Zestaw trzeci: funkcjonały dwuliniowe

Zadania z geometrii B
Zestaw 3: funkcjonały dwuliniowe
1. Która z podanych przestrzeni (V, f) jest przestrzenią euklidesową?
(a) V = R2 ,
(c) V = R3 ,
(d) V = R3 ,
   0
0
x
x
x
x
f(
, 0 ) = xx0 +xy 0 +x0 y +2yy 0 ,
(b) V = R3 , f(y  , y 0 ) = xx0 +yy 0 +3zz 0 ,
y
y
z
z0
   0
x
x
R1
f(y  , y 0 ) = xx0 + 2yy 0 ,
(e) V = R4 [X] × R4 [X] → R, f(f, g) = 0 f (t)g(t)dt,
0
z  z 0 
x
x
f(y  , y 0 ) = xx0 + 2xy 0 + 2x0 y + yz 0 + z 0 y.
z
z0
2. 
Macierz funkcjonału
dwuliniowego f : R3 × R3 → R,

2
1
0
(b)
(1)
(2)
(3)
w bazie jednostkowej (~e1 , ~e2 , ~e3 ) jest równa
1 0
1 0. (a) Sprawdź, że (R3 , f) jest przestrzenią euklidesową.
0 1
Znajdź uzupełnienie ortogonalne :
wektora [1, 2, 0],
prostej lin ( [1, 1, 1] ),
płaszczyzny X − Z = 0.
3. Znajdź bazę ortonormalną przestrzeni euklidesowej: (a) (R3 , f) z poprzedniego zadania, (b) (R4 , f),
2
2
3
gdzie
q( [x,

 y, z, t] ) = 2x + 2xy + z , (c) (R , f), gdzie macierz f w bazie jednostkowej jest równa
1 0 1
0 1 0.
1 0 2
4. W przestrzeni euklidesowej (R4 , ◦) (ze zwykłym iloczynem skalarnym) znajdź bazę prostopadłą:
(a) hiperpłaszczyzny X − Y + Z − T = 0,
(b) płaszczyzny lin ( [1, 2, 0, −1], [0, 1, −1, 1] ).
5. Dana jest przestrzeń euklidesowa (R3 , f), jej podprzestrzeń W oraz wektor ~v ∈ V. Wektor ~v przedstaw
jako sumę składowej równoległej i składowej prostopadłej do W, gdzie:
(a) V = R3 , f([x, y, z], [x0 , y 0 , z 0 ]) = xx0 + yy 0 + zz 0 , W = lin ([1, 2, −1], [1, 0, 2]),
~v = [1, 2, 1]
(b) V = R3 , f([x, y, z], [x0 , y 0 , z 0 ]) = 2xx0 + xz 0 + zx0 + zz 0 , W = lin ([1, 2, −1], [1, 0, 2]),
~v = [1, 2, 1]
1