Załącznik nr 2

Załącznik nr 2
do protokołu
z posiedzenie Rady Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych PW
w dn. 17 grudnia 2009 r. (p. 3 porządku dziennego)
Przebieg dyskusji na kolokwium habilitacyjnym dr. Wiesława Dudka
Ocena recenzentów:
Prof. Białnicki-Birula: Moja recenzja jest pozytywna aczkolwiek nie jest entuzjastyczna. W
recenzji zwracam uwagę na to, Ŝe rezultaty nie są trywialne. Są w znacznym stopniu naturalne,
aczkolwiek bardzo złoŜone. Problemy sprawiał na pewno wybór waŜnych operacji algebraicznych.
W pracy widać bogactwo problemów. Minusem rozprawy jest jej niewielkie znaczenie, jeśli chodzi
o rozwój współczesnej matematyki. Ta tematyka nie cieszy się duŜym zainteresowaniem. Trudno
jednak przewidzieć czy w przyszłości nie okaŜe się ona waŜna, uŜyteczna.
Prof. Kisielewicz: Wartym podkreślenia jest duŜy dorobek naukowy habilitanta. Prace
przedstawione w rozprawie są na istotnie wyŜszym poziomie niŜ bardzo wiele poprzednich prac
habilitanta. UwaŜam, Ŝe do rozprawy wybrane zostały najciekawsze prace z dorobku. Wyraziłem
zainteresowanie dlaczego tak późno habilitant składa swoją rozprawę, bo w Polsce ze znacznie
mniejszą liczbą publikacji niektórzy przedkładają rozprawy habilitacyjne. Widać w dorobku
moment postępu, więc swoją opinię zakończyłem konkluzją, Ŝe najwyŜszy czas, Ŝeby dr. Wiesława
Dudka uhonorować stopniem doktora habilitowanego. Dodam jeszcze, Ŝe część tematyki pochodzi
z działu „Fuzzy Logic”, który w ostatnich latach odnosi sukcesy w środowiskach „Computer
Science” przy sztucznej inteligencji. Jest to rodzaj matematyki, która „czystym” matematykom
moŜe się nie podobać, ale plusem tej dziedziny jest to, Ŝe jest atrakcyjna dla ludzi „na zewnątrz”.
MoŜna mieć pogląd, Ŝe waŜne jest łączenie nauk. Mi się ta część dorobku habilitanta, która
wykracza poza ramy czystej matematyki, bardzo podoba.
Prof. Newelski: Moja opinia podobna jest do poprzednich. Jest pozytywna. Rozprawa habilitacyjna
i dorobek naukowy spełniają wymagania ustawy. Jednak konkluzja mojej recenzji nie jest napisana
lekko. Nie zgadzam się z prof. Kisielewiczem, Ŝe jest najwyŜszy czas na nadanie stopnia doktora
habilitowanego habilitantowi. Czas jest właściwy, bo wcześniej nie było ku temu podstaw.
Ogromny dorobek liczbowy nie zawsze przechodził w jakość. Habilitant przedstawił nam 66
publikacji w materiałach dorobku. Publikacje nie zawsze są na wysokim poziomie. Jest 20 kilka
prac z listy filadelfijskiej – to trzeba przyznać. WaŜne jest, jeśli badania naukowe mają
zastosowania w innych dziedzinach niematematycznych. Dla mnie jednak w ocenie rozprawy
habilitacyjnej kluczowa była zawartość merytoryczna. Pan Dudek zasługuje na tytuł doktora
habilitowanego, dzięki pomysłowości dowodów przedstawionych w rozprawie. Samo pisanie prac
naukowych na pograniczu matematyki i innych dziedzin nie powinno być argumentem stosowanym
w ocenie habilitanta. Dopiero wtedy to jest argument, gdy w pracach są oryginalne pomysły. Tego
w dorobku habilitanta mi brakuje. Łącznie jednak patrząc – dorobek habilitanta spełnia warunki
ustawy.
