dokument

1
Zacznijmy od początku...
LATEX1 jest systemem składu umożliwiającym między innymi tworzenie dokumentów naukowych i technicznych o wysokiej jakości typograficznej. Oczywiście oprócz tego LATEXumożliwia przygotowanie dowolnego rodzaju dokumentów, poczynając od listów, a kończąc na grubych książkach.
2
Tryb tekstowy
Polecenia LATEX’a opisują strukturę logiczną dokumentu. TEXignoruje układ
graficzny pliku źródłowego. Końce słów i zdań zaznacza się spacjami – nie ma
znaczenia ile spacji będzie znajdować się w pliku źródłowym, w wynikowym
będzie tylko jeden odstęp[1].
Jeden pusty wiersz (lub więcej) oznacza koniec akapitu. Akapity rozpoczynają się wcięciem pierwszego wiersza.
2.1
Wyliczenia
W LATEX’u możemy stosować różnego rodzaju wyróżnienia tekstu:
1. złożenie tekstu kursywą;
2. złożenie tekstu czcionką szeryfową;
3. złożenie tekstu pismem maszynowym;
4. pogrubienie tekstu.
W LATEX’u mamy kilka rodzajów list:
enumerate jest to lista numerowana;
itemize lista punktowana;
description lista definicji.
1
Aby wstawić charakterystycznie sformatowany napis LATEX należy wydać polecenie
\LaTeX.
1
2.2
Tabele
Oto opis kilku funkcji pascalowskich:
nagłówek opis
chr(x) funkcja zwraca znak, który w kodzie
ASCI ma numer x
ord(x) podaje numer porządkowy z tabeli
ASCI znaku x
trunc(x) zwraca cześć całkowitą liczby rzeczywistej x wraz ze znakiem
round(x) podaje poprawne numerycznie zaokrąglenie liczby rzeczywistej x
I przykład jeszcze jednej tabelki . . .
Pn
Wt
Sr
Cz
Pt
3
10
17
24
31
4
11
18
35
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
So
1
8
15
22
29
Nd
2
9
16
22
30
Tabela 1: Grudzień 2007
3
3.1
Tryb matematyczny
Podstawy
Ciąg liczb rzeczywistych an nazywamy rosnącym, jeśli
Jeśli natomiast
^
an+1 > an ,
n∈N
to mówimy, że ciąg an jest ściśle rosnący.
Zbadać dla jakich x ∈ R istnieje granica
lim
n→∞
n Y
1+
k=0
i obliczyć ją.
2
x2k
2
+ x−2k
V
n∈N
an+1 ­ an .
Weźmy pod uwagę następujące prawo rachunku zdań zwane prawem kontrapozycji :
` (α ⇒ β) ⇔ (∼ β ⇒∼ α).
Wzory różne:
f (x) =
n
X
hj (x)f (aj ) +
j=1
a
hj f 0 (aj ) + E(x) = y(x) + E(x)
j=1
%2 ≈
Zb
r
X
1 (r) 1/2r
|a |
≈
%1 n−2
1
1
f (x)dx ≈ h f0 + f1 + · · · + fm−1 + fm
2
2
1+
Czy to
komuś
będzie
kiedykolwiek
potrzebne??
r
(r) 1/2
an−2 (r) a(n−1 1
1 + 1+1 1
2
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈
/ B)
3.2
Wzory numerowane
Niech {an } będzie ciągiem określonym wzorem
r
an =
q
1+
|
1 + ··· +
{z
n-pierwiastków
√
1.
(1)
}
Obliczyć lim an .
n→∞
Zapiszmy równania stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego w postaci:
x+a=0
x + ax + b = 0
3
x + ax2 + bx + c = 0
2
(2)
(3)
(4)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C :
A∩B =B∩A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
∅∩A=A
A∩A=A
3
(5)
(6)
(7)
(8)
3.3
Definiowanie własnych środowisk
Twierdzenie 3.1 (Pitagorasa) Jeżeli trójkąt jest trójkątem prostokątnym
to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Lemat 3.2 Trójkąt jest prostokątny jeżeli ma kąt prosty.
Twierdzenie 3.3 (Pitagorasa) Jeżeli trójkąt jest trójkątem prostokątnym
to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Lemat 3.4 Trójkąt jest prostokątny jeżeli ma kąt prosty.
3.4
Matematyki ciąg dalszy...
Wyznacznik Vandemonde’a:




det 




1 x1
1 x2
1 x3
.. ..
. .
1 xn
x21 · · ·
x22 · · ·
x23 · · ·
.. . .
.
.
x2n · · ·
x1n−1
x2n−1
x3n−1
..
.
xnn−1









