algebraiczne modele warstwy przyściennej na wirującej tarczy

algebraiczne modele warstwy przyściennej na wirującej tarczy

BIULETYN
INFORMACYJNY INSTYTUTU TECHNIKI
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
CIEPLNEJ
1992
Nr 77
Krzysztof Karaśkiewicz
Instytut Techniki Cieplnej PW
ALGEBRAICZNE MODELE WARSTWY PRZYŚCIENNEJ
NA WIRUJĄCEJ TARCZY
W p r a c y dokonano oceny n a j b a r d z i e j c h a r a k t e r y s t y c z n y c h
modeli a l g e b r a i c z n y c h trójwymiarowej warstwy p r z y ś c i e n n e j .
Zbadano i c h przydatność do o p i s u z j a w i s k hydromechanicznych
na w i r u j ą c e j t a r c z y . Porównano n a j c z ę ś c i e j stosowane modele i
zaproponowano własny.
7/ΪΚΑΖ OZNACZA
C..
- s t a ł a rozkładu
logarytmicznego
к = V<p(r,s/2)/V^(r) - współczynnik k r ą ż e n i a
1
- długość d r o g i m i e s z a n i a
p
- c i ś n i e n i e uśrednione w c z a s i e
τ , φ , ζ - współrzędne w u k ł a d z i e walcowym
г
- promień zewnętrzny uarczy
s
- o d l e g ł o ś ć między w i r u j ą c ą t a r c z ą i nieruchomą o s ł o n ą
ν
- wypadkowa prędkość chwilowa w przepływie
V - Л. í
burzliwym
v a t - wypadkowa prędkość u ś r e d n i o n a po c z a s i e
t-Ł
2
.
.
- składowa obwodowa p r ę d k o ś c i
τ
V
г
V
z
- składowa promieniowa p r ę d k o ś c i
- składowa osiowa p r ę d k o ś c i
- prędkość wirowania ś c i a n k i
ду
- v w - 4 ω - składowa obwodowa p r ę d k o ś c i
względnej
32
Krzysztof Karaśkiewicz
- i - t a składowa p r ę d k o ś c i we współrzędnych k a r t e z j a ń s k i c h
Vr
/ g - prędkość dynamiczna
= Vr/V,j< - bezwymiarowa składowa promieniowa p r ę d k o ś c i
x2
- współrzędna układu k a r t e z j a ń s k i e g o w k i e r u n k u wektora r w
- współrzędna układu k a r t e z j a ń s k i e g o w k i e r u n k u prostopadłym do wektora r w równoległa do ś c i a n k i
у
z
- o d l e g ł o ś ć od ś c i a n k i we współrzędnych k a r t e z j a ń s k i c h
- o d l e g ł o ś ć od ś c i a n k i we współrzędnych walcowych ( z = y)
z+
- z V r / v - bezwymiarowa o d l e g ł o ś ć od ś c i a n k i
a?
ę
v>
- s t a ł a Karmana
- gęstość płynu
- lepkość kinematyczna p ł y n u
= ~9v'iv|j
7w
n a p r ę ż e n i a Reynoldsa
- c a ł k o w i t e n a p r ę ż e n i a na ś c i a n c e
- i - t a składowa naprężeń na ściance
- składowa obwodowa naprężeń na w i r u j ą c e j
tarczy
V™z - składowa promieniowa naprężeń na w i r u j ą c e j
r
rz
=
ζΓ / T r z
dz
~
składowa
promieniowa naprężeń
tarczy
średnich
1. WSTĘP
Zagadnienie modelowania warstwy p r z y ś c i e n n e j na w i r u j ą c e j
t a r c z y p o j a w i a s i ę przy projektowaniu maszyn wirnikowych,
k i c h j a k n p . pompy, s p r ę ż a r k i ,
k ł a d n i e hydrokinetyczne,
ta-
t u r b i n y wodne, s p r z ę g ł a i prze-
t u r b i n y gazowe, młyny do mas c e l u l o -
zowo-papierniczych i t p . W w i ę k s z o ś c i przypadków pracy tych urządzeń przepływ ma c h a r a k t e r b u r z l i w y · J e ż e l i do o p i s u t a k i e go przepływu s t o s u j e s i ę dwuparametrowe modele
j a k np.
turbulencji,
k-e, bądź b a r d z i e j wyrafinowane oparte na równaniach
Algebraiczne modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
33
b i l a n s u naprężeń Reynoldsa, t r z e b a o k r e ś l i ć sposób modelowan i a warstwy p r z y ś c i e n n e j .
