Stateczność - wersja komputerowa 28

Transkrypt

Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2,
Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11.
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Stateczność ram – wersja komputerowa
1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
Przekrój I240:
Przekrój I260:
Materiał – stal:
A = 46,1 cm2 = 46,1 · 10-4 m2
Ix = 4250 cm4 = 4250 · 10-8 m4
A = 53,4 cm2 = 53,4 · 10-4 m2
Ix = 5740 cm4 = 5740 · 10-8 m4
E = 205 Gpa = 205 · 106 kN/m2
2. Składowe przemieszczeń w globalnym układzie współrzędnych (GUW)
3. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŜenia zewnętrznego
Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18:
N1 = -9,652 kN,
N3 = -79,571 kN,
N2 = -72,006 kN,
N4 = -63,068 kN.
4. Macierze sztywności i obciąŜeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych
(LUW) oraz globalnym (GUW)
Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kN] i [m].
– pręt nr 1 – I240, utwierdzony z przegubem po prawej stronie:
Macierz sztywności w LUW:
|
|
|
|
|
|
147592.01
0.
0.
- 147592.01
0.
0.
0.
99.560773
637.5
0.
- 99.560773
0.
0.
637.5
4081.9917
0.
- 637.5
0.
- 147592.01
0.
0.
147592.01
0.
0.
0.
- 99.560773
- 637.5
0.
99.560773
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
Macierz sztywności geometrycznej w LUW:
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 1.808867
- 1.9304
0.
1.808867
0.
0.
- 1.9304
- 12.360591
0.
1.9304
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.808867
1.9304
0.
- 1.808867
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
Wektor sił przywęzłowych od obciąŜenia:
|
, 0.
0.
0.
|
Układ wymaga transformacji, poniewaŜ LUW i GUW nie pokrywają się – obrót o kąt
α = 321,340º, zgodnie z poniŜszym prawem:
· · , · , · · Macierz transformacji pręta:
|
|
|
|
|
|
0.7808667
0.6246977
0.
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.7808667
0.6246977
0.
90033.502
- 71947.646
398.24476
- 90033.502
71947.646
0.
- 71947.646
57658.073
497.80253
71947.646
- 57658.073
0.
398.24476
497.80253
4081.9917
- 398.24476
- 497.80253
0.
- 90033.502
71947.646
- 398.24476
90033.502
- 71947.646
0.
Macierz sztywności geometrycznej w GUW:
|
|
|
|
|
|
- 0.7059052
- 0.8823755
- 1.2059164
0.7059052
0.8823755
0.
- 0.8823755
- 1.1029618
- 1.5073851
0.8823755
1.1029618
0.
- 1.2059164
- 1.5073851
- 12.360591
1.2059164
1.5073851
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
0.
71947.646
- 57658.073
- 497.80253
- 71947.646
57658.073
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
0.8823755
1.1029618
1.5073851
- 0.8823755
- 1.1029618
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
, 0.7059052
0.8823755
1.2059164
- 0.7059052
- 0.8823755
0.
Wektor sił przywęzłowych w GUW:
|
0.
0.
0.
0.
0.
1.
Macierz sztywności w GUW:
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
|
– pręt nr 2 – I260, obustronnie utwierdzony:
|
|
|
|
|
|
218940.
0.
0.
- 218940.
0.
0.
0.
1129.632
2824.08
0.
- 1129.632
2824.08
0.
2824.08
9413.6
0.
- 2824.08
4706.8
- 218940.
0.
0.
218940.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 17.28144
- 7.2006
0.
17.28144
- 7.2006
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
17.28144
7.2006
0.
- 17.28144
7.2006
|
0.
0.
- 7.2006
- 48.004
0.
7.2006
12.001
0.
0.
0.
0.
2824.08
4706.8
0.
- 2824.08
9413.6
|
|
|
|
|
|
, Macierz sztywności geometrycznej w LUW:
|
|
|
|
|
|
0.
- 1129.632
- 2824.08
0.
1129.632
- 2824.08
0.
0.
0.
- 7.2006
12.001
0.
7.2006
- 48.004
|
|
|
|
|
|
|
Układ nie wymaga transformacji, poniewaŜ LUW i GUW pokrywają się – obrót o kąt
, ,
|
|
|
|
|
|
218940.
0.
0.
- 218940.
0.
0.
0.
1129.632
2824.08
0.
- 1129.632
2824.08
0.
