Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny

Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny

ZASTOSOWANIE METODY GRANICZNEJ ANALIZY DANYCH
DO OCENY GOSPODAROWANIA WOJEWÓDZTW POLSKI
ANETA BECKER
JAROSŁAW BECKER
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Streszczenie
W artykule zaprezentowano zastosowanie metody granicznej analizy danych
(DEA) do oceny efektywnoĞci gospodarowania polskich województw. DEA jest nieparametryczną metodą wykorzystywaną w badaniach operacyjnych i ekonomii do
konstruowania krzywej efektywnoĞci. Jest uĪywana w celu empirycznego pomiaru
efektywnoĞci jednostek decyzyjnych, noszących nazwĊ DMU.
Słowa kluczowe: metoda granicznej analizy danych, programowanie liniowe, efektywno
gospodarowania
1. Wprowadzenie
Poziom gospodarowania województwa mona mierzy poprzez globalne rozmiary produkcji,
czyli wielko produktu krajowego brutto (PKB) tworzonego na terenie województwa. Natomiast
poziom rozwoju gospodarczego województwa charakteryzowany jest najlepiej poprzez rozmiary
produktu krajowego brutto tworzonego w województwie w przeliczeniu na 1 mieszkaca [1, s. 4].
Wszystkie województwa wypracowuj produkt krajowy brutto, jednak jego wielko w kadym
z nich jest inna. Wynika to z połoenia geograficznego, osobowoci mieszkaców, przede wszystkim jednak od sposobu gospodarowania oraz celów uznanych za priorytetowe dla danego województwa.
Produkt krajowy brutto przedstawia kocowy rezultat działalnoci wszystkich podmiotów gospodarki narodowej, czyli przedstawia pieniny wyraz biecej wartoci rynkowej wszystkich
dóbr i usług finalnych wytworzonych w gospodarce w danym okresie. Jednoczenie stanowi miar
poziomu aktywnoci gospodarczej kraju. Jest on miernikiem produkcji wytworzonej na obszarze
danego kraju. Stanowi sum wydatków gospodarstw domowych na zakup dóbr i usług konsumpcyjnych, wydatków sektora prywatnego na zakup dóbr i usług inwestycyjnych, wydatków pastwa
na zakup dóbr i usług oraz salda bilansu handlu zagranicznego.
Mierzenie produktu krajowego brutto pozwala ekonomistom oraz decydentom politycznym
oceni wzrost gospodarczy kraju w kolejnych latach, a take umoliwia ledzenie skutków oddziaływania polityki rzdu na produkcj oraz dochody. Umoliwia take urzdnikom administracji
pastwowej opracowanie zasad polityki gospodarczej sprzyjajcej wzrostowi produkcji [2, s. 107].
Wska
niki poziomu aktywnoci gospodarczej, takie jak PKB, wpływaj na gospodark, a metody
stosowane do ich wyliczenia maj istotne znaczenie w dyskusjach dotyczcych wyboru polityki
gospodarczej kraju.
Obok wstpnej analizy gospodarnoci wskazanej przez PKB, wystpuje zapotrzebowanie na
sprawne metody pozwalajce na lepsze okrelenie, które województwa s bardziej zaradne (aktyw-
6
Aneta Becker, Jarosław Becker
Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny gospodarowania
województw Polski
ne, przedsibiorcze) i od jakich czynników to zaley. Jedn z takich propozycji moe by metoda
DEA (ang. Data Envelopment Analysis), która jest metod deterministyczn opart na programowaniu liniowym. Moe by stosowana do szacowania efektywnoci rónych podmiotów takich jak
firmy komercyjne, czy instytucje non-profit, a take gospodarki pastw i regionów [3].
Celem artykułu jest zastosowanie nieparametrycznej metody granicznej analizy danych (DEA)
do oceny efektywnoci gospodarowania polskich województw. DEA jest metod programowania
liniowego, przy pomocy którego tworzy si krzyw efektywnoci danej zbiorowoci na podstawie
jej najbardziej efektywnych jednostek [4, s. 4].