W praktyce o b l i c z e n i o w e j wykorzystywane są dwie metody.
W obszarze przejściowym warstwy p r z y ś c i e n n e j i jego b l i s k i m
s ą s i e d z t w i e zmiany w i e l k o ś c i hydromechanicznych są n a j w i ę k s z e .
Aby osiągnąć pożądaną dokładność o b l i c z e ń , można zastosować
bardzo g ę s t ą s i a t k ę . W modelach, t u r b u l e n c j i musi być wtedy
uwzględniony dodatkowo wpływ l e p k o ś c i m o l e k u l a r n e j
(laminar-
n e j ) porównywalnej t u t a j z t u r b u l e n t n ą . Oba te z a b i e g i znaczn i e wydłużają czas o b l i c z e ń i s t a w i a j ą duże wymagania
jeśli
c h o d z i o pamięć komputera.
Alternatywą j e s t zastosowanie r z a d k i e j s i a t k i ,
t y l k o w obszarze w p e ł n i r o z w i n i ę t e j t u r b u l e n c j i i
z węzłami
niewiel-
k i c h gradientów w i e l k o ś c i hydromechanicznych. Część warstwy
p r z y ś c i e n n e j l e ż ą c a między ś c i a n k ą a n a j b l i ż s z y m węzłem j e s t
wtedy opisywana za pomocą f u n k c j i przyściennych ( w a l l funct i o n s ) . Są to z a l e ż n o ś c i a l g e b r a i c z n e w i ą ż ą c e , w przypadku
równań pędu, pole p r ę d k o ś c i z naprężeniami na ś c i a n k a c h . D l a
dwuwymiarowych warstw przyściennych f u n k c j e przyścienne są prostymi i dobrze znanymi r o z k ł a d a m i bądź potęgowymi, bądź logarytmicznymi. J e ż e l i stosuje s i ę rozkład logarytmiczny,
pokazać
10], że składowe p r ę d k o ś c i dadzą s i ę o p i s a ć
to można
za-.
leżno:ścią
Τ•
V
i = i ^ "
yV
l n
C
E - f
.
i
= '1·2
Ta zależność o p i e r a s i ę na z a ł o ż e n i u ,
И.1)
że k i e r u n e k wektora
p r ę d k o ś c i w p r z e k r o j u warstwy j e s t s t a ł y ,
= const,
tj.
τ^/Τ™ =
=
jednocześnie składowe g r a d i e n t u p r ę d k o ś c i są w sta-
ł e j proporcji,
tj.
rüf/Tg = 9 v 1 / a ^ / a v 2 / 3 y = c o n s t .
W p r z e s t r z e n i a c h przywirnikowych pomp wirowych mamy do
c z y n i e n i a z ciśnieniowymi (pressure-driven)
trójwymiarowymi
warstwami przyściennymi. W t a k i c h warstwach k i e r u n k i wektorów
naprężeń stycznych, prędkości (względnej) i g r a d i e n t u prędkoś c i [4, 8] n i e pokrywają s i ę , l e c z znacznie r ó ż n i ą , p r z y czym
n a c h y l e n i e wektora naprężeń stycznych v r = a r c t g ( r
/Т
) jest
»
r z φζ
większe od n a c n y i e n i a wektora prędkości γ ν = arctg(V r /ÁV^)
i
33 K r z y s z t o f
Karaśkiewicz
mniejsze od n a c h y l e n i a wektora g r a d i e n t u p r ę d k o ś c i
= arctg0vr/9z//śv(p/az).
-
Na rysunku 1.1 pokazane są k ą t y na-
c h y l e n i a wymienionych wektorów d l a przepływu na w i r u j ą c e j w
o s ł o n i e tarczy
( r / r t = 0 , 8 , s / r ^ = 0 , 0 8 ) . Dane pochodzą z pra-
cy [ 8 ] .
Kąt [°]
0,00
0,05
0,10
• V
0,15
z/s
0,20
χ
0,25
0,30
dv/dy
R y s . 1 . 1 . Kąty nachylenia wektorów: p r ę d k o ś c i , n a p r ę ż e n i a t n ą cego i d e f o r m a c j i p r ę d k o ś c i w warstwie p r z y ś c i e n n e j na wiruj ą c e j tarczy
W przypadku t a k i c h przepływów r o z k ł a d y p r ę d k o ś c i nie dad z ą s i ę opisać znanymi z a l e ż n o ś c i a m i charakterystycznymi
dla
dwuwymiarowych warstw p r z y ś c i e n n y c h , ponieważ na k s z t a ł t
pro-
fili
składowych równoległych p r ę d k o ś c i ma wpływ t a
składowa normalna do ś c i a n k i ,
trzecia
związana z i s t n i e n i e m p r z e p ł y -
wów wtórnych. Uwzględnienie j e j w równaniach pędu o p i s u j ą c y c h
warstwę p r z y ś c i e n n ą u n i e m o ż l i w i a otrzymanie r o z w i ą z a ń - a n a l i t y cznych bez p o c z y n i e n i a szeregu z a ł o ż e ń u p r a s z c z a j ą c y c h .
