Zgodność, stabilność i zbieżność schematów różnicowych

MiNI (MNPT) – Metody Numeryczne w MOC I
8 marca 200
Zgodność, stabilność i zbieżność schematów1
1
Definicja 1.1 (Zbieżność). Schemat różnicowy przybliżający równanie różniczkowe cząstkowe jest
zbieżny, jeśli dla każdego rozwiązania u(t, x) równania cząastkowego rozwiązanie ukn schematu różnicowego, dla którego u0n zbiega do u(0, x) dla nh → x, także ukn zbiega do u(t, x) dla (k∆t, nh) → (t, x)
przy ∆t, k → 0.
Definicja 1.2 (Zgodność). Mówimy, że schemat różnicowy Ph,k u = f jest zgodny rzędu (r, s) z
równaniem różniczkowym cząstkowym P u = f , jeśli dla każdej gładkiej funkcji φ
P φ − Pk,h φ = O(k r , hs ).
(1.1)
Uwaga. Aby zbadać zgodność, rozwijamy φ w szereg Taylora i sprawdzamy (1.1).
Definicja 1.3 (Stabilność). Schemat różnicowy Ph,k u = 0 dla RRCz P u = 0 pierwszego rzędu
względem czasu jest stabilny, jeśli istnieje J ∈ N i liczby h0 , k0 > 0 takie, że dla każdego dodatniego
czasu T , istnieje stała CT > 0 taka, że
∞
X
h
|ukn |2
≤ CT h
n=−∞
J
∞
X
X
|ujn |2
j=0 n=−∞
dla 0 ≤ k∆t ≤ T , 0 < h ≤ h0 oraz 0 < ∆t ≤ k0 .
Definicja 1.4. Problem początkowy dla RRCz pierwszego rzędu względem czasu P u = 0 jest dobrze
postawiony, jeśli dla dowolnego czasu T ≥ 0 istnieje stała CT > 0 taka, że każde rozwiązanie u(t, x)
spełnia
Z
Z
∞
∞
|u(t, x)|2 dx ≤ CT
−∞
|u(0, x)|2 dx
−∞
dla 0 ≤ t ≤ T .
Twierdzenie 1.5 (Lax-Richtmyer). Zgodny schemat różnicowy dla RRCz, dla którego problem początkowy jest dobrze postawiony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest stabilny.
2
Analiza stabilności von Neumanna
Przykład (Równanie ut + aux = 0). Zastosujmy dyskretyzację w przód względem czasu i w tył
względem przestrzeni:
uk − ukn−1
uk+1
− ukn
n
+a n
= 0.
∆t
∆x
Powyższe równanie można przepisać jako
uk+1
= (1 − aλ)ukn + aλukn−1 ,
n
1
Na podstawie notatek z MiT Opencourseware: http://ocw.mit.edu oraz książki Strikwerdy.
gdzie λ =
∆t
∆x .
Stosując do obu stron transformatę Fouriera otrzymujemy
h
i
ûk+1 (ξ) = (1 − aλ) + aλe−ihξ ûk (ξ).
Oznaczmy g(hξ) ≡ (1 − aλ) + aλe−ihξ . Wtedy
ûk (ξ) = g(hξ)ûk−1 (ξ) = ... = [g(hξ)]k û0 (ξ).
Z tożsamości Parsevala:
k 2
Z
ku k =
π
h
k
2
Z
|û (ξ)| dξ =
−π
h
π
h
|g(hξ)|2n |û0 (ξ)|2 dξ.
−π
h
Zatem schemat będzie stabilny, tzn. kuk k ≤ ku0 k, jeśli |g(hξ)| ≤ 1. Oznaczmy θ = hξ i obliczmy
2
θ
|g(θ)|2 = (1 − aλ) + aλe−ihξ = (1 − aλ + aλ cos θ)2 + a2 λ2 sin2 θ = 1 − 4aλ(1 − aλ) sin2 .