1
Dyskusja:
Prof. Białnicki-Birula: Pierwsze pytanie jest następujące: w jednym z twierdzeń przedstawionych
w rozprawie była mowa o tym, Ŝe klasa algebr Mengera (2,n)-półgrup da się scharakteryzować za
pomocą równości i implikacji. Czy da się tę klasę scharakteryzować za pomocą samych równości?
Chciałbym, Ŝeby Pan udzielił jakieś głębszej odpowiedzi na ten temat. Tj. co wiadomo o klasach
algebr, które dają się przedstawić za pomocą zbioru równości, a co wiadomo o klasach algebr
przedstawianych za pomocą implikacji?
Drugie pytanie jest nadobowiązkowe. Dotyczy intuicjonizmu, o którym jest mowa w terminologii
obecnej w niektórych Pańskich pracach: Co to jest intuicjonizm? Jakie są podstawowe twierdzenia
dotyczące logiki intuicjonistycznej. Proszę jednak traktować to pytanie jako nadobowiązkowe.
Dr Wiesław Dudek: Nie wiadomo, czy da się scharakteryzować tę klasę za pomocą skończonego
układu równości. Zdania są podzielone. Autorytet w tej dziedzinie ze Stanów Zjednoczonych
twierdzi, Ŝe tego się nie da zrobić. Próbowaliśmy to robić. Nie umiemy. W tej pracy, którą
przedstawiam Państwu udało się doprowadzić do równości i jednej implikacji. Ta implikacja, nie
ukrywam, jest dość rozbudowana. Jest pomysł, Ŝeby tę implikację zastąpić skończonym ciągiem
równości. Dla niektórych, bardzo szczególnych klas funkcji to udawało się to zrobić. Ta metoda nie
chce jednak działać dla przypadku ogólnego. Dla funkcji typu pół-abelowego implikację daje się
doprowadzić do ciągu równości. Czy ogólnie da się tak zrobić? Chyba raczej nie. Ja osobiście
uwaŜam, Ŝe chyba nie. RównieŜ dla funkcji typu quasi-grupowego teŜ da się tę implikację
sprowadzić do skończonego układu równości. Ten układ równości jest duŜy. Ne wydaje mi się,
Ŝeby wiele z takiego przedstawienia wynikało.
Prof. Białnicki-Birula: To mnie nie przekonuje. Zmierzam w kierunku zastosowania twierdzenia
Birkhoffa i ewentualnie powiązania tego twierdzenia z Pana wynikami. Proszę podąŜyć w tę stronę,
wskazując pewne metody, które moŜna by zastosować w celu znalezienia odpowiedzi na moje
pytanie.
Dr Wiesław Dudek: Były takie próby, aczkolwiek nieudane.
Prof. Białnicki-Birula: Na czym one polegały?
Dr Wiesław Dudek: Próbuję się znaleźć dla pewnej abstrakcyjnej klasy funkcji charakteryzację
daną przez...
Prof. Białnicki-Birula: Ale tu ona juŜ jest. Dana przy pomocy tych równości i implikacji.
Dr Wiesław Dudek: śeby zrobić te klasy równościowe, te homomorfizmy...
Prof. Białnicki-Birula: No właśnie...
Dr Wiesław Dudek: To słynne HSP. Tutaj homomorfizmy tak dobrze się nie zachowują. Nie są aŜ
tak dobre. Chcielibyśmy, Ŝeby homomorfizm zachował wszystkie te własności abstrakcyjne. Tutaj
nie mamy takich homomorfizmów. Tutaj to nie zadziałało. Coś tam się po drodze gubi. Jeśli jest
element specjalny, to wtedy to się da zrobić. Ten element specjalny odgrywa tak jakby taką
przybliŜoną jedności rolę.
Prof. Białnicki-Birula: ZałóŜmy, Ŝe jest element specjalny.
Dr Wiesław Dudek: Jeśli jest to wtedy damy radę tę implikację odrzucić. Jeśli wprowadzimy
2
element specjalny, to równości staną się nieco prostsze.
