Zadanie 2
Transkrypt
Zadanie 2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego I. Momenty bezwładności i dewiacji 1. Powierzchniowe momenty bezwładności, momenty bezwładności względem osi, biegunowe momenty bezwładności, momenty dewiacji (zboczenia) Momenty pierwszego rzędu (Jednostka [m3], mogą być >0, <0, =0) Powierzchniowe momenty bezwładności figury płaskiej Momentem statycznym Sl elementu pola F względem prostej L nazywa się iloczyn: Sl=y·F. Algebraicznie Sl yF . F Dzieląc pole F na nieskończenie wiele małych elementów dF, można przejść do wyrażenia: Sl y dxdy y dF F Moment statyczny całego pola względem danej prostej równa się sumie momentów statycznych poszczególnych części tego pola względem tejże prostej. Jednostka momentu statycznego to [m3]. Moment statyczny przekroju może osiągać wartości dodatnie i ujemne lub zero.Umownie moment statyczny Si nad osią oznaczamy ze znakiem „+” a pod osią „-”. Jeżeli prosta przechodzi przez środek ciężkości figury i można przyporządkować pola dF po obu stronach prostej tak, że y1=-y1 to jej moment statyczny jest równy „0” (symetria). dF y -y dF Przy przesunięciu równoległym osi l o odległość a do m można wykorzystać zależność Sm=Sl+F·a. Ze względu na fakt występowania odległości (tu y) w pierwszej potędze moment ten zalicza się do momentów pierwszego rzędu. Momenty drugiego rzędu to moment dewiacji. Środek ciężkości figury płaskiej (przekroju) to taki punkt, w którym skupione całe pole figury daje względem obranej osi taki sam moment statyczny, jak sama figura: Sy=xcF;Sx=ycF. Na tej podstawie można napisać wzory na środek ciężkości powierzchni figury płaskiej: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego xc F x F i yc i i F y F i i i 4 Momenty drugiego rzędu (Jednostka [m ]) Moment bezwładności (geometryczny) pola względem osi(momenty bezwładności zawsze >0) Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi x nazywa się wyrażenie: J x y 2dF F Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi y nazywa się wyrażenie: J y x 2dF F Gdzie, x oznacza odległość elementu dF pola F od osi y, a y oznacza odległość dF od osi x. Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiejo polu F względem punktu O nazywa się wyrażenie: (odległość ρ2=x2+y2) J O ρ 2dF x 2dF y 2dF F F F stąd JO J x J y Podsumowując, suma momentów bezwładności pola F względem dwóch osi prostopadłych do siebie równa jest biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu O przecięcia się tych osi. Moment dewiacji – geometryczny – (moment zboczenia lub moment odśrodkowy) figury płaskiejo polu F względem osi x, y nazywa się wyrażenie: (momenty dewiacji mogą być >0, <0, =0) D xy xydF F y x ρ dF y x O Momenty drugiego rzędu wykorzystywane są często w wytrzymałości materiałów, gdzie liczy się je najczęściej względem prostych centralnych, tj. przechodzących przez środek ciężkości figury. Momenty takie nazywa się centralnymi momentami bezwładności figury płaskiej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego W odróżnieniu od momentów statycznych, momenty bezwładności figur płaskich posiadają zawsze wartości dodatnie, ponieważ w wyrażeniach na nie odległość jest w drugiej potędze.Momenty dewiacji mogą być większe, mniejsze lub równe zero. Promień bezwładności Promieniem bezwładności pola F figury odpowiednio względem osi x i y oraz bieguna O nazywa się odpowiednio wyrażenia: J J J i x x , i y y , iO O , F F F 2 2 Na tej podstawie można zapisać równości: Jx=F·ix ,Jy=F·iy , JO=F·iO2, oraz iO2=ix2+iy2. Twierdzenie Steinera Moment bezwładności pola F figury względem prostej równa się momentowi bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek ciężkości pola plus iloczyn pola F figury i kwadratu odległości obu prostych. y v a u Środek ciężkości b x O Jx=Ju+b2ForazJy=Jv+b2F Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rysunek poglądowy Geometryczny moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Przykład 1 Obliczyć z definicji moment statyczny pola prostokąta pokazanego na poniższym rysunku o bokach b i h względem prostej l, przechodzącej przez podstawę. b dF dy h y h½ l Oznaczając by·dy = ydF =dS1. Można na podstawie wcześniejszej definicji napisać: h h 0 0 Sl y dF y bdy b F bh2 h ydy F 2 2 Zad. 1. Dla figury przedstawionej w przykładzie 1 obliczyć z definicji momenty drugiego rzędu względem prostej osi x i y przechodzących przez jego boki. Zad. 2 Proszę wyznaczyć dla obu przypadków pokazanych na rys. poniżej: momenty bezwładności figury płaskiej względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych, korzystając z definicji momentu bezwładności figury względem osi; biegunowy moment bezwładności względem początku układu współrzędnych; promienie bezwładności względem osi i początku kartezjańskiego układu współrzędnych; moment dewiacji figury względem układu xy. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego y b b r y x r O b b x a). O b). Rys. 1.1. Zad.3. Proszę wyznaczyć położenie środka ciężkości figury pokazanej na rys. 1.2 względem kartezjańskiego układu współrzędnych oraz momenty bezwładności względem układu osi o początku w środku ciężkości figury i osiach równoległych do osi układu Oxy. Do rozwiązania należy posłużyć się twierdzeniem Steinera. Należy wyznaczyć również moment dewiacji oraz biegunowy moment bezwładności względem nowego układu osi. y 2a x O 2a Rys. 1.2. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 2. Masowe momenty bezwładności, momenty bezwładności względem osi, biegunowe momenty bezwładności, momenty dewiacji (zboczenia) Środek masy układu punktów materialnych Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promieo-wektor rs wyznacza się wg wzoru: Współrzędne środka ciężkości Istnieje pełna analogia do twierdzenia o momentach statycznych; pole powierzchni figury i figur składowych zastępuje się masą bryły i brył składowych. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Momentem bezwładności ciała o masie m (masowy moment bezwładności) względem płaszczyzny xy, yz, zx nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera. z dm, x dm, y dm 2 2 m 2 m m Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od płaszczyzny wystąpią kwadraty odległości elementów od osi, wówczas będziemy mówid o momencie bezwładności ciała względem osi. Ponieważ e2=y2+z2 więc momenty bezwładności ciała względem osi x, y, z: I x e 2 dm y 2 z 2 dm y 2 dm z 2 dm m m m m Z powyższego wynika, że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn, których krawędzią przecięcia jest dana oś. Moment bezwładności bryły względem osi y I z r 2 dm I z r 2 dV r 2 dV dm h x y z x Moment bezwładności walca obrotowego względem jego osi obrotu I z r 2 dm objętośd elementarnej warstwy dV 2r dr H masa elementarnej warstwy dm 2r dr H moment bezwładności liczony z definicji: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego I z r 2 dm r 2 2r dr H I z 2H r 3 dr r I z 2H r 3 dr 0 I z 2H 4 r 4 r 0 Hr 4 2 r H r 2 2 2 mr 2 2 Momenty bezwładności względem osi przykładowych brył: Pręt o długości L i masie m I ml 2 12 Pręt o długości L i masie m I ml 2 3 Prostopadłościan o wysokości h, długości a, szerokości b i masie m I m 2 a b2 12 cylindryczna rura wykonana z cienkiego materiału; promieo r, masa m Im I mr 2 Im Walec o promieniu r i masie m: R 2 r2 2 r2 2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn nazywa się wyrażenie: I xy xy dm, I yz yz dm, I zx zx dm m m kg m 2 m Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy IXC zwiększonemu o iloczyn masy ciała i kwadratu odległości a między tymi osiami – twierdzenie Steinera. IX=IXC+ma2 3. Macierz bezwładności i jej transformacje Moment bezwładności ciała sztywnego Każdy obiekt fizyczny - ciało sztywne - to obiekt o skończonych wymiarach. Określenie sztywne oznacza, że struktura ciała jest ,,sztywna'', tzn. pod działaniem sił ciało nie deformuje się i odległości pomiędzy punktami ciała pozostają stałe. Z kolei, wprowadzając pojęcie momentu pędu ciała, w ruchu obrotowym względem pewnej osi, , pierwszym wzorem z jakim spotykamy się to (14.13) gdzie to prędkośd punktu materialnego o masie , a jego odległośd od osi obrotu. Punkt materialny to pewna abstrakcja; dla ciała sztywnego musimy powyższą definicję zmodyfikowad. Robimy to, traktując ciało jako zbiór (sumę) bardzo małych mas kwazi-punktowych , z których każda posiada pewną prędkośd i znajduje się w pewnej odległości od osi obrotu. Jeżeli ciało wykonuje ruch obrotowy wokół pewnej osi, której położenie w przestrzeni jest stałe, to prędkośd liniowa każdego ,,punktu'' (14.14) gdzie jest prędkością kątową obrotu. (Wektor leży na osi obrotu, a jego zwrot związany jest z kierunkiem obrotu regułą śruby prawej).W takim razie Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego (14.15 ) (W wyprowadzeniu powyższego wzoru wykorzystaliśmy związek (14.16) dla podwójnego iloczynu wektorowego.) Wzór 14.15warto rozpisać dla współrzędnych -i -owej wektora -, : (14.17) ( ; Utwórzmy teraz macierz o wymiarach 3 .) 