2. Pomiar i badanie efektywnoĞci
Efektywno (ang. efficiency) jest okrelana jako rezultat podjtych działa, opisywany relacj
uzyskanych efektów do poniesionych nakładów. Oznacza najlepsze efekty np. produkcji, dystrybucji, sprzeday, promocji. Pomiar i badanie efektywnoci stanowi główny przedmiot rachunku ekonomicznego.[5]
Powszechnie stosowane metody oceny efektywnoci opieraj si na podejciu:
• wska
nikowym, które sprowadza si do konstruowania relacji pomidzy rónymi wielkociami (np. wska
niki: zadłuenia, płynnoci finansowej czy rentownoci)[6, s. 8-9]; wane jest odpowiednie oszacowanie tych wielkoci i interpretacja, której dokonuje si na
podstawie porównania obliczonych wska
ników z przyjtymi bazami odniesienia;
• parametrycznym, które opiera si na metodach ekonometrycznych i wprowadza do oceny
efektywnoci funkcj produkcji − np. metoda: SFA (ang. Stochastic Frontier Approach),
TFA (ang. Thick Frontier Approach) oraz DFA (ang. Distribution Free Approach)
(DFA)[4, s. 4-6];
• nieparametrycznym, w którym wykorzystuje si procedur programowania liniowego, natomiast nie uwzgldnia si wpływu czynnika losowego na efektywno obiektów oraz potencjalnych błdów pomiaru, a take nie analizuje si zalenoci pomidzy nakładami
i wynikami − np. metoda: DEA (ang. Data Envelopment Analysis), FDH (ang. Free Disposal Hull) [4, s. 4-6][7, s. 120].
Metoda DEA znana w Polsce jako metoda granicznej analizy danych została po raz pierwszy
zaprezentowana przez A. Charnesa, W. Coopera i E. Rhodesa w 1978 r.[8] Autorzy zastosowali
programowanie liniowe do estymacji miar efektywnoci technicznej i stworzyli pierwszy model
zwany CCR lub CRS (ang. constant return-to-scale), w którym przyjli załoenie o stałych efektach skali. W modelu tym do sytuacji wielowymiarowej, gdy analizowane jednostki dysponuj wieloma nakładami i efektami, zostały zaadaptowane miary efektywnoci Debreu-Farrella.[7]
Wykorzystujc to podejcie, w modelu DEA efektywno mona zdefiniowa nastpujco:
S
¦ µ r EFEKTr
EFEKTYWNOĝû =
r =1
m
¦ v NAKLADi
i
i =1
gdzie:
s – liczba efektów,
m – liczba nakładów,
µr – wagi okrelajce wano poszczególnych efektów,
,
(1)
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 21, 2009
7
νi – wagi okrelajce wano poszczególnych nakładów.[9, s. 56]
Metoda DEA nie wymaga uprzedniej znajomoci wag. W trakcie oblicze s wyszukiwane
wagi maksymalizujce efektywno kadego obiektu. Rozwizanie problemu optymalizacyjnego
polega na wyznaczeniu odległoci rzeczywistego poziomu produkcji od teoretycznie stwierdzonej
granicy efektywnoci.[7, s. 123]
Metoda DEA pozwala na ustalenie krzywej efektywnoci (nazywanej równie graniczn krzyw produkcji – ang. production frontier), na której znajduj si wszystkie najbardziej efektywne
jednostki badanej zbiorowoci. Obiekty uwaa si za efektywne technicznie, jeeli znajduj si na
krzywej efektywnoci. Natomiast przeciwnym wypadku, czyli jeli znajduj si poza krzyw efektywnoci, s nieefektywne technicznie. Efektywno obiektu jest mierzona wzgldem innych
obiektów z badanej grupy.[10]
W metodzie DEA obiektem analizy s jednostki decyzyjne tzw. DMU (ang. Decision Making
Units). Przedmiotem analizy jest produktywno, z jak dana DMU transformuje posiadane nakłady w wyniki. Klasyfikujc modele DEA stosuje si jednoczenie dwa kryteria: rodzaj efektów skali
oraz orientacj modelu. Pierwsze kryterium wskazuje, czy minimalizowane s nakłady, czy maksymalizowane efekty. Drugie kryterium okrela, jakie załoenia dotyczce efektów skali zostały
przyjte w modelu (zmienne, stałe czy nierosnce).[11]
3. Przykład praktyczny zastosowania metody DEA
Materiał empiryczny wykorzystany w badaniach pochodzi z roczników statystycznych publikowanych przez Główny Urzd Statystyczny (GUS) i dotyczy 2005 roku. Na wybór jednostki czasu miał wpływ termin publikowania informacji dotyczcej produktu krajowego brutto (pkb) poszczególnych województw. Opracowaniem tym zajmuje si Urzd Statystyczny w Katowicach[12],
który wiadomoci te ogłasza z dwuletnim opó
nieniem.
