Nota o rozprawie Otto Höldera >>Die Axiome der Quantität und die

Nota o rozprawie Otto Höldera >>Die Axiome der Quantität und die

FOLIA 141
Annales Universitatis Paedagogiae Craoviensis
Studia ad Didatiam Mathematiae Pertinentia V (2013)
Reenzje, konferenje, biografie, informaje
Piotr Bªaszzyk
Nota o rozprawie Otto Höldera
∗
Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass
1.
Zawarto±¢ rozprawy
Rozprawa Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass 1 została napisana z dużym rozmachem. Już sam spis treści ukazuje jej rozległy plan. Część I
zatytułowana Wielkości i liczby pomiarowe składa się z następujących paragrafów:
§ 1. Aksjomaty
§ 2. Najprostsze konsekwencje aksjomatów I-VI
§ 3. Wielokrotność
§ 4. Aksjomat Archimedesa
§ 5. Prawo przemienności dodawania
§ 6. Wnioski z prawa przemienności dodawania
§ 7. Części właściwe
§ 8. Antyczne i współczesne ujęcie teorii proporcji
§ 9. Liczby wymierne i niewymierne
§ 10. Liczba przyporządkowana stosunkowi wielkości (liczba pomiarowa)
§ 11. Wielkości współmierne
§ 12. Liczba pomiarowa sumy wielkości
§ 13. Zmiana jednostki
§ 14. Współczesne podstawy teorii proporcji wielkości
§ 15. Istnienie wielkości o podanej liczbie pomiarowej
§ 16. Mnożenie wielkości
§ 17. Zdefiniowane mnożenie jest jedyne
Część II. Zastosowanie do przedziałów linii prostej zawiera aksjomatyczny wykład geometrii elementarnej z pojęciami pierwotnymi: punkt, prosta, odcinek.
Hölder zakłada, że odcinki spełniają aksjomaty „wielkości”, a dodatkowe aksjomaty
opisują uporządkowanie punktów na prostej. Dalej Hölder rozwija teorię proporcji
odcinków i ustanawia bijekcję między punktami prostej a liczbami rzeczywistymi.
note on Otto Hölder’s treatise Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass
Zob. O. Hölder, Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, Berichte über
die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig.
Mathematisch-Physische Classe, 53, Leipzig 1901, s. 1–63.
∗A
1
[130℄
Piotr Bªaszzyk
Generalny zamysł rozprawy przypomina więc to, co polski czytelnik zna z monografii Karola Borsuka i Wandy Szmielew Podstawy geometrii, w tej części, w której autorzy wprowadzają metrykę w przestrzeni absolutnej2 . Przy czym, gdy polscy matematycy przyjmują arytmetykę liczb rzeczywistych, Hölder stosuje teorię
„wielkości”.
Prezentowany przekład pierwszych paragrafów Die Axiome der Quantität zawiera dwa ciekawe wyniki: (1) w półgrupie uporządkowanej z aksjomatu ciągłości wynika aksjomat Archimedesa, (2) półgrupa archimedesowa jest przemienna.
Twierdzenia te są obecnie dobrze znane, chociaż rzadko wiąże się je z konkretnym
nazwiskiem. Ponadto, ich dowody są proste, co dodatkowo sprawia, że funkcjonują
one jako bezimienne fakty matematyczne. Natomiast ustalenie ram logicznych,
tj. aksjomatów i podstawowych definicji pozwalających przeprowadzić te dowody,
okazało się dość złożonym procesem. Świadectwo gorącej dyskusji toczonej wokół
aksjomatów „wielkości” stanowią bardzo rozbudowane przypisy rozprawy.
2.
Wielko±i
We wstępie Hölder pisze: Teoria wielkości mierzalnych została rozwinięta na
wysokim poziomie już przez Euklidesa. Współcześnie doświadczyła pogłębionego
potraktowania z różnych stron. Mimo to teoria ta wydaje mi się jeszcze niewystarczająco dokładnie [przedstawiona]; w niektórych nowych opracowaniach zakradły
się błędy i niejasności i dlatego sądzę, że potrzebne jest nowe rozwinięcie tej ważnej
i podstawowej teorii.
Pierwsze z tych zdań odnosi się oczywiście do teorii proporcji z Księgi V
Elementów. Teoria ta traktuje o obiektach geometrycznych, o odcinkach, wielokątach, kątach, które Euklides obejmuje jednym pojęciem mègejo, wielkość.
Greckie słowo mègejo oddawano w tłumaczeniach łacińskich jako quantitas, w językach nowożytnych zaś funkcjonują zamiennie dwa odpowiedniki: w angielskim
– quantity oraz magnitude, we francuskim – quantité, grandeur, w niemieckim –
Quantität, Grösse; Hölder używa pojęcia Quantität. W XX wieku słowo „wielkość”
jest stopniowo zastępowane przez „liczby rzeczywiste”, tym niemniej jeszcze pod
koniec lat 40-tych Nicolas Bourbaki posługuje się pojęciem grandeur w znaczeniu
liczba rzeczywista3 .
Teoria proporcji wielkości jest stosowana w Księdze VI Elementów, w teorii
figur podobnych i spełnia w matematyce greckiej funkcję podobną do tej, jaką
arytmetyka liczb rzeczywistych pełni we współczesnej geometrii.
Wielcy matematycy nowożytności, Kartezjusz, Leibniz, Newton, stosowali teorię figur podobnych nie zważając na jej aksjomatyczne podstawy. Następne pokolenia rozwijały matematykę odnosząc się do swoich bezpośrednich poprzedników,
a nie do Euklidesa. W rezultacie zainteresowanie Księgą V przeniosło się z tekstów czysto matematycznych do prac historycznych i komentarzy zamieszczanych
2 Zob. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa 1972; zob. także
P. Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe AP, Kraków 2007, rozdz. 2.
3 Zob. N. Bourbaki, Théorie de la mesure et de l’intégration. Introduction, Université Henri
Poincaré, Nancy 1947.
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [131℄
w kolejnych edycjach Elementów. Wyjątkową przenikliwością w tej dziedzinie wyróżnia się edycja Roberta Simsona, w której do definicji z Księgi V dopisano cztery
aksjomaty, aby usunąć luki w dowodach Euklidesa4 .
