Liczby pierwsze szóstkowe i słabopierwsze

Geneza „kontrowersyjnej” nazwy
Nazwa pochodzi od łacińskiego liczebnika
„sex” oznaczającego sześć.
Na wybór nazwy mógł mieć też wpływ fakt, że
sexy primes to najczęściej pary liczb, oraz to że
matematycy posiadają poczucie humoru.
Definicja
Sexy prime to ciąg (para, trójka, itd…) liczb
pierwszych, które różnią się od siebie o sześć
(stąd nazwa).
(n , n+6)
(n , n+6 , n+12)
(n , n+6 , n+12 , n+18)
Największa znana para „sexy primes”
Jest nią para liczb postaci (n , n+6) gdzie :
n =(48011837012 · ((53238 · 7879#)2 - 1) + 2310) · 53238 · 7879#/385 + 1
n ma 10154 cyfr. Odkrywcy : Torbjörn Alm, Micha Fleuren and Jens Kruse Andersen.
Symbol „#”
Symbol „#” w literaturze angielskiej nazywamy primorial i jest to prosta
analogia do nazwy factorial, która oznacza silnię. Primorial to silnia, w której
mnożymy kolejne liczby pierwsze (w przeciwieństwie do kolejnych liczb
naturalnych)
Przykład :
20# = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 = 9699690
Kilka przykładów par
(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43),
(41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103),
(101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163),
(167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233),
(233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283),
(307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373),
(373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)
W materii par „sexy primes” niestety nie ma wielu
fascynujących odkryć…
Sexy Triplets, Sexy Quadruplets
Czyli, mówiąc po polsku, trójki i czwórki liczb sexy primes, bądź „trojaczki” i
„czworaczki”. Jest to oczywista analogia do prime triplets i prime quadruplets.
Sexy Triplets
Prime Triplets
(n , n+6 , n+12)
(n , n+2 , n+6)
Sexy Quadruplets
Prime Quadruplets
(n , n+6 , n+12, n+18)
(n , n+2 , n+6, n+8)
Kilka przykładów Sexy Triplets
(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109),
(101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269),
(271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599),
(607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)
Największa znana trójka Sexy Triplets
Jest nią para liczb postaci (n , n+6 , n+12) gdzie :
n = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1
n ma 5132 cyfr i odkryta została przez Kena Davisa w kwietniu 2006 roku.
Kilka przykładów Sexy Quadruplets
(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269),
(601,607,613,619), (641,647,653,659)
Największa znana czwórka Sexy Quadruplets
Jest nią para liczb postaci (n , n+6 , n+12 , n+18) gdzie :
n = 411784973 · 2347# + 3301
n ma 1002 cyfr i odkryta została przez Jensa Kruse Andersena w grudniu 2005 roku.
I tak dalej ?
Wydawało by się że można szukać wciąż większych ciągów liczb, które są
jednocześnie pierwsze i różnią się o sześć. Okazuje się jednak że nie.
Najdłuższym ciągiem liczb „sexy primes” jest (5, 11, 17, 23, 29) i jest to jedyny ciąg
o długości pięć. Pomijając w rozważeniach powyższy ciąg, wiadomo że nie da się
znaleźć ciągu równego (a co za tym też idzie dłuższego) niż pięć liczb.
Dowód:
Weźmy dowolne pięć liczb różniących się od siebie kolejno o 6. Mamy więc a , a+6,
a+12, a+18, a+24, gdzie a to dowolna liczba naturalna. Co najmniej jedna liczba z
powyższych jest podzielna przez 5. Rozważmy reszty z dzielenia przez pięć naszych
elementów ciągu, wyglądają one teraz następująco : a, a+1, a+2, a+3, a+4, natomiast
liczba a należy od 0 do 4. Jedna z tych reszt musi równać się pięć, a więc dana liczba
była podzielna przez pięć, a więc nie była złożona. Stąd widać że w takim ciągu
zawsze jedna liczba jest podzielna przez pięć. Więc najdłuższym możliwym
ciągiem liczb „sexy primes” ciąg składający z czterech liczb (sexy quadruplet).
Stąd prosta obserwacja : cyfra jedności pierwszej liczby z sexy quadruplets musi
równać się 1.
Ciekawostka
Matematycy mają (między innymi) pewną charakterystyczną cechę. Potrafią
czynić obserwacje równie fascynujące, co bezużyteczne. Nie sposób odmówić im
poczucia humoru.
Wycinek z listu Monte Zerger’a (profesor matematyki na Adams State
College w Colorado) do Terry’ego Trotter’a:
(…) Patrząc wstecz, ostatnią czwórką sexy primes były lata 1741, 1747, 1753,
1759, a następnej nie będzie aż do 3301, 3307, 3313, 3319. Jednakże jest coś
pociągającego (w oryginale „sexy”) w tym stuleciu (list datowany jest na 1997).
Zaczęło się na seksownym trójkącie (Zerger używa nazwy „sexy threesome”
zamiast „sexy triad”): 1901, 1907, 1913 i tak też się skończy: 1987, 1993, 1999.
W tym stuleciu nie uświadczyliśmy innych seksownych trójkątów (…)
Weakly Prime
Nazwę „Weakly Prime” można przetłumaczyć, jako „słabą” liczbę pierwszą.
DEFINICJA:
Słabą liczbą pierwszą nazywamy liczbę pierwszą, którą można przekształcić w liczbę
złożoną zamieniając dowolną jej cyfrę rozwinięcia dziesiętnego na dowolną inną.
Na przykład : 294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599
Największą słabą liczbą pierwszą (o tysiącu cyfr) jest (17)496 38858369 (Gdzie (n)i oznacza
„i” razy powtórzone cyfry w nawiasie).
W literaturze można również spotkać nazwę „weakly associated primes”, która jest
używana wymiennie z nazwą „weakly prime” i oznacza mniej więcej „liczba pierwsza o
słabych połączeniach”.
Bibliografia
http://www.trottermath.net/numthry/sexyprim.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Sexy_prime
http://mathworld.wolfram.com/SexyPrimes.html
http://mathworld.wolfram.com/Primorial.html
http://64.233.183.104/search?q=cache:03_-qHWEi90J:www.primepuzzles.net/puzzle
http://mathworld.wolfram.com/WeaklyPrime.html