2824.08
9413.6
0.
- 2824.08
4706.8
- 218940.
0.
0.
218940.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 17.28144
- 7.2006
0.
17.28144
- 7.2006
0.
- 7.2006
- 48.004
0.
7.2006
12.001
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 1129.632
- 2824.08
0.
1129.632
- 2824.08
0.
2824.08
4706.8
0.
- 2824.08
9413.6
, 0.
17.28144
7.2006
0.
- 17.28144
7.2006
0.
- 7.2006
12.001
0.
7.2006
- 48.004
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
273675.
0.
0.
- 273675.
0.
0.
0.
2206.3125
4412.625
0.
- 2206.3125
4412.625
0.
4412.625
11767.
0.
- 4412.625
5883.5
- 273675.
0.
0.
273675.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 23.8713
- 7.9571
0.
23.8713
- 7.9571
0.
- 7.9571
- 42.437867
0.
7.9571
10.609467
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
23.8713
7.9571
0.
- 23.8713
7.9571
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
0.
- 7.9571
10.609467
0.
7.9571
- 42.437867
|
|
|
|
|
|
|
0.
4412.625
5883.5
0.
- 4412.625
11767.
|
|
|
|
|
|
0.
- 2206.3125
- 4412.625
0.
2206.3125
- 4412.625
0.
0.
|
, ,
|
|
|
|
|
|
273675.
0.
0.
- 273675.
0.
0.
0.
2206.3125
4412.625
0.
- 2206.3125
4412.625
0.
4412.625
11767.
0.
- 4412.625
5883.5
- 273675.
0.
0.
273675.
0.
0.
0.
- 2206.3125
- 4412.625
0.
2206.3125
- 4412.625
0.
4412.625
5883.5
0.
- 4412.625
11767.
|
|
|
|
|
|
, Macierz sztywności geometrycznej w GUW:
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 23.8713
- 7.9571
0.
23.8713
- 7.9571
0.
- 7.9571
- 42.437867
0.
7.9571
10.609467
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
23.8713
7.9571
0.
- 23.8713
7.9571
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
0.
- 7.9571
10.609467
0.
7.9571
- 42.437867
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
236262.5
0.
0.
- 236262.5
0.
0.
0.
1633.5938
3267.1875
0.
- 1633.5938
3267.1875
0.
3267.1875
8712.5
0.
- 3267.1875
4356.25
- 236262.5
0.
0.
236262.5
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 18.9204
- 6.3068
0.
18.9204
- 6.3068
0.
- 6.3068
- 33.636267
0.
6.3068
8.4090667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
18.9204
6.3068
0.
- 18.9204
6.3068
|
0.
0.
0.
0.
3267.1875
4356.25
0.
- 3267.1875
8712.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
- 1633.5938
- 3267.1875
0.
1633.5938
- 3267.1875
0.
0.
- 6.3068
8.4090667
0.
6.3068
- 33.636267
|
|
|
|
|
|
0.
0.
|
· · , · , · · Macierz transformacji pręta:
|
|
|
|
|
|
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
6.123D-17
- 1.
0.
-
1633.5938
1.437D-11
3267.1875
1633.5938
1.437D-11
3267.1875
1.437D-11
236262.5
2.001D-13
- 1.437D-11
- 236262.5
2.001D-13
- 3267.1875
2.001D-13
8712.5
3267.1875
- 2.001D-13
4356.25
- 1633.5938
- 1.437D-11
3267.1875
1633.5938
1.437D-11
3267.1875
|
|
|
|
|
|
- 18.9204
1.159D-15
6.3068
18.9204
- 1.159D-15
6.3068
1.159D-15
- 7.094D-32
- 3.862D-16
- 1.159D-15
7.094D-32
- 3.862D-16
6.3068
- 3.862D-16
- 33.636267
- 6.3068
3.862D-16
8.4090667
0.
0.
- 1.437D-11
- 236262.5
- 2.001D-13
1.437D-11
236262.5
- 2.001D-13
|
|
|
|
|
|
- 3267.1875
2.001D-13
4356.25
3267.1875
- 2.001D-13
8712.5
- 1.159D-15
7.094D-32
3.862D-16
1.159D-15
- 7.094D-32
3.862D-16
6.3068
- 3.862D-16
8.4090667
- 6.3068
3.862D-16
- 33.636267
0.
0.
0.
