Systemy głosowania zebrał i opracował Krzysztof Leśniak

Systemy głosowania zebrał i opracował Krzysztof Leśniak

Systemy głosowania
zebrał i opracował
Krzysztof Leśniak
Systemy głosowania
1
Relacja preferencji (preference relation)
N = {1, 2, 3, 4, . . .} — wyborcy (voters)
i∈N
— wyborca o n-rze i
K = {x, y, z, . . .} — kandydaci (candidates)
x y — i-ty wyborca woli kandydata x
i
bardziej niż kandydata y (preference)
x ≈ y — i-ty wyborca uważa obu kandydatów
i
za jednakowo dobrych (indifference)
Przechodniość (transitivity) relacji preferencji:
xy∧y z ⇒xz
i
i
i
Naturalnie jest zakładać, że:
jeśli wolę x od y i y od z,
to będę też wolał x od z.
Systemy głosowania
Wybory
Wyborca
1
2
3
4
5
Preferencje
xyz
yzx
zxy
xzy
xyz
Na podstawie
indywidualnych preferencji
należy ustalić
łączne preferencje
i
wybrać najlepszego kandydata.
2
Systemy głosowania
3
Dwóch kandydatów
Procedura większościowa:
#{i ∈ N : x y} > #{i ∈ N : y x}
i
i
⇒xy
Wygrywa kandydat, który zjednał sobie więcej
wyborców.
Ale wyborcy niezdecydowani nie mają żadnego
wpływu na wynik, niezależnie od tego ilu ich jest:
100, czy 106.
Systemy głosowania
4
Twierdzenie Maya
(„Luźne sformułowanie”)
Nasz system większościowy jest jedynym systemem spełniającym następujące warunki:
• anonimowość – każdy głos ma tę samą wagę
• neutralność – nierozróżnialność alternatyw:
zamieniając nazwiska kandydatów otrzymujemy tego samego kandydata tyle, że z odpowiednio podmienionym nazwiskiem
• monotoniczność – jeżeli x jest zwycięzcą,
a jeden z wyborców podniesie pozycję x-a w
swoim rankingu, to x nadal będzie zwycięzcą
po uwzględnieniu poprawki w preferencjach.
Systemy głosowania
5
Większość a więcej kandydatów
(I) Wybory dwustopniowe (runoff election).
Wszyscy przeciw wszystkim.
Jeśli żaden z kandydatów nie zdobył więcej niż
50% głosów poparcia, to organizujemy 2 turę,
w której biorą udział dwaj kandydaci z największą liczbą głosów poparcia.
(II) Kto najwięcej.
Wybrać kandydata, który zdobył najwięcej głosów, choćby to było tylko 15% wszystkich głosów wyborców.
Systemy głosowania
6
Wady metody (I)
• Kosztowność:
możliwe dwie tury wyborów zamiast jednej.
• Niereprezentacyjność:
najsilniejsi wyniszczają się w 1 turze torując
słabszym drogę do 2 tury.
• Hazard strategiczny („mniejsze zło”, strategic voting), albo nieuczciwość (dishonesty):
głosujący w 1 turze muszą wybrać między swoim kandydatem, a kandydatem gorszym, ale z
większymi szansami na wygraną bądź dostanie
się do 2 tury.
Systemy głosowania
Przykład użycia metody (II)
Liczebność
Preferencje w grupie
w grupie wyborców
30
yxz
31
xyz
zxy
18
18
zyx
1
yzx
2
xzy
Najwięcej, 36% głosów poparcia,
uzyskał kandydat z.
7
Systemy głosowania
8
Wady metody (II). Poparcie a odrzucenie
Kandydat Poparcie Odrzucenie
x
33
19
y
31
20
z
36
61
Większość odrzuca z,
chociaż z zdobył najwięcej głosów !
Systemy głosowania
9
Wady metody (II). Rywalizacja w parach
Pojedynek
z:x
z:y
x:y
Wynik
37 : 63
38 : 62
51 : 49
Kandydat z przegrywa
w indywidualnych pojedynkach !
Systemy głosowania
10
Kawaler de Borda
Jean-Charles de Borda
(1733 - 1799), francuski
fizyk i matematyk.