W 2005 r. tempo wzrostu PKB było nisze ni w roku 2004, co wynikało midzy innymi
z porównania ówczesnego poziomu aktywnoci gospodarczej z bardzo dobrymi wynikami z poprzedniego roku. Według danych GUS tempo wzrostu wyniosło 3,2%, a najwikszy wkład we
wzrost PKB miało spoycie ogółem. Produkcja sprzedana przemysłu w pełnej zbiorowoci podmiotów przekroczyła poziom z 2004 r. o 3,8%. Z kolei inflacja mierzona wska
nikiem CPI kształtowała si na poziomie 2,1%. Na rynku pracy nastpiła poprawa sytuacji. W 2005 roku przecitne
zatrudnienie w sektorze przedsibiorstw było wysze ni w roku poprzednim. Stopa bezrobocia,
w grudniu 2005 r. wyniosła 17,6%. Realnie wzrosły zarówno wynagrodzenia w sektorze przedsibiorstw, jak i emerytury i renty z pozarolniczego systemu ubezpiecze. Obniyła si natomiast siła
nabywcza emerytur i rent rolników indywidualnych. W 2005 r. zbiory wikszoci podstawowych
ziemiopłodów były nisze od bardzo wysokich zbiorów w roku 2004. Według szacunków GUS
globalna produkcja rolnicza zmniejszyła si o 2,1%.[13]
Zestaw zmiennych wykorzystanych w badaniu obejmował podstawowe cechy makroekonomiczne, charakteryzujce poszczególne województwa Polski, majce istotne znaczenie dla rozwoju
gospodarczego kraju. Lista zmiennych zawierała:
X1 – produkt krajowy brutto [zł/1 mieszkaca],
X2 – przecitne zatrudnienie [osoby],
X3 – stopa bezrobocia [%],
X4 – nakłady inwestycyjne [mln zł],
8
Aneta Becker, Jarosław Becker
Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny gospodarowania
województw Polski
X5 – nakłady na działalno innowacyjn w przemyle [mln zł],
X6 – globalna produkcja rolnicza [%],
X7 – produkcja sprzedana przemysłu [mln zł],
X8 – przecitne wynagrodzenie miesiczne [zł],
X9 – inflacja (wska
nik cen towarów i usług konsumpcyjnych).
Przed przystpieniem do bada sprawdzono, czy zaproponowane zmienne charakteryzuj si
wystarczajc zmiennoci. W tym celu porównano współczynniki zmiennoci vl [14, s. 30][15,
s. 62] otrzymane dla poszczególnych cech z arbitralnie przyjt wartoci krytyczn v*, (np.
