PDF version - Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny

ELEKTRYKA
Zeszyt 4 (228)
2013
Rok LIX
Artur PASIERBEK, Marcin POŁOMSKI, Radosław SOKÓŁ
Politechnika Śląska w Gliwicach
PORÓWNANIE WYBRANYCH ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI
ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM
Streszczenie. Artykuł przedstawia wybrane algorytmy wyznaczania optymalnego
rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym. Dokonano implementacji tych algorytmów i przeprowadzono eksperymenty numeryczne dla wybranych przypadków testowych stanu systemu elektroenergetycznego.
Słowa kluczowe: optymalizacja, rozpływ mocy, system elektroenergetyczny
A COMPARISON OF SELECTED OPTIMAL POWER FLOW
ALGORITHMS
Summary. The paper presents several optimal power flow algorithms. The selected
algorithms have been implemented and tested, and a number of numerical experiments
were performed for given power system states.
Keywords: optimization, power flow, power system
1. WPROWADZENIE
Zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym (ang. optimal
power flow, OPF) polega na poszukiwaniu punktu pracy systemu optymalnego z punktu widzenia zadanej funkcji celu, przy jednoczesnym spełnieniu wszystkich zadanych ograniczeń
technicznych [3, 7]. Zadanie OPF należy do grupy zadań programowania nieliniowego. Opracowano wiele metod rozwiązania zadania OPF bazujących na różnych algorytmach numerycznych, jednak ich skuteczność i wydajność jest w dużym stopniu uzależniona od wielkości
rozpatrywanego systemu. Ze względu na dużą liczbę elementów (węzłów i linii) składających
się na system elektroenergetyczny (SEE), układ równań stanowiący podstawę procesu optymalizacyjnego osiąga bardzo duże rozmiary. Powoduje to konieczność stosowania dedykowanych algorytmów optymalizacyjnych, przystosowanych do operowania na macierzach
rzadkich.
A. Pasierbek, M. Połomski, R. Sokół
68
Do praktycznie stosowanych metod numerycznych znajdujących zastosowanie w zadaniu
OPF zalicza się metody:

gradientu sprzężonego (ang. conjugate gradient, CG),

Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno (BFGS),

punktu wewnętrznego (ang. interior point, IP),
 ewolucyjne.
Metody gradientu sprzężonego charakteryzują się wysoką czasochłonnością ze względu
na konieczność obliczania macierzy Hessego w każdym kroku optymalizacji. Alternatywną,
godną uwagi metodą jest algorytm BFGS, należący do grupy metod quasi-Newtonowskich
[1, 2]. W ostatnich latach szczególnie często wykorzystywane są też implementacje metody
punktu wewnętrznego wraz z jej wariantami, należące obecnie do grupy najbardziej wydajnych algorytmów optymalizacyjnych dla problemów wielkiej skali [8, 9].
Wspomniane wyżej metody poszukują wyłącznie optimum lokalnego. Możliwość poszukiwania optimum globalnego daje metoda ewolucyjna [4, 5].
W niniejszym artykule Autorzy opisali wyżej wymienione metody w aspekcie zastosowania do zadania OPF oraz przedstawili wyniki przeprowadzonych eksperymentów numerycznych, przy użyciu autorskich implementacji tych algorytmów.
2. ZADANIE OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE
ELEKTROENERGETYCZNYM
Poszukiwanie optymalnego rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym wymaga
znalezienia minimum pewnej funkcji celu, najczęściej formułowanej jako sumaryczny koszt
bilansowania zapotrzebowania, przy jednoczesnym spełnieniu wszystkich ograniczeń (w tym
ograniczeń wynikających z równań bilansu mocy czynnej i biernej w węzłach systemu oraz
ograniczeń technicznych).
2.1. Ogólna postać funkcji celu
Funkcję celu można aproksymować krzywą drugiego stopnia [6]:
Ng

