Logika III - WordPress.com

Logika III
Lista 13.
23 lutego 2014
Denicja 1. Zbiory A, B ⊆ ω s¡ rekurencyjnie nierozª¡czne (recursively inseparable),
je±li
• A ∩ B = ∅,
• nie istnieje rekurencyjny zbiór X ⊆ ω taki, »e A ⊆ X oraz B ∩ X = ∅.
Denicja 2. Filtr
Filtrem na zbiorze I jest dowolny niepusty podzbiór F zbioru P(I) speªniaj¡cy warunki:
(a) je±li X, Y ∈ F , to X ∩ Y ∈ F ,
(b) je±li X ∈ F oraz X ⊆ Y ⊆ I , to Y ∈ F ,
(c) ∅ 6∈ F .
Denicja 3. Filtr F jest ltrem gªównym, je±li zawiera element najmniejszy.
Denicja 4. Niech I b¦dzie zbiorem takim, »e card(I) = M ≥ ℵ0 . Filtrem Frecheta na I
nazywamy dowolny ltr na I zawieraj¡cy R = {X : X ⊆ I ∧ card(I \ X) < m}.
1. Udowodni¢, »e istniej¡ rekurencyjnie przeliczalne zbiory A i B , które s¡ rekurencyjnie
nierozª¡czne.
2. Udowodni¢, »e dla dowolnego modelu niestandardowego M |= P A istnieje nierekurencyjny zbiór S , kodowany1 w M.
3. (Twierdzenie Tennenbauma) Udowodni¢, »e dla dowolnego niestandardowego modelu M |= P A, zbiór +M nie jest rekurencyjny.
4. (Ultraltry) Udowodni¢, »e dla dowolnego zbioru I i dowolnego ltru F na I nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) dla wszystkich X ⊆ I zachodzi X ∈ F albo (I \ X) ∈ F ,
(ii) ltr F jest elementem maksymalnym w rodzinie wszystkich ltrów na I uporz¡dkowanej przez relacj¦ inkluzji.
1w
znaczeniu zgodnym z denicj¡ z ¢wicze«
1
5. Udowodni¢, »e dla dowolnego zbioru I i dowolnej rodziny R ⊆ P(I) nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) na I istnieje ltr zawieraj¡cy R,
(ii) przeci¦cie dowolnej sko«czonej liczby zbiorów z R jest niepuste.
6. Udowodni¢, »e je±li jakikolwiek zbiór sko«czony X ⊆ I nale»y do ltru F , to ltr F
jest gªówny.
7. Udowodni¢, »e dowolny ultraltr niegªówny zawiera wszystkie zbiory o sko«czonych
dopªenieniach.
8. Udowodni¢, »e dla dowolnej rodziny R ⊆ P(I) nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) R zawiera si¦ w pewnym ltrze Frecheta,
(ii) przeci¦cie ka»dej sko«czonej podrodziny R ma moc równ¡ mocy zbioru I .
9. Udowodni¢, »e je±li F jest ultraltrem, to
2
T
X∈F
X zawiera nie wi¦cej ni» jeden element.