v* = 0,2). Zmienne spełniajce nierówno vl v*, czyli przecitne wynagrodzenie miesiczne oraz
inflacj uznano za mało zrónicowane, a tym samym quasi-stałe (niewnoszce istotnych informacji) i wyeliminowano z dalszych bada.[14, s. 30]
4. Dyskusja wyników
Próba badawcza obejmowała 16 województw. Na potrzeby konstrukcji modeli DEA dokonano
odpowiedniej klasyfikacji zmiennych. Rol efektu pełnił produkt krajowy brutto. Niepodanym
efektem była stopa bezrobocia, któr do modelu wprowadzono w formie 1/y (y – warto zmiennej
efektów niepodanych)[7, s. 134]. Dziki temu przekształceniu nie trzeba było dokonywa modyfikacji modelu, poniewa odwrotno efektu niepodanego jest traktowana jako nakład. Mianem
nakładów okrelono pozostałych 6 zmiennych. W celu obliczenia współczynników efektywnoci
technicznej województw wykorzystano model CCR (stałych efektów skali) zorientowany na wyniki, zakładajc maksymalizacj wyniku przy zachowaniu niezmienionych nakładów. Po czym dokonano oblicze modelu ukierunkowanego na nakłady, przy załoeniu minimalizacji nakładów i zachowaniu niezmienionego wyniku. Badania przeprowadzono w programie DEAP Version 2.1.[16]
W tabeli 1 zestawiono współczynniki efektywnoci technicznej otrzymane w poszczególnych
województwach Polski (zarówno w modelu zorientowanym na efekty jak i ukierunkowanym na
nakłady). Współczynniki zawierały si w przedziale od 0 do 1. Przy czym 1 odpowiada efektywnoci, natomiast kady wynik poniej 1 oznacza wystpowanie nieefektywnoci technicznej. Najwysz efektywnoci, w roku 2005, odznaczały si województwa: lubuskie, opolskie, podlaskie
i zachodniopomorskie, które uzyskały współczynnik efektywnoci równy 1. Oznacza to, e le
one na krzywej efektywnoci, tworzc tym samym jej granic. Wyniki poniej 1 odnotowały województwa, które powinny poprawi relacje pomidzy nakładami i efektami. Do województw charakteryzujcych si nieco nisz efektywnoci ni liderzy mona zaliczy: mazowieckie
i kujawsko-pomorskie. Najniszy wska
nik efektywnoci odnotowano dla województwa małopolskiego. redni wska
nik efektywnoci w omawianej grupie obiektów wyniósł 0,833. Poniej wartoci przecitnej znalazły si województwa: lubelskie, łódzkie, małopolskie, podkarpackie i wielkopolskie. Pozostałe obiekty uzyskały wyniki powyej redniej.
Analizujc wyniki uzyskane przez model zorientowany na efekty mona stwierdzi, e przy
tak zdefiniowanych nakładach nieefektywne województwa, aby znale
si na krzywej efektywnoci technicznej (czyli osign efektywno techniczn równ 1) powinny wypracowa wyszy
pkb. Przykładowo efektywno dla pierwszego obiektu, województwa dolnolskiego, wyniosła
0,89. Zatem powinien on uzyska pkb wysze od rzeczywistego (w 2005 r.) o 11%, czyli o 3285
zł.
W ten sposób obiekt ten osignłby wymagany poziom wynoszcy 29905 zł/mieszkaca.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 21, 2009
9
W przypadku pozostałych województw sytuacja była nastpujca: kujawsko-pomorskie powinno wypracowa pkb wysze o 6,1%, lubelskie – 37,5%, łódzkie – 33%, małopolskie – 46,5%, mazowieckie – 2,5%, podkarpackie – 39,4%, pomorskie −14%, lskie – 15,1%, witokrzyskie –
21,6%, warmisko-mazurskie – 15,6% i wielkopolskie – 34,2%.
Tabela 1. EfektywnoĞü województw Polski
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Nawa województwa
Dolnolskie
Kujawsko-pomorskie
Lubelskie
Lubuskie
Łódzkie
Małopolskie
Mazowieckie
Opolskie
Podkarpackie
Podlaskie
Pomorskie
lskie
witokrzyskie
Warmisko-mazurskie
Wielkopolskie
Zachodnipomorskie
EfektywnoDEA
0,890
0,939
0,625
1,000
0,670
0,535
0,975
1,000
0,606
1,000
0,860
0,849
0,874
0,844
0,658
1,000
ródło: opracowanie własne na podstawie danych z GUS: [18], [19]
Rozpatrujc model DEA zorientowany na nakłady (przy pkb bez zmian), dla wybranego województwa dolnolskiego mona stwierdzi, e aby poprawiło ono swoj efektywno powinno
zmniejszy nakłady inwestycyjne o 53,5%. W województwie tym nakłady na działalno innowacyjn w przemyle winny by nisze o 64,02%, natomiast globalna produkcja rolnicza o 0,75%
Sugeruje si zmniejszenie produkcji sprzedanej przemysłu o 56,98% i przecitnego zatrudnienia
o 44,3%. Majc na uwadze załoenie, e odwrotno stopy bezrobocia jest nakładem, minimalizacj tego wska
nika naley rozumie jako wzrost efektu niepodanego. W przypadku województwa dolnolskiego zmniejszeniu wszystkich nakładów o 11% towarzyszyłby wzrost stopy bezrobocia o niecałe 2%. Pozostałe informacje na temat poszczególnych województw i redukcji uytych
w modelu nakładów zestawiono w tabeli 2.
