gazetka dla Anety z okazji EURO 2012

ZSGDiGW w Krakowie
Wydanie specjalne – 22.06.2012r. – DZIEŃ SPORTU
Egzemplarz bezpłatny ☺
Nakład: 100 egz.
Czy futbol jest matematyczny?
SPIS TREŚCI:
We współczesnym świecie jest bardzo wiele
powodów, dla których można nie lubić piłki nożnej
(zdominowana przez komercję, skorumpowana, skłonna
do oszustw - udawanie fauli, próby wymuszania na
sędziach korzystnych decyzji, powiązana z przemocą np.
burdy kibiców). Równocześnie wszyscy wiemy, jak
piękny to sport, wyzwalający ogromne emocje.
Pełen dramaturgii nie do przewidzenia. Piłka nożna
może być także wspaniała dlatego, że skłania ludzi do
stawania się lepszymi - kształtuje takie cechy jak:
lojalność, wytrwałość, przyjaźń, wzbudza wolę walki,
zdrowego
współzawodnictwa,
uczy
szacunku
i odpowiedzialności, a miejsce antagonizmów zajmuje
sportowa rywalizacja.
Euro 2012 dało szansę, by piłka przekazała
nam coś o naszym życiu i społeczeństwie. Mistrzostwa
Europy 2012 w Polsce spowodowały, że nasza szkoła
również poddała się jej urokowi.
W dniu 06.06.2012
Pan Roman Staszczyknauczyciel matematyki, zaprosił większość klas
ZSGDiGW na bardzo ciekawą lekcję o temacie „Piłka
nożna i matematyka”.
Podczas lekcji głównym zadaniem, z którym
musieli zmierzyć się uczniowie, było obliczenie
i zbadanie pod względem konstrukcyjnym budowy
dwudziestościanu ściętego, nazywanego w środowisku
naukowym „matematyczną futbolówką”. Ponadto mieli
okazję rozwiązywać zadania maturalne dotyczące
tematyki piłkarskiej, poznać historię związaną
z odkryciami wielościennymi Eulera i Archimedesa,
a także dowiedzieć się o „futbolowym Noblu” z chemii,
przyznanym w 1996r. Na koniec samodzielnie
skonstruowali model piłki nożnej. Przedstawiona
prezentacja i zaproponowane zadania bardzo podobały
się młodzieży.
1
str.1 - Czy futbol jest matematyczny?
str.1 - Futbolówka Archimedesa
str.2 - Piłkarski Nobel
str.3 - Zadania o piłce nożnej
str.3 - Złote myśli trenerów i piłkarzy
str.4 - Ciekawostka
str.4 - Galeria wybranych brył
archimedesowych
str.4 - Konkurs z nagrodą!!!
Futbolówka Archimedesa
Piłka nożna swoim wyglądem przypomina
bardzo uporządkowany wielościan, złożony
z pięciokątów i sześciokątów foremnych. Czy
możliwe jest określenie liczby wierzchołków,
krawędzi i ścian tej bryły? Tak, o ile uważnie
przyjrzymy się jej i dostrzeżemy charakterystyczne
własności. Na początek możemy zaobserwować, że
każdy czarny wielokąt otoczony jest tylko białymi
sześciokątami, a biały 3 czarnymi pięciokątami
i 3 białymi sześciokątami. Ponadto w wierzchołku bryły
łączą się 2 sześciokąty i 1 pięciokąt. Do obliczenia
szukanych niewiadomych przyjmijmy następujące
oznaczenia:
W –liczba wierzchołków,
K –liczba krawędzi,
S – liczba ścian,
x – liczba czarnych pięciokątów,
y – liczba białych sześciokątów.
Ponieważ mamy „x pięciokątów”, więc
wszystkich krawędzi pięciokątnych jest w bryle 5x.
Podobnie krawędzi sześciokątnych jest 6y. Dodając
krawędzie wszystkich wielokątów otrzymamy 5x+6y.
Musimy jednak pamiętać, że krawędzie wielościanu
powstają przez podwójne złączenie krawędzi
wielokątów, stąd otrzymujemy: 5x+6y=2K. Ponadto
naroża wielościanu powstają przez połączenie trzech
wierzchołków (2 od sześciokątów i 1 od pięciokąta),
więc: 5x+6y=3W. Łączna liczba ścian wielościanu to
suma pięciokątów i sześciokątów, zatem: x + y = S.