 
f  x    ai Pi 
i 1
g
2

 bi Pi    ci ,
g
gdzie:
x – wektor zmiennych zadania optymalizacji zawierający zmienne stanu (moduły i kąty
napięć węzłowych) i zmienne sterujące (moce czynne i bierne generowane w węzłach
wytwórczych),
Porównanie wybranych algorytmów…
69
Pi(g) – moc czynna generowana przez jednostkę wytwórczą i,
Ng – liczba węzłów wytwórczych,
ai, bi, ci – współczynniki charakterystyki kosztów wytwarzania i-tego węzła wytwórczego.
Sformułowane powyżej zagadnienie optymalizacyjne stanowi zadanie programowania
nieliniowego [10] z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi, które można zapisać:
min f ( x) ,
x
przy
h ( x)  0 ,
g ( x)  0 ,
gdzie:
f
– funkcja celu zadania optymalizacji,
h(x) – wektor ograniczeń równościowych, zawierający równania bilansu mocy czynnej
i biernej w węzłach systemu,
g(x) – wektor ograniczeń nierównościowych, wynikający z technicznych właściwości
urządzeń służących do wytwarzania i przesyłu energii elektrycznej.
2.2. Funkcja celu z funkcją kary
Powyżej przedstawione zostały ogólne postaci funkcji celu oraz funkcji ograniczeń. Poszczególne metody optymalizacji wymagają wprowadzenia specyficznych dla nich modyfikacji funkcji celu oraz ograniczeń.
W szczególności, metody gradientu sprzężonego oraz BFGS wymagają uwzględnienia
w ramach funkcji celu również ograniczeń równościowych i nierównościowych [10].
K x   f x  

 g ( x)  g min

W g min , g max  , g ( x)  0
 g ( x)  g max 



2
1 Nh 2
1 Ng


h
x

W gimin , gimax  , gi x  ,


i
2 μ i 1
2 μ i 1

dla g  g min
dla g min  g  g max 
,
dla g  g max 
gdzie:
μ – parametr modyfikowany w procesie optymalizacji, μ → 0,
h(x) – wektor ograniczeń równościowych, h(x) = 0,
g(x) – wektor ograniczeń nierównościowych.
A. Pasierbek, M. Połomski, R. Sokół
70
3. METODY OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY
W poniższym rozdziale zostały opisane poszczególne, zbadane przez Autorów, metody
wyznaczania optymalnego rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym.
3.1. Metoda gradientu sprzężonego
Metoda gradientu sprzężonego należy do grupy metod poszukiwania minimum funkcji
wielu zmiennych bez ograniczeń. Ograniczenia równościowe i nierównościowe można
uwzględnić przez włączenie ich do funkcji celu, np. w sposób opisany w punkcie 2.2.
W metodzie gradientu sprzężonego nowy kierunek poszukiwań minimum funkcji jest tak
wybierany, aby był sprzężony do wszystkich poprzednich. Proces obliczeń przebiega w kilku
krokach. W pierwszym kroku określa się punkt startowy oraz początkowy kierunek wyszukiwania rozwiązania, zależny od gradientu funkcji celu w punkcie startowym. Następnie modyfikuje się wektor stanu, uwzględniając wyznaczony kierunek oraz współczynnik długości
kroku α, przy którego wyznaczeniu uwzględnia się bieżącą wartość funkcji celu:
xi 1  xi  di .
W kolejnym etapie wyznacza się gradient funkcji w nowym punkcie i na jego podstawie
ocenia, czy wynik został osiągnięty z zadaną dokładnością. Jeżeli nie, to kierunek poszukiwań
jest modyfikowany, z uwzględnieniem wyznaczonej wartości gradientu oraz współczynnika
długości kroku β:
d i 1  K x i 1   
d i 1
di
.
W eksperymencie numerycznym przyjęte zostało wyznaczanie współczynnika β według
wzoru Fletchera-Reevesa [1].
3.2. Metoda Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno
W stosunku do metody gradientu sprzężonego, w metodzie Broydena-FletcheraGoldfarba-Shanno (BFGS) aproksymuje się funkcję celu w punkcie kwadratowym rozwinięciem Taylora:
f x0  x  f x0   f x0  x  12 xT Vx
T
Wymagana w tym rozwinięciu odwrotność macierzy Hessego nie jest obliczana wprost
w każdej iteracji, lecz iteracyjnie jest modyfikowane jej przybliżenie V [2]:
Vk 1  Vk 
γ Tk δk  Vk γ k 
γ δ 
2
T
k k
δ k δTk 
δk γ Tk Vk  Vk γ k δTk
,
γ Tk δk
Porównanie wybranych algorytmów…
71
δ k  x k 1  x k ,
γ k  f x k 1   f x k  .
3.3. Metoda punktu wewnętrznego
Minimum lokalne funkcji celu dla zadania programowania nieliniowego, w postaci:
ng


