Analiza matematyczna II Lista 10 – Ekstrema (warunkowe) funkcji

Analiza matematyczna II
Lista 10 – Ekstrema (warunkowe) funkcji wielu zmiennych, funkcje uwikÃlane
Zadanie 1 Funkcje, f : Rn → R nazywamy jednorodna, stopnia m, jeżeli f (tx) = tm f (x) dla wszystkich x ∈ Rn i t ∈ R.
Pokazać, że jeżeli f jest ponadto różniczkowalna, to
n
X
∂f
xi
(x) = mf (x),
gdzie x = (x1 , x2 , . . . , xn ) .
∂xi
i=1
n
o
p
Zadanie 2 Określamy funkcje g, h : (x, y) ∈ R2 :
x2 + y 2 ≤ 1 → R3 wzorami:
³
´
³
´
p
p
g(x, y) = x, y, 1 − x2 − y 2 ,
h(x, y) = x, y, − 1 − x2 − y 2 .
n
o
p
Pokazać, że jeżeli f : R3 → R, to maksimum osiagane
przez f na zbiorze (x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y 2 + z 2 = 1 jest równe
,
n
o
p
maksimum f ◦ g lub f ◦ h na (x, y) ∈ R2 :
x2 + y 2 ≤ 1 .
Zadanie 3 Wyznaczyć ekstrema lokalne nastepuj
acych
funkcji (o ile istnieja):
,
,
,
2
−y 2
f (x, y) = x4 − y 4 ,
f (x, y) = e−x
f (x, y) = xy ln(x2 + y 2 ),
f (x, y) = x2 + y 2 − 2 ln(x · y),
f (x, y) = 2(x − y)2 + y 2 − 2 ln(y),
f (x, y) = (cos x + cos y)2 + (sin x + sin y)2 ,
f (x, y, z) = −2x2 + 2xy − 2x − 3y 2 − 4y − z 3 + 3z − 3,
f (x, y, z) = 3 ln x + ln y + 5 ln z + ln (22 − x − y − z) ,
¯
¯
f (x, y, z) = ¯1 − x2 − y 2 − z 2 ¯ + z 2 + y 2
f (x, y, z) = x − [x] + y 2 + z 4 ,
,
Zadanie 4 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x3 + y 3 − 3axy w zależności od parametru a ∈ R.
Zadanie 5 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji określonych wzorami:
a) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 , jeżeli x + y = 1;
b) f (x, y) = x2 − y 2 , jeżeli x2 + y 2 = 1;
c) f (x, y, z) = x + y + 2z, jeżeli x2 + y 2 + z 2 = 1;
d) f (x, y, z) = xy 3 z 3 , jeżeli x + 2y + 3z = a, a > 0;
e) f (x, y, z) = xyz, jeżeli x + y + z = 5, xy + xz + yz = 8;
f ) f (x, y) = xyz, jeżeli x + y + z = 0, x2 + y 2 + z 2 = 1;
n
n
P
P
xi
g) f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
x2i , jeżeli
2i = 1.
i=1
i=1
Zadanie 6 Wyznaczyć najmniejsza, i najwieksz
a, wartość nastepuj
acych
funkcji na podanych zbiorach:
,
,
,
f (x, y) = x · y + 2 na kole x2 + y 2 ≤ 1;
f (x, y) = x2 − y 2 na kole x2 + y 2 ≤ 4;
f (x, y) = x2 + 2xy − 4x + 8y na obszarze 0 ≤ x ≤ 1,
2
0 ≤ y ≤ 2;
2
f (x, y) = 3x + 4y na kole x + y ≤ 1;
f (x, y) = x2 y − 8x − 4y na trójkacie
o wierzchoÃlkach (0, 0), (0, 4), (4, 0).
,
Zadanie 7 Wyznaczyć odlegÃlość punktu (0, 3, 0) od powierzchni y = xz.
Zadanie 8 Obliczyć odlegÃlość elipsy x2 + 9y 2 = 9 od prostej 4x + 9y = 16.
Zadanie 9 Na plaszczyznie Oxy znaleźć punkt P (x, y), dla którego suma kwadratów odlegÃlości od ustalonych n punktów
P (xi , yi ), gdzie i ≤ n, n ≥ 2, jest najmniejsza.
Zadanie 10 Liczbe, dodatnia, a przedstawić w postaci sumy trzech liczb dodatnich tak, aby ich iloczyn byÃl najwiekszy.
,
¡
¢
n
n
n
≥ x+y
dla x, y ≥ 0, n ≥ 1.
Zadanie 11 Udowodnić nierówność x +y
2
2
Zadanie 12 Jakie najwieksze
pole może mieć czworokat
ma miare, α?
, wpisany w koÃlo o promieniu R, jeśli jeden z jego katów
,
,