(Obraz z [Wikipedia])
Pracował jako inżynier w marynarce ulepszając
m.in. zegary, koła wodne i pompy.
W ramach Komisji Wag i Miar współpracował
przy wprowadzeniu nowych jednostek: kilograma
i metra, proponując definicję metra opartą na odległości między biegunem a równikiem Ziemi.
Zaproponował system głosowania oparty na rankingach preferencji wyborców. Schemat ten był
stosowany przez Francuską Akademię Nauk, aż do
momentu, gdy Napoleon, jako nowy członek Akademii, zarządził stosowanie procedury własnego
pomysłu.
Systemy głosowania
11
System Bordy 1770 (Borda count)
vi : K → { 0, 1, 2, . . . , #K − 1 }
vi(x) — liczba punktów przyznanych
kandydatowi x ∈ K przez wyborcę i ∈ N
x y ⇔ vi(x) > vi(y) — preferencje
i
i-tego wyborcy
v(x) = Σ vi(x) — wynik punktowy
i∈N
kandydata x ∈ K
x y ⇔ v(x) > v(y) — preferencje łączne
x ∈ K zwycięzca, gdy ∀ y ∈ K v(x) > v(y)
Systemy głosowania
12
Markiz de Condorcet
M.J.A. Nicolas de Caritat
(1743 - 1794), francuski
filozof i matematyk.
(Obraz z [Wikipedia])
Autor prac z teorii całki, prawdopodobieństwa
i filozofii matematyki, a także biografii Woltera i
Turgota (ekonomisty na dworze Ludwika XV).
Jako zwolennik frakcji mnieszościowej wśród rewolucjonistów przeciwnej radykalizmowi Robespierre’a został uwięziony, po czym wkrótce zmarł w
niejasnych okolicznościach.
Systemy głosowania
13
Kryterium Condorceta
Jeśli kandydat wygrywa z pozostałymi w pojedynkach, to zostaje zwycięzcą.
Systemy głosowania
14
System Bordy łamie kryterium Condorceta
z zwycięża na punkty...
w
x
y
z
1
3
0
1
2
2
3
1
0
2
3
1
3
2
0
4
1
2
0
3
5
1
0
2
3
Pkt
9
6
5
10
(Tabela wg [Johnson])
...ale to w wygrywa w pojedynkach
Pojedynek Wynik
w:z
3:2
w:x
3:2
w:y
3:2
z:y
4:1
x:y
3:2
x:z
2:3
w
z
y
x
Systemy głosowania
Większość, Borda i Condorcet
Wyborca
1
2
3
4
5
6
7
Preferencje
xyz
xzy
xyz
yzx
yxz
zyx
zyx
wygrywa x
Większość
x (3 razy), y, z (2 razy)
wygrywa y
Borda
y (8 pkt) x (7pkt) z (6pkt)
wygrywa y
Condorcet
z : x (3:4), z : y (3:4), x : y (3:4)
15
Systemy głosowania
16
Problem nieistotnych kandydatów
Głos
1
2
3
4
5
6
7
Preferencje
xyz
xzy
xyz
yzx
yxz
zyx
zyx
Prowadzi x
z wycofuje się
Głos Preferencje
1
xy
2
xy
xy
3
4
yx
5
yx
6
yx
7
yx
Wygrywa y
Wystąpił paradoks odwróconego porządku.
Systemy głosowania
17
Co dalej?
Procedury wyborcze są podatne na manipulacje np. „atak klonów”.
Łamią też
niezależność od nieistotnych alternatyw
jedno z kryterów K. Arrowa racjonalnego wyboru społecznego.
Niemożliwość Arrowa
(„luźne sformułowanie”):
Każda „sprawiedliwa” funkcja wyboru społecznego prowadzi do dyktatury.
K.Arrow, Hicks i A.Sen – otrzymali w podzięce
Nagrodę Nobla...
Systemy głosowania
18
Źródła:
• P.E. Johnson, Voting Systems, University of
Kansas, 27.05.2007
• http://en.wikipedia.org
• http://www.gametheory.net
• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history Mac
Tutor History of Mathematics archive