Mimo pesymizmu n i e k t ó r y c h badaczy, co do możliwości stwor z e n i a f u n k c j i przyściennych d l a warstwy trójwymiarowej, po-
A l g e b r a i c z n e modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
35
dejmowane są próby budowania z a l e ż n o ś c i a l g e b r a i c z n y c h ,
drogą
bądź l i c z n y c h uproszczeń, bądź k o r e k c j i znanych rozkładów d l a
warstwy dwuwymiarowej. Vi związku z tym d a j ą s i ę wyróżnić dwie
metody: a n a l i t y c z n a i
półempiryczna.
2. METODA ANALITYCZNA
Metoda a n a l i t y c z n a nie b y ł a wykorzystywana do opisu warstwy p r z y ś c i e n n e j na w i r u j ą c e j t a r c z y . Stosowano j ą jednak w zag a d n i e n i a c h z b l i ż o n y c h . Dlatego wymaga ona omówienia. Metoda
t a j e s t reprezentowana np. przez van den
i
R y h m i n g a
i
modeli sprzed 1975 r .
F a n n e l o p a
zawarty j e s t w pracy
B e r g a
[13]
[ 2 , 3]
(przegląd
Ρ i e г с e'a
[12]). P o d e j ś c i e t o polega na r o z w i ą z a n i u równań pędu, w k t ó r y c h składowa prędkości normalna do ś c i a n k i o k r e ś l a n a - j e s t z
równania c i ą g ł o ś c i ,
zaś związek między naprężeniami a polem
p r ę d k o ś c i j e s t wyprowadzony na podstawie h i p o t e z y d r o g i mieszania Prandtla:
Długość d r o g i mieszania określa znana f u n k c j a l i n i o w a
1 = a?y. Taka p r o s t a f u n k c j a j e s t wygodna przy całkowaniu równań pędu, jednakże j e s t mało d o k ł a d n a . Dodatkową s ł a b o ś c i ą metody a n a l i t y c z n e j j e s t konieczność z a ł o ż e n i a p r o f i l i
wych prędkości równoległych do ś c i a n k i aby o k r e ś l i ć
składonaprężenia
na ś c i a n c e . Zazwyczaj przyjmuje s i ę p r o f i l l o g a r y t m i c z n y ,
cho-
c i a ż p r z y n a j m n i e j jedna składowa związana z r e c y r k u l a c j ą ma
p r o f i l wyraźnie s i ę od niego r ó ż n i ą c y . Na rysunku 2 . 1 pokazano r o z k ł a d składowej promieniowej p r ę d k o ś c i na w i r u j ą c e j
tar-
czy i d l a porównania typowy r o z k ł a d p r ę d k o ś c i powstający przy
opływie powierzchni
nieruchomej.
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
36
rozkład
na
tarczy
wirującej
rozkład
R y s . 2 . 1 . Typowy r o z k ł a d
Vr
na w i r u j ą c e j
logarytmiczny
tarczy
J a k wykazują pomiary [1, 5» 8, 11], d l a przepływów, w k t ó r y c h
ruch promieniowy j e s t wymuszony t y l k o wirowaniem t a r c z y ,
ma swoje maksimum bardzo b l i s k o ś c i a n k i i w d a l s z e j
Yr
części
warstwy maleje do z e r a . Również w u k ł a d z i e współrzędnych l o k a l n y c h , j a k i c h c z ę s t o używa s i ę w t e j metodzie, składowa normalna p r ę d k o ś c i na w i r u j ą c e j tarczy ma r o z k ł a d znacznie odbiegający od logarytmicznego.
Kolejne z a ł o ż e n i a czynione w metodzie a n a l i t y c z n e j
to nie-
w i e l k i e zmiany naprężeń Reynoldsa w p r z e k r o j u poprzecznym warstwy w porównaniu z w a r t o ś c i ą naprężeń na ś c i a n c e l u b znany,
zazwyczaj l i n i o w y i c h r o z k ł a d .
