Teoria Strun
Transkrypt
Teoria Strun
Teoria strun i unifikacja Michał Spaliński Instytut Problemów Jadrowych ˛ im. Andrzeja Sołtana 19 maja 2006 Teoria strun i unifikacja Abstrakt Teoria strun jest od lat jedyna˛ propozycja˛ teorii unifikujacej ˛ wszystkie oddziaływania i materie˛ w ramach teorii kwantów. Postaram sie omówić obecny kształt teorii strun i jej znaczenie dla fizyki wysokich energii i kosmologii. Teoria strun i unifikacja 2 Plan • • • • • Efektywne teoria pola i unifikacja Podstawowy teorii strun Jak grawitacja pojawia sie˛ w teorii strun Rozwiazania ˛ klasyczne i dualność Co dalej? Teoria strun i unifikacja 3 Wstep ˛ • Fundament: efektywna kwantowa teoria pola obejmujaca ˛ Model Standardowy i Ogólna˛ Teorie˛ Wzgledności ˛ – “MS+OTW”: Z R 2 4 √ S= d x g( + O(R ) + LM S + . . .) 16πG √ Kładac ˛ gµν = ηµν + κhµν (gdzie κ ≡ 16πG) mamy Z 1 1 4 µνρλ µν 2 S= d x( hµν V hρλ + κhµν T + O(h )) 2 2 Ponieważ [κ] = L, to teoria jest nierenormalizowalna: ma sens jako rozwiniecie ˛ niskoenergetyczne: kolejne rz˛edy rachunku zaburzeń wymagaja˛ kontrczłonów wyższych rz˛edów w krzywiźnie. Taki opis jest dobry o ile krzywizna jest mała wzgledem ˛ κ. • Granice˛ stosowalności efektywnej teorii pola MS+OTW wyznacza skala κ−1 (czyli skala Plancka MP = (h̄c/G)1/2 ∼ 1019 GeV). • Analogia: teoria Fermiego – efektywny opis oddziaływań słabych przy niskich energiach. Przy wysokich energiach ujawniaja˛ sie˛ dodatkowe stopnie swobody (bozony W i Z). Teoria strun i unifikacja 4 • Naturalne pytanie: jakie jest “ultrafioletowe dopełnienie” MS+OTW? Możliwość “unifikacji” biegnacych ˛ stałych sprz˛eżenia sugeruje, że może sie˛ ono wiazać ˛ z unifikacja˛ wszystkich oddziaływań MS+OTW. • Teoria unifikujaca ˛ powinna: – dać konsystentny kwantowy opis grawitacji który redukuje sie˛ do perturbacyjnej kwantowej teorii pola opartej na działaniu Einsteina-Hilberta; wyjaśnić efekty kwantowe czarnych dziur (np. ich entropie); ˛ – wyjaśnić strukture˛ modelu standardowego (grupe˛ cechowania, wystepowanie ˛ chiralnej materii, strukture˛ oddziaływań Yukawy), a także ew. supersymetrie. ˛ – Wyjaśnić sens osobliwości OTW, w szczególności sens osobliwości Wielkiego Wybuchu. Teoria strun i unifikacja 5 Teoria Strun • Teoria strun jest jedyna˛ propozycja˛ unifikujac ˛ a, ˛ która wytrzymała próbe˛ czasu – być może ona, lub jakaś jej modyfikacja, daje rozwiazanie ˛ problemu unifikacji. • Teoria strun powstała w 1970 jako próba opisu oddziaływań silnych, ale już w 1974 roku okazało sie, ˛ że jest teoria˛ kwantowej grawitacji – tzn. jest “dopełnieniem ultrafioletowym” dla perturbacyjnej kwantowej grawitacji. • Teoria strun stanowi uogólnienie kwantowej teorii pola – mechanika kwantowa – tak – szczególna teoria wzgledności ˛ – tak – czastki ˛ punktowe – nie • Naturalna skala długości: skala Plancka lP = (h̄G/c3)1/2 ∼ 10−33 cm – struny musza˛ być