0.
|
5. Schemat agregacji globalnej macierzy sztywności K16x16, sztywności geometrycznej
Kg16x16 i wektora obciąŜeń węzłowych P16x1
Tabela powiązań:
Nr reakcji
Nr pręta
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
1
8
4
11
2
9
5
12
3
10
7
13
4
4
11
14
5
5
12
15
6
7
13
16
Schemat agregacji macierzy i wektora:
X – współczynniki macierzy pręta nr 1,
O – współczynniki macierzy pręta nr 2,
# – współczynniki macierzy pręta nr 3,
$ – współczynniki macierzy pręta nr 4,
puste pole – wartość równa zero,
|
|
|
|
|
|
, 18.9204
- 1.159D-15
- 6.3068
- 18.9204
1.159D-15
- 6.3068
|
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
|
|
|
|
|
|
nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
X
X
X
X
X
X
2
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
4
X
X
X
XO#
XO#
X
O#
O
O
O
#
#
#
5
X
X
X
XO#
XO#
X
O#
O
O
O
#
#
#
6
X
X
X
X
X
X
7
8
9
10
11
12
13
O#
O#
O
O
O
O
O
O
#
#
#
#
#
#
O#
O
O
O
#
#
#
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
#
#
#
#$
#$
#$
$
$
$
#$
#$
#$
$
$
$
#$
#$
#$
$
$
$
14
$
$
$
$
$
$
15
$
$
$
$
$
$
16
1
X
X
X
XO#
XO#
X
O#
O
O
O
#$
#$
#$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
UWAGA:
Współczynniki macierzy poszczególnych prętów i ich miejsca w macierzach
globalnych:
– pręt nr 1:
|
|
|
|
|
|
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(5,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
|
|
|
|
|
|
|
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
|
T
– pręt nr 2:
|
|
|
|
|
|
(8,8)
(9,8)
(10,8)
(4,8)
(5,8)
(7,8)
(8,9)
(9,9)
(10,9)
(4,9)
(5,9)
(7,9)
(8,10)
(9,10)
(10,10)
(4,10)
(5,10)
(7,10)
(8,4)
(9,4)
(10,4)
(4,4)
(5,4)
(7,4)
(8,5)
(9,5)
(10,5)
(4,5)
(5,5)
(7,5)
(8,7)
(9,7)
(10,7)
(4,7)
(5,7)
(7,7)
|
|
|
|
|
|
|
(8,1)
(9,1)
(10,1)
(4,1)
(5,1)
(7,1)
|
T
– pręt nr 3:
|
|
|
|
|
|
(4,4)
(5,4)
(7,4)
(11,4)
(12,4)
(13,4)
(4,5)
(5,5)
(7,5)
(11,5)
(12,5)
(13,5)
(4,7)
(5,7)
(7,7)
(11,7)
(12,7)
(13,7)
(4,11)
(5,11)
(7,11)
(11,11)
(12,11)
(13,11)
(4,12)
(5,12)
(7,12)
(11,12)
(12,12)
(13,12)
(4,13)
(5,13)
(7,13)
(11,13)
(12,13)
(13,13)
|
|
|
|
|
|
|
(4,1)
(5,1)
(7,1)
(11,1)
(12,1)
(13,1)
|
T
– pręt nr 4:
|
|
|
|
|
|
(11,11)
(12,11)
(13,11)
(14,11)
(15,11)
(16,11)
(11,12)
(12,12)
(13,12)
(14,12)
(15,12)
(16,12)
(11,13)
(12,13)
(13,13)
(14,13)
(15,13)
(16,13)
(11,14)
(12,14)
(13,14)
(14,14)
(15,14)
(16,14)
(11,15)
(12,15)
(13,15)
(14,15)
(15,15)
(16,15)
(11,16)
(12,16)
(13,16)
(11,16)
(12,16)
(13,16)
|
|
|
|
|
|
|
(11,1)
(12,1)
(13,1)
(14,1)
(15,1)
(16,1)
|
T
6. Globalny wektor obciąŜeń węzłowych P16x1
Wektor sił przywęzłowych układu od obciąŜeń zewnętrznych R0 oraz wektor zewnętrznych sił
węzłowych układu Pw:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wektor obciąŜeń węzłowych układu:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
7. Globalna macierz sztywności K16x16 oraz sztywności geometrycznej Kg16x16
K16x16 =
Kg16x16=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
90033,5
-71947,6
398,2448
-90033,5
71947,65
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
16
0
2
-71947,6
57658,07
497,8025
71947,65
-57658,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
398,2448
497,8025
4081,992
-398,245
-497,803
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
-90033,5
71947,65
-398,245
582648,5
-71947,6
0
0
-218940
0
0
-273675
0
0
0
0
0
5
71947,65
-57658,1
-497,803
-71947,6
60994,02
0
1588,545
0
-1129,63
-2824,08
0
-2206,31
4412,625
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
1588,545
0
21180,6
0
2824,08
4706,8
0
-4412,63
5883,5
0
0
0
8
0
0
0
-218940
0
0
0
218940
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
-1129,63
0
2824,08
0
1129,632
2824,08
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
-2824,08
0
4706,8
0
2824,08
9413,6
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
