Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką.
Zestaw 2
1. Przedstaw w postaci a + bi liczbę zespoloną
(1+3i)(8−i)
.
(2+i)2
2. Oblicz in , gdzie n ∈ Z.
3. Udowodnić, że (1 + i)8n = 24n , gdzie n ∈ Z.
4. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:
√ √
1, −1, i, −i, 1 + i 3, 3 − i, 1 − cos α + i sin α, gdzie α ∈ (0, 2π).
√
√
3+i 30
5. Obliczyć (1 + i)10 , (1 + i 3)150 , ( 1−i
) .
6. Dla n ∈ Z wykazać prawdziwość tożsamości:
n
1 + i tg φ
1 + i tg(nφ)
=
.
1 − i tg φ
1 − i tg(nφ)
7∗ . Udowodnić, że dowolna liczba zespolona z 6= 1, taka że |z| = 1 może
być przedstawiona w następującej postaci:
z=
1 + ti
.
1 − ti
8. Pokazać, że z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , zz = |z|2 .
9. Wyrazić w postaci wielomianów od sin α i cos α funkcje sin 4α oraz
cos 4α.
10. Rozwiązać poniższe równania:
(a) z 2 = 5 − 12i, (b) z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0, (c) z 2 − 4z + 13 = 0,
(wyprowadzić wzory na pierwiastki drugiego stopnia dowolnej liczby zesp.).
11. Rozwiązać poniższe równania:
(a) x3 − i = 0, (b) x3 = 2 − 2i, (c) x6 + 27 = 0,
(d) x6 − 1 = 0 - wskazać pierwiastki pierwotne.
12. Obliczyć sumę oraz iloczyn wszystkich pierwiastków stopnia n z jedynki.
13∗ . Rozwiązać równanie (z + 1)n − (z − 1)n = 0.
14. Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór S, gdzie
(a) S = {z ∈ C; |z + 3| = |z − 2i|},
(b) S = {z ∈ C∗ ; | arg z| < π6 },
(c) S = {z ∈ C; −1 < Re(iz) < 0}.
15. Udowodnić, że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu
o współczynnikach rzeczywistych, to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Czy jest tak dla wielomianów o współczynnikach zespolonych?