), to implementacja przy pomocy zbiorów rozª¡cznych mo»e by¢ efektywniejsza.
3.3
Heurystyka
W dalszej cz¦±ci przeprowadzimy prost¡ analiz¦ heurystyczn¡.
Przez
zowany
heurystyk¦ rozumiemy tu takie projektowanie operacji, by zmniejszy¢ ich koszt zamorty-
(niekoniecznie koszt pesymistyczny = zªo»ono±¢ pesymistyczn¡).
Denicja. Koszt zamortyzowany = koszt ±redni operacji P
Uwaga.
w ci¡gu
n
wykona« operacji
P.
Sªowo heurystyka ma w informatyce równie» inne znaczenia.
Przykªad.
Wykonujemy kolejno
samym zbiorze danych
X.
n
sortowa« algorytmem sortowania b¡belkowego
P
na tym
Wówczas
•
tylko za pierwszym razem wykonywane s¡ nietrywialne modykacje na
•
st¡d tu koszt zamortyzowany jest znacznie ni»szy ni» koszt pesymistyczny algorytmu
X,
P.
Oczywi±cie koszt zamortyzowany istotnie zale»y od kontekstu wykonywania danej operacji.
9
3.4
Implementacja listy
Implementacja zbiorów rozª¡cznych w postaci list.
•
Ka»dy zbiór przechowywany jako (dynamiczna) lista.
•
Pierwszy skªadnik listy = reprezentant zbioru.
•
Ka»dy skªadnik listy posiada pola:
element zbioru,
wska¹nik do nast¦pnego skªadnika listy,
wska¹nik (prowadz¡cy wstecz) do reprezentanta.
MakeSet(x) stworzenie nowej listy o jedynym skªadniku
FindSet(x) zwrócenie wska¹nika od
Union(x,
•
y)
doª¡czenie listy
do reprezentanta zbioru.
z elementem
y
na koniec listy
Zªo»ono±¢: O(1).
Lx
z elementem
x.
Reprezentantem nowego zbioru jest element b¦d¡cy wcze±niej reprezentantem zbioru
zawieraj¡cego
•
Ly
x
x. Zªo»ono±¢: O(1).
x.
Trzeba uaktualni¢ wska¹nik do reprezentanta we wszystkich skªadnikach znajduj¡cych
si¦ pierwotnie na li±cie
Ly .
Zªo»ono±¢: O(s), gdzie s = |Ly | (gdy mamy dost¦p do ostatniego elementu Lx ).
Usprawnienie:
heurystyka ª¡czenia z wywa»aniem.
•
Zawsze doª¡czamy krótsz¡ list¦ do dªu»szej.
•
Trzeba przechowywa¢ (np. w reprezentancie) i uaktualnia¢ rozmiar listy.
Asymptotyczna zªo»ono±¢ pojedynczej operacji Union pozostaje taka sama, lecz koszt
zowany jest mniejszy.
Pokazuje si¦, »e wykonanie ci¡gu
m
operacji MakeSet, Union i FindSet, spo±ród których
to MakeSet zajmuje przy wywa»aniu czas
Bez wywa»ania:
3.5
zamortyn
O(m + nlog n).
O(m2 ).
Implementacja drzewa z korzeniem
Implementacja w postaci drzew z korzeniem.
•
Ka»dy zbiór przechowywany jako drzewo z korzeniem.
•
Korze« drzewa = reprezentant zbioru.
•
Ka»dy wierzchoªek drzewa posiada pola:
element zbioru,
wska¹nik do ojca w drzewie (korze« wskazuje na siebie).
Struktur¦ drzewa mo»na tak»e zaimplementowa¢ przy wykorzystaniu tablicy ojców indeksowanej elementami, które grupujemy w zbiory.
10
Przykªad.
Trzy zbiory rozª¡czne grupuj¡ce 10 elementów, reprezentowane poprzez drzewa:
g
1w
g
2w
g
6w
@
@5w
g
@
@4w
g
@
g 10w
g @9w
g
7w
g
3w
g
8w
s¡ jednoznacznie zakodowane przy pomocy tablicy ojców:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ojciec[i]
2
2
6
6
2
6
4
8
4
4
Operacje:
MakeSet(x) stworzenie nowego drzewa o jedynym wierzchoªku
FindSet(x) przej±cie po wska¹nikach od
x
x. Zªo»ono±¢: O(1).
do ojca itp. a» do korzenia.