I te z a ł o ż e n i a są trudne do u-
trzymania w ś w i e t l e eksperymentów [б, 8]. Otrzymane metodą
analityczną funkcje przyścienne,
jakkolwiek poprawniejsze od
stosowanych do opisu warstwy dwuwymiarowej, są j e s z c z e mało
dokładne
[13], przy tym są bardzo skomplikowane, również ze
Algebraiczne modele warstwy
przyściennej...
37
względu na niewygodne współrzędne l o k a l n e . Przykładem t a k i c h
f u n k c j i mogą być z a l e ż n o ś c i otrzymane przez van den Berga
[2]:
x1
se
lny+
+
a
+
IłBZ^L·
+
æ
+
x2 - a? cc Y P (y
+
b)
+
(2.2)
βχ2
æ
Opis użytych współczynników
οο χ 1 , β χ 1 , α χ 2 , β χ 2 » oraz warto-
ś c i p r z y j ę t y c h s t a ł y c h a , b z o s t a ł y zamieszczone w Dodatku.
3. METODA POŁEMPIRYCZNA
Alternatywne p o d e j ś c i e przy formułowaniu f u n k c j i przyściennych polega na korygowaniu rozkładów w warstwach dwuwymiarowych za pomocą odpowiednio dobranych f u n k c j i . Tak otrzymane z w i ą z k i są zazwyczaj bardzo p r o s t e i zapewniają
stabil-
ność algorytmu numerycznego. W n i n i e j s z e j pracy skoncentrowano s i ę na metodzie p ó ł e m p i r y c z n e j . Porównano t r z y
najbardziej
reprezentatywne d l a t e j k l a s y f u n k c j e p r z y ś c i e n n e i
nowano bardzo p r o s t ą ,
u ż y t a przez
przyjęli
zapropo-
nową. Pierwszą zbadaną z a l e ż n o ś c i ą b y ł a
К u г о к a w ę
i innych [ l i ] . Autorzy
ci
rozkłady:
-^-—
a? l a
(3.1)
æ
L·
ν
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
38
Funkcja k o r e k c y j n a
f(z)
z o s t a ł a p r z y j ę t a t a k , j a k u Karmana
j a k o z a l e ż n o ś ć l i n i o w a typu
pirycznie stałą
f (z) = с И - -5-), z u s t a l o n ą em-
K z VI / 2
с =I
= 0,612. Grubość warstwy przy-
φ
ψζ
ś c i e n n e j autorzy o k r e ś l i l i na podstawie p r o p o z y c j i
1 у ' e g o
δ
gdzie
i
Ц a i -
innych
_ «(1 - k)2r
(3.2)
æ = 0,4.
•Rozkład V r ( z )
określony z a l e ż n o ś c i ą ( 3 . 1 ) z o s t a ł o b l i czony w n i n i e j s z e j pracy na podstawie danych empirycznych zamieszczonych w [11]. U s t a l o n o , na podstawie znajomości rozkładu zmierzonego V
i o b l i c z o n e j w a r t o ś c i δ , w i e l k o ś ć składow
/
wej
Trz
napręzen na ś c i a n c e . Do tego c e l u wybrano a r b i t r a l -
n i e punkt pomiarowy
z / s = 0,042
rysunku 3 . 1 pokazany j e s t r o z k ł a d
możliwie b l i s k o ś c i a n k i . Na
Vr
czony na podstawie f u n k c j i p r z y ś c i e n n e j
zmierzony
[ΐθ] i
obli-
( 3 . 1 ) . Widać dużą róż-
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
IN^,
o,o4
l
°·
>
^ ^
02
ь!- 0,00
-0,02
-0,04
-0,06.
-0,08
-0,10
0,00
0,01
0,02
—
0,03
0,04
funkcja
R y s . 3 . 1 . Rozkład
0,06 0,07 0,08
0,09
0,10
y/s
przyścienna
(3.1i Δ z pomiaru [111
Vr
0,05
na podstawie z a l e ż n o ś c i
0,11 0,12
(3.1)
A l g e b r a i c z n e modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
n i c ę w n a c h y l e n i u obu krzywych. Trzeba zaznaczyć,
na ze wzoru ( 3 . 2 ) wartość
k r o t n e powiększenie
39
że otrzyma-
δ j e s t m n i e j s z a od z m i e r z o n e j . Dwu-
δ do w a r t o ś c i
δ = 0,15 s
prowadzi do
z n a c z n i e b a r d z i e j poprawnego r o z k ł a d u ( r y s . 3 . 2 ) . Ta nowa war-
y/s
—
funkcja
R y s . 3 . 2 . Rozkład
przyścienna
Vr
(3.1)
Δ
z pomiaru
[11]
po k o r e k c j i w a r t o ś c i δ
t o ś ć <5 j e s t t e ż b l i ż s z a w a r t o ś c i w y n i k a j ą c e j z pomiarów i wynoszącej
δ £ 0,2 s .
