od podłogi do sufitu
Transkrypt
od podłogi do sufitu
Matematyka dyskretna © Andrzej Łachwa, UJ, 2013 [email protected] 5/15 Uogólniony ciąg Fibonacciego s0=A s1=B sn+2=a∙sn+1+b∙sn x2‐ax‐b=0, przy b≠0, a≠0, nazywamy charakterystycznym równaniem tej rekurencji. Przypadek 1: a≠0, b=0 ciąg ma postać A, B, aB, a2B, a3B, … zatem sn=an∙s1, s0=A, s1=B Przypadek 2: b≠0, a=0 ciąg ma postać A, B, Ab, Bb, Ab2, Bb2, … zatem mamy dwa przeplatające się ciągi geometryczne Abk, Bbk. Przypadek 3: b≠0, a≠0 i równanie ma dwa różne pierwiastki r1, r2. Wtedy rozwiązanie rekurencji ma postać sn=c1∙r1n + c2∙r2n (udowodnić indukcyjnie!) gdzie stałe wyznacza się z warunków brzegowych s0=c1 + c2 s1=c1∙r1 + c2∙r2 Przypadek 4: b≠0, a≠0 i równanie ma podwójny pierwiastek r0. Wtedy rozwiązanie rekurencji ma postać sn=c1∙r0n + c2∙n∙r0n (udowodnić indukcyjnie!) gdzie stałe wyznacza się z warunków brzegowych s0=c1 s1=c1∙r0 + c2∙r0 Przykład – rozwiązać rekurencję s0=1 s1=8 sn+2=4∙sn+1 ─ 4∙sn Równanie charakterystyczne ma postać x2‐4x+4=0, więc mamy podwójny r0=2; warunki brzegowe 1=c1 oraz 8=c1∙2 + c2∙2 , czyli c1=1, c2 =3, a zatem: sn=2n+3n∙2n Zadanie s0=2 s1=─1 sn+2=2∙sn+1 + 8∙sn Podłoga i sufit Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym w układzie dwójkowym log (k)+1 lg (k)+1 220 = 104857610 = 1000000000000000000002 ma 21 cyfr 220 ‐1 = 104857510 = 111111111111111111112 ma 20 cyfr lg (1048575) = 19,9999 log (1048575) = 6,020599499 7 cyfr 342035 = 3+0+2*25+4*125+3*625 = 242810 log5 (2428) +1 = 4,843 = 5 cyfr log 5083495,424 = 6,7061624 7log (5083495,424)+1 lg(n) N 0 1 1,585 2 2,322 2,585 2,807 3 3,170 3,322 6,644 9,966 13,288 16,610 19,932 log(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 10000 100000 1000000 0 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 0,845 0,903 0,954 1 2 3 4 5 6 Lematy Dla n całkowitej i x rzeczywistej n n = n x x 1gdy x nie jest całkowita x 1x ≤x ≤ x x 1 x x x n wtw n ≤ x < n1 x n wtw x1< n ≤ x x n wtw n1 <x ≤ n x n wtw x ≤ n < x+1 x+nx+ n x<n wtw x n n<x wtw n < x x≤n wtw x≤ n n≤x wtw n ≤ x Definicja części ułamkowej {x} = x x Przykłady {‐5.23} = ‐5.23 (‐6) = 0.77 {6.14} = 6.14 6 = 0.14 Twierdzenie Dla każdej x 0 podłoga z pierwiastka z podłogi z x to podłoga z pierwiastka z x. I podobnie dla sufitu. Dowód dla podłogi niech m = ∣√∣x∣∣ wtedy m ≤ √∣x∣ < m+1 podnosimy do kwadratu i mamy m2 ≤x< (m+1)2 teraz stosujemy dwa lematy i mamy m2 ≤x< (m+1)2 pierwiastkujemy m ≤ √ x < m+1 i stosujemy lemat, co daje m = ∣√ x ∣ Twierdzenie możemy uogólnić na dowolne funkcje rosnące, ciągłe i spełniające zależność „jeżeli f(x) całkowita to x całkowita”. Twierdzenie Dla każdych x, y rzeczywistych, x ≤ y, przedział [x, y) zawiera dokładnie yx liczb całkowitych przedział (x, y] zawiera dokładnie yx liczb całkowitych Udowodnić i sformułować twierdzenia dla przedziałów obustronnie domkniętych i obustronnie otwartych. Definicja Widmem liczby rzeczywistej x nazywamy nieskończony zbiór liczb całkowitych z powtórzeniami: Spec(x) = { x, 2∙x, 3∙x, 4∙x, 5∙x, ...} Przykłady Spec(⅖) = {0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, ...} Spec( √ 2 ) = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22,...} Spec(2+ √ 2 ) = {3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, ...} Ciągi Ciągiem liczb rzeczywistych s(n) nazywamy funkcję s: N R i oznaczamy go stosując notację z indeksami (sn)nN , albo notację informatyczną s[n]; sn nazywamy n‐tym wyrazem ciągu s. Często definiujemy ciąg jako funkcję o dziedzinie {m, m+1, m+2, …}, gdzie m jest liczbą całkowitą. Nie ograniczamy się również do wartości rzeczywistych, np. dn = {mZ: m jest wielokrotnością n} n = {w*: n jest długością słowa w} fn = k=1..n k2 , np. f10 = k=1..10 k2 = 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385 Zadania różne Uzasadnij nZ: n/2 + n/2 = n Narysuj funkcję x x/2 + x/2 dla xR Narysuj funkcję x x – x dla xR Rozwiąż równania: (3x‐2)/4 = (2x‐1)/5, (3x‐4)/5 = (2x‐1)/3. Zapisz przy użyciu symboli sumy skończonej: 1 + (1 + ½) + … + (1 + ½ + … + 1/n). Czy suma dwóch relacji równoważności w X jest równoważnością? Udowodnij, że ∑ i=1..n ∑ (2i‐1)2 = i=1..n 1 2 ⋅n⋅(4n −1) 3 ∑ (2i‐1)3 = i=1..n n 2⋅(2n 2−1) (2i‐1) = n2 Policz NWD(2890,850). Policz NWD(479435,8415). Znaleźć a, b takie, że 54a+135b=NWD(54,135) Udowodnij, że NWD(x, y)=NWD(x, y‐x) dla y>x . Udowodnij, że NWD(kx, ky)=k∙NWD(x, y). Wykazać, że NWD(Fn+1, Fn )=1 dla wszystkich n ( Fn – liczby Fibonacciego) Podaj wzór zwarty i wzór rekurencyjny na i‐tą liczbę trójkątną. Udowodnij, ze 11 dzieli 26n+1+32n+2. Udowodnij, że ∑ i=0..n i3 = (n(n+1)/2)2 . Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów (A\B)B=A? Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów AB= wtw A=B? Wyznacz obraz zbioru {‐2, ‐1, 0} przez funkcję f:RR; f(x)=x2. Czy prawdą jest, że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)? Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X. Czy +, −, ∙ i / są 2‐argumentowymi operacjami w R? Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5. Czy to prawda, że dla dowolnych R1, R2 X2 jest (R1 R2)‐1 = R1‐1 R2‐1?