Zªo»ono±¢: O(h), gdzie h = wysoko±¢ drzewa.
Union(x,
y)
zmiana wska¹nika w korzeniu drzewa
Ty (zawieraj¡cego y ).
Zªo»ono±¢: O(1) (gdy mamy dost¦p
Tx
(zawieraj¡cego
x)
tak aby wskazywaª
na korze« drzewa
do korzeni).
Dwie heurystyki:
1. Š¡czenie wg wysoko±ci: drzewo o mniejszej wysoko±ci doª¡czamy do drzewa o wi¦kszej
wysoko±ci (+ uaktualnienie wysoko±ci).
2. Kompresja drogi: stosowana przy operacji FindSet(x) polega na zmianie wska¹ników
we wszystkich wierzchoªkach na drodze od
x
do korzenia tak, by wskazywaªy na korze«.
Implementacja z uwzgl¦dnieniem heurystyk.
Oznaczenia:
•
h(x) = wysoko±¢ wierzchoªka
•
ojciec(x) = ojciec wierzchoªka
MakeSet(x)
1
2
3
4
begin
ojciec(x) := x;
h(x) := 0
end;
x (∈ N),
x
(wska¹nik lub odwoªanie do tablicy ojców).
11
Š¡czenie wg wysoko±ci. Wykorzystamy procedur¦ pomocnicz¡:
Link(x, y)
1
begin
2
if h(x) > h(y) then
3
ojciec(y) := x
4
else begin
5
ojciec(x) := y;
6
if h(x) = h(y) then
7
h(y) := h(y)
8
+
1
end
9
end;
Union(x, y)
1
begin
2
Link(FindSet(x), FindSet(y))
3
end;
FindSet z kompresj¡ drogi:
FindSet(x)
1
begin
2
if x <> ojciec(x) then
3
ojciec(x) := FindSet( ojciec(x) );
4
return ojciec(x)
5
end;
Uwaga.
Zauwa»my, »e po FindSet wysoko±¢ drzewa mo»e ulec zmianie (zmniejszeniu). Mimo
to, nie uaktualniamy warto±ci
h
dla »adnego wierzchoªka. Utrzymywanie poprawnych warto±ci
wysoko±ci drzew byªoby niepotrzebnie kosztowne. Zatem warto±ci
h
nale»y tak naprawd¦ inter-
pretowa¢ jako górne ograniczenia wysoko±ci drzew.
Zaªó»my, »e wykonujemy ci¡g
m
operacji MakeSet, Union i FindSet, spo±ród których
n
to
MakeSet.
Twierdzenie (Hopcroft, Ullman). Zªo»ono±¢ wykonania ci¡gu powy»szych operacji z uwzgl¦d-
nieniem heurystyk 1 i 2 wynosi O(m log∗ n).
log∗
= logarytm iterowany.
log∗ jest funkcj¡ bardzo wolno rosn¡c¡.
log∗ n ≤ 5 dla wszystkich 1 ≤ n ≤ 265536 .
Liczba atomów we wszech±wiecie ≈ 1080 < 265536 .
4
4.1
Kruskal
Poprawno±¢
Zanim przedstawimy konkretny pseudokod, wprowadzimy kilka poj¦¢ i faktów pozwalaj¡cych
zrozumie¢, dlaczego idea algorytmu Kruskala przedstawiona wcze±niej zawsze daje poprawne
rozwi¡zanie.
12
Poj¦cia te wyst¦puj¡ te» w innych kontekstach algorytmów grafowych.
Bardziej szczegóªowy dowód poprawno±ci mo»na znale¹¢ np. w ksi¡»ce [1] ze spisu literatury
do wykªadu (T. H. Cormen et al.).
4.2
Przekroje
Denicje:
•
Ka»dy podzbiór
•
Kraw¦d¹
S,
•
a
S⊆V
wyznacza
{u, v} krzy»uje si¦
drugi do V \ S .
z przekrojem
(S, V \ S) uwzgl¦dnia
Przekrój
przekrój (S, V \ S)
grafu
(S, V \ S),
zbiór kraw¦dzi
A,
G = (V, E).
je±li jeden z jej ko«ców nale»y do
je±li »adna kraw¦d¹ z
A
nie krzy»uje
si¦ z tym przekrojem.