Wydaje s i ę ,
że s ł a b ą s t r o n ą zaproponowa-
n e j przez autorów [ l i ] f u n k c j i p r z y ś c i e n n e j j e s t mała dokładn o ś ć , z j a k ą można o k r e ś l i ć δ . Na podstawie danych pomiarowych
można oczekiwać, że b ę d z i e ona dodatkowo f u n k c j ą o d l e g ł o ś c i s
między powierzchniami: w i r u j ą c e j tarczy i nieruchomej obudowy.
Drugą f u n k c j ą p r z y ś c i e n n ą , j a k ą zbadano, b y ł a wprowadzona
przez Karmana z a l e ż n o ś ć o p a r t a na r o z k ł a d z i e potęgowym, z pewnymi modyfikacjami stosowana przez w i e l u autorów. Testowana
b y ł a f u n k c j a przyścienna proponowana przez D a i l y , Nece*a [ 5 ]
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
40
Vr
=
f(r,
8
)(i)
·
(3.3)
1/7
Δν
D(| )
φ =
g d z i e f u n k c j a korekcyjna
f(r,z)
f(r,z)
wynosiła
= A r (1 -
(3.4)
W metodzie stosowanej w pracy [5]
f u n k c j ą t y l k o promienia
r
pędu. Podobnie wyznaczano
ze względu na znajomość r o z k ł a -
można b y ł o łatwo o k r e ś l i ć - d l a
nego w pomiarach [5] p r o m i e n i a
z/S
b y ł o niewiadomą
<S ( r ) - grubość warstw^ p r z y ś c i e n -
n e j . W przeprowadzonym t e ś c i e ,
dów zmierzonych
Ar(r)
wyznaczaną z uproszczonych równań
r
ustalo-
w a r t o ś c i f u n k c j i A^fV
i tym samym o b l i c z y ć r o z k ł a d składowej promieniowej
p r ę d k o ś c i ( p r z y j ę t o za punkt o d n i e s i e n i a
ζ/δ
R y s . 3 . 3 . Rozkład
przyścienna
V
(3Λ)
•
z
pomiaru
Vr
ten,·, na podsta-
y/s
funkcja
(s/2),
[ 5]
na podstawie z a l e ż n o ś c i
(3.4)
Algebraiczne modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
41
r o z k ł a d pokrywa s i ę dość s ł a b o ze zmierzonym. Istotnym mankamentem f u n k c j i przyściennych wymagających znajomości grubości
warstwy p r z y ś c i e n n e j
δ jest,
j e ś l i k o r z y s t a s i ę z metody
k-e l u b porównywalnej, brak możliwości dokładnego
określenia
w a r t o ś c i ó . W t r a k c i e k o l e j n y c h i t e r a c j i g r a n i c a między rdzeniem turbulentnym a warstwą przyścienną w c i ą ż ulega z m i a n i e ,
n i e można więc wyznaczyć
<599· P o z o s t a j e t y l k o k o r z y s t a n i e
z formuł empirycznych, k t ó r e są mało dokładne.
Jako t r z e c i ą sprawdzono metodę zastosowaną przez
d i n g a
w pracy
[15] i wykorzystaną p ó ź n i e j przez
S ρ a 1innych
autorów [ 9 , 14] do o b l i c z e ń przepływów z dużym dodatnim gradientem
v
ciśnienia:
r
-
1
CE
ζ(ΓΓ/9)1/2
™
(3.5)
r wr z /<?
3
Otrzymane w wyniku t e s t u rozkłady były mniej dokładne od pop r z e d n i c h . Może to wynikać z f a k t u ,
że z a l e ż n o ś ć
(3.5) była
w ł a ś c i w i e przystosowana do o b l i c z e ń przepływu p ł a s k i e g o .
