Parametry Sygnałów

Teoria sygnałów
IIIr Informatyka Stosowana 2016/2017
copyright: M. Dwornik
[email protected]
Sygnały i ich parametry
1
Podstawowe parametry sygnału
1. Wartość średnia sygnału w przedziale
1
t2 − t1
x=
Z t2
x(t)dt
x=
t1
n2
X
1
x[n]
n2 − n1 + 1 n=n1
(1)
2. Energia sygnału
Z +∞
Ex =
x2 (t)dt
Ex =
−∞
+∞
X
x2 [n]
(2)
n=−∞
3. Moc średnia sygnału w przedziale
Px (t1 , t2 ) =
x2
Px (n1 , n2 ) = x2 =
1
=
t2 − t1
Z t2
x2 (t)dt
t1
n2
X
1
x2 [n]
n2 − n1 + 1 n=n1
(3)
4. Wartość skuteczna sygnału
p
Px
(4)
5. Wariancja sygnału wokół x w przedziale
σx2
Z t2
1
=
t2 − t1
[x(t) − x]2 dt
t1
n2
X
1
[x[n] − x]2
n2 − n1 + 1 n=n1
σx2 =
(5)
6. Momenty zwykłe m-tego rzędu
τm
x =
2
Z +∞
tm x(t)dt
−∞
m
kx =
+∞
X
nm x[n]
(6)
n=−∞
Podstawowe sygnały
1. sygnał prostokątny:
Y
(x) =


 1.0 dla |x| < 0.5
0.5 dla |x| = 0.5
(7)

 0.0 dla |x| > 0.5
2. sygnał trójkątny1 :
(
^
(x) =
1
Spotykany jest też zapis
V
1 − 2|x| dla |x| ¬ 0.5
0.0
dla |x| > 0.5
(x)=1-|x| dla |x|<1 i
V
1
(x)=0 dla |x|>1
(8)
Teoria sygnałów
IIIr Informatyka Stosowana 2016/2017
copyright: M. Dwornik
[email protected]
3. sygnał harmoniczny o modulowanej amplitudzie:
y(x) = A(x) sin(ω0 x + ϕ0 )
(9)
4. sygnał sinc(x):
(
sinc(ω0 x) = Sa(ω0 x) =
1
sin ω0 x
ω0 x
dla x = 0
dla x =
6 0
(10)
5. sygnał / funkcja znaku sgn(x):
sgn(x) =


 1
dla x > 0
0 dla x = 0


−1 dla x < 0
(11)
6. sygnał jednostkowy (funkcja skoku, Heaviside’a):
u(x) =


 0.0 dla x < 0
0.5 dla x = 0
(12)

 1.0 dla x > 0
7. funkcja Diraca:
(
δ(x) =
0
dla x 6= 0
+∞ dla x = 0
(13)
przy założeniu:
Z +∞
δ(x)dx = 1
(14)
−∞
8. funkcja Sza (grzebieniowa):
SzaT (t) = XT (t) =
∞
X
δ(t − nT )
(15)
n=−∞
9. funkcja (rozkład) Gaussa:
−(x − µ)2
1
y(x) = √ exp
2σ 2
σ 2π
3
!
(16)
Zadania
3.1
Zadania obliczeniowe
1. Oblicz wartość średnią oraz energię dla sygnału prostokątnego, trójkątnego oraz
funkcji sinc.
2. Narysuj wykres funkcji:
y(x) = a
2
Y x − b
c
(17)
Teoria sygnałów
IIIr Informatyka Stosowana 2016/2017
copyright: M. Dwornik
[email protected]
3. Oblicz wartość średnią oraz energię dla następującego sygnału:
(
x[n] =
1 − |n|
N
0
dla |n| ¬ N
dla |n| > N
4. Uzasadnij, że:
• moc sygnału o ograniczonej energii jest równa zero
• energia sygnału o ograniczonej mocy jest nieskończona
• sygnał impulsowy o ograniczonej amplitudzie ma ograniczoną energią
5. Udowodnij poniższe własności funkcji delty Diraca:
a)
b)
1
δ(x)
|a|
1
b
δ(ax + b) =
δ x+
|a|
a
δ(ax) =
Z ∞
xδ(x) = 0
c)
−∞
3.2
Zadania z pakietu MatLAB
1. Stwórz wykres następujących sygnałów (dx=0.01):
• funkcji bramkowej o środku w punkcie x=5 i zakresie x=<-3,3>
• funkcji trójkątnej o wierzchołku w punkcie x=-3 i zakresie
x=<-5,5>
• funkcji piłokształtnej o okresie 2 dla x=<-5,5>
• funkcji X(x) dla x=<-5,5>
• sygnału harmonicznego dla amplitudy A=1.3 i częstotliwości f =2.5.
• sygnał gaussowski o wartości średniej µ=1 i odchyleniu standardowym σ=2
dla x=<-10,10>
2. Policz wartość średnią, minimalną, maksymalną, odchylenie standardowe i energię
dla sygnałów z zadania 3.2.1
3