•
e∈E
Kraw¦d¹
krzy»uj¡ca si¦ z przekrojem jest kraw¦dzi¡
lekk¡,
je±li
w(e)
jest najm-
niejsza spo±ród wag wszystkich kraw¦dzi krzy»uj¡cych si¦ z tym przekrojem.
Przytoczymy bez dowodu kluczowy fakt, na którym opiera si¦ uzasadnienie poprawno±ci obu
algorytmów.
G = (V, E)
spójny graf niezorientowany z funkcj¡ wagow¡
w : E → R+
Twierdzenie Niech
• E ⊇ A podzbiór zbioru kraw¦dzi pewnego MST dla G,
• (S, V \ S) dowolny przekrój grafu G uwzgl¦dniaj¡cy A,
• {u, v} kraw¦d¹ lekka krzy»uj¡ca si¦ z (S, V \ S).
Wówczas kraw¦d¹ {u, v} jest bezpieczna dla A.
Przypomnienie idei algorytmu:
GenericMST(G, w)
1
begin
∅;
2
A :=
3
while A
4
do
znajd¹ kraw¦d¹ {u, v} ∈ E\A bezpieczn¡ dla A;
A := A ∪ { {u, v} }
5
6
7
8
nie tworzy drzewa rozpinaj¡cego
begin
end
end;
Rozwa»my graf
T = (V, A).
W ka»dym kroku jest on acykliczny
⇒
ka»da jego spójna
skªadowa jest drzewem.
•
•
na pocz¡tku
poniewa»
A=∅ ⇒ T
skªada si¦ z
A ∪ { {u, v} } musi
T,
|V |
jednowierzchoªkowych drzew,
{u, v}
dla
A
ª¡cz¡ si¦ (liczba drzew maleje), na ko«cu las
T
by¢ acykliczny, ka»da bezpieczna kraw¦d¹
ª¡czy ró»ne skªadowe z
•
w ka»dym kroku kolejne skªadowe
zawiera tylko 1 drzewo
⇒
T
jest MST.
13
Wniosek Niech
• E ⊇ A podzbiór zbioru kraw¦dzi pewnego MST dla G,
• C = spójna skªadowa w lesie T = (V, A),
• {u, v} kraw¦d¹ o najmniejszej wadze spo±ród ª¡cz¡cych C z pewn¡ inn¡ skªadow¡ w T .
Wówczas kraw¦d¹ {u, v} jest bezpieczna dla A.
Dowód. Przekrój (C, V \ C) uwzgl¦dnia A.
{u, v} jest kraw¦dzi¡ lekk¡ krzy»uj¡c¡ si¦ z tym przekrojem.
Na mocy twierdzenia {u, v} jest kraw¦dzi¡ bezpieczn¡ dla A.
4.3
Algorytm
Podsumowanie:
szczegóªowa wersja algorytmu GenericMST algorytm Kruskala (który jest
w pewnym sensie modykacj¡ procedury ConnectedComponents z 3.2).
MST-Kruskal(G, w)
1
begin
∅;
2
A :=
3
for ka»dy v
4
posortuj
6
for ka»da
7
niemalej¡co wzgl¦dem wag w;
{u, v} ∈ E, w kolejno±ci niemalej¡cych wag
E
begin
9
A := A
10
∪ { {u, v} };
Union(u, v)
11
end
return A
end;
Zªo»ono±¢: O(|E| · log|E|)
(przy najszybszych implementacjach zbiorów rozª¡cznych i sor-
towania, por. Twierdzenie 3.5).
