Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Zestaw zadań 3.1

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Zestaw zadań 3.1
Łukasz Kuśmierz
[email protected]
Zad. 1
Dokładne toczenie tłoka pompy paliwa silnika samochodowego ma dawać średnicę pewnej części
tłoka równą θ0 = 7.5 mm. Wykonano eksperyment, którego celem było sprawdzenie, czy zużycie
noża tokarki nie spowodowało zwiększenia wartości średniej θ interesujących nas średnic. Wykonano n = 50 pomiarów, a ich średnia arytmetyczna wyniosła x = 7.515 mm. Skądinąd wiadomo,
iż średnice produkowanych tłoków mają rozkład normalny o odchyleniu standardowym równym
0.05 mm. Przyjęto następujące hipotezy:
• Hipoteza zerowa:
H0 : θ = θ0
• Hipoteza alternatywna:
H1 : θ > θ0
a) Jakiego rodzaju są to hipotezy (prosta - złożona, parametryczna - nieparametryczna)?
b) Przyjmując poziom istotności α1 = 0.01 wyznacz zbiór krytyczny
c) Zdecyduj, czy należy odrzucić hipotezę zerową na poziomie istotności α1 . W tym celu
wyznacz statystykę testową
d) Jakie jest prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju (tzn. odrzucenia
hipotezy zerowej, gdy ta jest prawdziwa)?
e) Co zmieni się, jeśli zmienimy poziom istotności na α2 = 0.001 oraz α3 = 0.05?
f) Zakładając, że prawdziwa wartość oczekiwana średnic wynosi θ1 = 7.51 mm oblicz moc
testu dla podanych wcześnej poziomów istotności
g) Ile wynosi prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju (tzn. przyjęcia hipotezy zerowej, gdy ta jest fałszywa)?
h) Jak zmieni się moc testu, jeśli przyjmiemy, że prawdziwa wartość oczekiwana średnic
wynosi θ2 = 7.52 mm albo zwiększymy ilość pomiarów do n2 = 100?
Zad. 2
W procesie produkcji cyfrowych układów scalonych TTL jeden z pierwszych etapów polega na
wytworzeniu warstwy epitaksjalnej typu n. Pożądane jest otrzymanie warstwy grubości θ0 =
3.5 µm. Zakłada się, że otrzymywane grubości warstwy epitaksjalnej mają rozkład normalny o
wartości oczekiwanej θ i znanym odchyleniu standardowym σ = 0.7 µm. Zachodzi podejrzenie,
że średnia wartość grubości jest różna od wartości pożądanej. Pobrano próbę losową n = 100
płytek podłożowych i otrzymano średnią grubość warstwy w próbie równą x = 3.58 µm.
a) Zaproponuj hipotezy zerową i alternatywną
b) Wyznacz statystykę testową
c) Jakie wartości poziomu istotności dałyby podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej?
1
Zad. 3
Matematyczne modele zachowania się neuronu bywają bardzo złożone i wymagają uproszczenia, jeśli chce się otrzymane równania efektywnie rozwiązać i na tej podstawie np. przewidywać
dynamiczne zachowanie konkretnego układu neuronowego. Postanowiono zbadać adekwatność
przybliżonego modelu pewnego układu, opisującego reakcję szczura na zadany bodziec. Czas reakcji na bodziec obliczono na podstawie tego modelu i następnie sprawdzono jakie są prawdziwe
wartości czasu reakcji w próbie 24 szczurów. Zakładamy, że czasy reakcji możemy uznać za losowe i mające rozkład normalny. Wartość czasu reakcji obliczona z modelu wynosi θ0 = 3.54ms,
średnia w próbie x = 3.59 ms, natomiast odchylenie standardowe w próbie S = 0.18 ms (zauważ, że tym razem zarówno wartość oczekiwana jak i odchylenie standardowe są estymowane
na podstawie pomiarów).
a) Zaproponuj hipotezy zerową i alternatywną
b) Oblicz wartość statystyki testowej
c) Wyznacz p-wartość
d) Czy należy odrzucić model uproszczony?
Zad. 4
Występujące w układach scalonych klasyczne tranzystory domieszkowane złotem mają tzw. czas
magazynowania ładunku rzędu 7 ns. Producent ma nadzieję, że pewna zmiana technologii doprowadziła do zmniejszenia czasu magazynowania w nowych tranzystorach. Na podstawie niezależnych badań producent doszedł do wniosku, że przy stosowaniu obydwu technologii otrzymuje
się w przybliżeniu normalne rozkłady czasów magazynowania, oraz że odchylenie standardowe
obu rozkładów można uznać za takie same. Pobrał więc dwie niezależne próby losowe po 50
tranzystorów każda, pierwszą składającą się z tranzystorów produkowanych zgodnie ze starą
technologią i drugą składającą się z nowych tranzystorów. Z pomiarów czasów magazynowania
otrzymał x1 = 6.6 ns, x2 = 6.3 ns oraz sp = 0.5 ns (gdzie ostatnia wielkość oznacza wartość
estymatora odchylenia standardowego).
a) Zaproponuj hipotezy zerową i alternatywną
b) Oblicz wartość statystyki testowej i wyznacz p-wartość
c) Czy nowa technologia rzeczywiście skraca czas magazynowania ładunku?
Zad. 5
Jendym z testów, którymi rozpoczęto analizę nowego leku na nadciśnienie tętnicze było zaaplikowanie go próbie 22 chorych pacjentów, u których ciśnienie skurczowe było bliskie wartości 144
mmHg (różnice ciśnienia u pacjentów z próby sięgały około 1 mmHg). Ponieważ górna granica
normy tego ciśnienia wynosi 140, chciano sprawdzić, czy zastosowanie określonej terapii badanym lekiem daje obniżenie ciśnienia o około 5 mmHg. Takie postępowanie testowe wynika ze
sposobu prowadzenia terapii w leczeniu nadciśnienia - przy zadanej wartości ciśnienia , ustalona
dawka leku powinna spowodować jego obniżenie mniej więcej do poziomu górnej granicy normy.
Dla próby 22 pacjentów otrzymano wartość średnią spadku ciśnienia d = 5.3 oraz sD = 0.4.
Czy lek spełnia założenia terapii?
Tabela przydatnych wartości dystrybuant:
FN - dystrybuanta rozkładu normalnego
FT,n - dystrybuanta rozkładu t-Studenta o n √
stopniach swobody
√
FN ( 87 ) = 0.8735 FN (3.09) = 0.999 FN (3.09 − 2) = 0.953 FN (2.326) = 0.99 FN (2.326 − 2) =
√
0.819 FN (1.645) = 0.95 FN (1.645 − 2) = 0.591 FT,21 (3.518) = 0.999 FT,23 (1.361) = 0.9066
FT,98 (3) = 0.9066
2