Oryginalny tekst Elementów nie zachował się, stąd istotne różnice między
poszczególnymi wydaniami dotyczące samej zawartości traktatu. Dość powiedzieć,
że w Średniowieczu i Renesansie Elementy były znane w 15 księgach, podczas gdy
obecnie 13 ksiąg uznaje się za w pełni autentyczne. W latach 1883-1888 duński
filolog Johan Ludvig Heiberg opublikował wydanie, które do dziś uznawane jest
za klasyczną edycję i z którego korzystają wszyscy badacze i wydawcy Euklidesa5 .
Z tej edycji czerpali też matematycy działający na przełomie XIX i XX wieku.
Zainteresowanie teorią proporcji z Elementów przywrócił matematyce Otto
Stolz. W wydanej w roku 1885 monografii Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik osobny rozdział poświęcił on omówieniu Księgi V oraz VI, a teorię proporcji
umieścił w jednym szeregu obok arytmetyki liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych6 . Kolejne prace rozwijające antyczną teorię proporcji to Wstęp do
Lehrbuch der Algebra Heinricha Webera7 oraz omawiana rozprawa Höldera. Gdy
w roku 1900 ukazał się artykuł Davida Hilberta Über den Zahlbegriff 8 , uwaga
matematyków skupiła się na ciele liczb rzeczywistych, natomiast Księgą V interesowali się już tylko historycy i filozofowie9 . Warto w tym miejscu przypomnieć,
że Hilbert przedstawił w Grundlagen der Geometrie swoją koncepcję proporcji,
co dodatkowo świadczy o tym, że ten antyczny sposób rozumowania wabił jeszcze
matematyków przełomu wieków jakąś atrakcyjnością10.
XIX-wieczne odrodzenie teorii proporcji zapoczątkował niemiecki historyk
Hermann Hankel. W roku 1876 podał on pierwszy nowoczesny opis Ksiąg V-VI,
a zaproponowany przez niego symboliczny zapis definicji proporcji został użyty w
edycji Heiberga i jest powtarzany po dzień dzisiejszy11 . Drugim istotnym składnikiem tej historii jest opublikowana w roku 1861 monografia Lehrbuch der Arithmetik autorstwa Hermanna Grassmanna12. Zawiera ona bodaj pierwsze w historii
4 Zob. R. Simson, The Elements of Euclid viz. the first six Books, together with the eleventh
and twelfth. The Errors by which Theon and others have long ago vitiated these Books are
corrected and some of Euclid’s Demonstrations are restored, Glasgow 1762, s. 114-115.
5 J.L. Heiberg, Euclidis Elementa. edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, vol. I-V, in
aedibus B.G. Teubneri, Lipsiae 1883-1888. Księgę V zamieszczono w tomie drugim, wydanym
w roku 1884.
6 O. Stolz, Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik, Teubner, Leipzig 1885, s. 85-96.
7 H. Weber, Lehrbuch der Algebra. Einleitung, Vieweg, Braunschweig 1895, s. 1-20; wydanie
drugie: 1898.
8 D. Hilbert, Über den Zahlbegriff, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8,
1900, s. 180–184; O pojęciu liczby, tłum. J. Pogonowski, Annales Universitatis Paedagogicae
Cracoviensis Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia IV, 2012, s. 199-202.
9 Zob. O. Becker, Eine voreudoxische Proportionenlehre und ihre Spuren bei Aristoteles und
Euklid, Eudoxos-Studien I, 1933, s. 311-333; F. Beckmann, Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch
Euklids, Archive for History of Exact Sciences IV, 1967, s. 1-144; I. Mueller, Philosophy of
Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements, MIT Press, Cambridge, Massachusetts 1981, s. 118-151; P. Błaszczyk, K. Mrówka, Euklides, Elementy, Księgi V-VI. Tłumaczenie
i komentarz, Copernicus Center Press, Kraków 2013.
10 Zob. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des GaussWeber Denkmals in Göttingen, Teubner, Leipzig 1899, s. 35-37.
11 H. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter, Teubner, Leipzig
1876, s. 389- 404; J.L. Heiberg, Euclidis Elementa, op. cit., vol. II, s. 3.
12 H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, Enslin, Berlin 1861.
[132℄
Piotr Bªaszzyk
matematyki systematyczne opracowanie zagadnienia zgodności porządku liniowego
z działaniami, a zależności te stanowią istotny składnik matematycznego opisu pojęcia „wielkość”.
3.
Struktura wielko±i
Przedstawimy teraz trzy koncepcje wielkości. Pochodzą one z prac Paula Du
Bois-Reymonda, Otto Stolza i Heinricha Webera. Ich cechą wspólną jest to, że
definiują wielkość jako strukturę algebraiczną, dokładniej, jako półgrupę z porządkiem liniowym M = (M, +, <). Nie wszystkie własności składające się na współczesną definicję półgrupy były wprost wymieniane przez wskazanych autorów, nie
wspominając już o tym, że żaden z nich nie używa pojęcia „półgrupa”. Podobnie nie każdy z nich miał wyraźną koncepcję porządku liniowego. Ponadto do
warunków charakteryzujących strukturę M niektórzy zaliczali też aksjomaty równości oraz prawa podstawiania, a więc zasady, którymi współcześnie zajmuje się
raczej logika niż algebra. Pominiemy te różnice i skupimy uwagę na aksjomatach
charakteryzujących związek działania + z porządkiem <.
Szczególną rolę w charakterystyce wielkości odgrywa aksjomat ciągłości.
W omawianych pracach był on wzorowany na postaci zaczerpniętej z rozprawy
Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen. W związku z tym przytoczymy jego oryginalne sformułowanie: Jeśli wszystkie punkty linii prostej wpadają
do dwóch klas tego rodzaju, że każdy punkt pierwszej klasy leży na lewo od każdego punktu klasy drugiej, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który dostarcza
tego podziału wszystkich punktów na dwie klasy, tego rozcięcia linii prostej na dwa
kawałki13 .
