1 Praca domowa nr 4. WM-E, kierunek MBM. Termin oddania pracy

Praca domowa nr 4. WM-E, kierunek MBM. Termin oddania pracy 05 I 2016
Grupa1. Grawitacja, pole grawitacyjne, prawo Gaussa
1. A) Oszacować promienie RCz.D Ziemi, Słońca i kuli o masie 55 kg, przy których stałyby się czarnymi
dziurami? Ile ważyłoby Twoje ciało znajdujące się w odległości 2·RCz.D od takich obiektów?
B) Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznacz natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz jednorodnej kuli o masie
M i promieniu R.
2. A) Trzy identyczne kulki o masach m znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku
a. Wyznacz natężenie pola grawitacyjnego w środku trójkąta oraz w środku jednego z jego boków. B)
Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznacz natężenie pola grawitacyjnego na zewnątrz jednorodnej sfery o masie
M i promieniu R.
3. A) Układ podwójny tworzą gwiazdy o masach 3·1030 kg każda, które krążą wokół wspólnego środka masy po
orbitach o promieniach 1011 m. Wyznacz ich prędkości kątowe i liniowe. B) Korzystając z twierdzenia Gaussa,
wyznacz natężenie pola grawitacyjnego na zewnątrz jednorodnej kuli o masie M i promieniu R.
4. A) Oszacuj prędkość ruchu Księżyca wokół Ziemi oraz Ziemi wokół Słońca zakładając, że orbity są kołowe.
Przyjąć: stałą grawitacji 7·10-11m3/kg·s2, masę Ziemi 6·1024 kg, odległość Ziemia-Księżyc 3,8·108m, odległość
Ziemia-Słońce 1,5·1011m, masę Słońca 2·1030 kg. B) Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznacz natężenie pola
grawitacyjnego wewnątrz jednorodnej sfery o masie M i promieniu R.
5. A) Pokaż, że sztuczny satelita okrąża kulistą planetę po orbicie kołowej nisko leżącej nad powierzchnią
planety w czasie T = [Gρ/(3π)]1/2, gdzie ρ — średnia gęstość masy planety. B) Korzystając z twierdzenia Gaussa,
wyznacz natężenie pola grawitacyjnego w odległości x<r wewnątrz powłoki sferycznej o masie M, promieniu
zewnętrznym R i wewnętrznym r.
6. A) SOHO, to kosmiczna obserwatorium monitorujące non-stop Słońce (patrz Solar and Heliosferic
Observatory Homepage http://sohowww.nascom.nasa.gov/) umieszczone w punkcie, gdzie równoważą się siły
grawitacji Słońca i Ziemi. W jakiej odległości od Słońca orbituje SOHO? B) Zakładając, że masa Księżyca jest n
razy mniejsza od masy Ziemi, obliczyć ile razy dłużej spada ciało z tej samej wysokości na Księżycu w stosunku
do Ziemi. Przyjąć, że gęstości mas Ziemi i Księżyca są jednakowe.
7. A)Wyznaczyć odległość od środka Ziemi, prędkość kątową i liniową geostacjonarnego − tj. poruszającego się
w płaszczyźnie równikowej naszej planety − satelity. Przyjąć wartość stałe grawitacji 7·10-11 m3/kg·s2, promień
Ziemi 6400 km, przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2. B) Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznacz natężenie
pola grawitacyjnego na zewnątrz powłoki sferycznej o masie M, promieniu zewnętrznym R i wewnętrznym r.
8. A) Korzystając z twierdzenia Gaussa pokaż, że przyspieszenie grawitacyjne aD na dnie wydrążonego w
jednorodnej kuli pionowego szybu o głębokości D wynosi aD = g(1 − D/R), gdzie R–promień kuli, g jest
natężeniem pola grawitacyjnego na powierzchni kuli. B) Korzystając z twierdzenia Gaussa, wyznacz natężenie
pola grawitacyjnego w odległości r pola grawitacyjnego jednorodnej nieskończenie długiej struny o liniowej
gęstości masy λ.
Grupa 2. Statyka
1.
Kot o masie m wędruje od lewego do prawego końca jednorodnej deski o masie M = 7kg i dł. L = 4m podpartej w dwóch
miejscach, jak na rys. Lewy pkt. wsparcia znajduje się w odległości
0,44m od lewego a drugi 1,5m od prawego brzegu deski. Gdy kot
znajdzie się na prawym końcu deski, ona zaczyna przechylać się.
