Zadania - E-SGH

Makroekonomia II
Dr Michał Gradzewicz
Zadania
Pomiar wielkości makroekonomicznych
Zad 1. (pomiar PKB 3 sposobami)
Poddajmy analizie gospodarkę składająca się z 2 producentów: ziarna i chleba. W danym
roku producent ziarna wytwarza 50 000 ton ziarna, sprzedaje 20 000 ton producentowi
chleba po 3 USD za tonę, eksportuje 25 000 ton po 3 USD za tonę i resztę odkłada na zapasy.
Producent ziarna płaci również 50 000 USD płac swoim pracownikom. Producent chleba
wytwarza 50 000 sztuk chleba i sprzedaje wszystko krajowym konsumentom po 2 USD.
Producent chleba ponosi również koszty wynagrodzeń w wysokości 20 000 USD.
Konsumenci importują również 15 000 sztuk chleba po 1 USD sztuka i do nich należą zyski
generowane przez oba przedsiębiorstwa.
Oblicz PKB tej gospodarki 3 sposobami. Czy w tej gospodarce spełniony jest warunek
bilansowania się oszczędności i inwestycji.
Zad 2. (pomiar PKB 3 sposobami)
Wyobraźmy sobie gospodarkę składającą się z farmera, restauracji, rządu, zagranicy i
gospodarstw domowych (świadczących pracę dla pozostałych podmiotów krajowych i
będących konsumentami). Farmer wytwarza 13 marchewek. Przetrzymuje 3 marchewki jako
zapasy, a sprzedaje na rynku 10 marchewek po 2 PLN każda. Rolnik płaci 5 PLN swoim
pracownikom, 0,5 PLN kosztów pożyczki od niektórych konsumentów i 1,5 PLN podatków
(od produkcji).
4 marchewki są sprzedawane bezpośrednio konsumentom (po 2 PLN każda), a 6 marchewek
farmer sprzedaje restauracji przygotowującej zupę marchewkową. Restauracja kupuje
również 2 marchewki z zagranicy, wycenianych w walucie krajowej na 2 PLN każda.
Restauracja sprzedaje zupy za 30 PLN, płaci 4 PLN swoim pracownikom oraz 3 PLN
podatków (od producenta).
Konsumenci pracują dla obu firm oraz dla rządu, trafiają do nich również zyski
producentów oraz płatności odsetkowe od farmera. Ponadto, płacą 1 PLN podatków
dochodowych. Rząd finansuje zebranymi podatkami armię, czyli płaci wynagrodzenia dla
części gospodarstw domowych pracujących w wojsku.
Oblicz PKB tej gospodarki 3 sposobami. Czy w tej gospodarce spełniony jest warunek
bilansowania się oszczędności i inwestycji.
1
Zad 3. (pomiar nominalnego i realnego PKB)
W gospodarce produkowane są 2 dobra: pociągi oraz lemoniada. Ceny obu dóbr oraz
produkowane ilości w 2 okresach dane są poniżej:
Pociągi
Lemoniada
𝑃
𝑃
=
1000
𝑃1𝐿 = 1
Cena 1
Rok 1
𝑄1𝑃 = 20
𝑄1𝐿 = 1000
Ilość
𝑃2𝐿 = 1.1
Cena 𝑃2𝑃 = 1500
Rok2
𝑄2𝑃 = 25
𝑄2𝐿 = 1200
Ilość
a. Policz nominalny PKB w każdym roku i tempo jego wzrostu.
b. Policz realny PKB dla obu okresów w cenach bazowych roku 1 i jego stopę wzrostu
(tzw. indeks Laspeyresa). Policz deflator PKB i stopę inflacji. Czy suma stopy
wzrostu realnego PKB i stopy wzrostu deflatora równa się stopie wzrostu PKB
nominalnego?
c. Policz realny PKB dla obu okresów w cenach bazowych roku 2 i jego stopę wzrostu
(tzw. indeks Paashego). Policz deflator PKB i stopę inflacji.
d. Policz wzrost PKB wg. metody Fishera (chain-weighted growth rate). Jeśli teraz
wybierzesz arbitralnie rok 1 jako bazowy, to jaki będzie realny poziom PKB w roku
2? Jaka będzie wtedy stopa inflacji. Czy stopy inflacji i wzrostu PKB składają się do
wzrostu nominalnego?