Użyty przez Dedekinda termin „linia prosta” oznacza de facto zbiór uporządkowany liniowo w sposób gęsty i w referowanych pracach aksjomat ciągłości jest
formułowany jako własność przekrojów. Przypomnijmy więc, że para (A, B) jest
przekrojem zbioru liniowo uporządkowanego (M, <) wtedy i tylko wtedy, gdy (1)
A, B 6= ∅, (2) A ∪ B = M , (3) (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(x < y). Przekrój (A, B), który
jest tego rodzaju, że ani w klasie A nie ma największego elementu, ani w klasie B
nie ma największego, nazywany jest luką.
W pierwszych opisach „wielkości” nie pojawia się zagadnienie niezależności aksjomatów, mamy tu raczej do czynienia z wyodrębnieniem pewnych własności,
które okazują się istotne w dowodach. Kwestia niezależności stała się przedmiotem badań pod wpływem Grundlagen der Geometrie Hilberta i dopiero Hölder
podejmuje rozważanie tego typu w odniesieniu do aksjomatów „wielkości”.
Przedstawiając kolejne koncepcje wielkości posłużymy się jednolitym sposobem zapisu. We wzorach będziemy stosować kwantyfikatory, przyjmujemy przy
tym, że zmienne wolne przebiegają zbiór wielkości M , w pozostałych przypadkach wyraźnie wskazujemy zakres zmienności. Dla porządku zaznaczmy, że żaden
z omawianych autorów nie używał formuł z kwantyfikatorami.
R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig
1872, s. 18, tłum. J. Pogonowski.
13
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [133℄
3.1.
Euklides
Zaczniemy od Euklidesa, bo to jego teoria proporcji dała początek rozważaniom na temat wielkości. Oto aksjomaty charakteryzujące strukturę wielkości
z Księgi V Elementów 14 :
E1 (∀x, y)(∃n ∈ N)[nx > y],
E2 (∀x, y)(∃z)[x < y ⇒ x + z = y],
E3 (∀x, y, z)[x < y ⇒ x + z < y + z],
E4 (∀x)(∀n ∈ N)(∃y)[x = ny],
E5 (∀x, y, z)(∃v)[x : y :: z : v].
W Elementach nie występuje ani pojęcie porządku liniowego, ani działania,
Euklides nawet nie używa słowa „suma” czy innego pojęcia, które by odpowiadało
symbolowi +. Z pięciu przedstawionych aksjomatów wprost zapisany jest jedynie aksjomat E1 – u Euklidesa jest to definicja V.4. Występujący w E5 symbol
x : y :: z : v oznacza relację proporcji – u Euklidesa jest ona zadana definicją V.5.
Symbol nx oznacza „wielokrotność”, sumę n składników x, nx = x + ... + x. Został
on wprowadzony w cytowanych wyżej pracach Hermanna Grassmanna i Hermanna
Hankla, a w rozprawie Höldera jest definiowany indukcyjnie. Ściśle rzecz biorąc
„wielokrotność” to działanie zewnętrzne, N × M ∋ (n, x) 7→ nx ∈ M .
Aksjomat E1 decyduje między innymi o tym, że wśród wielkości nie ma „zera”,
tj. elementu neutralnego. Z koniunkcji aksjomatów E1, E2, E3 wynika zależność
(∀x, y)(x + y > x), którą można interpretować w ten sposób, że w zbiorze M nie
ma ani „zera”, ani „wielkości ujemnych”. Element z który występuje w aksjomacie
E2, w niektórych pracach jest oznaczany jako y − x.
Aksjomaty E1-E5 stanowią interpretację pojęcia wielkość. Przyjmując środki
współczesnej logiki, można wyprowadzić z nich wszystkie twierdzenia Księgi V15 .
Uzupełniają one teorię proporcji Euklidesa w takim sensie, w jakim aksjomaty
z wykładu Hilberta Grundalgen der Geometrie uzupełniają geometrię Euklidesa.
3.2.
Du Bois-Reymond, 1882
Oto aksjomaty charakteryzujące „wielkości liniowe”, lineären mathematischen
Grössen, quantitiés mathématisque linéaires, przedstawione przez Paula Du BoisReymonda w roku 1882 w książce Die Allgemeine Functionentheorie 16 :
D1 (∀x)(∃y, z)[y < x ∧ z > x],
D2 (∀x, y)[x + y > x],
D3 (∀x)(∀n ∈ N)(∃y)[x = ny],
D4 (∀x, y)(∃z)[x < y ⇒ x + z = y],
14 Zob. F. Beckmann, Neue Gesichtspunkte zum 5. Buch Euklids, op.cit., I. Mueller, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements, op. cit., P. Błaszczyk,
K. Mrówka, Euklides, Elementy, Księgi V-VI. Tłumaczenie i komentarz, op. cit.
15 Zob. P. Błaszczyk, K. Mrówka, Elementy, Księgi V-VI. Tłumaczenie i komentarz, op. cit.
16 Zob. P. Du Bois-Reymond, Die Allgemeine Functionentheorie, Lauppschen, Tübingen 1882,
s. 43-48; wyd. francuskie: Théorie Générale des Fonctions, Nice 1887.
Piotr Bªaszzyk
[134℄
D5 (∀x, y, z)[x < y ⇒ x + z < y + z],
D6 (∀x, y)(∃n ∈ N)[x 6 y ⇒ nx > y],
D7 (∀x, y)(∀n ∈ N)(∃z)[z < y ∧ x = nz].
Dysponując pojęciem „wielkości”, Du Bois-Reymond, a później Stolz przedstawili pierwsze systemy „wielkości niearchimedesowych”.
3.3.
Otto Stolz, 1885
W ujęcie Otto Stolza „wielkości absolutne”, absolute Grössen, spełniają aksjomaty17 :
S1 (∀x, y)(∃n ∈ N)[x < y ⇒ nx > y],
S2 (∀x, y)(∃!z)[x < y ⇒ x + z = y],
S3 (∀x, y, z)[x < y ⇒ x + z < y + z],
S4 (∀x, y)[x + y > x],
S5 (∀x)(∀n ∈ N)(∃y)[x = ny].