10
Aneta Becker, Jarosław Becker
Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny gospodarowania
województw Polski
64,02
58,03
71,36
32,96
77,24
82,71
75,21
68,26
93,87
60,18
45,22
70,97
0,75
3,64
5,57
4,91
2,28
7,08
1,42
0,52
0,47
1,22
2,71
12,99
56,98
36,94
37,48
52,67
66,62
74,84
46,02
54,89
86,25
12,56
15,58
68,91
stopa bezrobocia
53,48
16,87
38,91
55,90
64,50
71,80
42,68
42,73
74,37
12,56
23,44
56,75
przecitne zatrudnienie
Dolnolskie
Kujawsko-pomorskie
Lubelskie
Łódzkie
Małopolskie
Mazowieckie
Podkarpackie
Pomorskie
lskie
witokrzyskie
Warmisko-mazurskie
Wielkopolskie
produkcja sprzedana
przemysłu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
globalna produkcja
rolnicza
Nawa województwa
nakłady na działalno
innowacyjn w przemyle
Lp.
nakłady inwestycyjne
Tabela 2. Procentowe wielkoĞci przekroczonych nakładów
44,30
24,96
54,75
52,08
66,75
67,94
50,87
42,52
78,93
23,66
28,91
54,74
1,62
4,02
9,32
7,10
13,23
0,91
14,83
4,06
5,33
5,72
2,21
7,14
ródło: opracowanie własne na podstawie danych z GUS: [18], [19]
5. Podsumowanie
Za pomoc metody DEA mona analizowa działalno jednostek gospodarczych charakteryzujcych si wieloma nakładami i efektami. Nie wymaga si, aby uytkownik sam przypisywał
wagi do kadego rodzaju nakładów i efektów, jak w tradycyjnych metodach indeksowych. Ponadto
jest stosowana w sytuacji, kiedy analizowane jednostki nie mona scharakteryzowa za pomoc
miar efektywnoci opartych na współczynnikach finansowych. Nie jest wymagana znajomoci zalenoci zachodzcych pomidzy nakładami a efektami oraz nie ma potrzeby cisłego okrelenia
funkcji produkcji. Wykorzystuje technik programowania liniowego, które jest w stanie upora si
z du liczb zmiennych i relacji midzy nimi. Nie ma take ogranicze co do liczby obserwacji.
Natomiast wad metody DEA jest jej wraliwo na nietypowe (odbiegajce) obserwacje, dlatego
wane jest przeprowadzenie dokładnych pomiarów[17, s. 380]. Estymacja miar nie ma charakteru
statystycznego, co uniemoliwia okrelenie właciwoci statystycznych uzyskanych wyników. Metoda DEA koncentruje si bardziej na mierzeniu zalenoci technicznych ni ekonomicznych, dlatego te czciej jest stosowana do mierzenia produktywnoci ni wyników ekonomicznych.
Zastosowanie metody DEA pozwoliło w nieskomplikowany sposób okreli efektywno poszczególnych województw Polski. Dziki tej metodzie oceniono poszczególne obiekty oraz stwierdzono, o ile trzeba zwikszy wyniki lub zmniejszy nakłady, aby były one całkowicie efektywne.
Ponadto metoda DEA wskazała najbardziej efektywne województwa, które mona uzna za
„wzorcowe” w rozpatrywanej jednostce czasu.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 21, 2009
11
Bibliografia
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Orłowski W., Saganowska E., Zienkowski L., Szacunek PKB według 16 województw za
1996 i 1997 rok (Metoda uproszczona), Studia i Prace z Prac Zakładu Bada
Statystyczno-Ekonomicznych GUS i PAN, Zeszyt nr 262, Warszawa 1998.
