( ) x

Zadania przygotowujące do konkursu matematycznego
dla uczniów klas drugich szkół ponadgimnazjalnych.
Poziom podstawowy
2
Zad.1 WykaŜ, Ŝe jeśli współczynniki trójmianu kwadratowego y = ax + bx + c , gdzie a ≠ 0 ,
spełniają warunek a + b + c = 0 , to trójmian ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
3
2
Zad.2 Znajdź rozwiązania rzeczywiste x1, x2, x3 równania x − 6 x + px + q = 0
z niewiadomą x wiedząc, Ŝe x1 ‫ ׃‬x2 ‫ ׃‬x3 = 1 ‫ ׃‬2 ‫ ׃‬3.
Zad.3 Przedstaw w postaci iloczynowej:
4
a) x + 1
8
4
b) x + x + 1
ρ
Zad.4 Wykres funkcji o wzorze f ( x ) = x przesunięto o wektor u = [2,−1] a następnie
otrzymany wykres przekształcono przez symetrię środkową względem punktu (0, 0)
a) napisz wzór funkcji, której wykres otrzymano,
b) narysuj wykres funkcji po przekształceniach.
2
Zad.5 Funkcja określona jest wzorem f ( x ) = x + 2 x + c ,
a) wyznacz te wartości współczynnika c, dla których wykres funkcji przecina oś OX w
dwóch punktach,
b) wyznacz te wartości współczynnika c, dla których wierzchołek paraboli będącej
2
wykresem funkcji f naleŜy do paraboli o równaniu y = 2 x − 7 x + 1 .
Zad.6 Znajdź liczby a i b wiedząc, Ŝe suma liczby a i potrojonej liczby b równa jest 36,
a iloczyn liczb a i b jest największy z moŜliwych.
Zad.7 Niech A = (− 3,7 ) , B = (− 2,−1) , C = (5,8) . Znajdź współrzędne punktu D takiego, Ŝe
2 AB − AC = AD .
[
]
ρ
2
2
u
Zad.8 Oblicz długość wektora = a − 1 − a ; a + 1 − a .
Zad.9 Wyznacz najmniejszą i największą wartość b, dla której wykres funkcji y = −3 x + b ma
co najmniej jeden punkt wspólny z prostokątem ABCD, gdzie A=(-1,-1), B=(3,-1), C=(3,2),
D=(-1,2).
Zad.10 Dwa okręgi o promieniach długości 3 cm i 8 cm są styczne wewnętrznie w punkcie
A. Promień OB większego okręgu jest styczny do mniejszego okręgu w punkcie C. Oblicz
miarę kąta BAC.
Zad.11 Oblicz pole i obwód ośmiokąta foremnego
wpisanego w kwadrat o boku długości 10
tak jak pokazuje rysunek.
Zad.12 Udowodnij, Ŝe obwód czworokąta jest większy od sumy długości jego przekątnych.
Zad.13 Na polu golfowym dwóch zawodników wybiło piłki , które zakreśliły w powietrzu
2
t = 60 x − 73 x 2
tory bardzo zbliŜone do łuków parabol o równaniach 1
oraz t 2 = 50 x − 0.625 x .
Która z piłek wzniosła się na większą wysokość ? Która upadła dalej od zawodnika ? (
Odpowiedź uzasadnij wykonując odpowiednie obliczenia )
Zad.14 Zbuduj równanie kwadratowe o współczynnikach całkowitych, którego
2
−1
rozwiązaniami są liczby 3 oraz 2 .
{
A = x : x ∈ R ∧ x 2 + 3x ∈ (− ∞; 4
Zad.15 Wyznacz zbiory A \ B oraz B \ A jeśli
B = {x : x ∈ R ∧ 3 − 4 x ∈ 7;19)}
.
3
Zad.15 Wartości funkcji wielomianowej f ( x ) = x przybliŜono
0;1
dla x z przedziału
wartościami funkcji liniowej
0;1
a)znajdź dla kaŜdego x z przedziału
błąd bezwzględny
y
1
g(x)
b( x ) tego przybliŜenia,
b) Dla jakich x z przedziału
} oraz
f(x)
0;1
błąd bezwzględny tego
0
3
f(x)
przybliŜenia jest mniejszy od 8 ?
−2
>0
2
Zad.16 Nierówność x − 5 x + 6
moŜna rozwiązać następująco.
2
więc x ≠ 2 i x ≠ 3 .
Określamy załoŜenia : x − 5 x + 6 ≠ 0
Licznik ułamka ma zawsze wartość ujemną . Wobec tego, aby cały ułamek miał wartość
dodatnią, jego mianownik musi być ujemny . To znaczy , Ŝe musi być spełniona nierówność
x 2 − 5 x + 6 < 0 .Zbiorem rozwiązań tej nierówności kwadratowej jest przedział (2;3) .