min  f (x)  k  ln( zi )  ,

x 
i 1


h( x)  0 ,
przy
g ( x)  z  0 ,
z  0,
określone jest przez punkt stacjonarny funkcji Lagrange’a i muszą być zachowane warunki
optymalności Karusha-Kuhna-Tuckera [10], stąd muszą być spełnione następujące zależności:
Zπ   k e




g ( x)  z
k

0
 y L ( y ,  k ) 
 x f ( x)  ( x h(x)) T λ  ( x g( x)) T π 


h(x)


gdzie:
e = [1, 1,...1]T,
Z = diag[zi; i = 1,..., ng],
λ – wektor mnożników Lagrange’a, odpowiadający ograniczeniom równościowym,
π – wektor mnożników Lagrange’a, odpowiadający ograniczeniom nierównościowym,
y = [z, π, x, λ]T.
W metodzie interior point rozwiązuje się w każdym kroku iteracyjnym następujący układ
równań [9,10]:
 L (y ,  ) y
2
y

k
k
k
 y L (y k , k )
gdzie:
Δy = [Δz, Δπ, Δx, Δλ]T – wektor kierunku poszukiwań,
2
 y L – macierz Jacobiego funkcji wektorowej  y L .
W procesie iteracyjnym, w k-tym kroku, wyznacza się nowe wartości zmiennych wektora
y, biorąc przy tym pod uwagę długości kroków kp  min{1,  min{ zi / zi z 0 }} dla zmiennych
i
prymarnych x, z oraz kd  min{1,  min{ i /  i  0 }} dla zmiennych dualnych λ oraz π, natoi
miast wartości współczynników γ oraz μ ustala się następująco:   (0,1) ,  k 1    z Tk π k  / ng .
A. Pasierbek, M. Połomski, R. Sokół
72
Jeżeli dla przyjętych wartości dokładności w k-tej iteracji spełnione są warunki zbieżności, to kryterium zbieżności algorytmu metody IP zostaje osiągnięte i działanie algorytmu
przerwane.
3.4. Metoda ewolucyjna
Metody ewolucyjne symulują działanie naturalnych mechanizmów ewolucji i selekcji organizmów żywych w zastosowaniach numerycznych [4]. Dzięki wykorzystaniu w ich implementacji losowości można zaliczyć je do kategorii metod optymalizacji globalnej [5].
W metodzie ewolucyjnej w zastosowaniu OPF przyjmuje się wektor stanu, opisujący napięcia i fazy we wszystkich węzłach systemu oraz moce generowane w węzłach wytwórczych:
 x   
 U 
x   x    [1 , 2 ,...,  N w , U1 , U 2 ,..., U N w , P1( g ) , P2( g ) ,..., PN( gg ) ]T
  Pg  
 x 
W każdym kroku realizacji algorytmu rozpatrywana jest „populacja”, składająca się
z n „osobników”, z których każdy jest opisany jednym wektorem stanu. Jakość każdego
osobnika jest następnie oceniana przez wyznaczenie bilansu rozpływu mocy dla zadanych
mocy generowanych w węzłach wytwórczych. Funkcja jakości uwzględnia koszt generacji
mocy oraz stopień zbilansowania systemu:
N