bardzo małe. • Eksperymenty przy E << MP = (h̄c/G)1/2 ∼ 1019 GeV nie widza˛ struktury struny. • Lekkie wzbudzenia strun można opisywać kwantowa˛ efektywna˛ teoria˛ pola (zawierajac ˛ a˛ grawitacje, ˛ pola Yanga-Millsa i materie). ˛ Teoria strun i unifikacja 6 Struny relatywistyczne • Czastka ˛ relatywistyczna opisana jest działaniem na linii świata, danym przez jej długość: Z Z q p 2 2 S = −mc dτ −ηµν ẋµẋν = −mc dt 1 − v 2/c2 gdzie xµ(τ ) – zanurzenie linii świata w czasoprzestrzeni (µ = 0, . . . d). • Struna relatywistyczna opisana jest działaniem na powierzchni świata, danym przez jej powierzchnie: ˛ Z q 1 S=− 2 dτ dσ − det (ηµν ∂X µ∂X ν ) ls gdzie X µ(τ, σ) – zanurzenie powierzchni świata w czasoprzestrzeni. a ls – skala długości. • W zmiennych σ ± = τ ± σ mamy (po ustaleniu cechowania) – równania ruchu: ∂+∂−X µ = 0 (równanie Laplace’a w σ, τ ) – wiezy: ˛ ηµν ∂±X µ∂±X ν = 0 • Zasada Hamiltona dopuszcza dwa typy warunków warunki brzegowych: struny otwarte i zamkniete. ˛ Teoria strun i unifikacja 7 Mechanika kwantowa strun • Warunki brzegowe – n.p. struny zamkniete ˛ spełniaja˛ µ µ X (σ + 2π, τ ) = X (σ, τ ) µ • Rozwiazanie ˛ równania Laplace’a: X µ = XLµ(σ +) + XR (σ −) µ XL µ XR = µ xL = µ xR + 2 µ + ls pLσ X 1 µ −inσ+ i αne , + √ ls n 2 n6=0 + 2 µ − ls pR σ X 1 µ −inσ− i α̃ne , + √ ls 2 n6=0 n • Relacje komutacyjne (kwantowanie kanoniczne): µ ν µν ν ν [αm, αn] = η mδm+n,0 • Przestrzeń Focka: µ µ αm11 . . . αmrr |0 > ⊗α̃n11 . . . α̃nss |0 > Teoria strun i unifikacja (mi, ni < 0) 8 • Wiezy ˛ określaja˛ fizyczna˛ podprzestrzeń Hilberta i widmo mas. • Fizyczne stany bezmasowe: ζµν (k)α̃µ−1αν−1|0 >, przy czym µ µ k ζµν = k ζνµ = 0 Grawiton odpowiada symetrycznej i bezśladowej cz˛eści ζµν . • Stany fizyczne określone sa˛ z dokładnościa˛ do stanów o normie zerowej, co tłumaczy sie˛ na relacje ζ(µν) ∼ ζ(µν) + kµζν + kν ζµ • Odpowiada to symetrii cechowania w perturbacyjnej kwantowej OTW x µ −→ x + η (x) µν −→ h h µ µν µ µ ν ν +∂ η +∂ η µ • Stan podstawowy struny zamknietej ˛ zawiera stan o spinie 2, który można utożsamić z grawitonem perturbacyjnej OTW. • Pozostałe stany bezmasowe: skalar i dwuindeksowe pole antysymetryczne. Teoria strun i unifikacja 9 Oddziaływania strun • W teorii pola trzeba podać amplitude˛ prawdopodonieństwa dla każdego elementarnego procesu – stałe sprz˛eżenia. • W teorii strun istnieje tylko jeden elementarny proces. • Obraz ten prowadzi do jednoznacznego przepisu na obliczanie perturbacyjnych amplitud w teorii strun. • Dla strunowych grawitonów można w ten sposób odtworzyć rzad ˛ po rz˛edzie wyniki perturbacyjnej OTW gdy E << MP . • Oddziaływania grawitonów reprodukuja˛ w wiodacym ˛ rz˛edzie teorie˛ Einsteina, ale: – OTW jest modyfikowana w wyższych rz˛edach w krzywiźnie – grawitacja nie wystepuje ˛ w izolacji – zawsze sa˛ dodatkowe stopnie swobody (także bezmasowe) Teoria strun