Konsekwencje
Z aksjomatów S1–S5 Stolz wyprowadza następujące wnioski:
S6 (∀x, y)(∃n ∈ N)[x < y ⇒ nx 6 y < (n + 1)x].
S7 (∀x, y, z)(∃m, n ∈ N)[x < y ⇒ x <
m
nz
< y]18 .
W związku z ciągłością Stolz wprowadza kolejne aksjomaty:
S9 Porządek < jest gęsty,
S10 (∀x)(∃y, z)[y < x ∧ z > x],
S11 Jeżeli Σ ⊂ M oraz (A, B) jest luką w zbiorze (Σ, <) tego rodzaju, że
(∀x ∈ M )(∃y ∈ A)(∃z ∈ B)[z − y < x], to
(∃!x ∈ M )(∀y ∈ A)(∀z ∈ B)[y < x < z].
Konsekwencje
S12 (S2–S5, S9–S11) ⇒ S1.
Dowód własności S12 podany przez Stolza nie był poprawny19 .
Zob. O. Stolz, Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik, Teubner, Leipzig 1885, s. 82-83.
Na podstawie S5 dla każdej wielkości z oraz liczby naturalnej n istnieje taka wielkość v, że
1
z = nv. Wiekość v jest oznaczana symbolem n
z. Wtedy mv to m
z.
n
19 Zob. niżej § 5.1.
17
18
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [135℄
3.4.
Otto Stolz, Joseph A. Gmeiner, 1902
W roku 1902 Otto Stolz przy współpracy z Josephem Gmeinerem wydał Theoretische Arithmetik – rozszerzoną i zmienioną wersją Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik. W tym nowym ujęciu aksjomat ciągłości podany jest w klasycznej
postaci:
S13 Jeżeli (A, B) jest przekrojem zbioru (M, <), to albo w klasie A jest element
największy, albo w klasie B jest element najmniejszy.
Dowód faktu, że z S13 wynika S1, przy założeniu pozostałych aksjomatów, jest
tym razem tak prowadzony: Niech a, b są takie, że a < b oraz na < b dla każdego
n ∈ N. Przyjmując
A = {x ∈ M : nx < b}, B = {x ∈ M : nx > b},
Stolz pokazuje, że ani w klasie A nie ma elementu największego, ani w klasie B nie
ma elementu najmniejszego, co ma być sprzeczne z założeniem, że żaden przekrój
zbioru (M, <) nie wyznacza luki20 .
Ten dowód także nie jest poprawny, nie wiadomo bowiem, dlaczego w definicji
zbiorów A, B pominięto przypadek nx = b, który decyduje o tym, że para (A, B)
stanowi lukę.
3.5.
Heinrih Weber, 1895
We Wstępie do Lehrbuch der Algebra Heinrich Weber jasno odróżnia pojęcia
„zbiór”, „zbiór uporządkowany” oraz „zbiór mierzalny”, messbare Menge. Jasne
jest również to, że pojęcie „miara”, Mass, odnosi się do struktury porządkowoalgebraicznej M = (M, +, <). W związku z tym czytamy: „Zbiór uporządkowany
M nazywa się mierzalnym przy następujących założeniach” 21. To, co następuje
dalej, zapisujemy wzorami:
W1 (∀x, y)(∃n ∈ N)[nx > y],
W2 (∀x, y)(∃z)[x < y ⇒ x + z = y],
W3 (∀x, y)[x + y > x],
W4 Porządek < jest gęsty i jeżeli (A, B) jest przekrojem zbioru (M, <), to
(∃z)(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)[x 6 z 6 y].
Aksjomat W4 Weber tak formułuje: „Gdy każdy przekrój w zbiorze gęstym M
jest wytworzony przez określony element µ, to zbiór ten nazywa się ciągłym” 22 .
Konsekwencje
W5 (∀x, y, z[(x < y ⇒ x + z < y + z].
W6 Porządek < jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy (∀x)(∃y)[y < x].
W7 (W1 ∧ W3 ∧ W4) ⇒ W2.
Zob. O. Stolz, J.A. Gmeiner, Theoretische Arithmetik, Teubner, Leipzig 1902, s. 115.
Zob. H. Weber, Lehrbuch der Algebra, op. cit., s. 6-7, tłum. J. Pogonowski.
22 Zob. tamże, s. 4.
20
21
[136℄
Piotr Bªaszzyk
Dowód własności W7 jest tak szkicowany: Niech a < b, A = {x ∈ M : a +
x 6 b}, B = {x ∈ M : a + x > b}. Niech ξ „wytwarza” przekrój (A, B), tj.
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)[x 6 ξ 6 y]. Wówczas, konkluduje Weber, zachodzi a + ξ = b23 .
Rozumowanie Webera jest niedokończone. Hölder podejmuje je słowami: „Nie
możemy jednak jeszcze zaniedbać dowodu, że istotnie a+ξ = b (zapomniano o tym
w Weber Lehrbuch der Algebra)”. Mimo iż Hölder przyjmuje kolejne aksjomaty,
nie udaje mu się doprowadzić tego dowodu do końca.
W istocie dowód Webera nie mógł być poprawny. Przyjmijmy bowiem M1 =
R \ [−2, 2) z działaniem x ◦ y = |x · y| oraz naturalnym porządkiem. W półgrupie
M1 = (M1 , ◦, <) jest spełniony aksjomat W1, bo nx = |x|n , dla n > 1, oraz
lim |x|n = ∞, dla każdego x ∈ M1 . Zachodzi też x ◦ y = |x · y| > |x| > x, co
n→∞
znaczy, że spełniony jest aksjomat W3. Porządek w zbiorze M1 jest oczywiście
ciągły. Przyjmując x = −4, y = 3 otrzymujemy, że x < y oraz x ◦ z 6= y, bo
x ◦ z > 8, dla każdego z ∈ M1 . Zatem w M1 nie zachodzi W2.