Wyznacz masę m kota. Jak wartości sił F1 i F2 zależą od odległości x
kota od lewego końca deski?
1
2. Rysunek (a) po prawej stronie przedstawia człowieka na wózku inwalidzkim, który
na swej drodze napotyka krawężnik o wysokości h = 10cm. Niechaj całkowita masa
człowieka z wózkiem wynosi M = 1500N, a promień dużych kół r = 35cm [patrz rys.
(b)]. Wyznacz wartości sił F z jakimi człowiek działa na obręcze, w chwili czasu, gdy
wartość siły z jaką płaska powierzchnia działa na wózek w punkcie B [rys. (c) i (d)] jest
równa zeru; wówczas wózek zaczyna obracać się wokół punktu A, a rys. (d)
przedstawia diagram sił przyłożonych do niego. Ws-ka: Należy policzyć moment sił
działających na wózek względem punktu A.
3. Wysokie i niskie obcasy. Studentka może na
uczelni chodzić w płaskim obuwiu [rys. (a) po
lewej stronie], ale wychodząc na ważne
spotkanie zakłada wysokie szpilki [rys. (b)].
Załóżmy, że studentka waży w = 500N, a
podłoga, poprzez obuwie, oddziałuje na stopę
studentki w punktach A i B. Wyznacz wartości
sił FA i FB dla obu rodzajów obuwia.
4. Gęstość powietrza w warunkach normalnych
wynosi 1,2 kg/m3. Oblicz ciężar tego powietrza
w sali o podłodze 4 m na 5 m i wysokość 3 m.
Jakie ciśnienie wywiera ciśnienie atmosferyczne
na powierzchnię tego pomieszczenia? Oszacuj wartość parcia wywieranego na Twoją
dłoń przez powietrze?
5. Rysunek obok przedstawia poziomą sosnową belkę
o masie 25 kg i długości 3,6 m, której prostokątny
przekrój poprzeczny ma wymiary 9,5 cm i 14 cm. Dwa filary dachu
(niepokazanego na rys.) są postawione pionowo na belce. Maksymalne naprężenie
ścinające dla drzewa sosnowego wynosi σmax = 5·106 N/m2. Przyjmując za wartość
współczynnika bezpieczeństwa κ = 5, wyznacz maksymalne wartości mas filarów
i dachu, tj. siły FL z jakimi filary mogą bezpiecznie działać na sosnową belkę. Wsmax
ka: Maksymalną wartość siły FL należy wyznaczyć ze wzoru maxFL ≤ (pole przekroju)· σmax/κ i porównać ją z
wartością |FL| obliczoną z warunku równowagi momentów wszystkich sił
liczonych względem np. jednego z punktów podparcia belki.
6. Belka AB o długości a i masie m została podparta w punkcie A za pomocą
podpory nieprzesuwnej i końcem B belki oparta o idealnie gładką ścianę tak, że
tworzy z poziomem kąt α. Obliczyć wielkość reakcji w punkach A i B. Ws-ka: Siła
reakcji w pkt. B jest prostopadła do pionowej ściany; siła reakcji w pkt. A ma
składową poziomą RAx oraz pionową RAy.
7. Belka AB o długości a i masie m została oparta o ścianę pod kątem α do
podłoża, jak na rys. po lewej stronie. Obliczyć przy jakiej wartości kąta α
nastąpi utrata równowagi układu.
8. Belka AD o długości L i
masie m2 jest jednym końcem
przymocowana przegubowo do
ściany. Na drugim końcu belki
zawieszono masę m1. Belka jest
utrzymywana w położeniu poziomym za pomocą liny BC nachylonej do płaszczyzny poziomej pod kątem α. Oblicz siłę w linie
oraz siłę reakcję w miejscu zamocowania belki.
2
Grupa 3. Hydrostatyka
1. A)W naczyniu z wodą pływa drewniany klocek obciążony stalowa kulką uwiązaną na nici.
Czy zmieni się ciśnienie wody na dno naczynia, jeżeli urwie się nić podtrzymująca kulkę?
Odpowiedź uzasadnij. B) W szklane wody pływa kawałek lodu. Jaka część lodu znajduje się pod
wodą? Gęstość lodu 917 kg/m3, wody 998 kg/m3. Co stanie się z poziomem wody, gdy lód
stopnieje? A co, gdy na lodzie początkowo położymy kamyk, który po stopieniu się lodu upadnie
na dno szklanki?