Zad.4 (wzrost gospodarczy)
Załóżmy, że znamy długookresowe (przeciętne) tempo wzrostu danej gospodarki 𝑔. Po ilu
latach poziom PKB ulegnie podwojeniu, jeśli 𝑔 = 1%, 𝑔 = 2%, 𝑔 = 4%?
Zad. 5 (niwelowanie różnic rozwojowych)
Rozważmy sytuację 2 gospodarek. Gospodarka 1 jest początkowo bardziej rozwinięta (ma
wyższy poziom PKB), ale jej długookresowe roczne tempo wzrostu 𝑔1 jest niższe, z kolei
gospodarka 2 jest w punkcie startowym mniej rozwinięta (załóżmy, że 2 razy mniej), ale
rośnie szybciej (w tempie 𝑔2 ). Po ilu latach dystans rozwojowy pomiędzy obiema
gospodarkami zmniejszy się dwukrotnie (czyli w tym przypadku będą miały podobny
poziom PKB), jeśli 𝑔1 = 2%, 𝑔2 = 4%. Czy ten czas zależy relatywnego poziomu rozwoju w
okresie początkowym?
2
Teoria wzrostu – model Solowa
Zad 1. (model Solowa w czasie ciągłym, bez postępu technologicznego)
Gospodarka, spełniająca założenia modelu Solowa charakteryzuje się funkcją produkcji
Cobba-Douglasa postaci 𝐹(𝐾, 𝐿) = 10√𝐾𝐿. Stopa oszczędzania wynosi 0.8, stopa deprecjacji
kapitału 𝛿 = 0.07 a populacja rośnie w tempie 𝑛 = 0.03.
a. Jaką postać ma funkcja produkcji w formie intensywnej?
𝐾
𝑌
b. Ile wynosi 𝑘̅, 𝑦̅, 𝑟̅ oraz 𝑌 w stanie ustalonym? W jakim tempie rośnie 𝐾, 𝑌, 𝐿 w stanie
ustalonym? Czy na te dynamiki wpływa stopa oszczędności?
c. Czy gospodarka ta jest dynamicznie efektywna? Co wynika z analizy dynamicznej
efektywności tej gospodarki?
d. Jak musiałaby by być stopa oszczędności, aby gospodarka ta osiągnęła stan
nazywany „złota regułą”? Co to oznacza dla konsumpcji?
Zad 2. (model Solowa w czasie ciągłym, z postępem technologicznym)
Gospodarka, spełniająca założenia modelu Solowa charakteryzuje się funkcją produkcji
Cobba-Douglasa postaci 𝐹(𝐾, 𝐴 ⋅ 𝐿) = 𝐾 𝛼 (𝐴 ⋅ 𝐿)1−𝛼 . Stopa oszczędzania wynosi 𝑠, stopa
deprecjacji kapitału 𝛿, populacja rośnie w tempie 𝑛, a postęp technologiczny rośnie w tempie
𝑔.
a. (*) Ile wynosi 𝑘̅ w stanie ustalonym?
b. (*) Jakie musiałoby być 𝑠, aby gospodarka osiągnęła stan nazywany „złota regułą?
Jaka byłaby wtedy stopa procentowa?
c. Jak wzrost 𝑠 wpływa na 𝑘̅, 𝑦̅ oraz 𝑟̅ ? Od czego zależy reakcja 𝑐̅? Załóż, że konsumpcja
rośnie po wzroście stopy oszczędności, narysuj na wykresie zachowanie się w czasie
𝑌, 𝑟 oraz 𝐶 na ścieżce dostosowawczej do nowego stanu ustalonego.