=
n
Y
(xi − xj ).
i,j=1
i>j
Zatem
tn
=
∞
X
(k + 1)cn+k =
k=0
∞
X
∞
X
(k − n + 1)ck =
k=n
∞
X
∞
X
1
1
=
kck − (n − 1)
kck = rn − (n − 1)
(rk − rk+1 =
k=n
k=n k
k=n k
∞
X
1
1
1
rn + (n − 1)
−
rk ,
n
k
k=n+1 k − 1
=
gdzie rn = ncn + (n + 1)cn+1 + · · ·.
Zbadać zbieżność szeregu
∞
P
3en
.
n=0
n!
Różne:
∂ 2 u u(x0 , y0 ) − 2u(x1 , y1 ) + u(x2 , y2 )
≈
2
∂x x=x1 ,y=y1
h2
!
!
n
n
n−k+1
=
·
k
k−1
k
4
Zb
1
1
f (x)dx ≈ h( f0 + f1 + · · · + fm−1 + fm )
2
2
a
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R .
m składników
}|
{
n + n + ··· + n
z
a
11
a21
a31
a12 a13 a22 a23 a32 a33 różnowartościowa
f : R −−−−−−−−−→ R
na
a2 + b 2 = c 2
m P
m
Wiadomo, że
k=0
k
= 2m . Stąd
m
X
n,k=0
k+n=m
2m
1
=
n!k!
m!
Rozpoczniemy od implikacji:
!
a, b − liczby całkowite
p jest dzielnikiem liczby
⇒
p − liczba pierwsza
(a + b)p − ap − bp
!
(9)
Wykazać, że jeżeli iloczyn nieskończony jest bezwzględnie zbieżny, to ma
miejsce równość
∞
Y
(1 + an ) =1 +
∞
X
an +
+
an1 an2 + · · · +
n1 ,n2 =1
n1 <n2
n=1
n=1
∞
X
∞
X
an1 an2 . . . ank + · · ·.
n1 ,n2 ,...,nk =1
n1 <n2 <···<nk
ℵ(m) = Z (m)
A = En =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
5
(10)
(11)
N
Z
Q
(12)
R
Wzór łączący najważniejsze stałe matematyki:
eπi + 1 = 0
Zadanie. Załóżmy, że a ∈ {1, 2, . . . , 9} .Obliczyć
n-cyfr
a + aa + · · · + aa . . . a
lim
n→∞
10n
z }| {
Rozwiązanie. Mamy
n-cyfr
n-cyfr
z }| {
a + aa + · · · + aa . . . a = a(1 + 11 + · · · + 11 . . . 1) =
z }| {
= a 10n−1 + 2 · 10n−2 + · · · + n · 100 =
=a
1 + 10 + · · · + 10n−1 + 1 + 10 + · · · + 10n−2 +
+ · · · + (1 + 10) + 1 =
=a
10n −1
9
+
10n−1 −1
9
+ ··· +
102 −1
9
+
10−1
9
=
n
−1)−9n
= a 10(10 81
Stąd szukaną granicą jest
Na deser:
10a
81
.

Pk =
3.5
3.5.1










Ik−1
0
0
f
P
k









Większy fragment
Pochodna złożenia i macierz Jacobiego
Ze wzorów na obliczanie pochodnych wynika, że sumy, iloczyny i ilorazy
(z niezerowymi mianownikami) funkcji klasy C k są funkcjami klasy C k . Także złożenie funkcji klasy C k jest funkcją klasy C k . Wynika to ze wzoru na pochodną złożenia: jeśli g1 , · · · , g n są funkcjami różniczkowalnymi
6
w punkcie y ∈ Rp , a f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x = g(y) =
(g1 (y), · · · , gn (y)) , to złożenie H = f ◦ gjest funkcją różniczkowalną w punkcie y i
∂k H(y) =
n
X
∂j f (x)∂k gj (y).
(3.13)
j=1
Dowód wynika ze wzoru
f (g(y + h)) = f (g(y)) +
= f (g(y)) +
n
X
∂j (gj (y
j=1
p
n X
X
+ h) − gj )) − gj (y)) + ε1 |g(y + h) − g(y)|
∂j f (x)∂k gj (y)hk + ε2 |h|,
j=1 k=1
gdzie,ε1 → 0 gdy, g(y + h) − g(y) → 0 oraz, ε2 → 0 gdy h → 0.
We wzorze na pochodną złożenia pojawia się macierz Jacobiego
g 0 (y) = (∂k gj (y))
pochodnych cząstkowych n funkcji g1 , . . . , gn ze względu na p zmiennych
y1 , . . . , yp . Gdy wskaźnik j numeruje kolumny, a k - wiersze, jest to macierz
o wymiarach n × p. Jeśli f = (f1 , . . . , fq ) jest układem q funkcji zmiennej
x , to wzór (3.13) na obliczanie pochodnej złożenia, zastosowany do każdej
składowej f , można przedstawić w postaci macierzowej jako
(f ◦ g)0 (y) = f 0 (g(y))g 0 (y).
Dla n = p = q = 1 otrzymujemy wzór na pochodną funkcji złożonej skalarnej,
co uzasadnia stosowanie tego samego oznaczenia dla pochodnej i macierzy
Jacobiego.
Przykład 1 Macierz Jacobiego dla współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie, ma postać gdzie i oznaczają pochodne cząstkowe ze względu na odpowiednią zmienną.
7
Spis treści
1 Zacznijmy od początku...
1
2 Tryb tekstowy
2.1 Wyliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3 Tryb matematyczny
3.1 Podstawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Wzory numerowane . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Definiowanie własnych środowisk . . . . . . .
3.4 Matematyki ciąg dalszy... . . . . . . . . . . . .
3.5 Większy fragment . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Pochodna złożenia i macierz Jacobiego
2
2
3
4
4
6
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Literatura
[1] Leslie Lamport, LATEX. System opracowywania dokumentów, WNT,
Warszawa 2004.
8