4. PROPOZYCJA WŁASNA FUNKCJI PRZYŚCIENNEJ
W przypadku t a r c z w i r u j ą c y c h w osłonach, oprócz wpływu
składowej prędkości
V
normalnej do p o w i e r z c h n i ,
na r o z k ł a d
składowej promieniowej V
ma wpływ również p r o p o r c j a między
Γ
2
s i ł ą odśrodkową o —Vr— a s t a b i l i z u j ą c y m d z i a ł a n i e m s i ł c i ś n i e dP
n i a -g^r . Na rysunku 4 . 1 przedstawiono schematycznie p o d z i a ł
obszaru przepływowego na s t r e f y . W warstwie p r z y ś c i e n n e j przy
w i r u j ą c e j tarczy dominuje s i ł a odśrodkowa i ona wymusza ruch
c z ą s t e k płynu na zewnątrz. W miarę przesuwania s i ę w kierunku
r d z e n i a turbulentnego s i ł a t a m a l e j e , ponieważ maleje składowa obwodowa
Υφ
p r ę d k o ś c i i w samym r d z e n i u pojawia s i ę rów-
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
42
nowaga między s i ł ą odśrodkową i c i ś n i e n i a . Wreszcie przy nieruchomej t a r c z y dominuje
-g
i ruch c z ą s t e k p ł y n u zaczyna
odbywać s i ę w k i e r u n k u dośrodkowym.
U z a l e ż n i e n i e f u n k c j i przyściennych od w a r t o ś c i
średniej
naprężenia
T ^
dwóch s i ł ,
co z o s t a n i e pokazane w d a l s z e j c z ę ś c i . Ponadto war-
tość
można stosunkowo ł a t w o i d o k ł a d n i e wyznaczyć ko-
ř
pozwala wykorzystać mechanizm d z i a ł a n i a
tych
r z y s t a j ą c z uproszczonego równania składowej promieniowej pędu. O g r a n i c z a j ą c s i ę do obszaru p o m i j a l n i e małych w a r t o ś c i
iv2«v2)
Z
Г
φ'
w postaci:
V
otrzymamy równanie składowej promieniowej pędu
<4 1
· >
A l g e b r a i c z n e modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
43
Całka j e s t f u n k c j ą r o s n ą c ą , a zatem n a p r ę ż e n i a c a ł k o w i t e
rrz
będą malały w miarę o d d a l a n i a s i ę od w i r u j ą c e j t a r c z y . Pomiary τ
na w i r u j ą c e j tarczy [б] p o t w i e r d z a j ą t a k i e w ł a ś n i e
PZ
zachowanie.
W c e l u skonstruowania f u n k c j i p r z y ś c i e n n e j d l a k i e r u n k u
promieniowego z o s t a ł a wykorzystana i d e a z pracy [15]:
jeśli
n a p r ę ż e n i a Reynoldsa n i e są s t a ł e w poprzek warstwy przyścienn e j , należy posłużyć s i ę naprężeniami ś r e d n i m i . Pomysł t e n
z o s t a ł jednak c a ł k o w i c i e odmiennie wykorzystany. Na początku
z o s t a ł y sprawdzone f u n k c j e p r z y ś c i e n n e w p o s t a c i :
V
r = l E ę ^
l n
—
(4.2)
Δ ν
φ
=
- l £ Ł ία
C , ^
2E$>Vr
Ε
V
z n a j p r o s t s z ą f u n k c j ą korekcyjną typu
ł o ż o n o na p o c z ą t k u ,
że s t a ł a
с = 1.
f (z) = c t r z / r l z .
Za-
Naprężenia ś r e d n i e wyno-
siły
z z ,
τ
rz
v
2
o o
W c e l u o b l i c z e n i a c a ł k i przyjmowano logarytmiczny r o z k ł a d
i
s t a ł ą wartość c i ś n i e n i a w kierunku normalnym do w i r u j ą c e j
t a r c z y . Można pokazać, że przy w i r u j ą c e j
z z ,
tarczy
,r2
J
o o
-Ш
z dP
2 dr
V^
44
Krzysztof Karaśkiewicz
A l g e b r a i c z n e modele warstwy
przyściennej...
0,00
45
vy
z 'У /
г
-0,05
S'
s
s
/кC
"l
'
У
S
Г
s
-0,10
-2
o.