Zad 3. (model Solowa w czasie dyskretnym)
Wyprowadź
model
Solowa
w
czasie
dyskretnym
(z
egzogenicznym
poziomem
technologicznym 𝑧, który jest stały w czasie), jeśli 𝐹(𝐾𝑡 , 𝐿𝑡 ) = 𝑧 ∙ 𝐾𝑡𝛼 𝐿1−𝛼
𝑡 , a równanie ruchu
kapitału ma postać: 𝐾𝑡+1 = 𝐼𝑡 + (1 − 𝛿)𝐾𝑡 a 𝐼𝑡 = 𝑠𝑌𝑡 natomiast 𝐿𝑡 rośnie w stałym tempie 𝑛.
Znajdź punkt równowagi długookresowej na wykresie i przeanalizuj graficznie efekty
trwałego polepszenia wykorzystywanej technologii 𝑧 w tej gospodarce. Czy zachodzą tu
jakieś podobieństwa do skutków zmian stopy oszczędzania?
3
Konsumpcja i wybór międzyokresowy
Zad 1. (użyteczność CRRA, własności, efekty opodatkowania)
Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy. Zdyskontowany na okres 1 majątek GD
wynosi Ω. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi 𝑟, a GD dyskontują przyszłość według
stopy 𝜌. Jednookresowa (chwilowa) funkcja użyteczności GD ma postać 𝑈(𝑐) =
𝑐 1−𝜃
1−𝜃
(jest to
funkcja należąca do klasy CRRA - Constant Relative Risk Aversion).
a. Znajdź (albo korzystając z metody Lagrange’a albo poprzez podstawinie) optymalny
rozkład konsumpcji w czasie. Kiedy profil konsumpcji jest rosnący, a kiedy malejący?
b. Co się dzieje z rozkładem konsumpcji w czasie gdy 𝑟 = 𝜌?
c. (dla chętnych) Przyjmij, że 𝑦1 = 𝛺, czyli GD dostaje cały swój dochód w okresie 1, a później
tylko konsumuje. Wyznacz wielkość oszczędności w okresie 1 i zbadaj przy jakich warunkach
jest ona rosnąca (malejąca) względem 𝑟. Przedyskutuj wynik w kontekście wygładzania
konsumpcji w czasie i relatywnego znaczenia efektu dochodowego i substytucyjnego.
d. Przyjmij Ω = 1000, 𝑟 = 0.1, 𝜌 = 0.05, 𝜃 = 2. Jak wygląda rozkład konsumpcji w czasie.
Czy konsumpcje w obu okresach sumują się do 1000?
1
2
e. Jak zmieni się rozkład konsumpcji w czasie, gdy parametr 𝜃 = . Skomentuj wyniki
na tle uzyskanych w punkcie poprzednim.
f.
Co się stanie z rozkładem konsumpcji (wróćmy do 𝜃 = 2), gdy do tej gospodarki
wprowadzimy rząd opodatkowujący ryczałtowo (lump-sum taxes) dochody GD i
równoważący w każdym okresie swój budżet, gdy 𝑇1 = 𝐺1 = 200 oraz 𝑇2 = 𝐺2 = 100.
Co się stanie (kierunkowo) z użytecznością GD?
g. O ile zmieni się Ω i co się stanie z rozkładem konsumpcji w czasie, gdy rząd
postanowi zwiększyć swoje wydatki (rząd zapożycza się wg. tej samej stopy
procentowej, co GD, czyli 𝑟) w okresie 1, a następnie zwiększyć podatki w okresie 2,
tak, aby operacja ta nie zmieniała bieżącej zdyskontowanej wartości „rozmiaru
𝑦
rządu” (czyli zwiększając 𝐺1 o 𝑥, jednocześnie zwiększając 𝑇2 o 1+𝑟 = 𝑥).