Kamerschen D., Mc Kenzie R., Nardinelli C., Ekonomia, Fundacja Gospodarcza NSZZ
„Solidarno”, Gdask 1993.
Kisielewska M., Pojcie efektywnoci w metodach analizy granicznej, Studia i Prace
Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarzdzania nr 1, Wydawnictwo Naukowe
Uniwersytetu
Szczeciskiego,
Szczecin
2008,
http://www.wneiz.pl/nauka_wneiz/sip/sip1-2008/kisielewska.pdf.
Kisielewska M., Charakterystyka wybranych metod pomiaru efektywnoci bazujcych na
krzywych efektywnoci, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu,
Wrocław 2005.
Strona internetowa NeoInfo, http://www.neoinfo.pl/ekonomia/efektywnosc.html
Zarzecki D., Wykorzystanie wska
ników finansowych w ocenie przedsibiorstwa.
Podstawowe zagadnienia, Interbook, Szczecin 1997.
Adamczyk J., Nitkiewicz T., Programowanie zrównowaonego rozwoju przedsibiorstw,
PWE, Warszawa 2007.
Charnes A., Cooper W. W., Rhodes E., Measuring the Efficiency of Decision Making
Units, European Journal of Operational Research, No 2, 1978.
Gospodarowicz A., Analiza i ocena banków oraz ich oddziałów, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2002.
Baran J., Pietrzak M., Analiza efektywnoci wybranych bran polskiego agrobiznesu
bazujca na metodzie DEA, SERIA: Roczniki Naukowe, tom IX, zeszyt 3, 15-16,
Warszawa 2007.
Feru A., Zastosowanie metody DEA do okrelania poziomu ryzyka kredytowego
przedsibiorstw,
Bank
i
Kredyt
2006.
www.nbp.pl/Publikacje/bank_i_
kredyt/2006_07/ferus.pdf
Produkt krajowy brutto rachunki regionalne w 2005 r. Materiał opracowany przez Urzd
Statystyczny w Katowicach. Wyd. GUS. Katowice 2007.
Analiza sytuacji gospodarczej Polski w 2005 r., Ministerstwo Gospodarki, Departament
Analiz i Prognoz Ekonomicznych, Warszawa 2006 r.
Dziechciarz J., Ekonometria. Metody, przykłady, zadania. AE, Wrocław 2003.
Borkowski B., Dudek H., Szczesny W., Ekonometria, wybrane zagadnienia. PWN,
Warszawa 2004.
A Guide to DEAP Version 2.1: A Data Envelopment Analysis (Computer) Program by
Tim Coelli, Centre for Efficiency and Productivity Analysis , Department of
Econometrics, University of New England, Australia, http://www.une.edu.au/
economics/emet//cepa.htm
Lertworasirikul S., Fanga S., Joinesb J. A., Nuttlea H. L. W., Fuzzy data envelopment
analysis (DEA): a possibility approach, Elsevier, 2003.
Rocznik statystyczny województw – 2006 r., Wyd. GUS. Warszawa 2006.
Rocznik statystyczny województw – 2007 r., Wyd. GUS. Warszawa 2007.
12
Aneta Becker, Jarosław Becker
Zastosowanie metody granicznej analizy danych do oceny gospodarowania
województw Polski
APPLICATION OF DATA ENVELOPMENT ANALYSIS METHOD
FOR ESTIMATE OF MANAGMENT POLAND’S VOIVODSHIPS
Summary
In the article presents application of Data Envelopment Analysis method for estimate of management Poland’s voivodships. DEA is the non-parametric mathematical programming approach to frontier estimation. Data Envelopment Analysis
(DEA) is a nonparametric method in operations research and economics for the estimation of production frontiers. It is used to empirically measure productive efficiency of decision making units (or DMUs).
Key words: data envelopment analysis method, linear programming, efficiency of management
Aneta Becker
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Wydział Ekonomii, Katedra Zastosowa Matematyki w Ekonomii
71-270 Szczecin, ul. Janickiego 31
e-mail: [email protected]
http://www.zut.edu.pl
Jarosław Becker
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Wydział Informatyki, Katedra Inynierii Systemów Informacyjnych
71-210 Szczecin, ul. ołnierska 49
e-mail: [email protected]
http://wi.ps.pl