Kula wpisana w ostrosłup Kula wpisana w ostrosłup

Kula wpisana w ostrosłup
ZADANIE:
Oblicz długość promienia kuli wpisanej w ostrosłup ABCS wykorzystując dane
przedstawione na rysunku.
Wyobraźmy sobie kulę wpisaną w ostrosłup:
Taka kula jest oczywiście styczna do wszystkich ścian ostrosłupa.
Jeżeli z punktów styczności poprowadzimy promienie, to
będą one prostopadłe do ścian ostrosłupa.
Połączmy teraz środek kuli ze wszystkimi wierzchołkami
ostrosłupa. W ten sposób podzielimy ostrosłup na cztery
ostrosłupy, których
których podstawami są ściany wyjściowego ostrosłupa,
a wysokościami – promienie kuli.
Oznaczmy:
34 , 35, 36, 37 - pola powierzchni ścian ostrosłupa,
r – długość promienia kuli
Obliczymy objętość ostrosłupa, jako sumę objętości czterech ostrosłupów powstałych w
wyniku opisanego wyżej podziału:
4
4
4
4
4
34 ∙ < + 35 ∙ < + 36 ∙ < + 37 ∙ < = < ∙ >34 + 35 + 36 + 37 ?
6
6
6
6
6
Otrzymaliśmy wzór:
9=
9=
4
<∙3
6
gdzie:
9 - objętość ostrosłupa
r - długość promienia kuli wpisanej w ostrosłup
P – pole powierzchni ostrosłupa
Wracamy teraz do zadania.
5
5
@5 = A7√5C + A7√5C
@5 = 4D ∙ 5 + 4D ∙ 5 = D7
@=E
5
F5 = A7√5C + 75
F5 = 4D ∙ 5 + 4D = 4D ∙ 6
F = 7√6
Objętość ostrosłupa:
4 4
4 4
D7
4
5
9 = ∙ 3∆HIJ ∙ |JL| = ∙ ∙ A7√5C ∙ 7 = ∙ ∙ 4D ∙ 5 ∙ 7 =
6 5
6 5
6
6
4
Wiemy, że objętość ostrosłupa można też obliczyć za pomocą wzoru 9 = < ∙ 3
6
4
9 = < ∙ >3∆HIJ + 3∆HIL + 3∆IJL + 3∆HJL ?
6
3∆HIJ =
3∆HIL :
4
4
5
∙ A7√5C = ∙ 4D ∙ 5 = 4D
5
5
5
M5 = A7√6C − 75 = 4D ∙ 6 − 4D = 4D ∙ 5
M = 7√5
3∆HIL = 7M = 7 ∙ 7√5 = 4D√5
3∆IJL = 3∆HJL =
4
∙ 7√5 ∙ 7 = E√5
5
4
< ∙ >3∆HIJ + 3∆HIL + 3∆IJL + 3∆HJL ?
6
4
9 = < ∙ A4D + 4D√5 + E√5 + E√5C
6
4
9 = < ∙ A4D + 65√5C
6
4D
9=
< ∙ A4 + 5√5C
6
D7
Obliczyliśmy wcześniej: 9 = 6
D7 4D
=
< ∙ A4 + 5√5C
6
6
7 = < ∙ A4 + 5√5C
7 ∙ A5√5 − 4C
7 ∙ A5√5 − 4C 7
7
<=
=
=
= A5√5 − 4C
E−4
O
4 + 5√5 A5√5 + 4C ∙ A5√5 − 4C
9=