f ( x)   a i Pi ( g )
i 1

2

 bi Pi ( g )  c i  d B
gdzie:
d
– współczynnik wagowy,
B
– bilans mocy w systemie.
Osobniki w ramach populacji są następnie porządkowane w rosnącej kolejności wartości
funkcji jakości. Część populacji o najgorszej jakości (największych wartościach funkcji jakości) jest odrzucana, a pozostałe są powielane, z uwzględnieniem pseudolosowych zmian
w części wektora stanu x odpowiadającej mocom generowanych w węzłach wytwórczych
(„mutacje”). Proces ten jest iteracyjnie powielany aż do momentu uzyskania osobnika
o satysfakcjonującej jakości.
Metoda ewolucyjna cechuje się sporym potencjałem ze względu na globalny charakter
optymalizacji. Możliwe jest również łatwe zrównoleglenie obliczeń wykorzystujących ten
algorytm.
Porównanie wybranych algorytmów…
73
4. EKSPERYMENT NUMERYCZNY
W celu wykazania poprawności działania przedstawionych w artykule algorytmów optymalizacji oraz wyznaczenia czasów obliczeń, przeprowadzono testy numeryczne dla zbioru
wybranych systemów testowych, których statystyki przedstawiono w tabeli 1. Uzyskane wyniki zostały zamieszczone w tabeli 2.
Tabela 1
Statystyki systemów testowych używanych w eksperymentach numerycznych
Liczba węzłów
Nw
9
13
30
57
118
300
2383
Liczba węzłów
wytwórczych
Ng
3
5
6
7
54
69
327
Liczba węzłów
odbiorczych
No
6
8
24
50
64
231
2056
Liczba linii
Nl
9
18
41
80
186
411
2896
Tabela 2
Wyniki optymalizacji
System testowy
Średni czas itera-
Liczba iteracji
cji
—
Wartość funkcji
Czas obliczeń
ms
celu
s
—
Metoda gradientu sprzężonego (CG), wariant Fletchera-Reevesa
9
166
0,390
0,065
5 435,96
13
318
0,470
0,149
15 430,07
30
906
0,500
0,453
604,67
57
13 200
1,456
19,217
3 187,53
118
nie osiągnięto zbilansowania systemu
300
nie osiągnięto zbilansowania systemu
2383
nie osiągnięto zbilansowania systemu
Metoda Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno (BFGS)
9
22
1,410
0,031
5 441,78
13
134
0,580
0,078
16 975,70
30
61
1,000
0,063
604,73
57
197
4,840
0,953
3 247,72
118
220
2,305
0,507
29 831,66
300
nie osiągnięto zbilansowania systemu
A. Pasierbek, M. Połomski, R. Sokół
74
cd. tabeli 2
nie osiągnięto zbilansowania systemu
2383
Metoda interior point
9
11
1,300
0,015
5 296,69
13
14
1,714
0,024
15 325,31
30
13
4,600
0,061
576,89
57
15
5,667
0,085
3 176,45
118
18
19,500
0,351
29 660,69
300
29
43,000
1,247
719 725,08
2383
40
384,600
15,387
1 862 367,03
Metoda ewolucyjna
9
2000
0,9
1,8
9 425,01
13
2000
1,2
2,4
18 583,85
30
2000
2,6
5,2
612,42
57
2000
7,1
14,2
3 734,635
118
3000
11
33
24 161,12
300
—
19
nie osiągnięto zbilansowania systemu
2383
—
190
nie osiągnięto zbilansowania systemu
5. PODSUMOWANIE
Algorytm gradientu sprzężonego sprawdza się dla systemów elektroenergetycznych,
składających się od kilku do kilkudziesięciu węzłów. W przypadku systemów o liczbie węzłów przekraczającej 50 uzyskuje się znaczący wzrost czasu realizacji procesu optymalizacji.
Przy wzroście liczby węzłów powyżej 100 niemożliwe było uzyskanie zbilansowania badanych systemów testowych. Predestynuje to tę metodę do niewielkich systemów testowych.
Algorytm BFGS charakteryzuje się zauważalnie krótszym czasem obliczeń i skaluje się
do systemów o liczebności węzłów przekraczającej 100. Niestety, w przypadku systemów
składających się z 300 i więcej węzłów metoda ta nie pozwala uzyskać zbilansowania systemu.
W przypadku algorytmu ewolucyjnego, nie każdy proces optymalizacyjny kończył się
znalezieniem stanu systemu o sumarycznej mocy generowanej pokrywającej zapotrzebowanie
i straty SEE. Nie każdy wynik optymalizacji wystarczający pod względem mocy generowanej