Zad 2. (użyteczność logarytmiczna, skłonność do konsumpcji, ekwiwalent konsumpcji)
Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy, dysponując dochodem 𝑦1 w okresie 1 oraz
𝑦2 w okresie 2. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi 𝑟, a czynnik dyskontujący GD
1
wynosi 𝛽 (𝛽 = 1+𝜌 gdzie 𝜌 jest stopa dyskontową tego GD). Jednookresowa (chwilowa)
𝑐 1−𝜃
𝜃→1 1−𝜃
funkcja użyteczności GD ma postać 𝑈(𝑐) = ln⁡(𝑐) (jest to lim
, czyli szczególny przypadek
funkcji CRRA).
a. Znajdź rozkład konsumpcji GD w czasie.
b. Przyjmij, że 𝛽 = 0.93 (co oznacza, że 𝜌 ≈ 0.07) a 𝑟 = 5%. Ile wynosi krańcowa
skłonność do konsumpcji w okresie 1 i 2 z dochodu w okresie 1.
4
c. Co się stanie z konsumpcją w okresie 1 i 2, jeśli dochód wzrośnie o jednostkę
zarówno dziś, jak i jutro (wzrost dochodu ma charakter bardziej permanentny)?
d. Przy parametrach podanych wyżej wyznacz wielkość konsumpcji w obu okresach
oraz oszczędności w 1 okresie, gdy 1) 𝑦1 = 50, 𝑦2 = 100 oraz gdy 2) 𝑦1 = 100, 𝑦2 = 50.
Skomentuj uzyskane wyniki.
e. Przypuśćmy, że GD z punktu d. będące w sytuacji 1), czyli przy rosnącym profilu
dochodów nie może się zapożyczać. Jaki będzie jego rozkład konsumpcji w czasie?
Narysuj obie sytuacje na wykresie w przestrzeni (𝑐1 , 𝑐2 ). W jakim kierunku i o ile
procent zmieni się użyteczność GD?
f.
O ile zmieni się użyteczność GD z pkt. d. będącego w sytuacji 1), gdy jego majątek Ω
zwiększy się o jednostkę?
g. Powróćmy do GD, które nie mogło się zapożyczyć (punkt e.). Jaki procent swojej
konsumpcji (zarówno dzisiejszej, jak i jutrzejszej) byłoby gotowe poświęcić takie GD,
aby znaleźć się w sytuacji bez obostrzeń w dostępie do kredytu? Innymi słowy, jak
dużo wart jest, w ekwiwalencie konsumpcji (consumption equivalent), dostęp do
rynków finansowych?
Zad 3. (ubezpieczenia emerytalne PAYG)
Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy, pracując i uzyskując dochód 𝑦1 w okresie
1 a w okresie 2 jedynie konsumując. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi 𝑟, a czynnik
dyskontujący GD wynosi 𝛽. Jednookresowa (chwilowa) funkcja użyteczności GD ma postać
𝑈(𝑐) = ln⁡(𝑐)
a. Znajdź rozkład konsumpcji GD w czasie. Jaka jest postać Ω?
b. Wprowadź do rozważań system emerytalny typu PAYG, finansowany z
opodatkowania dochodu w okresie 1 (wg. stopy 𝜏), a wypłacany w okresie 2. Wartość
systemu emerytalnego SS rośnie wraz ze wzrostem dochodu (𝑔) oraz populacji (𝑛), i
jest on zbilansowany, czyli: 𝑆𝑆 = (1 + 𝑔)(1 + 𝑛)𝜏𝑦1 . Jaka jest postać Ω′ w tej sytuacji?
Jak wygląda alokacja konsumpcji w czasie? Kiedy (dla jakich 𝑛, 𝑔, 𝑟) konsumenci są
szczęśliwsi (ich konsumpcja jest wyższa w obu okresach) po wprowadzeniu systemu
PAYG?