W Lehrbuch der Algebra znajdujemy jeszcze i taką uwagę:
W8 Definicja ciągłości, którą za Dedekindem bierzemy tu za podstawę, jest
tak dalece wyczerpująca, że zbiór ciągły w tym sensie, któremu przysługuje jeszcze za chwilę podana własność mierzalności, nie może być częścią
bogatszego zbioru ciągłego. Nie wiem, czy własność ta jest gdziekolwiek dowiedziona i mam nadzieję wrócić do tego przy innej sposobności. Zauważę
jednak, że taka własność dowodliwa jest jedynie dla zbiorów mierzalnych.
Zbiór tylko uporządkowany może być zawsze, jakkolwiek by był gęsty, pojmowany jako część zbioru jeszcze bardziej gęstego24 .
Hölder kontynuuje tę myśl i w rozprawie czytamy: Jeśli mamy dwa systemy
wielkości, z których każdy spełnia aksjomaty od I do VII, to można te systemy odwzorować wzajemnie jednoznacznie na siebie tak, aby również sumy odpowiednich
wielkości wzajem sobie odpowiadały [...]. W tym celu należy tylko wybrać w każdym
systemie jednostkę i przyporządkować sobie nawzajem te wielkości, które mają tę
samą liczbę pomiarową25 .
Naszkicowany pomysł nie jest dalej prowadzony, a można go tak rozwinąć.
(R+ , +, <, 1) jest systemem, który spełnia aksjomaty Höldera, dlatego wystarczy
wskazać izomorfizm między (M, +, <, a), gdzie a ∈ M , oraz półgrupą liczb rzeczywistych. Niech więc rx jest liczbą rzeczywistą wyznaczoną przez przekrój (Ax , Bx ),
gdzie
nm
o
nm
o
Ax =
∈ Q+ : na > mx , Bx =
∈ Q+ : na 6 mx .
n
n
Funkcja ϕ(x) = rx jest izomorfizmem struktur (M, +, <, a) oraz (R+ , +, <, 1),
spełnia przy tym warunek ϕ(a) = 1.
Te drobne uwagi Webera i Höldera stanowią genezę twierdzenia o kategoryczności aksjomatyki liczb rzeczywistych, a własność W8 stała się częścią tych aksjomatów w ujęciu Hilberta. W Über den Zahlbegriff aksjomat ciągłości jest bowiem
koniunkcją aksjomatu Archimedesa oraz warunku: „liczby [rzeczywiste] tworzą
23
Zob. tamże, s. 8-9.
Zob. tamże, s. 5-6, tłum. J. Pogonowski. Uwaga ta została usunięta z drugiego wydania.
25 O. Hölder, Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass, op. cit., s. 32.
24
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [137℄
system rzeczy, który przy zachowaniu wszystkich aksjomatów nie jest zdolny do
żadnego dalszego rozszerzenia” 26.
Równie ważna jest druga część własności W8: „Zbiór tylko uporządkowany
może być zawsze, jakkolwiek by był gęsty, pojmowany jako część zbioru jeszcze
bardziej gęstego”. W rozprawie Höldera znajdujemy metodę pozwalającą zanurzyć dowolny zbiór (M, <) uporządkowany w sposób ciągły, a zatem i gęsty, w innym zbiorze uporządkowanym w sposób ciągły. Oto nieznacznie zmodyfikowany
przykład z przypisu 4. rozprawy. Niech (M, <) będzie uporządkowany w sposób ciągły, niech [a, b] ⊂ M będzie przedziałem. Przyjmijmy L = M × [a, b]
z porządkiem leksykograficznym ≺. Zbiór (L, ≺) można traktować jako rozszerzenie (M, <), bo np. oś (M × {a}, ≺) jest kopią (M, <). Łatwo pokazuje się,
że porządek ≺ jest gęsty. Ale jest on także ciągły. Niech (A, B) jest przekrojem (L, ≺), niech x0 = sup{x ∈ M : (∃y)((x, y) ∈ A)}27 . Następnie niech
y0 = sup{a 6 x 6 b : (∃y ∈ M )((x, y) ∈ A)}. Element (x0 , y0 ) jest albo najmniejszy w klasie A, albo największy w klasie B.
3.6.
Karol Borsuk, Wanda Szmielew, 1972
Na zakończenie tej części przedstawimy strukturę odcinków swobodnych z wykładu Karola Borsuka, Wandy Szmielew Podstawy geometrii. Czynimy to, po
pierwsze, by przedstawić współczesny odpowiednik teorii wielkości, po drugie, by
przez kontrast uwypuklić specyfikę teorii wielkości polegającą na tym, że podstawowe pojęcia są przyjmowane w niej jako pierwotne.
Struktura odcinków swobodnych dokładnie przystaje do ogólnej charakterystyki wielkości, polscy matematycy nie są jednak świadomi związków z tą tradycją28 . W ich krótkiej charakterystyce systemu Euklidesa znajdujemy m.in. takie
zdania: „Różnica między pewnikami a postulatami nie jest u Euklidesa bliżej wyjaśniona. Zdania nazwane przez niego pewnikami – jak np. całość jest większa niż
część – mają charakter wypowiedzi o przedmiotach należących do bliżej nieokreślonych kategorii wielkości” 29 .
W Podstawach geometrii odcinki swobodne, oznaczane literami a, b, c, tworzą
półgrupę przemienną O = (O, +, <) z porządkiem liniowym oraz działaniem zewnętrznym – mnożeniem przez liczby dwójkowe, które są oznaczane literami w, v.
Dowodzi się, że w strukturze tej zachodzą następujące związki:
(i) (∀a, b)(∃n ∈ N)[na > b)],
(ii) (∀a, b)(∃c)[a < b ⇒ b = a + c],
(iii) (∀a, b, c)[a < b ⇒ a + c < b + c],
(iv) (∀a, b)(∃n ∈ N)[a < b ⇒ na 6 b < (n + 1)a],
D. Hilbert, O pojęciu liczby, op. cit., s. 201.
Hölder zna twierdzenie o równoważności W4 zasadzie supremum, co widać z ostatniego
akapitu przypisu 8. rozprawy.
28 Inne XX-wieczne nawiązanie do teorii wielkości, tym razem najzupełniej świadome, znajdujemy u Bourbakiego, gdzie aksjomaty W1-W3 stanowią punkt wyjścia do konstrukcji ciała liczb
rzeczywistych; zob. N. Bourbaki, Théorie de la mesure et de l’intégration. Introduction, op. cit.