-273675
0
0
0
0
0
0
275308,6
1,44E-11
-3267,19
-1633,59
-1,44E-11
-3267,19
12
0
0
0
0
-2206,31
0
-4412,63
0
0
0
1,44E-11
238468,8
-4412,63
-1,44E-11
-236263
2,00E-13
13
0
0
0
0
4412,625
0
5883,5
0
0
0
-3267,19
-4412,63
20479,5
3267,188
-2,00E-13
4356,25
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1633,59
-1,44E-11
3267,188
1633,594
1,44E-11
3267,188
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1,44E-11
-236263
-2,00E-13
1,44E-11
236262,5
-2,00E-13
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-3267,19
2,00E-13
4356,25
3267,188
-2,00E-13
8712,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
-0,70591
-0,88238
-1,20592
0,705905
0,882376
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-0,88238
-1,10296
-1,50739
0,882376
1,102962
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
-1,20592
-1,50739
-12,3606
1,205916
1,507385
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0,705905
0,882376
1,205916
-0,70591
-0,88238
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0,882376
1,102962
1,507385
-0,88238
-42,2557
0
-0,7565
0
17,28144
7,2006
0
23,8713
-7,9571
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
-0,7565
0
-90,4419
0
-7,2006
12,001
0
7,9571
10,609467
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
17,28144
0
-7,2006
0
-17,2814
-7,2006
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
7,2006
0
12,001
0
-7,2006
-48,004
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-18,9204
1,16E-15
6,3068
18,9204
-1,16E-15
6,3068
12
0
0
0
0
23,8713
0
7,9571
0
0
0
1,16E-15
-23,8713
7,9571
-1,16E-15
7,09E-32
-3,86E-16
13
0
0
0
0
-7,9571
0
10,60947
0
0
0
6,3068
7,9571
-76,07413
-6,3068
3,86E-16
8,4090667
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
18,9204
-1,16E-15
-6,3068
-18,9204
1,16E-15
-6,3068
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1,16E-15
7,09E-32
3,86E-16
1,16E-15
-7,09E-32
3,86E-16
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6,3068
-3,86E-16
8,4090667
-6,3068
3,86E-16
-33,636267
8. Warunki brzegowe
W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań stateczności
(analogicznie równowagi statycznej) polegającej na:
– wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń):
utwierdzenie pręta nr 1:
q1 , q2 , q3 ,
q8 , q9 , q10 ,
q14 , q15 , q16 ,
– redukcji statycznej układu:
przegub jednostronny pręta nr 1:
q6 .
9. Rozwiązanie uogólnionego problemu własnego
· · 0
· · 0 ,
· · 0 *,
1/
* Do rozwiązania tak sformułowanego problemu własnego, wykorzystano funkcję eigen() z biblioteki Scilaba – calfem.
Wartości własne :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
|
|
|
|
|
|
-0.0063094
-0.0027072
-0.0010336
-0.0001236
-0.0000379
-0.0000011
|
|
|
|
|
|
Wektory własne q:
(1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1
q2
q3
q4
q5
q6
q7
q8
q9
q10
q11
q12
q13
q14
q15
q16
(2)
(3)
(4)
(5)
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0.0000063 | 0.0000823 | -0.0011613 | -0.0011816 |
|
| -0.0001472 | 0.0004096 | -0.0046239 | 0.0001766 |
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| -0.0060524 | -0.0038447 | 0.0000243 | -0.0000616 |
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
| = | 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0.0000521 | 0.0000669 | -0.0012394 | -0.0025419 |
|
| -0.0000064 | -0.0000676 | 0.0004442 | -0.0003139 |
|
| 0.0055032 | -0.0048608 | 0.0002547 | -0.0002629 |
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
|
| 0
| 0
| 0
| 0
|
(6)
0
0
0
-0.0001439
-0.0011419
0
-0.0001756
0
0
0
0.0001006
-0.0019783
-0.0001035
0
0
0
| 0
|
| 0
|
| 0
|
| -0.0012898 |
| 0.0000714 |
| 0
|
| 0.0000064 |
| 0
|
| 0
|
| 0
|
| 0.0000221 |
| 0.0000754 |
| 0.0000031 |
| 0
|
| 0
|
| 0
|
* w rzeczywistości wartość q6 jest róŜna od zera.