i unifikacja 10 Struny i efektywna teoria pola • Widmo struny: skończona ilość stanów bezmasowych i nieskończona ilość stanów cieżkich ˛ o masach ∼ 1/ls. • Dla E << 1/ls możliwy jest opis w jezyku ˛ efektywnej teorii pola dla lekkich stopni swobody Z p 1 1 µνρ 2 −2φ 10 d x −ge H Hµνρ + 4(∂φ) + . . .) S= 8 (R − ls 12 • Stała sprz˛eżenie dana jest wartościa˛ próżniowa˛ dylatonu: gs = eφ. • Dodatkowe pola bezmasowe: – pola wektorowe (Maxwella, Yanga-Millsa) wynikajace ˛ z kwantyzacji strun otwartych – pola fermionowe • Konsystencja teorii kwantowej: – wymaga antykomutujacych ˛ pól na powierzchni świata struny; prowadza˛ one do supersymetrycznego widma stanów w czasoprzestrzeni. – struna w płaskim tle czasoprzestrzennym wymaga d = 10. – 5 supersymetrycznych teorii strun w d=10: I, IIA, IIB, H/E8, H/SO(32). Teoria strun i unifikacja 11 Kompaktyfikacje teorii strun • Kompaktyfikacje – rozwiazania ˛ opisujace ˛ czasoprzestrzenie o pewnej ilości “małych” wymiarów (n.p. M4 × K6). • Istnieje ogromna liczba rozwiaza ˛ ń, które na obecnym poziomie zrozumienia teorii strun wydaja˛ sie˛ być całkowicie konsystentne. • Rodziny rozwiaza ˛ ń sa˛ parametryzowane przez moduły (n.p. objetość ˛ K6); modułom kompaktyfikacji odpowiadaja˛ bezmasowe pola skalarne w teorii efektywnej. • W efektywnej teorii pola nie ma bezwymiarowych stałych (α, me/mµ, . . . ) – wszystko wyznaczone jest przez wartości oczekiwane modułów; n.p. GN = gsls8. • Pytania: – Dlaczego istnieje aż 5 konsystentnych teorii strun w d = 10? Ile ich jest dla d < 10? – Czy można jakoś wyeliminować wiekszość ˛ kompaktyfikacji aby uzyskać konkretne przewidywania przy niskich energiach? – Jak sytuuja˛ sie˛ w teorii strun efekty nieperturbacyjne w teoriach pola? – Jaki charakter maja˛ strunowe efekty nieperturbacyjne? – Czy i jak generowany jest potencjał dla modułów? • Ostatnie 10 lat przyniosło ogromny postep ˛ w zrozumieniu jak te różne rozwiazania ˛ sa˛ powiazane. ˛ Teoria strun i unifikacja 12 Czastka ˛ na okregu ˛ • d + 1 wymiarów, kierunek u – okresowy: (t, x⊥, u) ∼ (t, x⊥, u + 2πR). • Funkcja falowa ψ(t, x⊥, u) = e inu/R ψ̃(t, x⊥) gdzie n = 0, ±1, . . .. • P˛ed w kierunku u jest skwantowany: pu = n/R. • Zwiazek ˛ dyspersyjny czastki ˛ bezmasowej w d + 1 wymiarach: 2 2 E =p = 2 p⊥ n2 + 2 R To jest widmo energii charakterystyczne dla czastki ˛ o masie n/R w d wymiarach. Pojawia sie˛ “wieża” stanów masywnych o masach mn = n/R. . • Granica R → 0: redukcja wymiarowa. • Granica R → ∞: dekompaktyfikacja. Teoria strun i unifikacja 13 Struna na okregu ˛ • Warunki brzegowe: X(σ + 2π, τ ) = X(σ, τ ) + 2πR • Rozwiazanie ˛ istnieje dla wszystkich promienia; R jest modułem takiej kompaktyfikacji • W efektywnej teorii pola odpowiada mu bezmasowy skalar – przykład geometryzacji. • Widmo zawiera dodatkowe stany o masach 2 Mn,m n2 m2R2 = 2+ R ls4 • T-dualność: – teoria