5
Rynek pracy
Zad. 1 (równowaga na rynku pracy i bezrobocie)
Reprezentatywne gospodarstwo domowe ma funkcję użyteczności 𝑈(𝑐, 𝑙) = 𝛼 ln(𝑐) +
(1 − 𝛼)ln⁡(𝑙), gdzie 𝑐 jest wielkością konsumpcji, a 𝑙 jest czasem wolnym. Całkowity zasób
czasu dla GD wynosi 𝐿̅, stawka jednostkowa wynagrodzenia wynosi 𝑤, a konsumpcja może
być finansowana jedynie dochodem z pracy. Reprezentatywne przedsiębiorstwo produkuje
dobro finalne używając jedynie pracy (zasób kapitału jest stały i nie wchodzi w problem
optymalizacyjny przedsiębiorstwa) mając do dyspozycji technologię produkcji: 𝑌 = 𝐹(𝐿) =
1
2L2
a. Metodą mnożnika Lagrange’a wyznacz krzywą podaży pracy 𝐿𝑠 (𝑤) i znak jej
zależności od 𝑤. Wyznacz również popyt konsumpcyjny.
b. Wyznacz krzywą popytu na pracę 𝐿𝐷 (𝑤) i znak jej zależności od 𝑤.
2
c. Wyznacz płace równowagi oraz zatrudnienie czynnika pracy, jeśli 𝐿̅ = 24 a 𝛼 = 3.
1
2
d. Co by się działo na tym rynku, jeśli płaca wynosiłaby 𝑤 = . Wyznacz i narysuj skalę
nierównowagi na rynku (stopę bezrobocia).
Zad 2. (równowaga na rynku pracy)
Reprezentatywne gospodarstwo domowe ma funkcję użyteczności 𝑈(𝑐, 𝑙) = √𝑐 + √𝑙, gdzie 𝑐
jest wielkością konsumpcji, a 𝑙 jest czasem wolnym. Całkowity zasób czasu dla GD wynosi 𝐿̅,
stawka jednostkowa wynagrodzenia wynosi 𝑤, a konsumpcja może być finansowana jedynie
dochodem z pracy. Reprezentatywne przedsiębiorstwo produkuje dobro finalne używając
jedynie pracy (zasób kapitału jest stały i nie wchodzi w problem optymalizacyjny
przedsiębiorstwa) mając do dyspozycji technologię produkcji: 𝑌 = 𝐹(𝐿) = 𝑙𝑛𝐿
a. Wyznacz krzywą podaży pracy 𝐿𝑠 (𝑤) i znak jej zależności od 𝑤.
b. Wyznacz krzywą popytu na pracę 𝐿𝐷 (𝑤) i znak jej zależności od 𝑤.
c. Wyznacz płace równowagi oraz zatrudnienie czynnika pracy, jeśli 𝐿̅ = 2?
d. Co by się działo na tym rynku, jeśli płaca wynosiłaby 𝑤 = 2?
Zad 3. (przepływy na rynku pracy)
Załóżmy, że na analizowanym rynku pracy nie ma nieaktywności zawodowej i przepływów
z nią związanych (mówimy o modelu dwustanowym rynku pracy). Na początku okresu 𝑡
(liczby dotyczą gospodarki Polski z pierwszego kwartału 2012 r. i są przeskalowane przez
1000) było 1982 bezrobotnych oraz 13874 pracujących, a w trakcie okresu 𝑡 pracę straciło 691
osób a znalazło 532 osób.
a. Ile wynosiła stopa bezrobocia w okresie 𝑡 oraz 𝑡 + 1 (na początku obu okresów).
6
b. Znajdź stopę podjęć pracy (prawdopodobieństwo znalezienia pracy) oraz zwolnień z
pracy (prawdopodobieństwo utraty pracy). Zakładając homogeniczność osób
bezrobotnych oraz niezależność prawdopodobieństwa znalezienia pracy od czasu jej
szukania (co nie jest zgodne z empirią rynku pracy, ale upraszcza analizę), znajdź
przeciętny czas poszukiwania pracy (w kwartałach) przez osobę bezrobotną.
c. Znajdź stopę bezrobocia frykcyjnego (równoważąca przepływy, tzn. taką, dla której
Δ𝑈 = 0)
d. (dla
chętnych)
Ekonomiści
czasami
operują
pojęciem
stopy
wzrostu
bezzatrudnieniowego (czyli stopy wzrostu PKB, dopiero po przekroczeniu której
gospodarka
generuje
wzrost
zatrudnienia).
