Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym
Potrzebne pojęcia.
Kąt środkowy
Jest to kąt, którego wierzchołek jest w środku okręgu.
B
α
A
O
Kąt AOB jest oparty na łuku AB (Uwaga: umawiamy się, że łuk AB, to ta część okręgu, która rozciąga się od
punktu A do B, gdy idziemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zatem łuk AB to nie to samo, co łuk BA).
Punkty A i B wyznaczają dwa kąty środkowe.
Kąt wpisany
Jest to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają ten okrąg.
B
O
β
A
Mówimy, że kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, gdy ramiona tych kątów przecinają
okrąg w tych samych punktach.
B
B
β
α
β
α
O
O
A
A
Twierdzenie
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Dowód
Rozważmy dwa przypadki położenia kąta wpisanego.
I.
Poprowadźmy średnicę okręgu z wierzchołka kąta wpisanego.
B
D
O
C
Trójkąt BOC jest równoramienny, zatem kąt OCB i OBC są równe.
∠OCB = ∠OBC = α 1
∠COB = 180° − 2α1
Kąty COB i DOB są przyległe, zatem
∠COB + ∠DOB = 180°
180° − 2α1 + ∠DOB = 180 °
Stąd
∠DOB = 2α1
Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla trójkąta AOC.
∠OCA = ∠OAC = α 2
∠COA = 180° − 2α 2
Kąty COA i DOA są przyległe, zatem
∠COA + ∠DOA = 180 °
180° − 2α 2 + ∠DOA = 180°
Stąd
∠DOA = 2α 2
Kąt ACB = α 1 + α 2
A
Natomiast
Kąt AOB = 2α 1 + 2α 2 = 2(α1 + α 2 )
Z tego wynika, że ∠AOB = 2 ⋅ ∠ACB i twierdzenie jest udowodnione.
II.
B
C
O
A
D
Dowód idzie w tym przypadku prawie identycznie.
Trójkąt BOC jest równoramienny, zatem kąt OCB i OBC są równe.
∠OCB = ∠OBC = α 1
∠COB = 180° − 2α1
Kąty COB i DOB są przyległe, zatem
∠COB + ∠DOB = 180°
180° − 2α1 + ∠DOB = 180 °
Stąd
∠DOB = 2α1
Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla trójkąta AOC.
∠OCA = ∠OAC = α 2
∠COA = 180° − 2α 2
Kąty COA i DOA są przyległe, zatem
∠COA + ∠DOA = 180 °
180° − 2α 2 + ∠DOA = 180°
Stąd
∠DOA = 2α 2
Kąt ACB = α 1 − α 2 (Tu jest różnica zamiast sumy)
Natomiast
Kąt AOB = 2α 1 − 2α 2 = 2(α 1 − α 2 )
Z tego wynika, że ∠AOB = 2 ⋅ ∠ACB i twierdzenie jest udowodnione w obu przypadkach.