2. A) Człowiek może wytrzymać przez krótki okres czasu ciśnienie 3500 hPa. Na jaką największą głębokość
może się zanurzyć w jeziorze człowiek bez skafandra? Gęstość wody 1000 kg/ m3, ciśnienie atmosferyczne na
powierzchni jeziora 1000 hPa. B) Naczynie z wodą stojące na szalce wagi równoważymy za pomocą
odważników. Do wody zanurzamy metalową kulkę zawieszoną na nici, której koniec trzymamy w dłoni. Kulka
nie dotyka ścian i dna naczynia. Czy równowaga wagi zostanie zachwiana? Odpowiedź uzasadnij.
3. A) Na jednej z szalek wagi znajduje się zlewka z wodą oraz cukier. Do wody w zlewce zanurzono metalową
kulę zawieszoną na statywie i wagę zrównoważono. Czy po rozpuszczeniu cukru w wodzie waga pozostanie
nadal zrównoważona? Jeśli nie, to która szalka uniesie się do góry? Wyjaśnij to zjawisko. B) Na szalkach wagi
laboratoryjnej ustawiono dwie zlewki z wodą. Następnie w jednej zlewce zanurzono bryłkę metalową zawieszoną
na nici przymocowanej do statywu. Wagę zrównoważono, a następnie do zlewek wsypano taką sama ilość soli,
która rozpuściła się. Jak zachowa się waga? Odpowiedź uzasadnij.
4. A) Masa szklanki wypełnionej całkowicie wodą wynosi 260 g. Gdy do szklanki wrzucono kamyk o masie 28,8
g część wody wylała się i wówczas masa wody, szklanki i kamyka była równa 276,8 g. Jaka jest gęstość kamyka?
Gęstość wody wynosi 1000 kg/m3. B) Oblicz gęstość drewna, z którego wykonano klocek sześcienny, jeśli po
wrzuceniu go do nafty o gęstości 784 kg/m3 pływa on zanurzony do 4/5 swojej objętości.
5. A) Jakiej siły należy użyć, aby korek ważący 2N całkowicie zanurzyć w wodzie? Gęstość korka 200 kg/m3, a
wody 1000 kg/m3. B) Nurek będąc w wodzie na pewnej głębokości wypuścił kulę drewniana i korkową. Kule te
wypłynęły. Objętości kul są jednakowe, a gęstość drewna jest większa od gęstości korka. Czy podczas unoszenia
się kul na powierzchnię wody została wykonana jednakowa praca?
6. A) Prostokątna kra o długości 52 m i szerokości 40 m pływa po morzu. Wysokość części kry wystającej nad
powierzchnię wody równa jest 1 m. Wyznacz objętość całej kry. Gęstość lodu wynosi 900 kg/m3, a wody
morskiej 1030 kg/m3. B) Na rzece oderwała się tafla lodu z leżącym na niej kamieniem o ciężarze 300 N. Kra
miała grubość 10 cm i powierzchnię 4 m2. Czy kamień będzie płynął na tej krze? Przyjmij gęstość lodu 900
kg/m3, gęstość wody 1000 kg/m3.
7. A) Kawałek cukru waży w powietrzu 1,24 N, a w nafcie po całkowitym zanurzeniu 0,62 N. Oblicz gęstość
cukru, jeśli gęstość nafty wynosi 784 kg/m3. B) Bryła metalowa waży w powietrzu 320 N, a po całkowitym
zanurzeniu w wodzie 280 N. Bryła drewniana waży w powietrzu 160 N. Gdy obie bryły są ze sobą związane i
całkowicie zanurzone w wodzie, to ważą 120 N. Oblicz gęstość metalu i drewna. Gęstość wody 1000 kg/m3.
8. Jaka objętość powinien mieć korek o gęstości 200 kg/m3, aby po przyczepieniu go pod wodą do kuli ołowianej
o gęstości 11 100 kg/m3 i ciężarze całkowitym 0,3 N kula mogła unieść się do góry? Gęstość wody wynosi 1000
kg/m3. Naczynie w kształcie sześcianu o krawędzi 36 cm jest napełnione woda i naftą. Masa wody jest równa
masie nafty. Wyznacz ciśnienie cieczy na dno naczynia (grubość ścianek należy pominąć). Stosunek gęstości
nafty do gęstości wody wynosi 4/5, a gęstość wody 1000 kg/m3.
W. Salejda
Wrocław, 12 XII 2015
3