Prof. Kisielewicz: Czy to jest wtedy klasa równościowa?
Dr Wiesław Dudek: Wtedy tak. Jeśli rozpatrujemy funkcje, inaczej jak rozpatrujemy algebry
Mengera z elementami specjalnymi, to będziemy mieli klasę abstrakcyjną. Ale to jest rzadki
przypadek.
Prof. Białnicki-Birula: Na tablicy wyświetlił Pan twierdzenie, Ŝe klasa algebr Mengera da się
zdefiniować za pomocą równości i implikacji. Tutaj nie wiadomo, czy da się przedstawić tą klasę
równościowo?
Dr Wiesław Dudek: Jeśli rozpatrzymy operacje Mengera, to nie wiadomo. Jeśli jednak dopuścimy
element specjalny, to wtedy jest.
Prof. Newelski: Czyli ta klasa algebr z operacjami Mengera nie jest zamknięta na operatory H, S
lub P. Na co dokładnie nie jest zamknięta? Czy teŜ nie wiadomo?
Dr Wiesław Dudek: Z tego co pamiętam, to homomorfizmy nie zadziałają. Homomorfizmy psują.
Prof. Białnicki-Birula: Dobrze Pan pamięta. Jest coś takiego jak quasi-rozmaitość.
Dr Wiesław Dudek: To tu jest quasi-rozmaitość.
Prof. Romanowska: Rozmaitości moŜemy scharakteryzować jako klasy zamknięte na obrazy
homomorficzne, podalgebry i produkty. Czy podobne twierdzenie istnieje dla quasi-rozmaitości?
Quasi-rozmaitości to klasy zamknięte na podalgebry i produkty i jeszcze na pewne inne
konstrukcje. Jakie konstrukcje?
Dr Wiesław Dudek: Nie wiem.
Prof. Romanowska: Na przykład ultraprodukty, produkty zredukowane albo skierowane kogranice. Są tego typu charakteryzacje, więc moŜe warto z tej strony popatrzeć na otrzymane wyniki.
Dr Wiesław Dudek: Nie wiem. Nie umiem w tej chwili odpowiedzieć na to pytanie.
Dr Wiesław Dudek: Drugie pytanie dotyczyło logik. Logiki zaczęły być rozpatrywane od dawna.
Pojawiły się logiki z róŜnymi rodzajami implikacji. Do badania tego rodzaju logik zaczęto uŜywać
zbiorów rozmytych i intuicjonistycznych zbiorów rozmytych.
Prof. Białnicki-Birula: Ale co to jest intuicjonizm?
Dr Wiesław Dudek: Nie umiem na to pytanie odpowiedzieć.
Prof. Romanowska: Jeśli nie ma dalszych pytań to proszę teraz prof. Newelskiego.
Prof. Newelski: Dla mnie głównym wynikiem rozprawy jest twierdzenie charakteryzacyjne, gdzie
abstrakcyjne algebry Mengera rozwaŜane są z dodanymi dodatkowymi operacjami przekroju,
inkluzji itd. Pana główny wynik polega na tym, Ŝe podaje Pan abstrakcyjną charakteryzację przy
pomocy równości i implikacji takich konkretnych algebr. Ale z drugiej strony wcześniejszy jest
wynik Dickera z 1962 roku, w którym autor zrobił coś podobnego bez tych dodatkowych rzeczy. W
pewnym sensie autor uzyskał taką abstrakcyjną charakteryzację. Twierdzenie Dickera dotyczy
3
równieŜ funkcji częściowych. Pan rozwaŜa algebry wraz z dodatkowymi operacjami
charakterystycznymi tylko dla funkcji częściowych i stara się znaleźć ich abstrakcyjną
charakteryzację. Jaka jest motywacja do tego i zastosowania jakieś?
Dr Wiesław Dudek: Motywacja jest związana w pewnym sensie z badaniem tzw. klonów operacji.