Wyznacz
stopę
wzrostu
bezzatrudnieniowego (zakładając, że Δ𝑈 = Δ𝐸) w analizowanym kwartale, wiedząc,
że PKB spadł w tym okresie o 0,1% w ujęciu kwartalnym, jeśli założysz, że
prawdopodobieństwa utraty pracy są acykliczne (nie zależą od PKB), a analiza
ekonometryczna wykazała, że zależność pomiędzy 𝑓𝑡 oraz 𝑔𝑡 = 𝑙𝑛𝑃𝐾𝐵𝑡 − 𝑙𝑛𝑃𝐾𝐵𝑡−1
ma postać: 𝑓̂𝑡 = 0.1 + 12.6𝑔𝑡 .
7
Inwestycje
Zad 1. (optymalny popyt inwestycyjny)
Reprezentatywne przedsiębiorstwo operuje w 2 okresach, maksymalizując bieżącą
zdyskontowaną wartość swoich zysków, decydując o wielkości inwestycji w okresie 1.
Przedsiębiorca ma dostęp do technologii 𝑌 = 𝐹(𝐾) = 2.2𝑙𝑛𝐾 (zakładamy, że jedynym
czynnikiem produkcji, na który wpływ ma przedsiębiorstwo jest kapitał 𝐾). Kapitał w tej
gospodarce nie ulega deprecjacji (𝛿 = 0). Przedsiębiorstwo posiada kapitał początkowy w
okresie 1 równy 𝐾1 = 1 i wie, że inwestując 𝐼1 musi liczyć się z kosztami instalacji kapitału
𝐼
1
2
𝐼
równymi Φ (𝐾1 ) = 2 (𝐾1 ) , ponoszonymi w okresie 1, a przedsiębiorca może alternatywnie
1
1
zainwestować posiadane środki na rynku finansowym na którym stopa procentowa wynosi
𝑟 = 10%. Kapitał pozostały pod koniec okresu 2 przedsiębiorstwo może sprzedać i stanowi
on jego przychód w tym okresie.
𝐼
a. Ile wynosi 𝐼1 oraz optymalna stopa inwestycji 𝐾1 ? (wskazówka: optymalizować zyski
1
należy zarówno po 𝐼1 , jak i po 𝐾2 )
Zad 2. (PIM, czyli Perpetual Inventory Method i wyznaczanie kapitału początkowego)
a. Pokaż jaka jest zależność bieżącego poziomu kapitału (w okresie 𝑡) od wcześniej
dokonanych inwestycji (strumienia inwestycji „od początku świata”). Jak wygląda ta
zależność jeśli znasz poziom kapitału w momencie 0?
b. W gospodarce w momentach 𝑡0 , 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 dokonano po 100 jednostek inwestycji w
każdym okresie. Jaki jest poziom kapitału w okresie 𝑡3 , jeśli stopa deprecjacji wynosi
𝛿 = 0.1 a stopa wzrostu gospodarczego w stanu ustalonym 𝑔 = 2%. Ile wynosi
𝐾
𝑌
w
momencie początkowym, jeśli inwestycje stanowią 20% PKB. (wskazówka: do
policzenia początkowej wielkości kapitału skorzystaj z przewidywań modelu Solowa
dla stanu ustalonego).
Zad 3. (optymalny popyt inwestycyjny)
Reprezentatywne przedsiębiorstwo działa w 2 okresach, używając technologii produkcji
postaci 𝑌 = 𝐹(𝐾) = 2𝐾 0,5, maksymalizując bieżącą zdyskontowaną wartość swoich zysków i
decydując o wielkości inwestycji w okresie 1. Kapitał pozostały pod koniec okresu 2 jest
przez przedsiębiorstwo sprzedawany. Stopa deprecjacji kapitału wynosi 𝛿, rynkowa stopa
procentowa wynosi 𝑟, a kapitał w okresie 1 wynosi 𝐾1 .