29 K. Borsuk W. Szmielew, Podstawy geometrii, op. cit., s. 10.
26
27
Piotr Bªaszzyk
[138℄
(v) (∀a, b)(∀w)[w(a + b) = wa + wb],
(vi) (∀a)(∀w, v)[(w + v)a = wa + va],
(vii) (∀a)(∀w, v)[w(va) = (w · v)a],
(viii) (∀a, b)(∀w)[wa < wb ⇔ a < b],
(ix) (∀a)(∀w)[wa < va ⇔ w < v],
(x) (∀a, b)(∃k ∈ N) 21k a < b ,
(xi) (∀a, b, c)(∃n, k ∈ N)[a < b ⇒ a <
n+1
c
2k
< b]30 .
Wszystkie obiekty występujące w tej koncepcji – odcinki, ich dodawanie oraz
porządek – są definiowane na gruncie aksjomatów geometrii. W teorii „wielkości”
obiekty, działanie oraz porządek są pojęciami pierwotnymi. Hölder na przykład
wyraźnie zaznacza, że porządek „wielkości” jest pojęciem pierwotnym31 .
Zauważmy wreszcie, że w przedstawionych koncepcjach występuje aksjomat
o „podziale wielkości” na dowolną liczbę części – E4, D3, S5, H14 – i odpowiednio związane z tym mnożenie przez liczby wymierne. W Podstawach geometrii
w miejsce liczb wymiernych występują liczby dwójkowe. Wynika to stąd, że w odniesieniu do odcinków liczby dwójkowe mają jasny sens geometryczny wywodzący
się z twierdzenia o bisekcji32 , zaś twierdzenie o podziale na n części wymagałoby
już bardziej zaawansowanych środków, np. twierdzenia Talesa33 .
4.
Otto Hölder, 1901
Jako odrębne aksjomaty Hölder przyjmuje:
Dla dowolnych x, y zachodzi dokładnie jeden ze składników alternatywy:
x < y ∨ x = y ∨ x > y.
M × M ∋ (x, y) 7→ x + y ∈ M .
(∀x, y, z)[(x + y) + z = x + (y + z)].
W odróżnieniu od Stolza czy Webera Hölder nie zakłada przemienności działania
– jest ona przedmiotem odrębnego twierdzenia. O porządku < przyjmuje tylko
prawo trychotomii, a z aksjomatów charakteryzujących „wielkości” wyprowadza
przechodniość.
Oto aksjomaty charakteryzujące wielkości:
H1 (∀x)(∃y)[y < x],
H2 (∀x)(∀y)[x + y > x ∧ x + y > y],
H3 (∀x, y)(∃z, w)[x < y ⇒ (x + z = y ∧ w + x = y)],
30 Tamże, s. 107-109, 144-145. Tak szczegółowa charakterystyka struktury O wynika stąd, że
spełnia ona istotną rolę w twierdzeniu o istnieniu miary; zob. tamże, s. 156.
31 Zob. „Pojęcia ‘większa’ i ‘mniejsza’ okazują się przy tym pojęciami konstruowanymi, podczas
gdy w tekście traktowane są jako pierwotne, tj. aksjomatyczne”.
32 Zob. K. Borsuk W. Szmielew, Podstawy geometrii, op. cit., s. 93.
33 Zob. tamże, s. 215-217.
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [139℄
H4 Jeżeli (A, B) jest przekrojem zbioru (M, <), to
(∃z)(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)[x 6 z 6 y].
Konsekwencje
H5 (∀x, y, z)[x < y ∧ y < z ⇒ x < z],
H6 (∀x, y, z)[x < y ⇒ x + z < y + z, x < y ⇒ z + x < z + y)],
H7 (∀x, y)(∃z)[x < y ⇒ x < z < y],
H8 (∀x)(∃y)[y > x],
H9 (∀x, y)(∃!z)[y < x ⇒ x = y + z],
H10 (∀x)(∀m, n ∈ N)[(m + n)x = mx + nx],
H11 (∀x)(∀m, n ∈ N)[m(nx) = (m · n)x],
H12 (∀x, y)(∀n ∈ N)[x S y ⇔ nx S ny]
H13 (∀x)(∀n ∈ N)(∃y)[ny < x],
H14 (∀x)(∀n ∈ N)(∃!y)[ny = x].
H15 (∀x, y)(∃n ∈ N)[x < y ⇒ nx > y],
H16 (∀x, y)[x + y = y + x].
Dowód własności H15 prowadzony jest nie wprost. Niech a < b i przypuśćmy,
że dla każdego n jest na 6 b. Przyjmijmy A = {x : (∃n ∈ N)(x 6 na)}, B =
{x : (∀n ∈ N)(x > na)}. Para (A, B) tworzy przekrój i na mocy H4 istnieje taki
element ξ, że zachodzi (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)[x 6 ξ 6 y]. Niech teraz a′ < a. Wtedy
a′ ∈ A, stąd a′ < ξ. Niech ξ ′ będzie takim elementem, że a′ + ξ ′ = ξ. Wtedy
ξ ′ < ξ, stąd ξ ′ ∈ A i dla pewnego n zachodzi na > ξ ′ . Dodając stronami tę
nierówność do nierówności a > a′ , otrzymujemy (n + 1)a > ξ ′ + a′ = ξ, co jest
sprzeczne z definicją ξ 34 .
Dla dowodu własności H16 przyjmuje Hölder, że a, b są dowolne, zaś c spełnia
warunek c < a, c < b. Na mocy H15 istnieją takie liczby naturalne n oraz m35 , że
(n − 1)c 6 a < nc, (m − 1)c 6 b < mc. Stąd
(n + m − 2)c 6 a + b, b + a < (m + n)c.
Dodając do obu stron pierwszej nierówności 2c otrzymujemy (n+m)c 6 (a+b)+2c.
Zatem b + a < (a + b) + 2c, stąd zaś wynika, że nie może być b + a > a + b.
W przeciwnym razie otrzymalibyśmy, że dla pewnego x zachodzi b+a = (a+b)+x.