Tutaj rozpatrujemy punkty, które by miały dodatkowe własności. To z jednej strony. Z drugiej
strony mamy teorię półgrup, gdzie mamy róŜnego półgrupy z dodatkowymi warunkami, gdzie na
tych półgrupach wprowadzone są dodatkowe relacje, które są odzwierciedleniem relacji na
funkcjach jednej zmiennej. KaŜdy zbiór funkcji jednej zmiennej zamknięty na zwykłą superpozycję
daje nam półgrupę. Jeśli rozpatrujemy relacje na tych funkcjach, to dostajemy półgrupy z
dodatkowymi warunkami. Te warunki czasami są lepsze, czasami są gorsze. I tutaj jest podobny
pomysł, Ŝeby znaleźć sensowne charakteryzacje dla tych najczęściej spotykanych i najwaŜniejszych
klas. Naturalną relacją porównywania funkcji, jest powiedzmy porównywanie funkcji częściowych.
Porównywanie ich dziedzin. Czy na siebie zachodzą czy nie zachodzą? Czy są rozłączne? Czy
jedna w drugiej się zawiera? Jakiego rodzaju to jest relacja? Szukanie abstrakcyjnych
charakteryzacji tego typu struktur. śeby od tej strony zobaczyć.
Próby podejmują róŜni ludzie. To nie są tylko moje prace. Podejmują ludzie nie tylko ze
wschodu. Tematyka jest głównie wschodnia. Była próba tworzenia szkoły w USA. Pojawiło się tam
sporo rezultatów opublikowanych jako preprintach. Dlatego, Ŝe w jednym z głownych twierdzeń,
które tam uzyskano pojawiła się niedokładność i nie wiadomo czy da się ją naprawić. W związku z
tym, te pozostałe rezultaty otrzymane w USA pozostały z pewnym znakiem zapytania i autorzy nie
zdecydowali się tego opublikować. Gdzie jest błąd, nie wiem. Stąd nasze – moje i innych autorów
ze wschodu – poszukiwanie jakichś sensownych relacji. Idealnym byłoby znalezienie
charakteryzacji równościowych. Stosunkowo prostych równości.
Prof. Newelski: Kosztem ewentualnej zmiany języka?
Dr Wiesław Dudek: Tak. Kosztem jakiejś zmiany języka. Zmiany metod konstrukcji.
Przykładowo: jest taki rezultat mówiący o tym, Ŝe grupę moŜna zdefiniować za pomocą jednej
operacji i jednej stałej i jednego równania. Zastosowania tego nie widziałem. Tutaj mamy podobną
sytuację. UwaŜam, Ŝe lepiej znaleźć kilka mniejszych i bardziej czytelnych własności. Chcemy
przede wszystkim otrzymać zbiór równości, który jest ładnie przetłumaczalny na język funkcji. Tu
jednak największy problem jest właśnie z konstrukcją tych odpowiednich funkcji i konstrukcją
izomorfizmu z algebry abstrakcyjnej na odpowiednie funkcje.
Prof. Newelski: Dziękuję Panu za odpowiedź.
Prof. Romanowska: Czy są jakieś dalsze pytania?
Prof. Kisielewicz: Ja jeszcze zadam krótkie pytanie. Skąd wzięła się nazwa (2,n)-półgrupa? I moŜe
Pan powie, co to jest (m,n)-półgrupa?
Dr Wiesław Dudek: Zaproponowana została jeszcze w latach 70. Wielu recenzentów krzywiło się
na tę nazwę. Nazwa umotywowana była tym, Ŝe bierzemy n binarnych operacji, które są
półgrupami. Czyli na jednym zbiorze określamy n operacji dwu argumentowych. Stąd nazwa. Nie
mam pomysłu na lepszą nazwę.
Prof. Kisielewicz: Czy są (m,n)-półgrupy? Jakiś rezultat na ten temat jest Panu znany?
Dr Wiesław Dudek: Są takie pojęcia w literaturze. (m,n)-półgrupa to jest całkiem inne podejście.