O wartości obciąŜenia krytycznego decyduje najmniejszy współczynnik 1/. NaleŜy,
więc znaleźć najmniejszą wartość własną:
1/ !"# 1/ 1/0,0063094 158,49397
Wektor własny q1 (wektor przemieszczeń uogólnionych w GUW) odpowiadający
mnoŜnikowi krytycznemu określa pierwszą postać utraty stateczności rozpatrywanej
konstrukcji:
| 0
0
0
0.0000063
-0.0001472
0
-0.0060524
0
0
0
0.0000521
-0.0000064
0.0055032
Wektory przemieszczeń węzłowych prętów w lokalnych układach współrzędnych:
– pręt nr 1 (α = 321,340º):
+ · 0
0
0 |
Wektor przemieszczeń w GUW:
|
0.
0.
0.
0.0000063
- 0.0001472
Macierz transformacji pręta:
|
|
|
|
|
|
0.7808667
0.6246977
0.
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.7808667
0.6246977
0.
0.
0.
0.
0.0000968
– pręt nr 2 (α = 0º):
0.
0.
0.
0.
- 0.0001472
0.
0.
0.0000063
- 0.0001472
0.0000063
- 0.0001472
- 0.0001472
0.0000521
- 0.0060524
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
- 0.0060524
|
- 0.0000064
0.0055032
|
0.0000521
- 0.0000064
0.0055032
|
+ · - 0.0000064
0.0055032
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Wektor przemieszczeń w GUW:
0.0000521
- 0.0060524
- 0.0060524
– pręt nr 4 (α = 90º):
|
|
+ Wektor przemieszczeń w LUW:
|
0.
0.0000063
|
|
|
|
|
|
0.0000063
– pręt nr 3 (α = 0º):
|
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
- 0.0001110
|
|
|
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
|
- 0.0000064
- 0.0000521
0.0055032
0.
0.
0.
|
10. Postać utraty stateczności
Przemieszczenia poziome ,-./0 i pionowe 1-./0 punktów na długości pręta wyznaczono z
wartości przemieszczeń węzłowych / i funkcji kształtu 2-./0 wg poniŜszych wzorów:
,-./0 2 -./0 · / 2 -./0 · /
1-./0 2 -./0 · / 2 -./0 · / 23 -./0 · /3 2 -./0 · /
Pręt obustronnie utwierdzony
2 -./0 1 Pręt z przegubem na prawym końcu
./
4
2 -./0 1 ./ ./ 2 -./0 1 3 · 5 6 2 · 5 6
4
4
./
./ 2 -./0 ./ · 81 2 · 5 6 9
4
4
./
2 -./0 4
./ ./ 23 -./0 3 · 5 6 2 · 5 6
4
4
./
./ 2 -./0 ./ · 8 5 6 9
4
4
./
4
3 ./ 1 ./ 2 -./0 1 · 5 6 · 5 6
2 4
2 4
3 ./ 1 ./ 2 -./0 ./ · 81 · · 5 6 9
2 4 2 4
./
2 -./0 4
3 ./ 1 ./ 23 -./0 · 5 6 · 5 6
2 4
2 4
– pręt nr 1 (przegub na prawym końcu):
./ :;
0,000
1,601
3,202
4,802
6,403
2 -./0
1
0,75
0,5
0,25
0
2 -./0
2 -./0
1
0
0,632813 1,050513
0,3125 1,200586
0,085938 0,750366
0
0
2 -./0
0
0,25
0,5
0,75
1
23 -./0
2 -./0
0
0
0
0
0
0,00000000
0,00002420
0,00004840
0,00007260
0,00009680
0,00000000
-0,00004076
-0,00007631
-0,00010146
-0,00011100
23 -./0
2 -./0
,-./0
1-./0
0
0,367188
0,6875
0,914063
1
,-./0
1-./0
– pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony):
./ :;
0,000
1,250
2,500
3,750
5,000
2 -./0
1
0,75
0,5
0,25
0
2 -./0
2 -./0
1
0
0,84375 0,703125
0,5
0,625
0,15625 0,234375
0
0
2 -./0
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0
0,00000000
0,15625 -0,23438 0,00000158
0,5
-0,625 0,00000315
0,84375 -0,70313 0,00000473
1
0
0,00000630
0,00000000
0,00139553
0,00370915
0,00413139
-0,00014720
./ :;
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