3, (14.18) której wyrazy to . Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego (14.19) Tak zdefiniowana macierz to macierz momentu bezwładności (tensor momentu bezwładności). Macierz jest symetryczna, a elementy na przekątnej głównej to rzeczywiście wartości momentów bezwładności naszego ciała, obliczanych względem osi ( ), ( )i ( ), tak zwane główne momenty bezwładności. Rzeczywiście, dla dowolnej osi obrotu definicja moment bezwładności bryły sztywnej to (14.20) gdzie to odległośd -tej masy od osi obrotu. Dla - na przykład - osi Wyrazy leżące poza przekątną główna (3 symetryczne pary): , i to tak zwane momenty dewiacji. Podobnie jak i główne momenty, momenty dewiacji opisują rozkład masy w ciele. Można sprawdzić, że (14.21) Powyższe równanie formalnie to równośd wektora momentu pędu oraz wyniku działania macierzy momentu bezwładności na wektor prędkości kątowej. Iloczyn macierzy macierzy o wierszach to także macierz jednokolumnowa - wektor o i jednokolumnowej współrzędnych. Stojąca z Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego lewej strony iloczynu macierz jest operatorem w przestrzeni wektorowej, która działając na wektor (element tej przestrzeni) tworzy z niego inny wektor. W ogólnym przypadku, stary i nowy wektor są ,,zupełnie'' różne - tzn., różnią się długościami i kierunkami. Ale macierz jest symetryczna, a więc istnieje taki układ współrzędnych, układ osi głównych ciała sztywnego, w którym macierz 14.18ma postad diagonalną, a skomplikowane nieco równanie 14.21przybiera postad znacznie prostszą (14.22) albo (14.23) W takim właśnie, wyróżnionym układzie współrzędnych mamy Dla ciał wykazujących symetrie kształtu, osie główne pokrywają się z osiami symetrii ciała. Łatwo to zrozumieć. Jeżeli ciało jest symetryczne względem, na przykład, osi , to znaczy że ,,po jednej i po drugiej stronie'' tej osi znajduje się jednakowa ilość takich samych punktowych mas. W wyrażeniu typu dodatnie i ujemne współrzędne wektora xi i yi- odległości od osi - występują więc z taka samą ,,częstością'' (jest tyle samo xiwiększych od zera, jak i mniejszych od zera) i taką samą wagą (masą mi). Jeżeli tak, to powyższe wyrażenie musi być równe zeru - zgodnie z 14.22. Dla ciał o wysokim stopniu symetrii (kula, sześcian) momenty bezwładności liczone względem trzech głównych osi są takie same: ( wzór na moment bezwładności kuli, względem dowolnej osi, przechodzącej przez jej środek: Gdzie M to masa kuli, a R-jej promień.) W takich przypadkach równanie 14.22znakomicie się upraszcza: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego (14.24) albo L= Iω. (14.25) Moment pędu jest proporcjonalny do prędkości kątowej, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest miara bezwładności ciała, bezwładności którą musimy pokonad wprowadzając ciało w ruch obrotowy. Dopiero w takim prostym przypadku możemy interpretowad ten wzór jako analogiczny do związku z mechaniki ruchu postępowego p= mv, (14.26) w którym analogon momentu pędu - pęd p- jest przedstawiony jako iloczyn masy (miary bezwładności w ruchu postępowym) i jej prędkości liniowej v. W przypadku ogólnym obowiązuje równanie 14.21. II. 1. Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania: Pierwsze i drugie zadanie dynamiki Pierwsze (proste) zadanie dynamiki – znane są skutki, nie znamy przyczyn ruchu tj. znane jest równanie ruchu (w czasie) a poszukiwana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch.Przy prostym zadaniu dynamiki całkujemy równanie ruchu. Dane: Szukane: x x(t) y y(t) z z(t) • P • • kinematyczne równania ruchu punktu masa punktu m wypadkowa sił działających na ciało Drugie (odwrotne) zadanie dynamiki – znane są przyczyny wywołujące ruch, nie znamy skutków tj. znana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch ale nie znamy równania ruchu (w czasie).Przy odwrotnym zadaniu dynamiki różniczkujemy równanie równowagi dynamicznej ruchu. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Dane: • • • • wypadkowa sił działających na punkt masa punktu położenie początkowe punktu prędkość początkowa punktu Szukane: • kinematyczne równania ruchu punktu P m x0 x(t0 ) y0 y (t0 ) v x 0 x (t0 ) v y 0 y (t0 ) z0 z (t0 ) v z 0 z (t0 ) P P P x x(t ) y y (t ) z z (t ) oo X mx Y m y Z m z oo oo Zad. 1. Nowoczesna winda zawieszona na linie przemieszcza się w szybie ze znanym przyspieszeniem a [m/s2+. Siły oporu są również znane i wynoszą R=0,2·P=const *N+. Określid, ile wynosi siła napięcia liny N, na której zawieszono windę. Ciężar windy wynosi P *N+. Dane: P [N] – siła ciężkości klatki; x R=0,2·P=const *N+ – siła oporu ruchu; R oo a= x [m/s2+=0,4·g *m/s2] – przyspieszenie windy; N=[N] szukane - siła napięcia liny; Rozwiązanie: N Równanie różniczkowe ma postad: oo y a oo m· x =P-N-R stąd N=P-R-m· x oo podstawiając za masę m=P/goraz wiedząc, że x =a=0,4·g P N P - 0,2 P - 0,4g g N=0,4·P [N] lina P Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 2. Prawa Newtona I - Prawo pierwsze (zasada dynamiki – zasada bezwładności) Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, lub siły działające równoważą się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Jest to zasada bezwładności, tzn., że bez użycia siły nie można punktowi materialnemu nadać przyspieszenia ani go zatrzymać. Układ odniesienia, w którym słuszna jest ta zasada nazywamy układem inercjalnym. Prawo drugie (zasada dynamiki) W układzie inercjalnym przyspieszenie punktu materialnego (lub bryły materialnej) jest proporcjonalne do siły działającej na dany punkt (lub bryłę materialną) a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała i ma kierunek i zwrot działania siły. (F=m·a) d (mv ) F dt Jeżeli masa punktu jest wielkością stałą dm 0 to równanie przyjmuje postać d (v ) dt m mr ma F gdzie: r- promień wektor opisujący położenie punktu materialnego dt a - przyspieszenie punktu. Prawo trzecie (zasada dynamiki – zasada akcji i reakcji) Jeśli jedno ciało działa z określoną siłą na drugie ciało, to i wzajemnie drugie ciało działa na pierwsze ciało siłą taka samą, co do wartości, lecz przeciwnie zwróconą. N Kierunek ruchu 3. Zasada zachowania pędu Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił m a Fi Zakładają, że m const a dv dt Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego m dv Fi dt d m v Fi dt Pęd (ilość ruchu) ciała (punktu materialnego) jest to iloczyn wektora prędkości punktu i jego masy. p m v Pęd jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający kierunek i zwrot wektora prędkości punktu. Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym wektor p pozostaje stały bez względu na to jak poruszają się ciała wewnątrz układu. Inaczej: Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa zeru. R m A v r v Jeżeli F 0 to i dp 0 p const. dt Zasada ta wynika bezpośrednio z drugiej zasady Newtona. 4. Zasada zachowania krętu Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna O nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu wektora promienia wodzącego punktu i wektora pędu poruszającego się punktu. Kręt to moment pędu. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego O mr A KO r p Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi sumy wszystkich sił działających na punkt materialny. Zasada zachowania krętu:jeżeli moment główny układu sił działających na punkt materialny względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego się względem tego samego bieguna jest wielkością stałą. dK O M O Fi dt dK O Jeżeli M O 0 to 0 czyli kręt (moment pędu) jest KO const. dt Zadanie 1 Człowiek o masie m1=70 [kg] porusza się po brzegu poziomej tarczy o promieniu r = 4 [m] i masie m2 = 200 [kg], jak podano na rysunku. Podać o jaki kąt φ1 obróci się tarcza, gdy człowiek przejdzie cały jej obwód. m1 m2 ω Vw m1 m2 O r Tarcza obraca się wokół pionowej osi bez tarcia, kręt = 0 w chwili początkowej (nim człowiek rozpocznie ruch) jest równy 0 w dowolnej chwili t. Człowiek porusza się względem tarczy z V w=0, wówczas tarcza zacznie się obracać w przeciwnym kierunku z prędkością kątową ω. Vb=Vu+Vw Vu=ω∙r K1=m1r∙(Vw-ω∙r) względem osi obrotu Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Kręt tarczy: K2=-JzωJz= 1 m2r2 2 K1+K2=0 m1r∙(Vw-ωr)-Jzω=0 m1r∙(Vw-ωr)- 1 m2r2ω=0 2 m1r∙Vw-ω(m1r2- 1 2 m2r2)=0 m1rVw 1 m1r 2 m 2 r 2 2 m1Vw ω 1 r m1 m 2 2 ω Czas przemarszu po całym obwodzie tarczy z prędkością względną Vw=const wynosi: 2r t1 Vw czyli: 5. 