2
Widzimy stąd, że |g(θ)| ≤ 1, jeśli 0 ≤ aλ ≤ 1 i wtedy schemat jest stabilny.
Twierdzenie 2.1 (Warunek konieczny i dostateczny stabilności). Jednokrokowy schemat różnicowy
(wzgledem czasu) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe dodatnie K, h0 , k0 takie, że
|g(θ, ∆t, h)| ≤ 1 + K∆t
dla wszystkich θ,0 < ∆t ≤ k0 , 0 < h ≤ h0 . Jeśli g nie zależy od ∆t, to powyższy warunek sprowadza
się do
|g(θ, h)| ≤ 1.
Dowód. „⇐” – ćwiczenie
„⇒”
Przypuśćmy, że dla każdego C > 0 istnieje odcinek [θ1 , θ2 ] taki, że |g| ≥ 1 + C∆t dla θ ∈ [θ1 , θ2 ],
h ∈ (0, h0 ], ∆t ∈ (0, k0 ]. Niech
0
jeśli hξ[θ1 , θ2 ],
0
û (ξ) = p
h(θ1 − θ2 )−1 jeśli h ξ ∈ [θ1 , θ2 ].
Mamy kû0 k = 1 oraz
k 2
ku k =
dla k bliskich
T
∆t .
Z
π
h
−π
h
2k
0
2
|g| |û (ξ)| dξ =
Z
θ2
h
θ1
h
|g|2k
h
1
dξ ≥ (1 + C∆t)2k ≥ e2T C ku0 k2
θ1 − θ 2
2
Zatem schemat nie jest stabilny, bo C może być dowolnie duże.
W praktyce, aby zbadać stabilność schematu nie musimy rozpisywać całek. Wystarczy zamiast
ukn wstawić g k einθ i obliczyć g.
Przykład. Dla schematu jawnego z centralną różnicą po czasie
uk − ukn−1
uk+1
− ukn
n
+ a n+1
=0
∆t
2h
mamy
g k ei(k+1)θ − g k ei(k−1)θ
g k+1 einθ − g k einθ
+a
= g k einθ
0=
∆t
2h
Stąd g(θ) = 1 − iaλ sin θ, gdzie λ =
nie jest stabilny.
∆t
h .
g−1
eiθ − e−iθ
+a
∆t
2h
.
Jeśli λ jest stała, to |g(θ)|2 = 1 + a2 λ2 sin2 θ > 1 i schemat
Zbadać rząd zgodności i stabilność schematów przybliżających RRCz
1. ut + aux = 0 dla dyskretyzacji niejawnej
uk+1
− uk+1
uk+1
− ukn
n
n−1
n
+a
=0
∆t
∆x
2. ut + aux = 0 dla dyskretyzacji Cranka-Nicolsona po czasie, z różnicą centralną po przestrzeni
3. ut + aux = 0, schemat Laxa-Wendroffa:
uk+1
= ukn −
n
a2 λ 2 k
aλ k
(un+1 − ukn−1 ) +
(un+1 − 2ukn + ukn−1 ).
2
2
4. ut + aux = f , schemat Laxa-Friedrichsa:
1
aλ
uk+1
= (ukn+1 + ukn−1 ) −
(uk − ukn−1 ) + ∆tfnk
n
2
1 + (aλ)2 n+1
5. ut + aux = f , ze schematem
i
i
a h k+1
1 h k+1
k
k
k+1
k
k
)
−
(u
+
u
)
+
−
u
)
+
(u
−
u
)
= fnk
(un + uk+1
(u
n
n+1
n
n+1
n
n+1
n+1
2∆t
2h
6. ut + auxxx = f , ze schematem
1
a∆t k
uk+1
= (ukn+1 + ukn−1 ) −
(u
− 2ukn+1 + 2ukn−1 − ukn−2 ) + ∆tfnk
n
2
2h3 n+2
7. ut + auxxx = f , ze schematem
uk − 3ukn+1 + 3ukn − ukn−1
uk+1
− ukn
n
+ a n+2
= fnk
∆t
h3