2 -./0
1
0,75
0,5
0,25
0
2 -./0
1
0,84375
0,5
0,15625
0
2 -./0
0
0,5625
0,5
0,1875
0
2 -./0
0
0,25
0,5
0,75
1
23 -./0
2 -./0
0
0,15625
0,5
0,84375
1
0
-0,1875
-0,5
-0,5625
0
23 -./0
2 -./0
,-./0
1-./0
0,00000630
0,00001775
0,00002920
0,00004065
0,00005210
-0,00014720
-0,00456153
-0,00585460
-0,00425878
-0,00000640
,-./0
1-./0
./ :;
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
2 -./0
1
0,75
0,5
0,25
0
2 -./0
1
0,84375
0,5
0,15625
0
2 -./0
0
0,5625
0,5
0,1875
0
2 -./0
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,15625
0,5
0,84375
1
0
-0,1875
-0,5
-0,5625
0
-0,00000640 -0,00005210
-0,00000480 0,00305159
-0,00000320 0,00272555
-0,00000160 0,00102371
0,00000000 0,00000000
Postać utraty stateczności dla mnoŜnika krytycznego <= 158,49397:
Wartości obciąŜenia krytycznego:
WYZNACZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH I PRZEMIESZCZEŃ Z UWZGLĘDNIENIEM
DUśYCH SIŁ OSIOWYCH WG TEORII II RZĘDU
11. Schemat statyczny ramy
ObciąŜenie krytyczne występuje dla mnoŜnika <= 158,49397.
Obliczenia przeprowadzono dla schematu obciąŜonego siłami przemnoŜonymi przez
współczynnik 0,6 · <= 95,096 > 95, jak na rysunku:
12. Rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciąŜenia zewnętrznego
Obliczenia wykonano za pomocą programo RM-Win v9.18:
N1 = -916,983 kN,
N3 = -7559,248 kN,
N2 = -6840,577 kN,
N4 = -5991,501 kN.
13. Nowe macierze sztywności geometrycznej oraz wektory obciąŜeń węzłowych prętów w
lokalnych układach współrzędnych (LUW) oraz globalnym (GUW) – teoria II rzędu
Macierze sztywności geometrycznej są zaleŜne od wartości sił normalnych, dlatego
macierze geometryczne wyznaczone przy obliczaniu siły krytycznej moŜna pomnoŜyć przez
współczynnik 0,6 · <= 95,096 > 95.
? pozostają niezmienione (jak w pkt. 4).
Macierze sztywności Współczynniki macierzy są obliczane dla danych w jednostkach zawierających [kN] i [m].
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 171.85042
- 183.3966
0.
171.85042
0.
0.
- 183.3966
- 1174.3112
0.
183.3966
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
0.
171.85042
183.3966
0.
- 171.85042
0.
0.
0.
0.
|
, · , · · Macierz transformacji pręta:
|
|
|
|
|
|
0.7808667
0.6246977
0.
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.7808667
0.6246977
0.
|
|
|
|
|
|
- 67.06414
- 83.8296
- 114.56743
67.06414
83.8296
0.
- 83.8296
- 104.78628
- 143.2083
83.8296
104.78628
0.
- 114.56743
- 143.2083
- 1174.3112
114.56743
143.2083
0.
0.
67.06414
83.8296
114.56743
- 67.06414
- 83.8296
0.
83.8296
104.78628
143.2083
- 83.8296
- 104.78628
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
, Wektor sił przywęzłowych w GUW:
|
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 1641.7385
- 684.0577
0.
1641.7385
- 684.0577
0.
- 684.0577
- 4560.3847
0.
684.0577
1140.0962
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 684.0577
1140.0962
0.
684.0577
- 4560.3847
|
|
|
|
|
|
|
0.
1641.7385
684.0577
0.