1 ωt1 m1Vw 2r 4m1 2,6 [rad] 1 2m1 m 2 Vw r m1 m 2 2 Zasada d'Alamberta W ruchu ciała (punktu materialnego) układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą bezwładności. Fi czynne Ri reakcje FB 0 (siły czynne (siła żywa) i bierne) Inaczej F+(-m·a)=0 Jeżeli do punktu materialnego oprócz sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożymy siłę bezwładności, otrzymamy układ sił pozostających w równowadze. Wprowadzając do zadań z zakresu dynamiki siłę bezwładności, można je rozwiązywać, stosując znane ze statyki równania równowagi, szczególnie korzystne dla określenia reakcji więzów. Przyjęcie sił bezwładności prowadzi do sprowadzenia zagadnień dynamiki do zagadnienia statycznego (równowaga sił). Fi FB 0 FB Fi m a Fi Rzutując obie strony równania na trzy osie Ox, Oy, Oz, otrzymujemy dynamiczne równania ruchu: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego m a Fi m a x Fx m a y Fy m a z Fz Dla ciała – układu punktów materialnych do powyższych zależności dochodzi warunek sumy momentów tj. można stwierdzić, iż siły czynne, siły bierne i siła bezwładności działające na każdy punkt układu pozostają w równowadze. Muszą wobec tego spełniać warunki równowagi układu sił.Suma geometryczna musi być równa zeru. Suma momentów od tych sił względem dowolnie obranego bieguna musi być równa zeru. Warunki równowagi dla układu sił działającego na każdy punktu układu: Fi FB 0 M F , F 0 o 6. i B Równania Lagrange'a Ruch w mechanice, a w szczególności drgania mechaniczne ciał stałych, opisać można za pomącą równań różniczkowych ruchu. Jednym ze sposobów jest opis za pomocą równania Lagrange’a II rodzaju: d L L R Q(r ) dt q i q i q i Gdzie: L(q1 , qi , t ) E U - energia Lagrange’a; Q – siła zewnętrzna; 1 Energia potencjalna: U ci x 2 mi gx i (różnica wysokości, energia zgromadzona w ciele np. 2 sprężyna, akumulator hydrauliczny itp.); 2 1 Energia rozproszenia (Rayleigh’a): R b j x energia wytracana w układzie i rozpraszana 2 j poprzez zamianę na ciepło, luminescencję, zużycie trybologiczne itp. procesy nieodwracalne; Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Przykładowe oprogramowanie wykorzystujące do celów symulacji opis ruchu na bazie równania Lagrange’a Postać numeryczna równania Lagrange’a i metody całkowania – interpretacja graficzna. Zad. 1. Dla układu przedstawionego na rysunku wyznaczyd równanie ruchu z wykorzystaniem równania różniczkowego Lagrange’a, Nielsena, Mangelona - Delanou i Cenowa. Dane: m1,m2, c1, c2. c2 z x2 c1 x1 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego I. Rozwiązanie powyższego zadania za pomocą równania różniczkowego Lagrange’a: gdzie Pi to siły zewnętrzne ( u nas Pi=0 ). Energia kinetyczna: E 2 2 1 1 m1 x1 m 2 x 2 2 2 Energia potencjalna: 1 1 U C2 x 2 C1 x1 x 2 2 2 Funkcja Lagrange’a: LEU 2 2 1 1 1 1 L m1 x 1 m 2 x 2 C 2 x 2 C1 x 1 x 2 2 2 2 2 Pierwsza pochodna energii kinetycznej wynosi: E m1 x1 x1 m 2 x 2 x 2 E x1 m1 x 1 E x2 m2 x 2 Obliczanie kolejnych składników równania: U E C1 x 1 x 2 0 x 1 x 1 U E C1 x 2 x 1 C 2 x 2 0 x 2 x 2 Po podstawieniu różniczek do równania Lagrange’a otrzymujemy: x C x x C x m1 x1 C1 x1 x 2 0 m2 2 1 1 2 2 2 0 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Energia i jej przemiany. Część I Energia kinetyczna, energia potencjalna Energia mechaniczna Zasada zachowania energii mechanicznej III. 1. 2. 3. Zad. 1. Dachówka spada z dachu przebywając drogę AB = l = 4 *m+ w czasie τ = 1 *s+ z początkową prędkością V0 = 0, a następnie spada swobodnie z wysokości h = 5 *m+ na ziemię. Wyznaczyd w jakiej odległości od krawędzi dachu spadnie dachówka, jeżeli współczynnik tarcia dachówki o dach wynosi µ. B h α=6 00 z= ? I odcinek α N y a A µ T G x B Z dynamicznych równao równowagi: m x Gsinα T m y N Gcosα => N=Gcosα przyśpieszenie y =0 bo ruch jest prostoliniowy, odbywa się wzdłuż osi x m x Gsinα Gμμcos /:m G x Gsinα Gμμcos g /: T=µN T=Gµcosα g G Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego x gsinα gμμcos - całkujemy x gsinα gcosα t C1 x gsinα gcos t2 C1t C 2 2 Warunki początkowe: V0=0 dla dla t=0 t=0 x A = 0 czyli t=τ x=l xA=0 czyli C1=0 C2=0 x gsinα gcosα t x gsinα gcos VB=(gsinα-gµcosα)·τ t2 l ( g sin g cos ) 2 2 2 gsinα g cos VB 2l 2 2l τ 2l VB = 8 [m/s] II odcinek x y m V α B A F ix 0 mx 0 my G Całkowanie: x C3 y g x=C3t+C4 y gt C5 yg t2 C5 t C6 2 Warunki początkowe: V0=0 dla t=0 t=0 x = VBcosα czyli x=0 czyli dla t=0 y = VBsinα czyli C5=VBsinα t=0 y=0 czyli C6=0 x VBcosα C3=VBcosα C4=0 y gt VBsinα Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego yg x=VBcosα t2 VBsint 2 x=VBcosα yg t2 VBsint 2 2 t x VB cos y gx 2 xtg 2VB2 cos 2 α y g x x gx 2 VBsinα tgx 2 VB cosα VB cosα 2VB2 cos 2 α Szukamy x dla y = 5 g8x 2 5 3x 2 8 2 0,5 2 x1,2=-2,82±4,93 x=2,11 [m] Zad. 2. Jaką drogę przebędzie klocek o masie m umieszczony na poziomej, chropowatej powierzchni, jeżeli nada się mu prędkośd początkową V N mg x T y G m x T m x N - mg y 0 (przyspieszenie w y=0, bo nie ma ruchu w tej osi oraz siła N równoważy się z siłą mg) N=m·g T=N·µ=m·g·µ Vp m x mgμ x gμ Całkujemy po czasie, aby uzyskad prędkośd a potem drogę. x μgt C1 Prędkośd x μg t2 C1t C 2 Przemieszczenie 2 Warunki początkowe: dla t=0 V=Vp t=0 x=0 C1=Vp C2=0 x μgt Vp Prędkośd Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego x μg dla t= τ x =0 Vp2 x μg x t2 Vp t Przemieszczenie 2 2μ 2 g 2 Vp Vp μg 0=-µgτ+Vp Vp2 2μμ Vp2 μg => τ Vp μg τ – czas, po którym klocek wyhamuje od zera Vp2 2g 2 p V 2g Zad. 3. Ciała o ciężarach G i Q połączono nicią przerzuconą przez krążek C jak przedstawiono na rysunku. Zakładając, że masa i opory ruchu krążka są pomijalnie małe wyznaczyd naciąg nici oraz prędkośd ciała G po przebyciu drogi h. Całkowanie: µ Q 1 1dt T t C tdt 2 t 2 C h1 1 1 1 3 2 t dt t C t 2dt t 3 C 3 2 2 3 µ N α y G x G x S a T Q dla ciała G S G=mg => m G dla ciała Q Q=mg g F ix 0 Fix 0 G-S=max S T Qsinα F iy Q a g 0 N-Qcosα = 0 => N = Qcosα T=µN => T = µQcosα Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego S Qcos Qsinα G Q a g G Q a Q sinα μcosα a g g G Q sinα μcosα G Q a a g g / g g G Q sinα μcosα a G Q a g G - Q sinα μcosα GQ oraz SG G g G - Q sinα μcosα g GQ S GQ G 2 G 2 GQ sinα μcosα GQ S GQ (1 sinα μcosα) GQ tC h t 2h V =at dla ruchu jednostajnie przyspieszonego K C a at 2 2h at 2 2 2h a Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego IV. Energia i jej przemiany. Część II ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI ENERGII KINETYCZNEJ I PRACY Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu i układu punktów materialnych, równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej sił wewnętrznych i zewnętrznych, zachowuje stałą wartość E2+ VZ(2) + VW(2)=E1+ VZ(1)+VW(1) Wzór wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej. Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu E2- E1=W Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Zad. 1. Walec o masie m kg i promieniu podstawy r m jest owinięty w środku cienką linką, której koniec A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadać bez prędkości początkowej, odwijając się z linki. Obliczyć prędkość osi walca V w chwili, gdy oś obniżyła się o wysokość h. Rozwiązanie: W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E2- E1=W Zatem stąd Zad. 2. Koło o masie m kg toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie pochylenia α. Współczynnik tarcia tocznego wynosi f. Stały moment M Nm jest przyłożony do koła o masie 2m i promieniu 2r, obracającego się względem osi O. Z kołem tym jest połączone koło o masie m i promieniu r. Wyznaczyć przyspieszenie kątowe ε2. W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku. Rozwiązanie: W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna Zależności między prędkościami: Wszystkie prędkości wyrażamy przez ω2 Pracę wykonują siły ciężkości oraz stały moment M i moment tarcia N·f Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zależności na drogę: Wartość siły nacisku Po podstawieniu do wzoru E2- E1=W otrzymamy Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymamy Zadanie do samodzielnego rozwiązania: Zad. 3. Ciężarek A o masie m1 kg opada zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej linie przeciągniętej przez bloczek B i nawiniętej na bęben o promieniu r m, na którym osadzone sztywno koło o promieniu R, toczące się bez poślizgu po poziomym torze. Współczynnik tarcia tocznego wynosi f. Wspólna masa koła i bębna jest równa m2 kg. Wyznaczyć przyspieszenie kątowe ε oraz liniowe a1 i a2. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego V. CIŚNIENIE, ELEMENTY MECHANIKI PŁYNÓW Statyka płynów Zadanie 1 Otwarty zbiornik wypełniony jest wodą na wysokość h1 oraz olejem na wysokość h2. Ciśnienie wody przy dnie jest mierzone za pomocą piezometrycznej rurki o wysokości h. Jaka jest gęstość oleju ρ0? Jaka będzie wysokość cieczy w rurce piezometrycznej rurce(h’) jeśli zbiornik będzie zamknięty a ciśnienie w zbiorniku wzrośnie o Δp? woda [1] Wyznaczyć: Dane: h1 = 0.2 m h2 h p0 = 1.2 m = = v = p o = ? h =? 1.2 m 0.10132 MPa -3 1000 kg.m 0.01 MPa Rozwiązanie: dla otwartego zbiornika p=p o: dla zamkniętego zbiornika z ciśnieniem p, gdzie p=p o+Δp Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie 2 Jaka jest różnica ciśnień Δp w poziomej rurze (w której przepływa woda), mierzonego za pomocą u-rurki wypełnionej rtęcią. Różnica poziomów rtęci wynosi Δh. p1 p2 h h v [2] h H 20 Hg Hg Wyznaczyć: Dane: 0.35 m = p =? -3 = 1000 kg.m = 13600 kg.m -3 Rozwiązanie: Do samodzielnego rozwiązania: V h h p Hg h' h' Zadanie 3 Ciśnienie wody w rurze mierzy się ururką z otwartym końcem. Różnica poziomów rtęci w ururce wynosi Δh. Położenie dolnego poziomu rtęci względem osi rury jest określone za pomocą wysokości h. Jak wielkie jest mierzone ciśnienie p ? Zakładając stałe ciśnienie p, jaka będzie różnica poziomów rtęci Δh’przy zmianie h na h’? Ciśnienie atmosferyczne wynosi p0. [3] h h h p0 v Dane: 0.3 m = 1m = p h = 1.5 m = 0.1 MPa = 1000 kg.m Wyznaczyć: =? =? -3 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Hg = -3 13600 kg.m Statyka płynów –część II Zadanie 1 W zbiorniku wypełnionym cieczą są zamontowane dwa tłoki o średnicach d1 oraz d2. Na pierwszy z nich działa siła F1. Wyznaczyć ciśnienie p w cieczy oraz siłę F2 utrzymujący tłoki w równowadze. [4] Dane: d1 d2 F1 = 0.29 m p = 0.55 m F2 = 1407 kN Wyznaczyć: =? =? Rozwiązanie: Zadanie 2 Dwa cylindry o różnych wielkościach są sztywno połączone z sobą za pomocą pręta. Jeśli na cylinder o powierzchni S1 działa ciśnienie p1, wówczas w pręcie pojawia się siła F1. Ta siła jest przeniesiona na drugi cylinder o powierzchni S2, jako daną wyjściową uzyska się ciśnienie p2. Wyznaczyć wartość tego ciśnienia. S1 S2 F2 p1 p2 [5] Wyznaczyć: Dane: S1 S2 p1 = = 20 cm 2 16 cm 2 p2 =? 1 MPa = Rozwiązanie: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 3 = H h p0 d Wyznaczyć: h= ? Dane: D = d H= p0 D Prętem połączone cylindry znajdują się w położeniu jak ukazano na rysunku. Wyznaczyć h jeśli dany jest stosunek D/d oraz H. 3 4m -3 1000 kg.m Napór hydrostatyczny na sztywne ściany płaskie Zadanie 1 Wyznaczyć siłę naporu F na okrągłą ścianę zbiornika w którym znajduje się ciecz wypełniająca rurkę do wysokości h. Wyznaczyć różnicę Δh pomiędzy środkiem ciężkości a środkiem naporu. Gęstość wody wynosi . h p0 H2O D T P h F [6] Dane: Wyznaczyć: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego h= D= = F=? h = ? 1.4 m 0.8 m -3 1000 kg.m Rozwiązanie: Zadanie 2 p Wyznaczyć siłę naporu F i środek naporu hp dla kwadratowego wieka kanału F znajdującego się na HO głębokości hT pod poziomem wody (p0=const). Wyznaczyć średnią wartość ciśnienia p na wieko. hP hT 0 p0 T P a 2 Dane: 1.6 m hT = 1m a= = 1000 kg/m3 F Wyznaczyć: =? hp = ? p =? Rozwiązanie: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Do samodzielnego rozwiązania: F ht Zadanie 3 Wyznaczyć wartość siły naporu F na okrągłe wieko zbiornika oraz położenie środka naporu xp. Wyznaczyć składową pionową siły naporu Fy. xT H2O P T xP D [7] Wyznaczyć: Dane: D xT F = 1m = 1.8 m xp = 40 deg Fy = ? ? = =? -3 1000 kg.m Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione Zadanie 1 Wyznaczyć wartość siły naporu F na ścianę zakrzywioną o przekroju walcowym wyrażonym promieniem R oraz szerokością B. Wyznaczyć składowe Fx, Fy oraz kąt α. R F H2O Wyznaczyć: Dane: R= 0.8 m B= 3 m = 1000 kg.m -3 Fx = ? Fy = F= = ? ? ? Rozwiązanie: Zadanie 2 h Wyznaczyć siłę naporu wody F na walcową ścianę zbiornika o szerokości B. F R S Wyznaczyć: Dane: h= R= B= = 0.8 0.4 m m 4.0 m 1000 kg.m-3 Fx = Fy = F= ? ? ? Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozwiązanie: Do samodzielnego rozwiązania: h= R= = 6.5 m 4m 1000 kg.m-3 R F Dane: h Zadanie 3 Wyznaczyć składowe Fx, Fy, kąt α oraz wypadkową siłę naporu wody F na ścianę w kształcie półkuli. Wyznaczyć: Fx = ? Fy = ? F=? = ? Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione Objętościowe natężenie przepływu wody, równanie Bernoulliego Zadanie 1 W zbiorniku o szerokości b i długości l poziom wody obniżył się o wielkość h w czasie t. Wyznaczyć średnie objętościowe natężenie przepływu wody Qv . b= 40 m l= h= t = 300 m Qv h Wyznaczyć: Dane: =? 8m Q 30 min V l Rozwiązanie: Zadanie 2 Ze zbiornika poprzez rurkę o średnicy d wypływa płyn o gęstości oraz ciśnieniu zbiorniku działa również ciśnienie atmosferyczne. Są dane h1 h2 . Wyznaczyć objętościowe natężenie Qv , oraz ciśnienie p1 w punkcie 1. oraz wypływu płynu Wyznaczyć: Dane: d p0 Qv p1 12 cm = -3 = 1000 kgm h1 = h2 = 1m p0 = 100000 Pa d 0 h2 wysokości 1 p 0 . Zbiornik jest otwarty, także na płyn w h1 =? =? 1m Rozwiązanie: Równanie Bernoulliego v = konst 0-2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 2 p0 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Równanie Bernoulliego 1-2 Objętościowe natężenie wypływu płynu Qv : Do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 3 Woda wypływa ze zbiornika z objętościowym natężeniem . Wyznaczyć odpowiadającą wysokość poziomu wody H, oraz ciśnienie atmosferyczne p0 = = d2 = = = 200 m3.h-1 1m Wyznaczyć: v2 = ? H=? 75 mm d2 = ? o p1 = ? 10 w punkcie na 1. d2 1000 kg.m-3 p0 0 d1 1 v1 p1 2 p0 v2 d2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 pod Ciśnienie wynosi 101325 Pa. Dane: Qv l p1 d1 H poprzez otwór o długości l, zwężający się z l kątem Qv Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego VI. WŁAŚCIWOŚCI MATERII. FIZYKA CZĄSTECZKOWA 6.1. Atomowa struktura materii Doskonały kryształ składa się z uporządkowanych atomów w sieci krystalicznej, opisanej przez trzy podstawowe wektory translacji; a, b, c , tak, że układ atomów pozostaje niezmieniony czy obserwujemy go z punktu P(r) czy z punktu P(r’). a b T r r’ Rys. 6.1. Część kryształu w przestrzeni dwuwymiarowej Uporządkowanie atomów w krysztale wygląda dokładnie tak samo bez względu na to, czy obserwujemy z punktu r’, czy r, pod warunkiem, że wektor T, który łączy r’ i r można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych wektorów a i b. Relacja między wektorami r i r’ jest następująca (dla przypadku trójwymiarowego): r ' r n1a n2 b n3c gdzie: n1 , n2 , n3 są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór punktów określonych tym równaniem dla wszystkich wartości i definiuje sieć krystaliczną. Sieć: jest regularnym i periodycznym układem punktów w przestrzeni. Ze strukturą krystaliczną mamy doczynienia wówczas, gdy baza atomów jest przyporządkowana jednoznacznie do każdego węzła sieci. Baza: składa się z jednego atomu dla najprostszych kryształów może być również 105 atomów lub cząsteczek np. w białkach. Przekształcenie translacji sieci lub przekształcenie translacji kryształu definiujemy jako przesuniecie równoległe kryształu względem siebie o wektor translacji kryształu T. T n1a n2 b n3c Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Komórka prosta sieci: Równoległościan a, b, c nazywamy komórką prostą, która jest jednym z typów komórki elementarnej. Komórka elementarna stanowi przestrzeń powstałą z przekształceń translacji kryształu. Istnieje pięć sieci dwuwymiarowych Bravais’ego, parametry sieci są przedstawione w tabeli 6.1. Istnieje czternaście rodzajów sieci trójwymiarowych, występujących w siedmiu układach krystalograficznych. Tabela 6.1. Pięć sieci dwuwymiarowych Bravego Sieć Umowna komórka Parametry sieciowe elementarna komórki elementarnej Ukośnokątna równoległobok a b; 90O Kwadratowa kwadrat a = b; = 90O