Wybrane zagadnienia algebry liniowej teoria i algorytmy

Wybrane zagadnienia algebry liniowej
teoria i algorytmy numeryczne
propozycje tematów projektu indywidualnego
14 listopada 2003 - wersja rozszerzona
1. Perfidne wielomiany i układy równań liniowych oraz inne ciekawostki numeryczne, czyli
co dzieje się w arytmetyce zmiennopozycyjnej w komputerze, [10], [3], [7],...
2. Eksperymentalne porównanie skuteczności kilku metod skalowania macierzy układu
równań liniowych oraz iteracyjnego poprawiania rozwiązania, zob. np. [7], [9] (i ewentualnie [17] jeśli będzie dostęp do odpowiedniego gotowego oprogramowania).
3. Układy równań liniowych z macierzą Vandermonde’a (lub typu Vandermonde’a), zob.
np. [5], [1], [2], [7], [8].
4. Układy równań liniowych z macierzą Toeplitza, zob. np. [5], [12].
5. Zastosowanie metody ADI (naprzemiennych kierunków) do rozwiązywania układów równań liniowych wynikających ze schematów różnicowych dla równań różniczkowych cząstkowych, np. równania Poissona z warunkami brzegowymi Dirichleta, zob [16], [18], [4].
6. Zastosowanie algorytmu Broydena do rozwiązywania układów równań nieliniowych i nieliniowego zadania najmniejszych kwadratów wraz z uaktualnianiem rozkładu qr, zob.[5],
str. 437–439, [9] str. 316–319, [14].
7. Zastosowanie iteracyjnej metody nadrelaksacji SOR do rozwiązywania równania Sylvestera AX − XB = C, zob. [15], [16], [18].
8. Zastosowanie iteracyjnej metody ADI do rozwiązywania równania macierzowego Lyapunova AX + XAT = C, [11], [16], [18].
9. Temat do indywidualnego uzgodnienia.
10. Dodatkowe tematy:
(a) Obliczanie funkcji wykładniczej dla macierzy eA (zob. [5], [13]).
(b) Zastosowanie metody nadrelaksacji SOR do rozwiązywania układu rozszerzonego
Cx = b o macierzy układu postaci (zob. [6])
C=
"
A
BT
B
0
#
.
Takie układy występują przy rozwiązywaniu numerycznym równań różniczkowych.
Bibliografia
[1] D. Calvetti, L. Reichel, A Chebyshev-Vandermonde solver, Linear Algebra Appl 172
(1992), 219–229.
[2] D. Calvetti, L. Reichel, Fast inversion of Vandermonde-like matrices invloving orthogonal
polynomials, BIT 33 (1993), 473–484.
[3] A.M. Cohen, Is the polynomial so perfidious?, Numer. Math. 68 (1994), 225–238.
1
[4] M. Engeli, Th. Ginsburg, H. Rutishauser, E. Stiefel, Refined Iterative Methods for Computation of the Solution and the Eigenvalues of Self-Adjoint Boundary Value Problems,
Birkhäuser, Stuttgart 1959.
[5] G.H. Golub, Ch. F. Van Loan, Matrix Computations, J. Hopkins Univ. Press.
[6] G. Golub, X. Wu, Jin-Yun Yuan, SOR-Like methods for augmented systems, BIT 41
(2001), 71–85.
[7] N.J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM 1996.
[8] N.J. Higham, Error analysis of the Björck-Pereyra algorithms for solving Vandermonde
systems, Numerische Mathemtik 50 (1987), 613–632.
[9] A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, Numeryczna algebra liniowa, WNT, Warszawa 1992.
[10] D. Kincaid, W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole 1996.
[11] An Lu, E. L. Wachspress, Solution of Lyapunov equations by alternating direction implicit iteration, Computers Math. Applic. 21 (1991), 43–58.
[12] A. Melman, The even-odd split Levinson algorithm for Toeplitz systems, SIAM J. Matrix
Anal. 23 (2001), 256–270.
[13] C. Moler, Ch. Van Loan, Ninteen dubious ways to compute the exponential of a matrix,
SIAM Review 20 (1978), 801–836.
[14] J.J. Moré, B.S. Garbow, K.E. Hillstrom, Testing unconstrained optimization, ACM
Trans. Math. Software 7 (1981), 17–41.
[15] G. Starke, W. Niethammer, SOR for AX −XB = C, Linear Algebra and Its Applications
154-156 ((1991), 355–375.
[16] R.S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, Berlin 2000.
[17] G.A. Watson, An algorithm for optimal l2 scaling of matrices, IMA J. Numer. Anal. 11
(1991), 481–492.
[18] D.M. Young, Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, London 1971.
Krystyna Ziętak
2