- 1641.7385
684.0577
0.
0.
0.
|
, ,
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 1641.7385
- 684.0577
0.
1641.7385
- 684.0577
0.
- 684.0577
- 4560.3847
0.
684.0577
1140.0962
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 684.0577
1140.0962
0.
684.0577
- 4560.3847
|
|
|
|
|
|
|
0.
1641.7385
684.0577
0.
- 1641.7385
684.0577
0.
0.
0.
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 2267.7744
- 755.9248
0.
2267.7744
- 755.9248
0.
- 755.9248
- 4031.5989
0.
755.9248
1007.8997
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
2267.7744
755.9248
0.
- 2267.7744
755.9248
|
0.
- 380.
- 253.33333
0.
0.
- 755.9248
1007.8997
0.
755.9248
- 4031.5989
|
|
|
|
|
|
- 380.
253.33333
|
, ,
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 2267.7744
- 755.9248
0.
2267.7744
- 755.9248
0.
- 755.9248
- 4031.5989
0.
755.9248
1007.8997
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
2267.7744
755.9248
0.
- 2267.7744
755.9248
0.
- 380.
|
|
|
|
|
|
|
0.
- 755.9248
1007.8997
0.
755.9248
- 4031.5989
- 253.33333
0.
- 380.
253.33333
|
|
|
|
|
|
|
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
- 1797.4503
- 599.1501
0.
1797.4503
- 599.1501
0.
- 599.1501
- 3195.4672
0.
599.1501
798.8668
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1797.4503
599.1501
0.
- 1797.4503
599.1501
0.
0.
0.
0.
- 599.1501
798.8668
0.
599.1501
- 3195.4672
|
|
|
|
|
|
|
, 0.
0.
0.
|
, · , · · Macierz transformacji pręta:
|
|
|
|
|
|
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
6.123D-17
- 1.
0.
|
|
|
|
|
|
- 1797.4503
1.101D-13
599.1501
1797.4503
- 1.101D-13
599.1501
1.101D-13
- 6.739D-30
- 3.669D-14
- 1.101D-13
6.739D-30
- 3.669D-14
599.1501
- 3.669D-14
- 3195.4672
- 599.1501
3.669D-14
798.8668
0.
0.
0.
- 1.101D-13
6.739D-30
3.669D-14
1.101D-13
- 6.739D-30
3.669D-14
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
, 1797.4503
- 1.101D-13
- 599.1501
- 1797.4503
1.101D-13
- 599.1501
|
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
|
599.1501
- 3.669D-14
798.8668
- 599.1501
3.669D-14
- 3195.4672
|
|
|
|
|
|
14. Nowa globalna macierz sztywności geometrycznej Kg16x16 oraz globalny wektor obciąŜeń węzłowych P16x1
Schemat agregacji przeprowadzono wg schematu w punkcie 5.
Macierz sztywności pozostaje niezmieniona (jak w pkt. 7).
1
Kg16x16=
PT16x1 =
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
1
-67,06414
-83,8296
-114,5674
67,06414
83,8296
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-83,8296
-104,7863
-143,2083
83,8296
104,78628
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
-114,5674
-143,2083
-1174,311
114,5674
143,2083
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
67,06414
83,8296
114,56743
-67,06414
-83,8296
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
83,8296
104,78628
143,2083
-83,8296
-4014,299
0
-71,8671
0
1641,7385
684,0577
0
2267,7744
-755,9248
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
-71,8671
0
-8591,984
0
-684,0577
1140,0962
0
755,9248
1007,8997
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
1641,7385
0
-684,0577
0
-1641,739
-684,0577
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
684,0577
0
1140,0962
0
-684,0577
-4560,385
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1797,45
1,10E-13
599,1501
1797,4503
-1,10E-13
599,1501
12
0
0
0
0
2267,7744
0
755,9248
0
0
0
1,10E-13
-2267,774
755,9248
-1,10E-13
6,74E-30
-3,67E-14
13
0
0
0
0
-755,9248
0
1007,8997
0
0
0
599,1501
755,9248
-7227,066
-599,1501
3,67E-14
798,8668
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1797,4503
-1,10E-13
-599,1501
-1797,45
1,10E-13
-599,1501
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1,10E-13
6,74E-30
3,67E-14
1,10E-13
-6,74E-30
3,67E-14
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
599,1501
-3,67E-14
798,8668
-599,1501
3,67E-14
-3195,467
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
0
0
0
380
0
253,3333
0
0
0
-7600
6080
-253,3333
0
0
0
1
15. Warunki brzegowe
W celu uwzględnienia warunków brzegowych dokonuję się redukcji układu równań równowagi
(analogicznie do równań stateczności) polegającej na:
– wprowadzeniu warunków podparcia (zerowych przemieszczeń):
q1 , q 2 , q 3 ,
q8 , q9 , q10 ,
q14 , q15 , q16 ,
– redukcji statycznej układu:
przegub jednostronny pręta nr 1:
q6 .
