Poniżej znajduje się zadanie zaliczeniowe. Ocena za rozwiązanie

Poniżej znajduje się zadanie zaliczeniowe. Ocena za rozwiązanie tego zadania stanowić będzie 50% oceny końcowej. Rozwiązania powinny być wykonane
w arkuszu kalkulacyjnym lub w programie R. Jeżeli do rozwiązania zadania
chcesz użyć innego programu, zgłoś mi ten zamiar aby uzyskać moją aprobatę.
Rozwiązania należy nadsyłać na adres [email protected] (temat wiadmości:
Zadanie zaliczeniowe z Mat. Modeli Ryzyka) nie później niż do dnia 21 stycznia
2017 r.
Problem
Ubezpieczyciel posiada w swoim portfelu trzy podportfele, na które składają
się następujące ryzyka.
• Podportfel 1: 30000 samochodów ubezpieczonych od kradzieży na kwotę
15 tys. zł. Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu w tej grupie wynosi
0.001.
• Podportfel 2: 20000 samochodów ubezpieczonych od kradzieży na kwotę
30 tys. zł. Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu w tej grupie wynosi
0.0015.
• Podportfel 3: 10000 samochodów ubezpieczonych od kradzieży na kwotę
45 tys. zł. Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu w tej grupie wynosi
0.002.
1) (za rozwiązanie tego zadania możesz otrzymać maksymalnie 35 punktów)
Dla każdego z trzech podportfeli X (i) , i = 1, 2, 3, osobno wyznacz (sumaryczne)
(i)
składki oparte na kwantylach
rzędu α = 95%, 99% oraz 99, 5%, Πα X ,
(i)
oraz miary ryzyka ESα Lα
wartości α, gdzie
(i)
Lα
, i = 1, 2, 3, (Expected Shortfall) dla tych samych
oznacza stratę ubezpieczyciela
(i)
L(i)
− Πα X (i) .
α =X
2) (za rozwiązanie tego zadania możesz otrzymać maksymalnie 15 punktów)
Rozważ teraz portfel X = X (1) + X (2) + X (3) . Podobnie jak w (1) wyznacz
sumaryczne składki oparte na kwantylach rzędu α = 95%, 99% oraz 99, 5%,
Πα (X), oraz miary ryzyka ESα (Lα ) dla tych samych wartości α. Otrzymane
składki porównaj z sumami składek otrzymanych w (1),
Πα X (1) + Πα X (2) + Πα X (3) .
Opisz metodę, którą zastosowałaś/zastosowałeś. Uwaga! Jest kilka możliwych metod rozwiązania tego problemu: np. wzór Panjera, metoda odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera, metody symulacyjne Monte Carlo oraz
formuły oparte na wzorach Cornisha-Fishera. Dwie pierwsze z tych metod są
bardziej dokładne (za rozwiązanie problemu (2) za pomocą tych metod możesz
otrzymać maksymalnie 15 punktów za ich użycie), dwie pozostałe są znacznie
1
mniej dokładne (za rozwiązanie problemu (2) za pomocą tych metod możesz
otrzymać maksymalnie 7 punktów). Jeżeli znasz jakąś inną poprawną metodę
rozwiązania tego problemu i jej użyjesz, orzymasz rownież maksymalnie 15
punktów. Artykuł poświęcony dwóm pierwszym metodom dostępny jest pod
adresem https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/PanjerVsFFTcorrected.pdf
2