Heksagonalna romb a = b; = 120O prostokątna prosta prostokąt a b; = 90O Prostokątna centrowana prostokąt a b; = 90O Wiązania w krysztale Całkowicie odpowiedzialne za spójność ciała stałego jest oddziaływanie przyciągające – elektrostatyczne, między ujemnymi ładunkami elektronów, a dodatnim ładunkiem jąder. Siły magnetyczne mają mały wpływ na spójność kryształu, a siły grawitacyjne można w ogóle pominąć. Energię wiązania kryształu można obliczyć z danych o przestrzennym rozkładzie elektronów i jąder w krysztale (z praw mechaniki kwantowej) oraz z danych o rozkładzie ich prędkości. W zagadnieniu spójności porównujemy całkowitą energię ciała stałego (energia kinetyczna + potencjalna) z energia dla tej samej liczby swobodnych atomów nieskończenie odległych od siebie. Kryształ jest stabilny gdy jego całkowita energia jest mniejsza od całkowitej energii swobodnych atomów i cząstek. Energia spójności = energia swobodnych atomów – energia kryształu Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rodzaje wiązań: a) b) c) C C C C C diament Rys. 6.2. Podstawowe rodzaje wiązań krystalicznych: a) van der Waalsa, b) jonowe, c) kowalencyjne Typ wiązania kowalentne jonowe metaliczne Molekularne (van der Waalsa) Tabela 6.2. Typy wiązań i ich własności Przykład Energia wiązania kJ/mol diament 710.60 NaCl, LiF 752.40, 1003.20 Na, Fe 108.68, 392.92 Ar, CH4 7.52, 10.03 Charakterystyczne własności Twarde, małe przewodnictwo elektryczne Pochłanianie w podczerwieni, małe przewodnictwo elektronowe w niskich temperaturach, duże przewodnictwo jonowe w wysokich temperaturach Duże przewodnictwo elektryczne i przewodnictwo cieplne Niska temperatura topnienia i wrzenia, duża ściśliwość Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wiązanie van der Waalsa - Londona: Występuje w gazach szlachetnych (tworzą strukturę o możliwie najgęstszym upakowaniu) Potencjał elektrostatyczny od kulistego rozkładu ładunku elektronów znosi się na zewnątrz obojętnego atomu z potencjałem elektrostatycznym ładunku zawartego w jądrze. Wydaje się więc, że atomy gazów szlachetnych nie mogą tworzyć struktury krystalicznej. Wszystkie średnie momenty elektryczne są równe zeru. Lecz ze względu na ruch elektronu wokół jądra w pewnym momencie istnieje różny od zera elektryczny moment dipolowy. Rys.3. Oddziaływanie van der Waalsa, Rysunek rys.3. przedstawia oddziaływanie przyciągające dwóch atomów dla czasów ta i tb dla których w atomie 1 występuje moment dipolowy P1. Ten moment dipolowy wytwarza pole elektryczne E, którego linie sił obejmują atom 2 wzbudzając w nim moment dipolowy P2. Chwilowy, dipolowy moment elektryczny P1 wytworzony w atomie pierwszym wytwarza w środku atomu drugiego, odległego o R, pole elektryczne: 2p E 31 R Pole to wywołuje dipolowy moment elektryczny w atomie 2-gim: 2p p2 E 3 1 R gdzie: a jest polaryzowalnością elektronową : [a]=[długość]3 [ro]3 ro jest promieniem atomowym [p] = [ładunek][długość] er0, gdzie e jest ładunkiem elektronu. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Energia potencjalna dipoli: 2 p1 p2 4p12 R3 R6 4e 2 rO5 U ( R) R6 o 10 58 U ( R ) 6 dla rO 10 58 cm 1 A R U ( R) [U]=erg dla [R] w cm C U ( R) 6 R gdzie stała C 10-58 erg cm6 Jest to energia fluktuującego pola oddziaływania van der Waalsa-Londona, czyli energia Występuje również oddziaływanie odpychające. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi: B U ( R ) 12 gdzie B > 0 R Nakładanie powłok elektronowych (potencjałów) atomów o zapełnionych powłokach może zachodzić wówczas gdy elektrony są przeniesione do stanów o większej energii, wówczas wzrasta całkowita energia układu, co wprowadza do układu przyczynek odpychający. Wówczas całkowita energia wynosi: 12 6 U ( R ) 4 R R gdzie: i są współczynnikami określonymi przez relacje: 4 6 C , 4 12 B Energia potencjalna U(R) znana jest jako potencjał Lennarda – Jonesa. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wiązanie jonowe Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów. Jony są tak rozmieszczone, że kulombowskie siły przyciągania pomiędzy jonami o przeciwnych znakach są większe od sił odpychania między jonami tych samych znaków. Zasadniczy wkład do energii wiązania kryształów jonowych daje oddziaływanie elektrostatyczne zwane energią Madelunga. U i U ij j i gdzie: U ij Ui jest energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem, jest energią całkowitą jednego dowolnego i-tego jonu. Całkowita energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem wynosi: rij q 2 U ij exp rij Gdzie: q2 Człon jest potencjałem kulombowskim zwanym energią Madelunga, a pierwszy człon rij równania stanowi potencjał odpychający: wypełnione powłoki elektronowe zachowują sztywność i przeciwdziałają nakładaniu się rozkładów elektronowych sąsiednich jonów. r exp ij jest potencjałem odpychającym, który pochodzi od pola centralnego , są współczynnikami empirycznymi, wyznacza się je znając wartość stałej sieciowej i współczynnika ściśliwości. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wiązanie kowalencyjne Siła wiązania jest porównywalna z wiązaniem jonowym, mimo, że wiązanie występuje między atomami a nie jonami. Wiązanie jest izotropowe. Wiązanie tworzą dwa elektrony; po jednym z każdego z sąsiadujących atomów. Następuje wymiana elektronów o spinach przeciwnych. Rys. 6.3. Energia cząsteczki wodoru H2 odpowiadająca energii potrzebnej do rozdzielenie atomów obojętnych. Ujemne wartości energii dotyczą wiązania Krzywą N obliczono w sposób klasyczny przy położeniu gęstości ładunku dla atomu swobodnego: A jest krzywą otrzymaną przy założeniu równoległych spinów elektronów i uwzględnieniu zasady Pauliego, a S (stan stabilny) – przy założeniu spinów antyrównoległych. Linki konturowe przedstawiają gęstość ładunków dla stanów A i S. Wiązanie metaliczne Kryształ o wiązaniu metalicznym można przedstawić jako zbiór jonów dodatnich zanurzonych w morzu elektronów. W przypadku metali przejściowych mogą występować dodatkowe siły wiązania wynikające z oddziaływań między wewnętrznymi powłokami elektronowymi. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 6.2. Rozkład Fermiego-Diraca (F-D): Założenia: - cząstki są nierozróżnialne, - cząstki nie oddziaływują ze sobą, - spełniony jest zakaz Pauliego: w jednym stanie energetycznym opisanym przez zespół liczb kwantowych może znajdować się jedna cząstka (dwie ze względu na spinową liczbę kwantową: 1 ms 2 Rozważamy: i – liczba poziomów (przedziałów energii), ni – liczba cząstek na i-tym poziomie, gi – liczba dostępnych stanów, Ei – energia i-tego stanu, N – całkowita liczba cząstek, E - całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T Celem opisu statystycznego jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, jaki jest rozkład cząstek N między różnymi poziomami, żeby całkowita energia Ei była stała, czyli gdy spełnione są warunki: N ni const (6.1) i E ni Ei const (6.2) i Wyrażenie: ni gi 1 (6.3) Ei 1 exp( ) k BT określa prawdopodobieństwo obsadzenia Ei poziomu w temperaturze T . Dla dużych wartości energii Ei , rozkład ten przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmannna: ni E exp( i ) (6.4) gi k BT Funkcja rozkładu opisana powyższym związkiem jest to funkcja rozkładu Fermiego Diraca: n 1 (6.5) fi (E) i Ei E F gi 1 exp( ) k BT gdzie EF jest to energia Fermiego. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Określimy funkcje gęstości stanów i , określa ona liczbę stanów w jednostkowym przedziale energii: g i i (6.6) Ei ni f i gi f i ( Ei ) i Ei (6.7) Zgodnie z zapisem we wzorze (1.1), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy: N f ( E ) ( E )dE (6.8) Zgodnie z zapisem we wzorze (1.2), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy: E f ( E ) E ( E )dE (1.9) Całka w granicach od - do + redukuje się do granic w ramach, których (E) > 0. Interpretacja energii Fermiego; Ef W temperaturze T =0 K jest to poziom odcięcia, oznacza to, że wszystkie poziomy o energii mniejszej niż energia Fermiego są na pewno obsadzone: czyli dla tych poziomów funkcja rozkładu f(E) =1, natomiast poziomy o energii większej niż energia Fermiego są puste, dla tych poziomów funkcja rozkładu f(E) =0 . Rys. 6.4. Funkcja rozkładu Fermirgo-Diraca F(E) dla T=0 oraz dla dowolnej temperatury T a) przypadek E < Ef : Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego f (E) 1 1 (6.10a) 1 exp( ) f (E) 1 0 (6.10b) 1 exp( ) b) przypadek E > Ef : 1 2 Cząstki podlegające statystyce F-D noszą nazwę fermionów, należą do nich: - elektrony, - protony, - neutrony. Dla T >0 oraz dla E =Ef funkcja rozkładu f ( E ) Ogólnie, są to cząstki o spinie połówkowym (liczba kwantowa związana z ruchem obrotowym cząstki wokół własnej osi). Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 6.3. Rozkład Bosego – Einsteina (B-E) Założenia: - cząstki są nierozróżnialne, - cząstki nie oddziaływują ze sobą, - nie jest spełniony zakaz Pauliego . Funkcja rozkładu Bosego- Einsteina ma postać: 1 (6.11) E exp( i ) 1 k BT Cząstki podlegające statystyce B-E noszą nazwę bosonów, należą do nich: - fotony, - fonony, - He4. Ogólnie są to cząstki o spinie całkowitym. f (E) Fale materii Hipoteza de Broglie ( 1924) głosi, że dwoiste korpuskularno – falowe zachowanie jest cechą nie tylko promieniowania, lecz również materii. W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu fizycznego jest związaną z częstotliwością fali stowarzyszonej, opisującej jego ruch, następującą relacją: E h (6.12) gdzie: h=6,6×10-34 J ·s jest stałą Plancka. Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją: p h Definiujemy: h (6.13) p h 2 , k 2 gdzie k jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego długości . Wówczas związek (6.13) ma postać: p k (6.14) Wielkości charakterystyczne dla cząstki: energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą Plancka h z wielkościami charakterystycznymi dla ruchu falowego; częstotliwość , oraz długość fali . h opisuje długość fali de Broglie, czyli długość fali materii stowarzyszonej z p ruchem cząstki o pędzie p. Wyrażenie Przykłady: a) obiekt makroskopowy piłka o masie m =1kg , porusza się z prędkością v =10 m/s, długość fali de Broglie stowarzyszonej z tym obiektem wynosi: o h 6,6 10 34 J s 6,6 10 35 m 6,6 10 25 A m p 1,0 10kg s Długość fali stowarzyszonej z ruchem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ fizyczny, który umożliwiłby zaobserwować aspekty falowe (interferencja, dyfrakcja) związane z tym ruchem. b) obiekt mikroskopowy elektron o masie m = 9,1 ×10-31kg posiada energię kinetyczną Ek =100eV. h p o h 1,2 10 10 m 1,2 A 2mEk jest małe i dlatego w celu zaobserwowania falowych aspektów związanych z ruchem elektronów należy dysponować układem o przesłonach posiadających rozmiary o o porównywalne z 1 A , takim układem jest sieć krystaliczna. Doświadczenie Davissona – Germera Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rys. 6.5. Schemat doświadczenia Davissona – Germera e (elektrony) - są przyspieszane regulowaną różnicą potencjału Rys. 6.6. Zależność natężenia kolektora detektora od energii kinetycznej elektronów Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Kryształ powinien silnie rozpraszać wiązkę elektronów ; atomy kryształu stanowią trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną. W obrazie detekcyjnym widać maksimum dla = 50°. Istnienie tego maksimum można wytłumaczyć jedynie jako wynik konstruktywnej interferencji fal rozproszonych na periodycznie rozmieszczonych atomach tworzących płaszczyzny kryształu. Nie tylko elektrony, lecz wszystkie poruszające się materialne obiekty naładowane i elektrycznie obojętne wykazują cechy falowe w warunkach charakterystycznych dla optyki fizycznej. Np. wiązki atomów wodoru i helu ulegają rozproszeniu na monokrysztale fluorku litu, natomiast powolne neutrony na krysztale chlorku sodu (sól kuchenna). Cechy korpuskularne staja się bardzo wyraźne, gdy badamy zjawiska emisji lub absorpcji. Cechy falowe staja i promieniowania. się wyraźne, gdy badamy rozchodzenie się materii Dwoistość falowo – korpuskularna: Stosunek e/m (ładunek elektronu/masa elektronu) wyznaczony z eksperymentu pomiaru śladu jonizacji wskazuje na stosowalność modelu korpuskularnego, natomiast zjawisko dyfrakcji sugeruje model falowy. Einstein sugerował, że średnia wartość kwadratu amplitudy fali, która w teorii elektromagnetyzmu jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości, można interpretować, jako miarę średniej liczby fotonów znajdujących się w jednostce objętości. Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrödingera dało początek mechanice kwantowej. Fala de Broglie jest interpretowana przez funkcje falową, która dla przypadku jednowymiarowego ma postać: x ( x, t ) A sin 2 ( vt) A sin(kx t ) (1.16) Wyrażenie (1.16) jest jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pole elektrycznego fali elektromagnetycznej. E ( x, t ) EO sin(kx t ) Zasada nieoznaczoności: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określić zarówno pęd p jak i położenie x materii (promieniowania)? Nie można ich określić dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności Heisenberga. Zasada ta stanowi odpowiedź daną przez mechanikę kwantową, w postaci analitycznej jest zapisana, np. dla przypadku jednowymiarowego: p x x (6.17) 2 gdzie: px - jest dokładnością pomiaru x-owej składowej pędu, x - jest dokładnością pomiaru położenia. Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowych, ale odnosi się do samego procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie miedzy obserwatorem i mierzonym obiektem, oddziaływanie to zawsze występuje. Zasada ta wynika z hipotezy de Broglie oraz z pewnych prostych wspólnych dla wszystkich fal własności. Odnosi się ona również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie energetycznym: E (6.18) 2 p x x (6.17) 2 gdzie: E - jest dokładnością pomiaru energii, - jest dokładnością pomiaru czasy życia . Przykład: a) Obiekt makroskopowy; kula o masie m=50g b) Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m=9.1·10-28 g Poruszają się z taka sama prędkością 300 m/s , prędkość ta jest wyznaczona z dokładnością 0,01%. Pytanie jak dokładnie możemy wyznaczyć położenie kuli i elektronu? Ad. a) p 15kg x m m , p 0,0001 15 1,5 103 kg s s O 3 1022 A 2p wielkość ta stanowi 10-17 średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Czyli dla obiektów makroskopowych istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na procedurę pomiarową żadnych ograniczeń. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Ad. b) p 2,7 10 28 kg x m m , p m 2,7 10 32 kg s s O 0,2cm 2 107 A 2p wielkość ta stanowi 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowych występują w praktyce zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 6.4. Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej Postać funkcji falowej dla fali dr Broglie (przypadek jednowymiarowy): x ( x, t ) sin 2 ( vt) sin(kx t ) Postać ta została określona metodą zgadywania, wykorzystano twierdzenie: Cząstka swobodna ma stały pęd p, gdyż nie działa na nią żadna siła, a zatem odpowiada jej h długość fali p Równanie to jest znaną postacią fali bieżącej o stałej długości l. Ma ona także stałą E częstotliwość , której wartość otrzymuje się ze związku Einsteina , gdzie E jest h energią całkowitą stowarzyszonej z falą cząstki. Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, równanie falowe dla fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella. Nie należy oczekiwać, by kwantowe równanie falowe otrzymać z równań mechaniki klasycznej. Można sadzić, że E h pomocne będą postulaty de Broglie oraz Einsteina: oraz E h h p Poszukiwane równanie kwantowe musi spełniać następujące założenia: 1. Równanie musi być zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina 2. Równanie musi być zgodne ze związkiem na całkowita energię: p2 E V pomija się energię masy spoczynkowej 2m 3. Równanie musi być liniowe względem (x, t), czyli: 1(x, t) oraz 2(x, t) są są dwoma rozwiązaniami odpowiadającymi tej samej energii potencjalnej, wówczas dowolna kombinacja liniowa: (x, t) = c11(x, t) + c22(x, t) jest tez rozwiązaniem. Kombinacja nazywa się liniowa, gdyż zawiera pierwsze potęgi funkcji, dowolna, gdyż stałe c1 i c2 mogą przyjmować dowolne wartości. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe tworząc charakterystyczna dla fal interferencję konstruktywną i destruktywną 4. Energia potencjalna, przedstawiona dla przypadku ogólnego: V =V ( x,t ) musi być wielkością stałą; gdyż dla V =const to cząstka jest swobodna i wówczas fala stowarzyszona ma stałą częstotliwość oraz długość 5. Całkowita energia E =h =Ek +V , uwzględniając hipotezę de Broglie mamy: p2 h2 E 2m 2m2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego wykorzystujemy związki: 2 , k 2 , h wówczas całkowita energia jest 2 przedstawiona równaniem: 2k 2 V 2m Szukane równanie ma postać: 2 ( r, t ) ( r, t ) V ( r, t )( r, t )) i 2m t Powyższe równanie jest równaniem Schrödingera. Przykład: (F1) Cząstka swobodna V ( x)=0 , przypadek jednowymiarowy. Zgodnie z mechaniką klasyczną cząstka swobodna porusza się ze stałym pędem p lub jest w spoczynku. W obu przypadkach jej całkowita energia E jest stała. Równanie Schrodingera dla takiego zagadnienia: 2 d ( x ) E ( x ) 2m dx 2 Szukamy rozwiązania w postaci: (x) = Aexp( x) Rozwiązanie dla równania Schrodingera zależnego od czasu ma postać: E ( r, t ) ( x ) exp i t E Zgodnie z postulatem Einsteina i wówczas rozwiązanie jest w postaci: ( x, t ) ( x) exp it Ostatecznie ze otrzymujemy rozwiązanie równania stacjonarnego ( x, t ) A exp i kx t lub: ( x, t ) A coskx t iA sinkx t Jest to równanie fali bieżącej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 6.5. Podstawy Mikroskopii Elektronowej Podstawowe zasady działania mikroskopu skaningowego. W mikroskopach skaningowych wiązka elektronów bombarduje próbkę, skanując jej powierzchnię linia po linii. Pod wpływem wiązki elektronów próbka emituje różne sygnały (m. in. elektrony wtórne, elektrony wstecznie rozproszone, charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie), które są rejestrowane za pomocą odpowiednich detektorów, a następnie przetwarzane na obraz próbki lub widmo promieniowania rentgenowskiego. Mikroskop skaningowy składa się z (rys. 6.7): działa elektronowego, gdzie wytwarzana jest wiązka elektronów, kolumny, w której następuję przyspieszanie i ogniskowanie wiązki elektronów, komory próbki, gdzie ma miejsce interakcja elektronów wiązki z próbką, zestawu detektorów odbierających różne sygnały emitowane przez próbkę systemu przetwarzania sygnałów na obraz. Rys. 6.7. Schemat budowy elektronowego mikroskopu skaningowego (SEM) Wiązka elektronów jest wytwarzana przez działo elektronowe (rys.6.8) na szczycie kolumny mikroskopu. Pole elektrostatyczne w dziale elektronowym kieruje wyemitowane z niewielkiego obszaru na powierzchni katody elektrony do małego otworu – źrenicy elektronooptycznej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Włókno Napięcie katody np. 30.0 kV Napięcie wehneltu np. 30.5 kV Wehnelt pró ba Źrenica elektrono-optyczna Średni Anoda (0 V) ca plamki Elektrony Rys. 6.8. Schemat budowy działa elektronowego Następnie elektrony są rozpędzane (przyspieszane) w kolumnie mikroskopu, w kierunku próbki, z energią od kilkuset do kilkudziesięciu tysięcy elektronowoltów. Jest kilka rodzajów dział elektronowych: wolframowe, LaB6 (lanthanum hexaboride) i działa z emisją polową. Wykonane są one z różnych materiałów i ich działanie opiera się na różnych zjawiskach fizycznych, lecz wszystkie mają za zadanie wytworzenie wiązki elektronów o stabilnym i wystarczającym prądzie przy możliwie małym rozmiarze. Elektrony wydostające się z działa elektronowego tworzą wiązkę rozbieżną. Wiązka ta zyskuje zbieżność i zostaje zogniskowana przez zestaw soczewek magnetycznych i apertur w kolumnie. Zestaw cewek skanujących u podnóża kolumny odpowiada za przemieszczanie wiązki w obszarze skanowania. Soczewka obiektywu ogniskuje wiązkę w możliwie małą plamkę (spot) na powierzchni próbki. Komora próbki jest wyposażona w ruchomy stolik umożliwiający przesuwanie próbki w trzech prostopadłych kierunkach, jej obrót wokół osi pionowej i odchylanie od pionu. Specjalne drzwiczki pozwalają na umieszczanie próbki w komorze. Kilka portów dostępu umożliwia zainstalowanie różnych detektorów. Elektrony wiązki oddziaływująca z próbką powodują emisję energii pod różnymi postaciami. Każdy rodzaj emitowanej energii jest potencjalnym sygnałem do przetworzenia na obraz. Zasady powstawanie obrazu w SEM Obraz oglądany w skaningowej mikroskopii elektronowej (SEM) nie jest obrazem rzeczywistym. To co widzimy w SEM jest obrazem wirtualnym skonstruowanym na bazie sygnałów emitowanych przez próbkę. Dzieje się to poprzez zeskanowanie linia po linii prostokątnego obszaru na powierzchni próbki. Obszar skanowania odpowiada fragmentowi próby oglądanemu na obrazie. W każdym momencie czasu wiązka oświetla tylko jeden punkt w obszarze skanowania. Przemieszczanie się wiązki od punktu do punktu wywołuje zmiany w generowanym przez nią sygnale. Zmiany te odzwierciedlają zróżnicowanie próbki w poszczególnych punktach. Sygnał wyjściowy jest więc serią danych analogowych, które w nowoczesnych mikroskopach są przetwarzane na serię wartości liczbowych, z których tworzony jest obraz cyfrowy. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozdzielczość Rozdzielczość odpowiada rozmiarom najmniejszych obiektów, które jesteśmy w stanie zobaczyć przy pomocy mikroskopu. Określa ona granicę, poza którą mikroskop nie jest w stanie odróżnić dwóch bardzo małych sąsiadujących obiektów od pojedynczego obiektu. Rozdzielczość jest określana w jednostkach długości, zwykle Angstremach lub nanometrach. Lepsza rozdzielczość nazywana jest „wyższą”, mimo że określa ją liczba jest niższa. Np. rozdzielczość 10 jest wyższa (lepsza) niż rozdzielczość 20 Å. Wielkość spotu Rozmiar plamki utworzonej przez wiązkę na powierzchni próbki stanawi podstawowe ograniczenie dla rozdzielczości. SEM nie może rozróżnić elementów mniejszych niż rozmiar spotu. Dodatkowy wpływ na rozdzielczość ma rodzaj rejestrowanego sygnału, penetracja wiązki (obszar oddziaływania) i skład próbki. Obszar oddziaływania Rejestrowane sygnały powstają nie tylko na powierzchni próbki. Elektrony wiązki penetrują próbkę na pewną głębokość i na swej drodze mogą wielokrotnie oddziaływać z atomami próbki. Obszar, gdzie na skutek tych oddziaływań powstają różnego rodzaju sygnały, które po wydostaniu się na powierzchnię próbki są rejestrowane przez odpowiednie detektory nazywamy obszarem oddziaływania (wzbudzenia) – rys. 6.9. Rodzaj rejestrowanego sygnału, skład próbki i napięcie przyspieszające decydują o rozmiarze i kształcie obszaru wzbudzenia, a co za tym idzie wpływają na rozdzielczość. W większości przypadków obszar oddziaływania jest większy niż spot, a więc to jego wielkość stanowi faktyczne ograniczenie rozdzielczości. Napięcie przyspieszające Napięcie przyspieszające określa ilość energii przenoszonej przez elektrony wiązki (elektrony pierwotne). Wpływa ono na rozmiar i kształt obszaru oddziaływania na kilka sposobów. Elektrony o wyższej energii głębiej penetrują próbkę (tab. 6.4). Ponadto, mogą one generować sygnały o wyższej energii, które mogą się wydostać z większej głębokości w próbce. Energia elektronów pierwotnych jest również czynnikiem określającym prawdopodobieństwo wystąpienia jakiejkolwiek interakcji. We wszystkich tych przypadkach wzrost energii wywoła zwiększenie obszaru oddziaływania, co spowoduje spadek rozdzielczości. Wzrost napięcia przyspieszającego może jednak również wpływać pozytywnie na rozdzielczość, gdyż zmniejsza on aberrację soczewek w kolumnie, czego rezultatem jest mniejszy spot. Od warunków pracy, właściwości próbki i rodzaju rejestrowanego sygnału zależy, które wpływy będą przeważające. Skład próbki Skład próbki wpływa zarówno na głębokość jak i kształt obszaru penetracji. W próbkach o większej gęstości głębokość penetracji i odległość jaką mogą przebyć elektrony pierwotne przed zaabsorbowaniem jest mniejsza. W rezultacie w takich próbkach obszar oddziaływania jest płytszy i ma kształt bardziej spłaszczony (zbliżony do półkuli) – tab. 6.4, rys.6.9. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Tabela. 6.4. Wielkości obszarów wzbudzenia (w μm) dla wybranych pierwiastków. Z 4 5 11 12 13 14 15 16 19 20 22 24 25 26 27 28 29 30 32 38 40 42 46 47 48 50 56 74 76 78 79 80 82 92 SYMBOL Be C Na Mg Al Si P S K Ca Ti Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ge Sr Zr Mo Pd Ag Cd Sn Ba W Os Pi Au Hg Pb U PIERWIASTEK Beryllium Carbon Sodium Magnesium Aluminum Silicon Phosphorus Sulfur Potassium Calcium Titanium Chromium Manganese Iron Colbalt Nickel Copper Zinc Germanium Strontium Zirconium Molybdenum Palladium Silver Cadmium Tin Barium Tungsten Osmium Platinum Gold Mercury Lead Uranium 10KV 1.5 1.2 2.9 1.6 1.0 1.2 1.5 1.4 3.2 1.8 0.6 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 1.1 0.4 0.3 0.2 0,3 0.3 0.4 0.8 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 15KV 2.9 2.4 5.6 3.1 2.0 2.2 3.0 2.8 6.2 3.5 1.2 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.8 1.0 2.2 0.8 0.5 0.4 0.5 0.6 0.7 1.