8
a. Wyprowadź
ogólny
wzór
na
popyt
inwestycyjny
reprezentatywnego
przedsiębiorstwa i sprawdź czy rośnie on czy maleje po wzroście stopy procentowej
(wskazówka: zyski optymalizować należy zarówno po 𝐼1 , jak i po 𝐾2 )
b. Przyjmując 𝛿 = 0,1; 𝑟 = 0,1; 𝐾1 = 20 wyznacz wielkość inwestycji, kapitału w okresie
2, czyli 𝐾2 oraz wielkość zysków z okresu 1 i 2.
9
Krzywa Phillipsa
Zad 1. (rola oczekiwań)
Niech krzywa Phillipsa będzie dana wzorem 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 + 𝜆𝑚𝑐𝑡 , gdzie 𝑚𝑐 jest miarą
kosztów krańcowych, a 𝜋 oznacza inflację.
a. Jak wygląda zależność pomiędzy inflacją a kosztami krańcowymi, jeśli oczekiwania
mają charakter czysto adaptacyjny 𝐸𝑡 𝜋𝑡 = 𝜋𝑡−1 ?
b. Jak wygląda zależność pomiędzy inflacją a kosztami krańcowymi, jeśli oczekiwania
𝐸𝑡 𝜋𝑡
mają
charakter
antycypacyjny
(są
matematycznymi
oczekiwaniami)?
(wskazówka: skorzystaj z prawa iterowanych oczekiwań 𝐸𝑡 (𝐸𝑡+1 𝑥) = 𝐸𝑡 𝑥)
Zad 2. (NAWRU i metoda Elmeskova)
Jeśli założysz, że 𝛽 = 1, oczekiwania są adaptacyjne, inflacja cen jest równa inflacji płac a
𝑚𝑐𝑡 = 𝑓(𝑈𝑡 − 𝑈𝑡𝑁 ) otrzymasz następująca krzywą Phillipsa Δ𝑙𝑜𝑔𝑊𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑊𝑡 − 𝑙𝑜𝑔𝑊𝑡−1 =
𝑊
𝑊
log (𝑊 𝑡 ) = log(π𝑊
t ) ≈ πt :
𝑡−1
Δ𝑙𝑜𝑔𝑊𝑡 = Δ𝑙𝑜𝑔𝑊𝑡−1 − 𝑎(𝑈𝑡 − 𝑈𝑡𝑁 )
Ekonomiście w praktyce myśląc o stopie bezrobocia równowagi w kontekście polityki
pieniężnej używają koncepcji NAWRU, czyli stopy bezrobocia nie przyspieszającej inflacji
(Non Accelerating Inflation Rate of Unemployment), zatem 𝑁𝐴𝑊𝑅𝑈𝑡 = 𝑈𝑡𝑁 . Wyznacz stopę
NAWRU z powyższej krzywej Phillipsa, zakładając, że jest one stałe pomiędzy 2 sąsiednimi
okresami (jest to tzw. metoda Elmeskova wyznaczania NAWRU).
10
Model AD-AS
Zad. 1.
Przypomnijmy podstawowy model AD-AS:
𝑌𝑡 = 𝑌̅𝑡 − 𝛼(𝑟𝑡 − 𝜌) + 𝜖𝑡 (popyt na dobra i usługi)
𝑟𝑡 = 𝑖𝑡 − 𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 (równanie Fishera)
𝜋𝑡 = 𝐸𝑡−1 𝜋𝑡 + 𝜙(𝑌𝑡 − 𝑌̅𝑡 ) + 𝜗𝑡 (krzywa Phillipsa)
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 = 𝜋𝑡 (oczekiwania adaptacyjne)
𝑖𝑡 = 𝜋𝑡 + 𝜌 + 𝜃𝜋 (𝜋𝑡 − 𝜋𝑡∗ ) + 𝜃𝑌 (𝑌𝑡 − 𝑌̅𝑡 ) (Reguła Taylora)
a. Znajdź rozwiązanie modelu w niestochastycznym stanie ustalonym (w długim
okresie)? Co to oznacza dla oczekiwań inflacyjnych i szoków?