Następnie wykorzystamy wzór Eulera na związek
między liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian
dowolnego wypukłego wielościanu, tj.: W-K+S=2
Po przekształceniach otrzymujemy:
5x+6y=3W, stąd W = 13 ·(5x+6y),
5x+6y=2K, stąd K = 12 ·(5x+6y), ale S = x + y. Więc
po podstawieniu do W-K+S=2 mamy:
1
1
3 ·(5x+6y) - 2 ·(5x+6y) + x + y = 2 │·6
2·(5x+6y) - 3·(5x+6y) + 6x + 6y = 12
10x + 12y - 15x - 18y + 6x + 6y = 12
x = 12
Istnieje zatem 12 czarnych pięciokątów.
Ponieważ żaden czarny pięciokąt w bryle nie
przylega do siebie, więc wielościan posiada 60 czarnych
krawędzi (12·5=60). Białych krawędzi jest natomiast
dwukrotnie więcej - czyli 120 (białe sześciokąty tylko
w połowie krawędzi stykają się z krawędziami
czarnymi). Z tego wynika że białych sześciokątów jest
20 (120:6=20). Wobec tego y=20 białych sześciokątów.
Podstawiając odpowiednio za x i y otrzymamy szukaną
liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian: W = 13 ·(5x+6y)
= 13 ·(5·12+6·20) = 13 ·180 = 60
K = 12 ·(5x+6y) = 12 ·(5·12+6·20) = 12 ·180 = 90
S = x + y = 12 + 20 = 32
Matematyczna futbolówka zaliczana jest do
wielościanów
półforemnych,
grupy
brył
archimedesowych. Znana jest od czasów
starożytnych, a odkrycie jej przypisuje się
Archimedesowi.
Nasz matematyczny model piłki nożnej to
dwudziestościan ścięty. Bryła ta może powstać
z dwudziestościanu foremnego o ile podda się ją
odpowiedniej obróbce. Modyfikacja polega na
ścięciu naroży tak, aby śladem cięcia był pięciokąt
foremny.
Piłkarski Nobel
Czy za „futbolówkę” można dostać Nobla?
Za odkrycie nowej (obok grafitu i diamentu)
alotropowej odmiany węgla, tzw. fullerenów
uhonorowano: H. W. Kroto, R. E. Smalleya i R. F.
Curla w 1996 r. nagrodą Nobla z chemii.
Cząsteczka Fulerenu C60
swoim
kształtem
dokładnie
odpowiada
dwudziestościanowi ściętemu, czyli analizowanej
przez nas futbolówce.
Zatem wielościenna
piłka nożna ma:
60 wierzchołków,
90 krawędzi
i 32 ściany.
2
Zadania o piłce nożnej - wybór
1. [1pkt] ). Po zakończeniu mistrzostw cenę piłki „TANGO 12 GLIDER B2B EURO 2012” obniżono
o 20%, a następnie o kolejne 30%. W wyniku tych obniżek, cena piłki spadła do 39,20zł. Jaka była
pierwotna cena piłki nożnej?
A. 50zł
B. 55zł
C. 62,50zł
D. 70zł
2. [1pkt] ). Piłkę której obwód wynosi 40πcm, wykonano w skali 1:10. Średnica nowej piłki wynosi:
A. 4m
B. 4dm
C. 4cm
D. 4mm
3. [1pkt] ). Mistrzostwa Europy w piłce nożnej rozgrywane są cyklicznie co 4 lata, poczynając już od
1960 roku. Ile do tej pory przeprowadzono zawodów, nie licząc tegorocznego turnieju ?
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
4. [2pkt] ). W sklepie sportowym znajdują się w sprzedaży trzy rodzaje piłek nożnych. Ich średnice
wynoszą odpowiednio: 10cm, 20cm i 30cm. Wykaż, że objętość największej piłki jest 3 razy większa od
sumy objętości dwóch pozostałych.
5. [2pkt] ). Brazylijski obrońca Ronny Heberson oddał najsilniejszy strzał w historii piłki nożnej. Oblicz
prędkość oddanego strzału, wiedząc że piłka przy tym uderzeniu, pokonałaby dystans 105m (długość
boiska Stadionu Narodowego Warszawie) w ciągu 1,8 sekundy. Wynik podaj w km/h.
6. [3pkt] ). Pojemność Stadionu Narodowego w Warszawie odpowiada sumie stu początkowych wyrazów
ciągu an={90,100,110,120,…}. Oblicz ile miejsc przeznaczonych jest dla kibiców na trybunach.
7. [5pkt] ). Boisko Stadionu Narodowego w Warszawie ma wymiary 105 m x 68 m. Jakie wymiary (przy
podanym obwodzie) powinno mieć boisko, aby jego pole powierzchni było największe?
Złote myśli trenerów i piłkarzy
- Piłka jest okrągła, a bramki są dwie.
- Jeśli jest tak dobrze, to dlaczego jest tak źle?