4
<Ł
J
„-с
-0,15
τ
'
/
-0,20
-0,25
-0,30
0Л
0,3
•
0.6
0,5
dane doświadczalne 1111
logarytmiczna funkcja
Rys.Rozkład
0.7
r/ri
przyścienna
0,8
0.9
nowa funkcja
W
przyścienna
promieniowy c i ś n i e n i a Ρ między w i r u j ą c ą
czą i nieruchomą obudową
tar-
0.006
0,005
O.OOi
0,001
o.ooo t
0,2
OA
0,6
r/r
0,8
1,0
logarytmiczna
funkcja przyścienna
>
nowa funkcja
przyścienna
R y s . 4 . 4 . Rozkład promieniowy e n e r g i i t u r b u l e n t n e j między wiruj ą c ą t a r c z ą i nieruchomą obudową
46
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
i przy ściance
nieruchomej
i t ó - l i b
o o
2r
V«, -
1.5
Otrzymane r o z k ł a d y
„w
r1 w(pz
Vp
+ 1,251
V
_z d P
•ψζ
V
*9 ť
/
2 dr
zmieniały się jednak.zbyt
gwałtownie.
W pierwszym kroku postanowiono skorygować f u n k c j ę
n i a j ą c wartość współczynnika
ne są rozkłady
Vp
c.
f(z)
Na rysunku 4 . 2 przedstawio-
d l a k i l k u danych eksperymentalnych.
wiednio d o b i e r a j ą c wartość
с
zmieOdpo-
można uzyskać dobrą dokładność
f u n k c j i przyściennej.
Na rysunku 4 . 3 pokazano w y n i k i uzyskane przy u ż y c i u k l a sycznych rozkładów logarytmicznych i zaproponowanej
funkcji
p r z y ś c i e n n e j . O b l i c z e n i a wykonano z wykorzystaniem metody
k-£.
Na podstawie eksperymentów numerycznych p r z y j ę t o wartość
ś r e d n i ą współczynnika
с = 0,55·
Uzyskano z m n i e j s z e n i e b ł ę d u o połowę przy wyznaczaniu rozkładu
P(r)
ciśnienia.
Otrzymano również z n a c z n i e k o r z y s t n i e j s z e rozkłady
turbulentnej, która,
jak sugerują badania [ i ] ,
energii
zachowuje w
f u n k c j i promienia s t a ł y poziom względem składowej obwodowej
prędkości.
5. WNIOSKI
Zaproponowana f u n k c j a p r z y ś c i e n n a zapewnia większą zgodność o b l i c z e ń z danymi eksperymentalnymi n i ż stosowane f u n k c j e
czysto l o g a r y t m i c z n e ,
oraz inne omówione w n i n i e j s z e j
pracy.
J e s t ona p r o s t s z a n i ż f u n k c j e przyścienne typu a n a l i t y c z n e g o .
Wykorzystana w n i e j metoda k o r e k c j i n i e ma wymiaru czysto matematycznego, l e c z oparta j e s t również na a n a l i z i e
zjawiska.
fizycznej
A l g e b r a i c z n e modele warstwy p r z y ś c i e n n e j . . .
47
DODATEK
W a r t o ś c i parametrów p r z y j ę t y c h we wzorze ( 2 . 2 ) są następujące:
α χ 1
_
ЭР
"
9x
1 '
ЭР_
* Χ 2 " 9Vr3
v
^ L
=
^
Wielkość
^
ЭГ '
X1
=
V
T
Эх
2
ЭФ7
ax
1
Фг j e s t kątem n a c h y l e n i a wektora naprężeń na ś c i a n c e .
W a r t o ś c i s t a ł y c h p r z y j ę t y c h przez van den Berga w y n o s i ł y :
a = 2,
b = 13
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
D. Altmann: B e i t r a g zur Berechnung der t u r b u l e n t e n
Strömung i n A x i a l s p a l t zwishen Laufrad und Gehäuse von
Radialpumpen. D i s s e r t a t i o n . Technishe Hochshule. Magdeb u r g 1972.
Van Den B. Berg: A three-dimensional law of the w a l l
f o r t u r b u l e n t s h e a r f l o w s . J o u r n a l of F l u i d Mechanics,
v o l . 70, część 1, str.-149, 1975·
Van Den B. Berg, A. E l s e n a a r , J . P . F . L i n d h o u t , P. Wess e l i n g : Measurements i n an Incompressible Three-dimens i o n a l Turbulent Boundary Layer, under I n f i n i t e Swept-wing C o n d i t i o n s , and Comparison w i t h Theory. J o u r n a l of
F l u i d Mechanics, v o l . 70, część 1, s t r . 127, 1975.
Van Den B. Berg: Three-Dimensional Turbulent Boundary
Layers. S p r i n g e r - V e r l a g , 1982, t ł u m a c z e n i e r o s y j s k i e Triochmiernyje t u r b u l e n t n y j e p o g r a n i c z n y j e s ł o i . Mir,
Moskwa 1985, s t r . 10.