b. Załóż, że bank centralny stabilizuje gospodarkę wokół innej stopy realnej 𝜌′, niż
sektor realny. Jak wtedy wygląd stan ustalony (co się dzieje z produktem, realną i
nominalna stopą procentową oraz inflacją)?. Czy inflacja jest zgodna z celem
inflacyjnym banku centralnego?
c. Zazwyczaj analizujemy co się dzieje z gospodarką, kiedy dotykają ją tymczasowe
szoki (wtedy w długim okresie wraca ona do równowagi. A jakie będą konsekwencja
dla zmiennych w długim okresie (stanie ustalonym), jeśli gospodarka będzie pod
wpływem permanentnego szok popytowego? (wskazówka: rozwiąż stan ustalony,
kiedy 𝜖 nie wynosi 0). A co się dzieje w stanie ustalonym poddanym permanentnym
szokiem podażowym?
d. Wyprowadź krzywą AD i AS.
e. (dla chętnych, na podstawie arkusza Excela) Rozwiąż model i utwórz arkusz w excelu,
obrazujący rozwiązanie modelu (jako ścieżkę w czasie) w zależności od przyjętych
parametrów (rozsądnym zestawem jest: 𝑌̅𝑡 = 100; 𝜋𝑡∗ = 2.0; ⁡𝛼 = 1; 𝜌 = 2; ⁡𝜙 =
0.25;⁡𝜃𝜋 = 0.5; 𝜃𝑌 = 0.5) oraz wartości szoków 𝜖, 𝜗. Przeprowadź symulację reakcji
produktu, inflacji, realnej i nominalnej stopy procentowej dla: 1) dodatniego szoku
podażowego w okresie 2, 2) dodatniego szoku popytowego w okresach 2-8; 3)
trwałego podniesienia celu inflacyjnego do 3% od okresu 2.
11
Równowaga ogólna w jednym okresie
Zad 1.
Reprezentatywne gospodarstwo domowe podejmując swoje decyzje maksymalizuje
użyteczność 𝑈(𝑐, 𝑙) = ln(𝑐) + 𝛾(1 − 𝑙), gdzie 𝑐 jest konsumpcją, a 𝑙 jest częścią łącznego
zasobu czasu poświęcanego na pracę. Gospodarstwo domowe dochód pochodzący z pracy i
wynajmu kapitału 𝑘⁡po stopie 𝑟 (GD jest właścicielem kapitału, którego zasób jest dany i nie
można go zmieniać) przeznacza na finansowanie konsumpcji oraz opłaca z niego podatek
ryczałtowy 𝑇.
Reprezentatywna firma maksymalizuje zyski, wynajmując od gospodarstwa domowego
kapitał (i płacąc mu cenę jednostkową 𝑟) oraz pracę (i płacąc mu cenę jednostkową 𝑤),
używając
technologii
𝐹(𝑘, 𝑙) = 𝐴𝑘 𝛼 𝑙 (1−𝛼),
gdzie
𝐴
mierzy
efektywność
procesów
wytwórczych.
Rząd ściąga ryczałtowe podatki od GD i finansuje nimi swoje wydatki 𝐺 (będące w proporcji
𝑔 do produkcji w tej gospodarce).
a. Zdefiniuj i wyznacz równowagę ogólną w tej gospodarce (jest to alokacja,
odpowiadające jej ceny i polityka rządu, która zapewnia optymalne decyzje
podmiotów i czyszczenie się rynków)
1
3
b. Wyznacz zmienne w równowadze dla 𝐴 = 1; ⁡𝑔 = 0.2; ⁡𝛼 = ; ⁡𝑘 = 1; ⁡𝛾 = 2.
c. Co się stanie w równowadze po wzroście 𝑔?
d. Co się stanie w równowadze po wzroście 𝐴?
e. Co się stanie w równowadze po wzroście 𝑘?
12