Wówczas, na mocy H13, można tak dobrać c, że spełnia warunki 2c < x, c < a,
c < b, wtedy zaś otrzymamy
b + a = (a + b) + x > (a + b) + 2c > b + a.
34 Dowód ten w stylizacji geometrycznej i w odniesieniu do odcinków jest powtarzany w K. Borsuk; W. Szmielew, Podstawy geometrii, op. cit., s. 143.
35 W istocie, obok własności H15 Hölder implicite przyjmuje też zasadę minimum, tj. że zbiór
(N, <) jest dobrze uporządkowany. Zasada ta była stosowana w sposób niejawny przez Euklidesa
i później w większości prac traktujących o „wielkościach”.
Piotr Bªaszzyk
[140℄
Sprzeczność. Całe powyższe rozumowanie można powtórzyć i wychodząc od nierówności
(m + n − 2)c 6 b + a, a + b < (n + m)c,
dojdziemy do konkluzji, że nie może zachodzić a + b > b + a. Ostatecznie musi
być a + b = b + a.
W dowodzie tym istotne jest, że dodawanie wielokrotności nc, mc jest przemienne, nc + mc = mc + nc. Nie mniej ważne jest oczywiście założenie H15.
W Grundlagen der Geometrie Hilbert skonstruował ciało niearchimedesowe
nieprzemienne36 . Jednocześnie pokazał, że w ciele archimedesowym mnożenie musi
być przemienne. Dowód tego faktu tylko nieznacznie różni się od zreferowanego
dowodu własności H16 i niewątpliwie był dla Höldera inspiracją37 .
5.
Aksjomat i¡gªo±i
Hölder wykazuje niezależność aksjomatów konstruując odpowiednie modele.
Najciekawsze przykłady polegają na wprowadzeniu porządku leksykograficznego
oraz działań w iloczynie kartezjańskim. Niżej przedstawimy dwa wątki wyodrębnione z tych rozważań, a związane z aksjomatem ciągłości.
5.1.
Veronese aksjomat i¡gªo±i
Giuseppe Veronese przeszedł do historii matematyki jako twórca geometrii niearchimedesowej. W naturalny sposób w obrębie jego zainteresowań leżała ciągłość
i jej związek z aksjomatem Archimedesa. Hölder komentuje aksjomat ciągłości
w wersji przyjętej przez Veronese. W istocie aksjomat ten jest powtórzeniem warunku S11.
V Jeżeli Σ ⊂ M oraz (A, B) jest luką w zbiorze (Σ, <) tego rodzaju, że
(∀δ ∈ M )(∃x ∈ A)(∃x′ ∈ B)(x′ − x < δ), to
(∃z ∈ M )(∀x ∈ A)(∀x′ ∈ B)(x < z < z ′ ).
Hölder dowodzi, że z aksjomatów H1-H3, H15 oraz V wynika H4. Tym samym otrzymujemy jeszcze jedną, prawie nieznaną wersję aksjomatu ciągłości38 .
Następnie pokazuje, że z aksjomatów H1-H3 oraz V nie wynika ani aksjomat Archimedesa, ani aksjomat ciągłości. W związku z tym twierdzeniem przedstawimy
model, który w trochę prostszy sposób oddaje rozumowanie Höldera.
Przyjmijmy M2 = ({0} × R+ ) ∪ (R+ × R) z porządkiem leksykograficznym ≺
oraz dodawaniem „po współrzędnych” ⊕. Wprost sprawdzamy, że M2 = (M2 , ⊕, ≺)
jest półgrupą, w której spełnione są aksjomaty H1- H3.
Dalej, gdy para (A, B) spełnia założenia aksjomatu V, wówczas przyjmując
δ = (0, ε), ε > 0, dostajemy, że istnieje taka oś l = {a} × R, że A ∩ l 6= ∅, B ∩ l 6= ∅.
Stąd zaś wynika, na mocy faktu, że w półgrupie (R, +, <) jest spełniony aksjomat
V, że w M2 spełniony jest aksjomat V.
Zob. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, op. cit., s. 73-76.
Zob. tamże, s. 72-73.
38 Zob. P. Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticum Mathematicae IV, 2012, s. 15-30, §6.
36
37
Nota o rozprawie Otto Höldera Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass [141℄
Zauważmy teraz, że elementy osi {0} × R+ sprawiają, że półgrupa M2 nie
jest archimedesowa. Dla dowolnego n zachodzi bowiem n(0, b) = (0, nb) ≺ (1, 0).
Skoro w M2 nie jest spełniony aksjomat Archimedesa, to w konsekwencji nie jest
też spełniony aksjomat H4.
Warte odnotowania są wypowiedzi Höldera dotyczące kontinuum: Przy wyborze aksjomatu ciągłości Veronese jest się zmuszonym, gdy chce się opisać zwykłe
kontinuum, wprowadzić także specjalnie aksjomat Archimedesa”; „Moim celem jest
tu jedynie podanie prostego systemu aksjomatów, z którego dadzą się wyprowadzić
własności zwykłego kontinuum wielkości; nie zamierzam, jak czynił to Bettazi
(Teoria delle grandezze 1890), wprowadzać szczególnych rodzajów wielkości, lub
rozszerzać powszechnie przyjętego pojęcia kontinuum, co próbował czynić Veronese w swoim Continuo assoluto 1889).
Znajdujemy tu oczywiste nawiązanie do budowanych przez Verosnese systemów niearchimedsowych, ale ponadto widzimy, że dla Höldera „zwykłe kontinuum”
jest strukturą porządkowo-algebraiczną (M, +, <), a nie zbiorem uporządkowanym
(M, <) czy przestrzenią topologiczną (M, τ ).
5.2.
Ci¡gªo±¢ bez aksjomatu Arhimedesa
W rozprawie czytamy: „Sformułowanie, iż aksjomat Archimedesa miałby być
‘zawarty’ w aksjomacie ciągłości Dedekinda, może prowadzić do nieporozumień.
Podkreślam, że aksjomat Archimedesa może zostać wyprowadzony z aksjomatu
VII, przy pomocy aksjomatów od I do VI, ale tylko na sposób podany w tekście
lub podobny i dlatego taki dowód w żadnej mierze nie jest zbędny”.