 x = 2 − 3t,
y = 7 + 2t, , gdzie t ∈ R, od paraboloidy z = 4 − x2 − y 2 . Które punkty
Zadanie 13 Wyznaczyć odlegÃlość prostej l :

z = 6 + 2t
prostej i paraboloidy sa, najbliższe?
2
Zadanie 14 Rozważyć funkcje,
1
f : ` (R) 3 x 7−→
∞ µ
X
1
n=1
n
¶
x2n
+
x3n
∈ R,
gdzie x = (xn )n∈N . Wykazać, że f 0 (θ) = 0, f 00 (θ) jest dodatnia, ale funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x = θ, gdzie θ
jest ciagiem
zerowym.
,
Zadanie 15 Zbadać, czy równanie xy −y x = 0 określa jednoznacznie ciagÃ
, la, funkcje, uwikÃlana, y = y(x) na pewnym otoczeniu
punktów:
A = (2, 4),
B = (e, e),
C = (3, 3).
y
x
Naszkicować wykres funkcji ciagÃ
, lej określonej warunkiem: x = y .
Zadanie 16 Obliczyć pierwsza, i druga, pochodna, funkcji uwikÃlanych y = y(x) określonych równaniami:
x2 + y 2 − 3xy = 0,
xey − y + 1 = 0,
y − sin(y) + x2 = 0,
y 2 − arctg (y) − ex = 0.
Zadanie 17 Obliczyć pochodne czastkowe
funkcji uwikÃlanej z = z(x, y) określonej równaniem
,
x3 + 2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y + 3 = 0.
Zadanie 18 Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikÃlanych y = y(x) (odpowiednio z = z(x, y)) określonych warunkami:
¡ 2
¢2
¡
¢
x3 + y 3 − 8xy = 0,
x2 + y 2 − xy − 2x + 4 = 0,
x + y 2 = 2 x2 − y 2 ,
2x2 + 2y 2 + z 2 + 8yz − z + 8 = 0.
Zadanie 19 Wyznaczyć równania pÃlaszczyzn stycznych do wykresów funkcji z = f (x, y) we wskazanych punktach:
¡
¢
(x)
1, 0, π4 ;
f (x, y) = xy ,
(2, 4, 16) ;
f (x, y) = arctg
1+y 2 ,
³
´
√
p
√ ¢
¡√
arcsin(x)
f (x, y) = arccos(y)
,
− 12 , 23 , −1 ;
f (x, y) = 9 − x2 − y 2 ,
2, − 3, 2 .
Zadanie 20 Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi równaniami we wskazanych punktach tych
krzywych:
x3 + x − y 3 − y = 0,
(2, 2);
x2 + y 2 − 3xy = 0,
(1, 1);
x + x3 − y 3 − y 5 = 0,
(1, 1);
2 + x3 + y 3 = ex + ey ,
(0, 0).
Zadanie 21 Wyznaczyć równanie pÃlaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni określonej wzorem
x2 + 2y 2 − 3z 2 + xy + yz − 2xz + 16 = 0
w punkcie (1, 2, 3).
x
¡Zadanie
¢ 22 Obliczyć odlegÃlość pÃlaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem z = y · tg a , a 6= 0, w punkcie
πa
ukÃladu wspóÃlrzednych.
,
,
4 , a, a od poczatku