Klasa 3.Graniastosłupy.

Klasa 3.Graniastosłupy.
1. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami:
𝑎—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑏—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑐—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑑—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑒—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Oblicz wysokość słupa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 3,5 m3 , jeśli
jego krawędź podstawy ma długość 0,5 m.
3. Siatkami sześcianów nie są:
A. I i IV
B. II i IV
C. II i III
D. I i III
4. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 6 dm. Objętość tego sześcianu wynosi:
A. 6 dm3
B. 0,125 dm3
C. 1,5 dm3
D. 18 dm3
5. Jaką co najmniej wysokość musi mieć prostopadłościenne akwarium o podstawie 25 cm × 0,3 m, aby mogło
pomieścić 24 litrów wody?
6. Ile litrów wody pomieści basen, którego kształt i wymiary podano na rysunku?
7. Trójkąt równoboczny o polu 4√3 cm2 jest podstawą graniastosłupa prawidłowego. Wysokość tej bryły jest
równa obwodowi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
8. Obwód jednej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 20 cm, a suma długości wszystkich krawędzi tej bryły jest równa 52 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
9. Firma na zamówienie wykonała 300 sztuk betonowych słupów
w kształcie graniastosłupów prostych o wysokościach 10 m oraz
podstawach w kształcie trapezu równoramiennego przedstawionego na rysunku. Ile metrów sześciennych betonu użyto do wykonania tego zamówienia?
10. Ile metrów sześciennych zaprawy cementowej należy wylać na podłogę w salonie, którego plan przedstawiony jest na rysunku, by uzyskać siedmiocentymetrową warstwę?
11. Rysunek przedstawia szałas w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
Ile metrów sześciennych powietrza jest w tym szałasie? Przyjmij, że √3 ≈ 1, 7.
12. Pole powierzchni sześcianu wynosi 150 cm2 . Jaką objętość ma bryła powstała z dwóch takich sześcianów?
13. Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o polu podstawy 4√3 i wysokości 5 wynosi:
A. 20√3
B. 60√3
C. 8√3 + 60
D. 8√3 + 20
14. Oblicz pola powierzchni graniastosłupów prawidłowych:
a)
b)
c)
15. Oceń prawdziwość zdań dotyczących przedstawionego na rysunku graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Powierzchnia boczna stanowi 80 % powierzchni
prawda
fałsz
prawda
fałsz
prawda
fałsz
prawda
fałsz
całkowitej tej bryły.
Suma długości wszystkich krawędzi bocznych
jest mniejsza niż suma długości wszystkich krawędzi podstawy.
Ten graniastosłup można rozciąć na dwa sześcia3
ny — każdy o objętości 64 cm .
Pole jednej ściany bocznej jest 2 razy większe od
pola jednej podstawy.
16. Oblicz objętość narysowanego obok graniastosłupa trójkątnego.
17. Przekątne ścian bocznych narysowanego obok graniastosłupa prostego trójkątnego tworzą kąt 60∘. Oblicz jego objętość.
Klasa 3. Ostrosłupy.
1. Siatkę ostrosłupa czworokątnego przedstawia rysunek:
2. Wysokość narysowanego ostrosłupa oznaczono literą:
A. 𝑑
B. 𝑎
C. 𝑏
D. 𝑐
3. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami:
𝑎—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑏—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑐—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑑—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑒—
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Ostrosłup czworokątny prawidłowy o krawędzi podstawy 16 cm ma krawędź boczną równą 17 cm. Oblicz
długość przekątnej podstawy oraz wysokość ściany bocznej.
5. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 10 cm, a przekątna podstawy
ma długość 16 cm. Jaką wysokość ma ten ostrosłup?
6. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 228 cm2 . Jeżeli krawędź
jego podstawy ma 6 cm, to pole jednej ściany bocznej tej bryły wynosi:
A. 38 cm2
B. 48 cm2
C. 55,5 cm2
D. 192 cm2
7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny i graniastosłup prawidłowy czworokątny mają takie same podstawy,
a wysokość ostrosłupa jest dwa razy krótsza od wysokości graniastosłupa. Ile razy objętość ostrosłupa
jest mniejsza od objętości graniastosłupa?
A. 8 razy
B. 6 razy
C. 4 razy
D. 2 razy
8. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości równej
długości obwodu podstawy.
9. Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 8 cm ma wysokość równą wysokości trójkąta będącego jego podstawą. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
10. Czy na oklejenie wszystkich ścian danej bryły wystarczy papieru z arkusza o wymiarach 5 cm × 0,25 m?
Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
sześcian o krawędzi 2,5 cm
TAK
NIE
czworościan foremny o krawędzi 5 cm
TAK
NIE
graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 8 cm i krawędzi
TAK
NIE
podstawy 5 cm
11. Ile wody zmieści naczynie w kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 8√2 cm?
A. 128√2 cm3
2
1
B. 170 3 cm3
C. 512 cm3
D. 341 3 √2 cm3
12. Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego pole jednej ściany bocznej jest równe polu podstawy. Oceń prawdziwość zdań dotyczących tej bryły. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Wysokość ściany bocznej jest 3√3 razy dłuższa od krawędzi podstawy.
prawda
fałsz
Pole podstawy stanowi siódmą część pola powierzchni całkowitej bryły.
prawda
fałsz
Suma długości wszystkich krawędzi bocznych tej bryły jest równa
prawda
fałsz
3√107𝑎, gdzie 𝑎 jest długością krawędzi podstawy.
13. Podaj długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej możliwie najmniejszego namiotu w kształcie
ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o którym wiadomo, że na jego podłodze można położyć oszczep
długości 3 m oraz postawić pionowo dzidę długości 2 m. Pomiń pozostałe wymiary dzidy i oszczepu.
Klasa 3. Przykłady brył obrotowych.
1. Która z narysowanych figur jest stożkiem?
2. Pole przekroju osiowego stożka o średnicy podstawy 5 cm i wysokości 10 cm wynosi:
A. 50 cm2
B. 25 cm2
C. 100𝜋 cm2
D. 36𝜋 cm2
3. Stożek ma wysokość 8 cm, a promień jego podstawy jest równy 4 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka
wynosi:
A. 32 cm2
B. 16 cm2
C. 64 cm2
D. 128𝜋 cm2
4. Prostokąt obraca się wokół zaznaczonej osi. Promień podstawy walca
powstałego w wyniku tego obrotu wynosi:
A. 1 cm
B. 6 cm
C. 2 cm
D. 4 cm
5. Przekrojem osiowym pewnego stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i polu 48 cm2 . Oceń
prawdziwość zdań dotyczących tej bryły. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Promień podstawy stożka ma 6 cm.
prawda
fałsz
Tworząca stożka ma 8 cm długości.
prawda
fałsz
6. Wysokość stożka, którego promień podstawy ma 12 cm, a tworząca jest od promienia o 8 cm dłuższa,
wynosi:
A. 4√34 cm
B. 16cm
C. 2√91 cm
D. 4√13 cm
7. Oblicz długość przekątnej przekroju osiowego walca, który powstał w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 5 cm × 6 cm wokół krótszego boku.
8. Kąt rozwarcia stożka ma 60∘, a tworząca stożka ma długość 6 cm. Oblicz wysokość stożka i długość
promienia podstawy.
9. Pole koła, które obracane wokół średnicy utworzy kulę o promieniu 12 cm, wynosi:
A. 144𝜋 cm2
B. 36𝜋 cm2
C. 24𝜋 cm2
D. 576𝜋 cm2
10. Rysunek obok przedstawia przekrój osiowy pewnego walca.
Oblicz promień i wysokość tego walca.
11. Czy długopis o długości 13 cm można zmieścić w blaszanym piórniku w kształcie walca o średnicy 5 cm
i wysokośći 12 cm? Pomiń pozostałe wymiary długopisu. Odpowiedź uzasadnij.
12. Oblicz obwód półkola, które w wyniku obrotu wokół średnicy utworzy kulę o średnicy 6 cm.
13. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Tworząca każdego stożka jest dłuższa od promienia podstawy stożka.
prawda
fałsz
Obwód koła będącego przekrojem osiowym kuli o promieniu 2 wynosi 2𝜋.
prawda
fałsz
Wysokość każdego walca jest większa od promienia podstawy walca.
prawda
fałsz
14. Obracając koło o polu 64𝜋 cm2 wokół jego średnicy, otrzymano kulę. Obwód koła wielkiego tej kuli wynosi:
A. 16𝜋 cm
B. 8𝜋 cm
C. 8 cm
D. 1024𝜋 cm
15. Jaki warunek musi spełniać miara kąta rozwarcia stożka, aby promień podstawy stożka był:
a) równy wysokości stożka,
b) dłuższy od wysokości tego stożka.