nie rozróżnia kompaktyfikacji na okregu ˛ o promieniu R i l22/R. – liczby kwantowe pedu ˛ i nawiniecia ˛ zamieniaja˛ sie˛ rolami. • T-dualność wiaże ˛ teorie typu IIA i IIB, a także H/E8 i H/SO(32): te pary sa˛ tożsame w teorii na okregu. ˛ Teoria strun i unifikacja 14 Dualność • Teoria kwantowa może mieć wiele różnych granic klasycznych • Wszystkie pozornie różne teorie strun sa˛ różnymi rozwinieciami ˛ perturbacyjnymi (semiklasycznymi) jednej teorii. • Można podać relacje dualności miedzy ˛ pozornie różnymi teoriami: 0 0 fA(gs, R, . . .) = fB (gs, R , . . .) gdzie n.p. gs0 = 1/gs. Wtedy A i B to dwa dualne opisy tej samej fizyki. • Dualność w teorii pola “miesza” pola i solitony; w teorii strun mieszaja˛ sie˛ stany nawiniete ˛ strun i innych obiektów rozciagłych, ˛ których istnienie jest konsekwencja˛ istnienia strun. Teoria strun i unifikacja 15 Brany • Tak jak nie ma relatywistycznej teorii samych elektronów, tak nie ma teorii samych strun – istnienie strun implikuje istnienie innych obiektów rozciagłych ˛ o określonych własnościach • Teoria zawiera nieperturbacyjne wzbudzenia (brany) o p-wymiarach przestrzennych z p = 0, 1, . . . 8. • Brany sa˛ niewidoczne w rachunku zaburzeń, bo ich masa na jednostk˛e objetości ˛ zachowuje sie˛ jak 1/gs (D-brany) lub 1/gs2 (solitony). • Stany bran nawinietych ˛ na cykle w przestrzeni kompaktyfikacji uzupełniaja˛ perturbacyjne widmo i prowadza˛ do relacji dualności, które uogólniaja˛ T-dualność. Teoria strun i unifikacja 16 Granica silnego sprzeżenia ˛ teorii IIA • Teoria strun typu IIA zawiera D0-brany o masie 1/gsls. • Progowe stany zwiazane ˛ D0-bran maja˛ masy: mN = N , ls gs • W granicy silnego sprz˛eżenia wszystkie te sany staja˛ sie˛ lekkie: ich obecność sygnalizuje nowy wymiar o promieniu R = gsls. • Granica silnego sprz˛eżenia teorii strun typu IIA ma dualny opis jako supergrawitacja w d = 11. – D0-brany maja˛ interpretacje modów Kaluzy-Kleina metryki w d = 11. – Dodatkowy wymiar jest niewidoczny w rachunku zaburzeń wokól gs = 0! Teoria strun i unifikacja 17 M-teoria Teoria strun i unifikacja 18 Co dalej? • Teoria strun stanowi fascynujace ˛ uogólnienie kwantowej teorii pola; przy niskich energiach prowadzi do efektywnych teorii pola zawierajacych ˛ – grawitacje˛ – pola Yanga-Millsa – supersymetrie˛ • Istnieje tylko jedna teoria strun, i jako taka nie zawiera bezwymiarowych parametrów – ale dopuszcza ogromna˛ ilość klasycznych próżni. • Brak zrozumienia zasady selekcji próżni – czy istnieja˛ dodatkowe warunki konsystencji? • Brak sformułowania teorii, które ukazywałoby wszystkie stopnie swobody w jednolity sposób • Istnieje ogromna ilość metastabilnych próżni z dodatnia˛ stała˛ kosmologiczna˛ • Zasada wyboru - kosmologiczna ewolucja w przestrzeni modułów? • Dlaczego prawa fizyki sa˛ takie, jakie sa˛ – i czy mogłyby być inne? Teoria strun i unifikacja 19