Wersja do druku

Zjawisko Dopplera w akustyce
Rozchodzenie się fal akustycznych (fal podłużnych) opiera się na rozprzestrzenianiu zaburzeń
gęstości ośrodka, w którym przemieszcza się fala. Ośrodkiem tym może być gaz, ciecz lub
ciało stałe. Do obserwatora dochodzą wówczas na przemian zagęszczenia i rozrzedzenia
ośrodka. Jeżeli źródło i obserwator są nieruchome (względem ośrodka, w którym biegną fale),
wówczas kolejne zagęszczenia dochodzą do obserwatora w jednakowych odstępach czasu.
Jeżeli karetka porusza się w kierunku obserwatora z prędkością V, wówczas kolejne
zagęszczenia dochodzą do niego częściej, czyli częstość rejestrowanej fali wzrasta – wzrasta
zatem wysokość dźwięku. Przy oddalaniu się karetki, fala ma do przebycia coraz dłuższą
drogę do obserwatora i w rezultacie częstość dźwięku maleje – maleje więc wysokość
dźwięku. Efekt ten powstaje na skutek zmiany promieniowej (radialnej) składowej prędkości
karetki – zmienia się ona, zależnie od odległości karetki od ucha obserwatora.
W celu dokładniejszego zilustrowania zjawiska, rozważmy przypadek gdy źródło i
obserwator poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej.
Wprowadźmy układ odniesienia nieruchomy względem ośrodka, w którym biegną fale. W
przypadku
ruchu
źródła
w
kierunku
nieruchomego
obserwatora
mamy
do
czynienia z efektem skrócenia długości fali, co jest związane z przesuwaniem się źródła za
zbliżającą się do obserwatora falą, a więc ze zmniejszeniem odległości między kolejnymi
szczytami fali. Jeżeli częstość źródła wynosi υ, a jego prędkość Vz to w czasie jednego okresu
drgań przesuwa się ono o odległość
VZ
ν
i każda długość fali zostaje skrócona o tę właśnie
wielkość. Dlatego też długość fali dźwięku dobiegającego do obserwatora wynosi nie λ =
V
ν
,
V
VZ
lecz λ '=( ) −( ) . A więc częstość dźwięku słyszanego przez obserwatora ulega
ν
ν
zwiększeniu :
ν '=
V
λ'
=
V
V
=ν (
)
V −VZ
(V −VZ ) ν
Gdy źródło oddala się od obserwatora, długość emitowanej fali jest o
VZ
ν
większa niż λ, tak
że obserwator słyszy obniżoną częstość, mianowicie:
ν ' =ν (
V
)
V +VZ
Ogólny związek dla przypadku gdy obserwator pozostaje w spoczynku względem ośrodka, a
źródło porusza się przez ośrodek, ma postać
ν ' =ν (
V
)
V mVZ
(1).
Minus należy brać dla ruchu źródła w kierunku obserwatora, a znak plus dla ruchu od
obserwatora. Przyczyną zmiany w tym przypadku jest to, że ruch źródła przez ośrodek
zwiększa lub zmniejsza długość fali przenoszonej przez ośrodek.
Jeżeli natomiast źródło dźwięku Z spoczywa, a obserwator O porusza się w kierunku źródła z
prędkością Vo to ze względu na swój ruch odbiera on
VOt
λ
dodatkowych fal w tym samym
czasie t. Częstość ν ', słyszana przez obserwatora jest równa liczbie fal odbieranych w
jednostce czasu, więc
ν'=
(Vt λ ) + (VOt λ ) V + VO VO + V
=
=
t
λ
Vν
czyli:
ν ' =ν
V + VO
VO
=ν (1 + )
V
V
Częstość υ', którą słyszy obserwator, jest sumą normalnej częstości υ słyszanej w spoczynku i
dodatkowego wyrazu ν (VO V ) związanego z ruchem obserwatora. Kiedy obserwator oddala
się od źródła, częstość zmniejsza się o ν (VO V ) , co jest związane z nieodbieraniem w każdej
jednostce czasu odpowiedniej liczby fal z powodu ruchu w kierunku od źródła. Wówczas
ν ' =ν
V − VO
VO
=ν (1 − ) .
V
V
Ogólna zależność, gdy źródło jest nieruchome względem ośrodka, a obserwator porusza się
przez ośrodek, ma postać
ν ' =ν (
V ± VO
)
V
(2)
gdzie znak plus odnosi się do ruchu w kierunku źródła, a znak minus do ruchu w kierunku
„od” źródła. Przyczyną zmian jest więc fakt, iż z powodu swego ruchu przez ośrodek
obserwator rejestruje mniej lub więcej fal w każdej sekundzie.
Jeżeli zarówno źródło jak i obserwator, poruszają się w ośrodku przenoszącym fale, to
obserwator słyszy częstość
ν ' =ν (
V ± VO
)
V m VZ
gdzie znaki górne „+” w liczniku i „-” w mianowniku odpowiadają sytuacji, gdy źródło i
obserwator poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej, w kierunku do siebie, a znaki dolne w
kierunku od siebie. Jeżeli natomiast wektor prędkości tworzy z kierunkiem odcinka łączącego
źródło i obserwatora kąt α, wówczas we wzorze (2) VO zastępujemy przez VO cosα, a we
wzorze (1) VZ przez VZ cosα.
Podsumowując: w fizyce klasycznej zjawisko Dopplera zależy od tego, czy obserwator
spoczywa, a źródło się porusza, czy też źródło spoczywa, a obserwator porusza się w jego
kierunku. W pierwszym momencie fakt, że możemy wyróżnić dwa takie przypadki może
wydawać się nieco dziwny (jeśli pamiętamy o zasadzie względności Galileusza).
Odmienność wyników bierze się stąd, że w akustycznym zjawisku Dopplera należy
uwzględnić jeszcze trzecie ciało (oprócz źródła i obserwatora), którym jest ośrodek
przenoszący fale akustyczne, czyli powietrze. Dzięki temu ośrodkowi możemy zdefiniować
trzeci układ odniesienia. Skoro więc są trzy ciała można zdefiniować dwie prędkości
względne, od których zależy przebieg zjawiska. Może to być prędkość źródła względem
powietrza i prędkość obserwatora względem powietrza. Nie ma więc sprzeczności z zasadą
względności.