Odpowiedź uzasadnij.
Klasa 3. Walec.
1. Oblicz pole powierzchni bocznej walca otrzymanego w wyniku obrotu kwadratu o boku długości 5 m wokół
boku.
2. Która bryła ma większą objętość: A – walec powstały w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 4 cm i 5 cm
wokół prostej zawierającej dłuższy bok, czy B – walec powstały w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach
4 cm i 5 cm wokół prostej zawierającej krótszy bok? Odpowiedź uzasadnij.
3. Pole powierzchni całkowitej walca o średnicy 6 cm i wysokości 9 cm wynosi:
A. 90𝜋 cm2
B. 81𝜋 cm2
C. 108𝜋 cm2
D. 72𝜋 cm2
4. Z kostki sześciennej wycięto walec, którego podstawa
jest kołem wpisanym w ścianę sześcianu (zob. rysunek). Jaki procent objętości sześcianu stanowi objętość
wyciętego walca? Wynik podaj z dokładnością do 1 %.
Przyjmij, że 𝜋 = 3,14.
5. Wysokość i promień podstawy walca są równe 4. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią
kratkę.
prawda
fałsz
Objętość walca jest równa 128𝜋.
prawda
fałsz
Pole przekroju osiowego walca jest równe 32.
prawda
fałsz
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 32𝜋.
prawda
fałsz
Pole powierzchni całkowitej walca jest dwukrotnie większe od pola
jednej podstawy.
6. Oblicz objętość walca o promieniu podstawy 8 cm i przekątnej przekroju osiowego 20 cm.
7. Promień podstawy walca o objętości 150𝜋 cm3 i wysokości 3 cm ma długość:
A. 5√2 cm
B. 10√2 cm
C. 50𝜋 cm
D. 50 cm
8. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej 12√2 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego
walca.
9. Do menzurki w kształcie walca częściowo wypełnionej solanką dolano 0,27 litra wody. Poziom roztworu
podniósł się o 10 cm. Oblicz średnicę menzurki. Przyjmij, że 𝜋 ≈ 3.
*10. Prostokąt o wymiarach 1 dm × 5 dm obraca się dookoła prostej równoległej do jego krótszego boku i odległej od niego o 2 dm. Oblicz objętość otrzymanej bryły. Rozważ wszystkie przypadki.
*11. Wnętrze naczynia ma kształt walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 20 cm. Naczynie do połowy wypełniono wodą, a następnie na jego dnie postawiono metalowy walec o promieniu podstawy 2 cm
i wysokości 11 cm. Czy cały ten walec jest zanurzony w wodzie? Odpowiedź uzasadnij.
Klasa 3. Stożek.
1. Objętość stożka o wysokości ℎ i promieniu podstawy 𝑟 obliczysz za pomocą wzoru:
A. 𝜋𝑟2 ℎ
B. 2𝜋𝑟ℎ
C. 13 𝜋𝑟2 ℎ
D. 𝜋𝑟𝑙
2. Stożek o objętości 18√3𝜋 cm3 i promieniu 3 cm ma wysokość:
A. 2 cm
B. 6√3 cm
C. 18√3 cm
D. 3√3 cm
3. Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi 45∘, a długość promienia podstawy jest
równa 3 cm. Oblicz objętość stożka.
4. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60∘, promień podstawy stożka ma 6√3 cm. Oblicz
pole powierzchni całkowitej stożka.
5. Stożek o promieniu 6 cm i wysokości 2√3 ma pole powierzchni bocznej równe:
A. 12√3𝜋 cm2
B. 24√3𝜋 cm2
C. 12(3 + 2√3)𝜋 cm2
D. 18√3𝜋 cm2
6. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12 cm. Oceń prawdziwość zdań.
Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe 72𝜋 cm2 .
prawda
fałsz
Tworząca tego stożka jest równa średnicy podstawy.
prawda
fałsz
Objętość tego stożka jest równa 216√3𝜋 cm3 .
prawda
fałsz
7. Kwadrat obracający się wokół prostej zawierającej jego przekątną wyznacza w przestrzeni bryłę o objętości 0,018𝜋 dm3 . Przekątna tego kwadratu jest równa:
A. 0,6 dm
B. 1,2 dm
C. 0,3√2 dm
3
D. 0,6 √2 dm
8. Objętość 18√2𝜋 ma stożek o:
A. promieniu podstawy 3 i wysokości 2√2
C. promieniu podstawy 3 i tworzącej 6√2
B. promieniu podstawy 3√2 i kącie rozwarcia 90∘
D. średnicy podstawy 6 i tworzącej 6
9. Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyźnie otrzymamy półkole o promieniu 20 cm. Oblicz
objętość tego stożka.
10. Powierzchnię boczną stożka tworzy wycinek koła o polu 75𝜋 cm2 i kącie środkowym 120∘. Oblicz pole
powierzchni całkowitej tego stożka.
11. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu trapezu prostokątnego o podstawach 2 cm i 6 cm
oraz wysokości 3 cm wokół dłuższej podstawy.
*12. Oblicz objętość stożka ściętego przedstawionego na rysunku.
*13. Przedstawiony na rysunku obok trapez równoramienny obraca-
5 cm
my wokół dłuższej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni
otrzymanej bryły.
2 cm
8 cm
*14. Bryłę 𝐵1 otrzymano, obracając trójkąt równoramienny o kącie
między ramionami równym 120∘ wokół prostej zawierającej podstawę. Bryłę 𝐵2 otrzymano, obracając taki sam trójkąt, ale wokół
prostej równoległej do podstawy i przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek. Która z tych brył ma większą objętość? Ile
razy?
*15. Wykaż, że objętość bryły powstałej poprzez obrót trójkąta prostokątnego równoramiennego wokół jego
przyprostokątnej jest większa niż objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego samego trójkąta wokół
jego przeciwprostokątnej.
*16. Kiedy otrzymamy bryłę o większej objętości: obracając trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30∘ i 60∘
wokół dłuższej przyprostokątnej czy wokół przeciwprostokątnej?
Klasa 3. Kula.
1. Pole powierzchni kuli o promieniu 9 cm jest równe:
A. 18𝜋 cm2
B. 162𝜋 cm2
C. 81𝜋 cm2
D. 324𝜋 cm2
2. Oblicz pole powierzchni kuli o promieniu 2,5 dm.
3. Czy do pudełka, którego wnętrze ma kształt walca o promieniu podstawy 10 cm i wysokości 16 cm, można
całkowicie schować kulę o objętości 972𝜋 cm3 ? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie.
objętość walca jest większa od objętości kuli.
TAK,
ponieważ
NIE,
promień kuli jest mniejszy od wysokości walca.
promień kuli jest większy od promienia podstawy walca.
wysokość walca jest mniejsza od średnicy kuli.
4. Metalową kulę o średnicy 20 cm przetopiono na jednakowe stożki o promieniach 5 cm i wysokościach
4 cm. Ile takich stożków otrzymano?
5. Obracając się wokół prostej, ćwiartka koła (patrz rysunek) wyznaczyła w przestrzeni
pewną bryłę. Objętość tej bryły wynosi:
500
A. 3 𝜋 cm3
125
B. 3 𝜋 cm3
250
C. 3 𝜋 cm3
D. 125𝜋 cm3
6. Pole koła wielkiego kuli 𝐾1 jest równe 64𝜋 cm2 , a powierzchnia kuli 𝐾2 jest równa 196𝜋 cm2 . Która kula
ma większą objętość?
7. Czy kulę o objętości 36𝜋 cm3 można przełożyć przez otwór o opisanym kształcie? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Prostokąt o wymiarach 5 cm i 7 cm.
TAK
NIE
Kwadrat o boku 6,5 cm.
TAK
NIE
Trójkąt równoboczny o wysokości 10 cm.
TAK
NIE
Koło o promieniu 2 cm.
TAK
NIE
8. Kulę przecięto płaszczyzną w odległości 8 cm od środka kuli i otrzymano koło o promieniu 6 cm. Oblicz
pole powierzchni tej kuli.