4.4
do
if FindSet(u) <> FindSet(v) then
8
13
V do
MakeSet(v);
5
12
∈
Przebieg algorytmu Kruskala
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
f
v
@v
f
13
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
f
v
@v
f
13
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
14
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
@v
f
v
f
13
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
@v
f
v
f
13
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
@v
f
v
f
13
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
f
v
@v
f
13
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
f
v
@v
f
13
v
f 2
f
v
@
1
@
15
2
@
v
f
@v
f
13
v
f 2
f
v
@
1
@
15
2
@
v
f
@v
f
13
v
f 2
f
v
@
1
@
15
2
@
v
f
@v
f
13
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
f
v
9
10
8
f
v
15
5
Prim
5.1
Poprawno±¢
Inna realizacja ogólnego algorytmu GenericMST algorytm Prima
•
W przeciwie«stwie do algorytmu Kruskala, kraw¦dzie z
A
tworz¡ zawsze pojedyncze
drzewo.
•
Pocz¡tkowo drzewo to skªada si¦ z dowolnie wybranego wierzchoªkanast¦pnie ro±nie do chwili, w której rozpina wszystkie wierzchoªki z
•
•
(V (A), V \ V (A))
A).
Rozwa»any przekrój:
(V
(A) :=
korzenia r ∈ V ;
V.
zbiór ko«ców kraw¦dzi z
W ka»dym kroku dodajemy kraw¦d¹ lekk¡ krzy»uj¡c¡ si¦ z tym przekrojem (tj. kraw¦d¹
o najmniejszej wadze spo±ród tych wystaj¡cych z
Przekrój
(V (A), V \ V (A))
uwzgl¦dnia
A,
A).
zatem kraw¦d¹ ta jest bezpieczna dla
A
(patrz
Twierdzenie 4.2).
5.2
Implementacja
Jak wyznacza¢ kraw¦d¹ lekk¡ krzy»uj¡c¡ si¦ z przekrojem
•
(V (A), V \ V (A))?
Wierzchoªki spoza rozrastaj¡cego si¦ drzewa trzymamy w kolejce priorytetowej
Q
(por.
poprzedni wykªad).
•
Dla ka»dego
Q)
•
v∈V
kluczem
klucz(v) (tzn.
priorytetem wyznaczaj¡cym pozycj¦ w kolejce
jest najmniejsza waga spo±ród wag kraw¦dzi ª¡cz¡cych
W zmiennej
π[v]
pami¦tamy ojca
Podczas wykonywania algorytmu zbiór
v
A
v
z wierzchoªkami drzewa.
w obliczanym drzewie.
jest pami¦tany niejawnie jako
A = { {π[v], v} : v ∈ (V \ {r}) \ Q}.
Po zako«czeniu algorytmu
Q = ∅,
zbiorem kraw¦dzi MST w
G
jest wi¦c
A = { {π[v], v} : v ∈ V \ {r}}.
Przypomnijmy, »e symbolem
5.3
Adj[u]
oznaczamy zbiór s¡siadów wierzchoªka
Algorytm
Inna realizacja ogólnego algorytmu algorytm Prima.
u.
16
MST-Prim(G, w, r)
1
begin
2
Q := V;
∈
3
for ka»dy u
4
klucz(r) := 0;
5
π [r]
6
while Q <>
7
:=
Q do klucz(u) :=
∞;
∅
do
begin
8
u := ExtractMin(Q);
9
for ka»dy v
10
if (v
11
∈
∈
Adj[u] do
Q) and (w(u, v) < klucz(v)) then
begin
π [v]
12
13
:= u;
klucz[v] := w(u, v)
14
end
15
end;
16
return
17
∞;
π
end;
Zªo»ono±¢: O(|E| · log|V |) (gdy kolejka implementowana na kopcu).
5.4
Przebieg algorytmu Prima
Dowolnie ustalamy korze«
r
- wierzchoªek startowy.
v 2
f
f
v
@
1
@
15
2
@
f
v
f
@v
13
2
v
f
@
@
15
2
f
v
1
@
13
2
v
f
@
@
15
2
f
v
13
2
v
f
@
@
15
f
v
13
2
v
f
@
@
15
f
v
v
f
@
@
15
f
v
@v
f
f
v
@v
f
f
v
1
@
13
2
2
f
v
1
@
2
f
@v
1
@
2
f
v
@v
f
f
v
1
@
13
@v
f
f
v
r
8
9
10
f
v
f
v
r
8
9
10
f
v
f
v
r
8
9
10
f
v
f
v
r
8
9
10
f
v
f
v
r
8
9
10
f
v
f
v
r
9
10
8
f
v