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.3 20KV 4.9 4.0 9.3 5.2 3.4 3.7 5.0 4.7 10.4 5.8 2.0 1.3 1.2 1.2 1.0 1.0 1.0 1.3 1.7 3.6 1.4 0.9 0.7 0.9 1.0 1.2 2.6 0.5 0.4 0.4 0.5 0.7 0.8 0.5 25KV 7.2 5.9 13.6 7.5 4.9 5.5 7.2 6.9 15.2 8.5 2.9 1.8 1.8 1.7 1.5 1.5 1.5 1.8 2.4 5.3 2.0 1.3 1.1 1.3 1.5 1.8 3.8 0.7 0.6 0.6 0.8 1.0 1.2 0.7 30KV | 9.9 8.1 18.8 10.4 6,7 7.5 10.0 9.5 20.9 11.7 4.0 2.6 2.5 2.3 2.1 2.0 2.0 2.6 3.4 7.3 2.8 1.8 1.5 1.7 2.1 2.5 5.2 0.9 0.8 0.9 0.9 1.3 1.6 1.0 Rodzaj rejestrowanego sygnału Do tego momentu rozważaliśmy uogólniony obszar oddziaływania, z którego pochodzą wszystkie rodzaje sygnałów. Obszar ten można podzielić na strefy związane z sygnałami każdego typu – rys.6.10. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Niska liczba atomowa Wysoka liczba atomowa Wysokie napięcie Niskie napięcie Rys. 6.9. Zależność wielkości i kształtu obszaru wzbudzenia od liczby atomowej i napięcia Rys. 6.10. Wielkości obszarów, z których pochodzą różne rodzaje sygnałów emitowane przez próbkę Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Głębia ostrości W mikroskopii skaningowej można otrzymać obrazy o znacznie większej głębi ostrości niż w mikroskopii świetlnej. Głębia ostrości to zakres powyżej i poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości, w którym utrzymana jest dobra jakość obrazu (rys. 6.11). Przy większej głębi ostrości mikroskop daje lepsze odwzorowanie próbek trójwymiarowych. Obrazy uzyskiwane w SEM doskonałą jakość zawdzięczają nie tylko bardzo dobrej rozdzielczości lecz również dużej głębi ostrości. W mikroskopie optycznym głębia ostrości jest limitowana kątem rozwartości pomiędzy skrajnymi promieniami wchodzącymi do obiektywu. Dla dużych powiększeń kąt ten jest większy, a głębia ostrości mniejsza. W mikroskopie skaningowym nie ma bezpośredniej zależności głębi ostrości i powiększenia. Powiększenie jest zdefiniowane jako stosunek wymiarów liniowych obszaru skanowania do wymiarów liniowych obrazu. Kąt zbieżności wiązki ma wpływ na zmianę wielkości spotu wraz z odległością powyżej lub poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości. Mimo, że w mikroskopie skaningowym kąt zbieżności i rozmiar spotu zmieniają się wraz z odległością roboczą, zawsze kąty te będą mniejsze, a głębia ostrości większa niż w mikroskopie optycznym. Wiązka elektronów Powierzchnia próbki Zakres głębii ostrości Płaszczyzna najlepszej ostrości Obszar odwzorowywany ostro Rys. 6.11. Zakres głębi ostrości Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mikroanalizy Charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie Widmo charakterystyczne powstaje w wyniku oddziaływania elektronów wiązki z elektronami wewnętrznych powłok atomów próbki. Normalnie powłoki K i L atomów o liczbach atomowych większych od 10 są zapełnione. Jeśli jeden z elektronów K zostanie usunięty, atom może doznać przejścia, w którym elektron L lub M "przeskoczy" na puste miejsce, a wyzwolona przy tym energia potencjalna zostanie wyemitowana jako kwant promieniowania elektromagnetycznego. Typowe wartości energii takich przejść leżą w zakresie rentgenowskim widma promieniowania elektromagnetycznego. Energia tego kwantu jest ściśle określona dla każdego rodzaju przejścia w danym pierwiastku i dlatego jest cechą diagnostyczną. Spektrometr rentgenowski rejestruje charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie. Zadaniem spektrometru jest zliczenie impulsów promieniowania rentgenowskiego i posegregowanie ich. Spektroskopia promieni rentgenowskich może być przeprowadzona dwiema metodami: metoda dyspersji energii promieniowania rentgenowskiego (Energy Dispersive Spectrometry - EDS). Stosuje się detektory, w których natężenie sygnału wyjściowego jest proporcjonalne do energii padających impulsów, np. liczniki scyntylacyjne, proporcjonalne liczniki przepływowe, detektory Li/Si. W naszym mikroskopie zainstalowany jest detektor Sapphir - metoda dyspersji długości fali promieniowania rentgenowskiego (Wave Dispersive Spectrometry - WDS). Stosuje się spektrometr promieni rentgenowskich z kryształem analizującym. Linie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego W celu wytworzenia charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego konieczna jest luka w wewnętrznych powłokach elektronowych atomu. W zależności od tego, na której powłoce powstała luka, wyróżniamy odpowiednie serie linii. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki K to obserwowane w widmie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego linie, odpowiadające emisji energii towarzyszącej przejściu elektronu w celu uzupełnienia luki nazywamy liniami K: K - gdy przejście elektronu następuje z powłoki L, K - dla przejścia z powłoki M, K - dla przejścia z powłoki N. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki L to mamy do czynienia z liniami L: L - gdy przejście elektronu następuje z powłoki M, L - dla przejścia z powłoki N. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki M to obserwujemy linie M (patrz rys. 6.12) Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rys. 6.12. Powstawanie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego. Ogólne zasady dotyczące linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego: Dla danego pierwiastka niższe linie mają wyższą energię niż linie wyższe: EK > EL > EM W obrębie danej serii linie pierwiastków o niższej liczbie atomowej mają niższą energię, np. linia K węgla ma niższą energię niż linia K tlenu Linie niższych serii (K) są wyraźne i mają prostą strukturę, natomiast linie serii wyższych (L i M) mają strukturę złożoną i zachodzą na siebie. Promieniowanie ciągłe stanowi tło linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego w mikroanalizatorze rentgenowskim. Znajomość natężenia tego tła jest bardzo istotna przy określaniu granicy wykrywalności badanego pierwiastka. Analizy rentgenowskie Ze względu na słabą rozdzielczość, impulsy rentgenowskie są bardziej przydatne do celów analitycznych niż do odwzorowywania próbki. Analiza jakościowa dąży do ustalenia czy badany obszar próbki zawiera dane pierwiastki, w oparciu o występowanie lub brak ich charakterystycznych pików w widmie. Celem analizy ilościowej jest ustalenie stosunków zawartości pierwiastków na podstawie porównania intensywności odpowiednich pików tych pierwiastków pomiędzy sobą lub porównania z wzorcami. Analiza ilościowa jest procesem skomplikowanym, ze względu na możliwość wystąpienia różnorodnych interakcji pomiędzy atomami próbki i charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Literatura: [1] „Encyklopedia fizyki współczesnej”, Komitet Redakcyjny pod kierunkiem prof. Andrzeja Kajetana Wróblewskiego, Warszawa 1983 [2] Acosta V., Cowan C.L., Graham B.J.: Podstawy fizyki współczesnej, PWN, 1981. [3] Adamowicz L., Mechanika kwantowa, Formalizm i zastosowania. [4] Białynicki-Birula I., Cieplak M., Teoria kwantów, PWN, Warszawa 1991. [5] Bogusz W., Garbarczyk J., Krok F., Podstawy fizyki [6] Eisberg R., Resnik R.: „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek i ciał stałych”, PWN, Warszawa 1983. [7] Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. [8] http://pl.wikipedia.org//wiki/ Fizyka_kwantowa [9] Huang K., Mechanika statystyczna [10] Jackson J.D., Elektrodynamika klasyczna [11] Kasas S., Dumas G., Dietler G., Catsicas S., Adrian M. Vitrification of cryoelectronmicroscopy specimens revealed by high-speed photographic imaging. Journal of Microscopy (2003), 211 (1) , 48–53 [12] Kruger DH, Schneck P and Gelderblom HR. Helmut Ruska and the visualisation of viruses. The Lancet 355 (9216): 1713-1717. [13] Nellist P. D., Chisholm M. F., Dellby N., Krivanek O. L., Murfitt M. F., Szilagyi Z. S., Lupini A. R., Borisevich A., Sides W. H., Pennycook Jr., S. J. Direct Sub-Angstrom Imaging of a Crystal Lattice. Science 305 (5691): 1741. [14] Oleś Andrzej: „Metody doświadczalne fizyki ciała stałego” – Wydanie II, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003. [15] Rubinowicz W., Królikowski W., Mechanika klasyczna [16] Schiff L.I., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1997 [17] Sukiennicki A., Zagórski A, Fizyka ciała stałego, [18] Średniawa B., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1981 [19] von Ardenne M and Beischer D. Untersuchung von metalloxud-rauchen mit dem universal-elektronenmikroskop. Zeitschrift Electrochemie (1940). 46: 270-277. [20] Walker J., Halliday D., Resnick R.: „Podstawy fizyki” – tom II, PWN, 2003. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26