Rozpatruje się wtedy operacje m-arne. Nie ma ta algebra Ŝadnego związku z funkcjami.
4
Prof. Kisielewicz: Nie ma związku z (2,n)-półgrupami?
Dr Wiesław Dudek: Nie ma.
Prof. Romanowska: Czy są jakieś dalsze pytania? Jeśli, nie to moŜe ja zadam. Czy mogłby Pan
podać waŜne sposoby konstrukcji algebr pomijając standardowe metody przez obrazy
homomorficzne i podalgebry.
Dr Wiesław Dudek: Nie bardzo rozumiem pytania.
Prof. Romanowska: Chodzi o twierdzenia typu np.: kaŜdy pierścień zanurza się w pierścień
ułamków. To jest jakiś sposób reprezentowania algebry jako reduktu algebry, która ma bogatszą
strukturę. To tak przykładowo. Chodzi o ogólne sposoby reprezentacji algebr. Na przykład u Pana
niektóre rozpatrywane algebry moŜna reprezentować przez sumy algebr.
Dr Wiesław Dudek: Nie wiem.
Prof. Romanowska: No a np. sumy Płonki? Są teŜ róŜne sposoby reprezentacji algebr jako algebr
funkcji.
Dr Wiesław Dudek: Przez odwzorowania liniowe, macierze, macierze przestrzenne. Są to dość
specjalne przypadki. Jak rozumiem chodzi o ogólne konstrukcje?
Prof. Romanowska: Istnieją takie właśnie ogólne konstrukcje, np. w teorii dualności.
Prof. Janeczko: W referacie nie padło pojęcie róŜniczki. Jeśli załoŜę pewne róŜniczkowe
własności, to mogę sobie algebrę Mengera wyobrazić. Czy tego typu dodatkowe załoŜenia są
rozpatrywane?
Dr Wiesław Dudek: Tego typu konstrukcji nie rozpatrujemy.
Prof. Romanowska: Kończę dyskusję.
5
Komentarze:
Prof. Białnicki-Birula: Jestem z odpowiedzi zadowolony umiarkowanie. Odpowiedź nie powinna
zawaŜyć jednak na ostatecznej ocenie kolokwium. Jak widać z rozprawy habilitant jest specjalistą w
wąskiej dziedzinie. Nie umiał wyjść poza konserwatywne widzenie. Patrzy na poszczególne algebry
nie zwracając uwagi na całą klasę. Trudna komunikacja. Habilitant zbyt często uŜywał
historycznych dygresji.
Prof. Newelski: Mam podobne wraŜenia, jak prof. Białnicki-Birula. Moje pytanie dotyczyło
szerszego kontekstu. Dowiedziałem się, Ŝe nie ma takiego. Zrozumiałem, Ŝe w ramach swojej
dziedziny habilitant jest uznany. Jestem rozczarowany wąskością wiedzy habilitanta. NajwaŜniejszą
częścią jest jednak sama rozprawa.
Prof. Kisielewicz: Jestem zawiedziony. Gdybyśmy zadawali bardziej konkretne pytania, to byłoby
źle. Z odpowiedzi habilitanta wynika, Ŝe nie ma motywacji. Nie zmieniam oczywiście opinii nt.
samej rozprawy. Chcę podkreślić, Ŝe chociaŜ habilitant nie odpowiadał na temat, nie powiedział np.
definicji sumy Płonki, to jednak z tego co mówił wynika, Ŝe tę definicję zna.
Prof. Romanowska: WraŜenie mam takie samo, jak przedmówcy. ChociaŜ jestem pod wraŜeniem
tego jak dobrze habilitant porusza się w swojej dziedzinie, to widzę brak szerszego spojrzenia.
Prof. Janeczko: Moje pytanie było peryferyjne. Nie jestem rozczarowany. Habilitant starał się
zrozumieć moje pytanie.
Prof. Romanowska: Spodziewaliśmy się usłyszeć więcej.
Protokół z przebiegu dyskusji przygotował
Tomasz Brengos
6