dawał też poprawny stan systemu, możliwy do zbilansowania. Dużą rolę gra tutaj losowość
leżąca u podstaw działania algorytmów ewolucyjnych. Zwiększenie pewności obliczeń realizowanych z ich wykorzystaniem wymaga dalszych badań.
Porównanie wybranych algorytmów…
75
Wyniki uzyskiwane z wykorzystaniem algorytmów ewolucyjnych wykazują pewne przekroczenia napięć węzłowych oraz mocy. Przekroczenia są na poziomie 10 -7 jednostek
względnych w przypadku generowanych mocy czynnych oraz na poziomie 10-2 jednostek
względnych w przypadku napięć węzłowych i mocy biernej. Dla systemów testowych liczących 300 i więcej węzłów nie uzyskano też wyniku umożliwiającego pokrycie zapotrzebowania mocy systemu, umożliwiającego jego zbilansowanie.
Metody ewolucyjne cechują się długim czasem realizacji procesu optymalizacji. Dalsze
badania mogą prowadzić do skrócenia czasu obliczeń.
Za najbardziej wydajną i niezawodną metodę można uznać algorytm interior-point.
Z jego wykorzystaniem możliwe było przeprowadzenie optymalizacji wszystkich badanych
systemów testowych i w każdym przypadku uzyskano zbilansowanie systemu. Algorytm ten
charakteryzuje się również najkrótszymi czasami obliczeń oraz najmniejszą liczbą realizowanych iteracji dla wszystkich badanych przypadków. Również uzyskane wyniki (wartość funkcji celu) były najlepsze spośród wszystkich metod. Co prawda, metoda ewolucyjna pozwoliła
w kilku przypadkach uzyskać niższe wartości funkcji celu, jednak następowało to kosztem
występowania przekroczeń dopuszczalnych poziomów napięć i mocy.
BIBLIOGRAFIA
1. Baron B., Pasierbek A.: Porównanie wydajności algorytmów gradientu sprzężonego
i quasi-Newtonowskiego BFGS w zagadnieniu optymalizacji rozpływu mocy w systemie
elektroenergetycznym. Zeszyty Naukowe Elektryka, zeszyt 3 (211), Gliwice 2009.
2. Baron B., Pasierbek A., Kraszewski T., Połomski M., Sokół R.: Zastosowanie quasiNewtonowskiej metody BFGS do optymalizacji rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym. Konferencja „Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice”, Poznań 2009,
s. 91-92.
3. Dommel H., Tinney W.: Optimal Power Flow Solutions. IEEE Transactions on Power
Apparatus and Systems 1968.
4. Goldberg D. E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Wydawnictwo NaukowoTechniczne, Warszawa 2003.
5. Houck C. R., Joines J. A., Kay M. G.: A Generic Algorithm for Function Optimization:
A MATLAB Implementation. Technical Report NCSU-IE-TR-95-09, North Carolina
State University, Raleigh, NC 1995.
6. Korab R.: Optymalizacja operatorstwa przesyłowego w krajowym systemie elektroenergetycznym. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2011.
76
A. Pasierbek, M. Połomski, R. Sokół
7. Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996.
8. Quintana V. H., Torres G. L.: Introduction to interior-point methods. IEEE PICA, Santa
Clara, CA, 1999.
9. Torres G. L., Quintana V. H.: An interior-point method for nonlinear optimal power flow
using voltage rectangular coordinates. “IEEE Transactions on Power Systems” 1998,
vol. 13, no. 4, p. 1211-1218.
10. Wit R.: Metody programowania nieliniowego. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1986.
Dr inż. Artur Pasierbek, Dr inż. Marcin Połomski
Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Elektrotechniki i Informatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
e-mail: [email protected]
[email protected]
Dr inż. Radosław Sokół
Politechnika Śląska, Wydział Elektryczny
Instytut Metrologii, Elektroniki i Automatyki
ul. Akademicka 10
44-100 Gliwice
e-mail: [email protected]