Uzyskane rozwiązanie jest zgodne z załoŜeniami.
−2
2
2
x
∈
(
2
;
3
)
x − 5 x + 6 jest
Tak więc dla
wyraŜenie x − 5 x + 6 jest ujemne, wyraŜenie
dodatnie, czyli wyjściowa nierówność jest spełniona.
−2
>0
2
Odpowiedź: zbiorem rozwiązań nierówności x − 5 x + 6
jest przedział (2;3) .
− 11,3
<0
2
Postępując podobnie rozwiąŜ nierówność x − 2 x − 24
.
Zad.17 Wiedząc, ze dla pewnego kąta ostrego sin α + cos α = 1,3 oblicz :
sin α − cos α
a) sin α ⋅ cos α
, b)
.
1
x
Poziom rozszerzony
− 2π ; 2π
Zad.18 Narysuj wykresy funkcji w przedziale
sin x
cos x
y=
y=
sin x
cos x
a)
b)
3 − x dla x ≥ 0
f (x ) = 
3 + x dla x < 0
Zad.18 Dana jest funkcja
y = f ( f ( x ))
Sporządź wykres funkcji
Zad.19 Znajdź współczynniki b i c równania x 2 + bx + c = 0 jeśli wiadomo, Ŝe liczby b i
c są jednocześnie jego pierwiastkami.
Zad.20 Supermarket sprzedawał 400 kg jabłek dziennie w cenie 3 zł za kilogram.
ZauwaŜono, Ŝe przy kaŜdej obniŜce ceny o 10 gr. za kilogram ich sprzedaŜ rośnie o 100 kg .
Supermarket kupuje jabłka od sadownika po 1,20 zł za kilogram, a inne koszty (
magazynowanie, ubytki, utrzymanie stoiska itp. ) przypadające na kilogram jabłek wynoszą
20 gr. Przy jakiej cenie jabłek dzienna sprzedaŜ przyniesie największy zysk?
Zad.21 Narysuj w układzie współrzędnym zbiory;
A = ( x, y ) : x, y ∈ R ∧ x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0
B = {( x, y ) : x, y ∈ R ∧ x ≤ 4 ∧ y > −2 ∧ y < x + 3}
2x + y =4
Zad.22 a) Narysuj w układzie współrzędnym zbiór rozwiązań równania
b) Określ liczbę rozwiązań układu
2 x + y = 4

 y = 2x + b
w zaleŜności od wartości parametru b.
Zad.23 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x 2 – x – 2 , wiedząc, Ŝe W(–1) = 2
oraz W(2) = –3.
{
}
Zad.24 Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + 2) jest równa 1, a przez (x – 3) jest
równa 6. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x 2 – x – 6 .
Zad.25 WykaŜ, Ŝe jeŜeli w trapez równoramienny o podstawach długości a, b oraz
2
wysokości h moŜna wpisać okrąg, to zachodzi równość a ⋅ b = h .
Zad.26 Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 i 4 . Zbudowano okrąg
o środku O połoŜonym na przeciwprostokątnej styczny do dłuŜszej przyprostokątnej oraz
przechodzący przez wierzchołek trójkąta przeciwległy do dłuŜszej przyprostokątnej . Oblicz
długość promienia tego okręgu .
2
Zad.27 Dane jest równanie kwadratowe 2 x + kx − k + 10 = 0 z parametrem k.
Napisz wzór funkcji g , która kaŜdej wartości parametru k przyporządkowuje sumę
pierwiastków tego równania kwadratowego,
Napisz wzór funkcji h, która kaŜdej wartości parametru k przyporządkowuje sumę kwadratów
pierwiastków tego równania kwadratowego,
Określ dziedzinę funkcji g i dziedzinę funkcji h.
Zad.28 WykaŜ, Ŝe liczba
6 + 6 + 6 + ...
jest wymierna .
Zad.29 Symbol [t ] oznacza największą liczbę całkowitą niewiększą od t . Wykonaj wykres
2
funkcji f ( x ) = x − 4 x .
[
]
Zad.30 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A ∩ B , gdy :
2
2
a) A = ( x, y ) : x, y ∈ R ∧ x + y + 12 x − 2 y + 17 < 0 ,
{
B = {( x, y ) : x, y ∈ R ∧ x + 6 ≥ 1}
;
2
2
b) A = ( x, y ) : x, y ∈ R ∧ ( x − 1) + ( y + 1) ≥ 4 ,
B = {( x, y ) : x, y ∈ R ∧ x − 1 ≤ 3 ∧ y + 1 ≤ 3}
.
{
}
}
Zad.31 Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x-2) otrzymujemy resztę 3,
natomiast przy dzieleniu W(x) przez dwumian (x+3) otrzymujemy resztę 1. Wyznacz resztę
2
z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian x + x − 6 .