16. Rozwiązanie statyki wg teorii II rzędu
· Wektor niezerowych przemieszczeń uogólnionych w globalnym układzie współrzędnych:
|
|
|
|
|
|
q4
q5
q7
q11
q12
q13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
- 0.0328330
- 0.0335253
0.0557922
- 0.0610689
0.0259318
- 0.0440173
|
|
|
|
|
|
[m,rad]
* w rzeczywistości wartość q6 jest róŜna od zera, jednak nie ma wpływu na wartości sił
wewnętrznych w układzie, poniewaŜ wcześniej dokonano odpowiedniej redukcji statycznej,
a współczynniki macierzy K i wektora P dla pręta nr 1 uwzględniają jego przegubowe
połączenie na prawym końcu.
–pręt nr 1 (α = 321,340º):
+ · Wektor przemieszczeń w GUW:
|
0.
0.
0.
- 0.0328330
- 0.0335253
0.7808667
0.6246977
0.
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.7808667
0.6246977
0.
0.
–pręt nr 2 (α = 0º):
0.
0.
0.
0.
0.
- 0.6246977
0.7808667
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
|
|
4.467D-15
- 0.0046950
- 0.0466895
+ 4.467D-15
|
|
|
|
|
|
|
1.0D-08 *
|
- 0.0000003
- 0.0000013
1.396D-09
- 3283300.2
- 3352533.3
5579216.6 |
1.0D-08 *
|
- 0.0000003
- 0.0000013
1.396D-09
–pręt nr 3 (α = 0º):
- 3283300.2
- 0.0328330
- 0.0335253
0.0557922
- 0.0610689
- 0.0328330
- 0.0335253
0.0557922
–pręt nr 4 (α = 90º):
- 0.0610689
- 0.0610689
0.0259318
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
- 0.0440173
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.0259318
0.0259318
- 0.0440173
|
0.0610689
0.
0.
0.
|
0.
0.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
6.123D-17
- 1.
0.
0.
0.
0.
1.
6.123D-17
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0.0440173
+ · Wektor przemieszczeń w GUW:
|
0.0259318
|
5579216.6 |
|
- 3352533.3
- 0.0440173
0.
0.
0.
|
17. Siły przekrojowe
Wektor sił przywęzłowych w pręcie "e":
wg schematu:
:C2, C2; –pręt nr 1:
|
692.94469
–pręt nr 2:
@ @ · +@ @
@ :2A , A , BA , 2< , < , B< ;
4.6484443
29.764566
- 692.94469
- 4.6484443
:C2, C2; 0.
|
|
7188.4574
195.43283
357.28079
- 7188.4574
7727.4464
- 459.223
- 118.1648
- 7727.4464
6126.7115
- 300.777
- 198.7272
|
- 44.05112
- 183.97745
- 6126.7115
44.05112
7.7729705
18. Wykres sił normalnych z 1-iteracji
19. Porównanie wartości sił normalnych w prętach z 0-iteracji oraz 1-iteracji
0-iteracja – teoria I rzędu
1-iteracja – teoria II rzędu
Nr pręta
1
2
3
4
|
|
619.88336
|
- 195.43283
teoria I – rzędu
teoria II – rzędu
RÓśNICA |∆|
-916,983
-6840,577
-7559,248
-5991,501
-692,945 kN
-7188,457 kN
-7727,446 kN
-6126,712 kN
224,038
347,880
168,198
135,211
kN
kN
kN
kN
kN
kN
kN
kN
BŁĄD [%]
24,4
5,1
2,2
2,3
|

Stateczność - wersja komputerowa 28

Transkrypt

Podobne dokumenty

Przekształcenia geometryczne. Przesunięcie równoległe.

Zagadnienia do egzaminu inżynierskiego kierunek

Budowa modelu ekonometrycznego