- Dopóki piłka w grze, wszystko jest możliwe.
- Jak się szczęście zaczyna powtarzać, to już to nie jest
szczęście.
Kazimierz Górski
Grając w dziesiątkę też można wygrać. Wystarczy, że każdy da
z siebie 10% więcej.
Czesław Michniewicz
Nasza reprezentacja gra bosko - Bóg jeden wie, jak zagra.
Jan Tomaszewski
W Polsce jest dwóch trenerów, którzy nie wchodzą w układy
z menedżerami. Jeden to Lenczyk, nazwiska drugiego nie
pamiętam.
Orest Lenczyk
Gramy na typowe udo: albo się udo, albo się nie udo.
Wojciech Łazarek
Uganda? To są jakieś jaja. Albo te inne afrykańskie drużyny,
pałętają się tam po buszu, ale w rankingu są przed nami, to jest
zabawa. Tak jak w polityce notowania – mówią jedno, a później
się okazuje, iż wygrał ktoś inny.
Franciszek Smuda
Piłka na poziomie klasy C i reprezentacji Polski jest taka sama.
Różnica polega na tym, że w reprezentacji gra się szybciej.
Andrzej Strejlau
Ze wszystkich nieważnych rzeczy futbol jest zdecydowanie
najważniejszą.
Jan Paweł II
Gramy jak nigdy i przegrywamy jak zwykle.
Alfredo Di Stefano
Bardzo przepraszam inne kraje, ale gdy włączymy do
reprezentacji najlepszych graczy ze Wschodu, Niemcy będą
niezwyciężeni prze długie lata.
Franz Beckenbauer
Piłka nożna to taka dyscyplina sportu, w której gra na boisku
22 zawodników, przez 90 minut, a na końcu i tak wygrywają
Niemcy.
Gary Lineker
Ból jest chwilowy, sława trwa wiecznie.
George Best
Piłkę trzeba traktować jak swoją kobietę. Czule i delikatnie.
Cristiano Ronaldo
Mamy najlepszych graczy oraz - wybaczcie, jeśli jestem
arogancki - najlepszego trenera.
Jose Mourinho
Jeśli tam była ręka, to była to ręka Boga.
Diego Maradona
3
Ciekawostka
Ile osób musi wybiec na murawę stadionu, aby z prawdopodobieństwem minimum 50% określić, że
przynajmniej dwie z nich urodziły się tego samego dnia? (przez datę urodzin rozumiemy dzień oraz miesiąc,
ale już nie rok). Okazuje się, że tylko 23 osoby! (co dla wielu może być niemałym zaskoczeniem). Można to
stosunkowo łatwo uzasadnić rachunkiem prawdopodobieństwa (szukane prawdopodobieństwo wynosi
wówczas ≈0,507). Zatem teoretycznie podczas każdego meczu piłki nożnej, gdy na boisku znajdują się dwie
drużyny i sędzia - czyli 23 osoby - szansa na trafienie dwóch osób z tą samą datą urodzin jest większe niż
wyrzucenie orła (lub reszki) podczas jednokrotnego rzutu monetą (czyli >50%).
Faktycznie! Podczas inauguracji EURO 2012 można się było o tym przekonać, gdy Polacy zmierzyli się
z Grekami. W naszym składzie zagrał Marcin Wasilewski urodzony 9 czerwca 1980 r., a w ekipie gości
Sokratis Papastathopoulos urodzony 9 czerwca 1988 r. Z kolei w innej 23 osobowej grupie (reprezentacji Rosji)
- istnieje dwóch zawodników z tą samą datą urodzenia: Anton Szunin (ur. 27.01.1987) oraz Denis Głuszakow
(ur. 27.01.1987).
I jak tu nie wierzyć królowej nauk!!!
Galeria wybranych brył archimedesowych
(pozostałą część kolekcji można odnaleźć w Internecie)
ośmiościan
ścięty
dwunastościan
ścięty
dwudziestodwunastościan
rombowy
(mały)
dwudziestościan
ścięty
dwunastościan
przycięty
dwudziestodwunastościan
ścięty
Konkurs z nagrodą!!!
Pierwsza z w/w regularnych brył nazywana jest ośmiościanem ściętym. Wykorzystując poznaną metodę oblicz
ile ma ścian, krawędzi i wierzchołków. Dla pierwszej osoby, która poprawnie rozwiąże zadanie przewidziana
jest nagroda.
Odpowiedzi należy przekazać p. Romanowi Staszczykowi do przyszłego czwartku tj. 28.06.2012r.
Życzymy powodzenia!!!
opracował : p. Roman Staszczyk
konsultacje: p. Elżbieta Waśko
4