Zadania do poćwiczenia

Zadania domowe z fizyki teoretycznej I
• Znaleźć taką funkcję y = y(x), określoną w przedziale (x1 , x2 ) i przyjmującą na jego krańcach wartości
y1 oraz y2 , aby pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu tej funkcji wokół osi x było jak najmniejsze.
• Ciało o masie M zsuwa się bez tarcia z nieruchomej równi pochyłej o kącie nachylenia α. Do ciała
przymocowane jest wahadło matematyczne w postaci nieważkiej linki o długości l i znajdującej się
na jej końcu punktowej masy m. Znaleźć równania ruchu układu oraz (przy założeniu małych drgań)
częstość wahań wahadła. Zadanie rozwiązać wykorzystując zasadę najmniejszego działania.
• Po powierzchni zamarzniętego jeziora ślizga się pojazd odrzutowy, któremu silniki nadają przyspieszenie
a = ct (względem jeziora) wzdłuż osi tworzącej z południkami kąt α. c jest tu pewną stała. Znaleźć
ruch pojazdu w najniższym przybliżeniu uwzględniającym ruch obrotowy Ziemi. Szerokość i długość
geograficzna jeziora równa jest odpowiednio θ i φ. Przyjąć, że w chwili t = 0 pojazd spoczywa.
z
• Trzy identyczne masy m umieszczone są na kolistej obręczy,
po której mogą się one przemieszczać bez tarcia. Połączone
są one jak na rysunku identycznymi sprężynami, o stałych
sprężystości k. Znależć drgania własne i częstości własne.
Pole grawitacyjne pomijamy.
z
z
• Obliczyć częstość małych drgań jednorodnej elipsoidy obrotowej o masie m i półosiach a i b, kołyszacej
się na płaskiej powierzchni wzdłuż dłuższej półosi.
• Ile wynosi częstość małych drgań jednorodnego okręgu o masie m i promieniu R bujającego się w
„dołku” paraboli o równiu y = ax2 . Należy przyjąć R < a1 .
6
>
• Punkt materialny o masie m porusza się bez tarcia po
okręgu o promieniu R w stałym jednorodnym polu grawitacyjnym. Punkt ten połączony jest z najwyższym punktem
okręgu za pomocą sprężynki o zerowej długości swobodnej
i stałej sprężystości k w sposób przedstawiony na rysunku.
Okrąg wiruje wokół pionowej osi ze stałą prędkością kątową Ω. Znaleźć równanie ruchu układu, położenia równowagi (zbadać ich charakter) w zależności od Ω oraz częstość
małych drgań wokół położenia równowagi trwałej.
Ω
~g
?
k
|m
• Dany jest układ o Lagrangianie
L(x, y, ẋ, ẏ) =
m 2
(ẋ + 2ẋẏ + 3ẏ 2 ) + k(x2 − 4xy + 4y 2 ) .
2
Znaleźć stałe ruchy, posługując się twierdzeniem Noether.
• Rozwiązać zagadnienie ruchu ciała o masie m w polu siły F (r) = − rα3 . Znaleźć i omówić typy orbit
jakie mogą pojawić się w tym ruchu.
• Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnego sześcianu o boku a i masie m względem osi zawierającej
jego przekątną.
1
• Znaleźć tensor momentu bezwładności niejednorodnej elipsy o półosiach a i b i gęstości %(r) = ar2 w
bazie osi głównych.
• W ramach mechaniki relatywistycznej zbadać jednowymiarowy ruch pod wpływem siły harmonicznej.
• Prostoliniowy pręt naładowany jest jednorodnie z liniową gęstością ładunku λ mierzoną w jego układzie
spoczynkowym. Jaką liniową gęstość ładunku oraz prąd związany z ruchem tego ładunku zmierzy
obserwator poruszający się wzdłuż pręta ze stałą prędkością v?
• Spiesznością jednego układu inercjalnego względem innego nazywamy parametr ζ określony wzorem
v = tgh ζ, gdzie v jest względną prędkością tych układów. Rozważyć trzy układy inercjalne poruszające
się wzdłuż jednego kierunku. Wykaż, że spieszność trzeciego układu względem pierwszego jest sumą
spieszności trzeciego względem drugiego i drugiego względem pierwszego.
• Lustro porusza się w układzie laboratoryjnym z prędkością v prostopadłą do swojej powierzchni. Na
lustro padają fotony pod kątem θ mierzonym w układzie laboratoryjnym względem osi prostopadłej
do lustra. Obliczyć mierzony analogicznie kąt odbicia fotonów wiedząc, że w układzie spoczynkowym
lustra obowiązuje zwykłe prawo odbicia, czyli kąt odbicia równy jest kątowi padania.
• Pociąg, którego długość we własnym układzie odniesienia wynosi l0 , porusza się z prędkością 4c/5
względem podłoża. W pewnej chwili z tyłu pociągu wystrzelony zostaje do przodu pocisk z prędkością
c/2 względem pociągu. Ile czasu upłynie, zdaniem zewnętrznego, spoczywającego obserwatora, zanim
pocisk dotrze do czoła pociągu?
• Wyznaczyć ruch relatywistycznej cząstki o masie m i ładunku q poruszającej się w jednorodnych
prostopadłych polach E i B
~ a także pomiędzy nimi
• Obliczyć komplet nawiasów Poissona pomiędzy składowymi momentu pędu J,
a J~2 .
• Cząstka o masie m i ładunku q porusza się w płaszczyźnie xy w polu siły harmonicznej o potencjale
V = 21 k(x2 +y 2 ) oraz w stałym jednorodnym polu magnetycznym B skierowanym wzdłuż osi z. Napisać
i rozwiązać równanie Hamiltona-Jacobiego dla tej cząstki we współrzędnych biegunowych. Znaleźć ruch
cząstki w postaci kwadratur. Przedyskutować ten ruch w przypadku gdy pęd azymutalny równy jest
zeru dla t = 0.
WSKAZÓWKA: Należy wykorzystać wzór na potencjał wektorowy dla stałego jednorodnego pola
~ = 1B
~ × ~r.
magnetycznego: A
2
• Cząstka o masie m porusza się w polu dwóch centrów kulombowskich znajdujących się w odległości 2σ
od siebie. Potencjał dany jest przez V = αr11 + αr22 , gdzie r1 i r2 oznaczają odległości cząstki od centrów.
Znaleźć (w kwadraturach – czyli w postaci całek) ruch cząstki używając metody Hamiltona-Jacobiego.
WSKAZÓWKA: Równanie H-Jp
można rozseparować w tym przypadku używając tzw. współrzędnych
eliptycznych ξ, η, φ, gdzie ρ = σ (ξ 2 − 1)(1 − η 2 ) oraz z = σξη. Zachodzi 1 ¬ ξ < ∞ oraz −1 ¬ η ¬ 1.
Oś z wybrana została tutaj wzdłuż prostej lączącej oba centra sił, a początek układu w połowie
odległości pomiędzy nimi. Symbole ρ oraz φ oznaczają te same wielkości, co w zmiennych walcowych.
W pierwszej kolejności należy wykazać, że r1 = σ(ξ − η) oraz r2 = σ(ξ + η).
• Metodą Hamiltona-Jacobiego znaleźć ruch cząstki o Lagrangianie
r
v2
2
L(~r, ~v , t) = −m(r)c 1 − 2 ,
c
q
gdzie m(r) = m20 + αr , a m0 , α, i c są stałymi.
2