Schemat badania funkcji

Schemat badania funkcji
1. Analiza funkcji:
- wyznaczenie dziedziny funkcji,
- obliczenie granic na krańcach dziedziny,
- wyznaczenie asymptot,
- wyznaczenie punktów przecięcia z osią Ox ,
- wyznaczenie punktów przecięcia z osią Oy .
2. Analiza pierwszej pochodnej:
- wyznaczenie punktów stacjonarnych (miejsc zerowych pierwszej pochodnej),
- wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca,
- wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest malejąca.
3. Analiza drugiej pochodnej:
- wyznaczenie punktów przegięcia (miejsc zerowych drugiej pochodnej),
- wyznaczenie przedziałów wypukłości,
- wyznaczenie przedziałów wklęsłości.
4. Sporządzenie tabeli (tzw. tabeli zmienności funkcji).
5. Naszkicowanie wykresu funkcji.
Przykład
Zbadać funkcję f ( x) =
x3
.
2( x − 1) 2
1. Dziedzina funkcji
D f = R \ {1} = (−∞;1) ∪ (1;+∞) .
Granice na krańcach dziedziny
lim f ( x) = −∞ ,
lim f ( x) = +∞ ,
x → −∞
x → +∞
lim f ( x) = +∞ ,
x →1−
lim f ( x) = +∞ .
x →1+
asymptota pionowa x = 1 ,
asymptota ukośna
y = 12 x + 1 .
Punkt przecięcia z osiami współrzędnych
(0;0) .
Asymptoty
2. Pierwsza pochodna funkcji
f ′( x) =
x 2 ( x − 3)
,
2( x − 1) 3
f ′( x) = 0
f ′( x) > 0
⇔
⇔
D f ′ = R \ {1} .
x=0 ∨
x = 3.
x ∈ (−∞;0) ∪ (0;1) ∪ (3;+∞) .
f ′( x) < 0
⇔
x ∈ (1;3) .
3. Druga pochodna funkcji
f ′′( x) =
3x
,
( x − 1) 4
.
f ′′( x) = 0
f ′′( x) > 0
D f ′′ = R \ {1} .
⇔
⇔
f ′′( x) < 0
x = 0.
x ∈ (0;1) ∪ (1;+∞) .
⇔
x ∈ (−∞;0) .
4. Tabela
x
−∞
...
0
...
1
...
3
...
f ′(x)
+
0
+
Χ
-
0
+
f ′′(x)
-
0
+
Χ
+
0
f (x)
−∞
5. Wykres
p.p.
+∞
Χ
+∞
+∞
+
27
8
min
+∞