J . W . D a i l y , R . E . Nece: Chamber Dimension E f f e c t s on
Induced Flow and F r i c t i o n a l R e s i s t a n c e of Enclosed
R o t a t i n g D i s k s . J o u r n a l of Basic E n g i n e e r i n g , March,
1960,
[6]
str.217.
F . F . E r i a n , Y.H. Tong: Turbulent Flow Due t o a R o t a t i n g
D i s k . The Physics of F l u i d s , v o l . 1 4 , No 12, 1971,
str.2586.
K r z y s z t o f Karaśkiewicz
48
Γ7ΐ
Μ.Μ. Gibson, В.A. Y o u n i s : C a l c u l a t i o n of B o u d k y Layers
w i t h Sudden Transverse S t r a i n , T r a n s a c t i o n s of the ASME.
J o u r n a l of F l u i d s Engineering, v o l . 1 0 8 , 1986, s t r . 4 / u .
Γ81
M. I t o h , Y . Yamada, S . Imao, M. Gondas Experiments on
T u r b u l e n t Flow due to an Enclosed R o t a t i n g D i s k . Engineering Turbulence M o d e l l i n g and Experiments. E l s e v i e r ,
1990, s t r . 6 5 9 .
Γ9ΐ
D . S . J a n g , S . Acharya: Comparison of the PISO, SMFLER,
and SIMFLEC Algorithms f o r the Treatment of the Pressure-Velocity C o u p l i n g i n Steady Flow Problems. Numer i c a l Heat T r a n s f e r , V o l . 1 0 , 1986, s t r . 2 0 9 .
R . J . K i n d , F.M. Yowakim, S . A , S j o l a n d e r : The Law of the
W a l l f o r S w i r l i n g Flow i n Annular Ducts. T r a n s a c t i o n s
of the ASME, J o u r n a l of F l u i d s E n g i n e e r i n g , v o l . 1 1 1 ,
1989, s t r . 1 6 0 .
J . Kurokawa, M.S. Toyokura, K. Matsuo: Roughness E f f e c t s
on the Flow Along an Enclosed R o t a t i n g D i s k . B u l l e t i n
of the JSME. V o l . 2 1 , No 162, 1978, str.1725F . J . P i e r c e , J . E . M c A l l i s t e r , M.H. Tennant: A Review of
Near-Wall S i m i l a r y t y Models i n Three-Dimensional Turbul e n t Boundary Layers. T r a n s a c t i o n s of the ASME. J o u r n a l
of F l u i d s E n g i n e e r i n g . V o l . 1 0 5 , 1982, s t r . 2 5 1 .
I . L . Ryhming, Т.К. Fannelop: Three-Dimensional Turbulent
Boundary Layers. S p r i n g e r - V e r l a g , 1982. Tłumaczenie ros y j s k i e - Triochmiernyje t u r b u l e d t n y j e p o g r a n i c z n y m
s ł o i . M i r , Moskwa 1985, s t r . 3 1 6 .
Γ10Ί
Γ11Ι
Γ12Ι
Γ151
L
Γ141
Γ15Ι
A.K. S i n g h a i , D.B. S p a l d i n g : P r e d i c t i o n of the Two-dimensional Boundary Layers w i t h the Aid of the k-e^ model
of Turbulence. Computer Methods i n A p p l i e d Mechanicks &
E n g i n e e r i n g . V o l . 2 5 , 1981, s t r . 3 6 5 ·
D.B. S p a l d i n g : Genmix - a General Computer Program f o r
Twodimensional p a r a b o l i c phenomena. Book HMT-1. Pergamon
P r e s s , London 1977-
ALGEBRAIC MODELS OF A BOUNDARY LAYER ON A ROTATING DISK
S u m m a r y
The most c h a r a c t e r i s t i c t r e n d s i n a l g e b r a i c m o d e l l i n g _ o f
t h r e e d i m e n s i o n a l t u r b u l e n t boundary l a y e r were analysed i n
the p a p e r . Their c a p a b i l i t y of m o d e l l i n g Hydrodynamic phenomena on a r o t a t i n g d i s k was examined. The most t y p i c a l models
were compared and a new p r o p o s a l was p r e s e n t e d .
A l g e b r a i c z n e modele warstwy
przyściennej...
49
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ
К р а т к о е
с о д е р ж а н и е
В работе сделан обзор алгебраического моделирования трехмерного турбулентного пограничного слоя. Сделана классификация этих методов. Сравнены самые типичные методы и оценена их
пригодность для описания гидравлических явлений на вращающемся
диске. Предложен альтернативный метод.