Sens tej wypowiedzi jest taki: H15 wynika z koniunkcji warunków H1-H4, a nie
z samego aksjomatu H4. Hölder nie rozwija dalej tej myśli, dlatego wskażemy teraz
półgrupę, w której zachodzi H4, a nie zachodzi H15.
Zaczniemy od przykładu wprowadzającego. Niech M3 = (0, 1) × [0, 1], gdzie
(0, 1), [0, 1] to przedziały liczb rzeczywistych. Pary należące do M3 mnożymy „po
współrzędnych”, tj. (a, b) ⊕ (c, d) = (a · c, b · d). W M3 przyjmujemy porządek
antyleksykograficzny, (a, b) ≺ (c, d) wtw. a > c ∨ (a = c ∧ b > d).
Podobnie, jak wyżej pokazujemy, że struktura M3 = (M3 , ⊕, ≺) jest półgrupą,
a porządek ≺ jest ciągły. Spełniony jest też aksjomat Archimedesa. Istotnie, gdy
(a, b) ≻ (c, d) oraz a 6 c, to dla pewnego n jest cn < a, czyli n(c, d) ≻ (a, b).
Przyjmijmy teraz M4 = M3 ∪({0}×(0, 1]), zaś działania i porządek niech będą
określone tak, jak w M3 . Struktura M4 = (M4 , ⊕, ≺) jest półgrupą, porządek ≺
jest ciągły, ale nie jest już spełniony aksjomat Archimedesa. Rozważmy bowiem
pary (0, 1) oraz (1/2, 1). Jest (1/2, 1) ≺ (0, 1), a zarazem dla każdego n zachodzi
n(1/2, 1) = (1/2n , 1) ≺ (0, 1).
6.
Aksjomat Arhimedesa
Na zakończenie słowo o terminie „aksjomat Archimedesa”. Stolz nazywa tak
warunek S1. Tę samą nazwę i formułę powtarza Hölder. Aksjomat W1 Webera
oraz aksjomat E1 Euklidesa mają identyczną postać, ale Weber nie nadaje aksjomatom żadnych nazw. W Grundlagen der Geometrie Hilberta E1 występuje jako
Piotr Bªaszzyk
[142℄
aksjomat Archimedesa39 zaś w Podstawach geometrii Borsuka i Szmielew jest to
„pewnik Archimedesa” 40 . Fakty historyczne i logiczne są natomiast następujące:
Warunek E1 to definicja 4. z Księgi V Elementów : „Mówi się o wielkościach,
że jedna jest w stosunku do drugiej, gdy zwielokrotniona (pollaplasiazìmena),
jedna może przekroczyć (Íperèqein) drugą” 41.
Lemat Archimedesa w wersji z traktatu O sferze i cylindrze ma postać: „Co
do nierównych linii i nierównych powierzchni, i nierównych brył, to większa przekracza (Íperèqein) mniejszą, o taką, że dodawana (suntijèmenon) do siebie może
przekroczyć wyznaczoną między wszystkimi, gdy porównane jedna z drugą” 42 .
Zapisujemy go formułą:
LA (∀x, y, z)(∃n ∈ N)[x < y → n(y − x) > z].
Archimedes wspomina, że lemat ten był stosowany przez Eudoxosa, co może usprawiedliwiać funkcjonującą również nazwę „aksjomat Archimedesa-Eudoxosa”.
Aksjomat LA jest powtórzony w traktacie Kwadratura paraboli 43 . Natomiast
w traktacie O liniach spiralnych przywołując swój lemat Archimedes stosuje E144 .
Można pokazać, że formuły E1 oraz LA nie są logicznie równoważne (zakładając, że M jest półgrupą). W tym celu wystarczy rozważyć strukturę M2 z poprzedniego paragrafu. Podobnie formuła H15 oraz LA nie są logicznie równoważne.
Formuły E1 oraz H15 także nie są logicznie równoważne.
Nazwę „aksjomat Archimedesa” ukuł – jak wspomnieliśmy – Otto Stolz wskazując jako źródło cytowany wyżej lemat z O sferze i cylindrze oraz traktat Kwadratura paraboli 45 . Rozpowszechniła się ona za sprawą dużej popularności Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik oraz Theoretische Arithmetik. Natomiast Heiberg
w komentarzu do lematu Archimedesa cytuje Euklidesa definicję V.4 wraz z uwagą,
że są to te same aksjomaty46 . To zapewne pod wpływem tego komentarza definicja
z Księgi V Elementów jest nazywana aksjomatem Archimedesa.
*
*
*
Zamieszczone w niniejszym tomie tłumaczenie Die Axiome der Quantität und
die Lehre vom Mass zostało przygotowane przez Profesora Jerzego Pogonowskiego.
Jest to najprawdopodobniej pierwszy przekład na język polski tego teksu. Kolejne
paragrafy rozprawy znajdzie Czytelnik na stronie www.eudoxos.pl.
D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, op.cit., s. 19.
Zob. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, op. cit., s. 142.
41 Zob. P. Błaszczyk, K. Mrówka, Euklides, Elementy, Księgi V-VI. Tłumaczenie i komentarz,
op. cit.
42 De Sphaera et Cylindro, I. Lamb. 5, w: Archimedis Opera Omnia cum Commentariis
Eutocii, vol. I, ed. J.L. Heiberg, Teubner, Leipzig, 1880, s. 11, tłum. P. Błaszczyk, K. Mrówka.
43 Quadratura Parabolae, w: Archimedis Opera Omnia cum Commentariis Eutocii, vol. II, ed.
J.L. Heiberg, Teubner, Leipzig, 1881, s. 288-290.
44 De Lineis Spiralibus, w: Archimedis Opera Omnia cum Commentariis Eutocii, vol. II,
op.cit., s. 21.
45 Zob. O. Stolz, Vorlesungen über Allgemeine Arithmetik, op. cit., s. 70, 332.
46 Zob. Archimedis Opera Omnia cum Commentariis Eutocii, vol. I, op. cit., s. 11.
39
40