Matematyka Dyskretna Skojarzenia - tw. Halla.

Transkrypt

Matematyka Dyskretna
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Skojarzenia - tw. Halla.
Spªaszczalno±¢, wzór Eulera, tw. Kuratowskiego
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Adam Kolany
http://kolany.pl
email: [email protected]
Twierdzenie Halla
Twierdzenie (Twierdzenie maª»e«skie, P. Hall, 1935)
G graf dwudzielny z klasami dwudzielno±ci X i Y , |X | = |Y | ma
skojarzenie doskonaªe (β1 (G ) = |X |) wtedy i tylko wtedy, gdy
(warunek Hall'a)
(∗) dla ka»dego podzbioru
Adam Kolany (IT, PWSZ)
S ⊆X
mamy |S | ¬ |N (S )|.
Skojarzenia - tw. Halla. Spªaszczalno±¢, wzór Eulera, . . .
2 / 1
Twierdzenie Halla
Twierdzenie (Twierdzenie maª»e«skie, P. Hall, 1935)
G graf dwudzielny z klasami dwudzielno±ci X i Y , |X | = |Y | ma
skojarzenie doskonaªe (β1 (G ) = |X |) wtedy i tylko wtedy, gdy
(warunek Hall'a)
(∗) dla ka»dego podzbioru
N (S )
S ⊆X
mamy |S | ¬ |N (S )|.
== { v : ∃w ∈S { v , w } ∈ E }
df
2 / 1
M, X0, Y0 ← ∅;
while ( x∈X\ M ) {
S
X0←X0∪{x};
if ( ! y∈N(x)\ M ) {
S
y∈N(X0)\ M; M←M\{ x* };
S
}
M←M∪{ xy }
}
return ( M );
3 / 1
Przykªad
4 / 1
Grafy planarne
5 / 1
Graf planarny
graf G = hV , E i,
6 / 1
Graf planarny
graf G = hV , E i, dla którego istnieje para odwzorowa«
6 / 1
Graf planarny
graf G = hV , E i, dla którego istnieje para odwzorowa« ϕ : V → R2
oraz ψ : E → C([0, 1], R2 ),
6 / 1
Graf planarny
oraz ψ : E → C([0, 1], R2 ), speªniaj¡cych warunki:
6 / 1
Graf planarny
I ψ(e ) s¡ ró»nowarto±ciowe i ci¡gªe,
6 / 1
Graf planarny
I ψ({ v , w }) { 0, 1 } = { ϕ(v ), ϕ(w ) },
v, w ∈ V ,
6 / 1
Graf planarny
I ψ({ v , w }) { 0, 1 } = { ϕ(v ), ϕ(w ) },
v, w ∈ V ,
I ψ(e ) (0, 1) ∩ ψ(f ) (0, 1) = ∅,
e , f ∈ E , e 6= f .
6 / 1
Graf planarny
I ψ({ v , w }) { 0, 1 } = { ϕ(v ), ϕ(w ) },
v, w ∈ V ,
I ψ(e ) (0, 1) ∩ ψ(f ) (0, 1) = ∅,
e , f ∈ E , e 6= f .
hϕ, ψi - reprezentacja grafu G
6 / 1
Twierdzenie (Fáryego-Wagnera)
7 / 1
Twierdzenie (Fáryego-Wagnera)
Dowolny graf planarny posiada reprezentacj¦ na pªaszczy¹nie, w której
ka»da krawed¹ jest odcinkiem lini prostej.
7 / 1
Grafy Kuratowskiego
8 / 1
Grafy Kuratowskiego
Twierdzenie
Grafy K5 i K3,3 s¡ nieplanarne.
8 / 1
Wzór Eulera
9 / 1
Wzór Eulera
Twierdzenie
9 / 1
Wzór Eulera
Twierdzenie
Niech hϕ, ψi b¦dzie reprezentacj¡ (Fáryego-Wagnera) grafu G .
9 / 1
Wzór Eulera
Twierdzenie
Niech hϕ, ψi b¦dzie reprezentacj¡ (Fáryego-Wagnera) grafu G .
Wówczas
f −e +n =2
9 / 1
Wniosek
Je±li G jest planarny, to
3
· f ¬ e ¬ 3n − 6
2
10 / 1
Dowód
...
11 / 1
Uwaga
Je±li G jest dwudzielny, to
4·f ¬2·e
12 / 1
Dowód (nieplanarno±ci K5 i K3,3 )
...
13 / 1
Rozstrzyganie planarno±ci
Uwaga (usuwanie kraw¦dzi szeregowych)
Je±li e , f 6∈ E , e 6= f oraz f ∩ g = { v } i deg(v ) = 2, to
hV , E ∪ { e , f }i
jest planarny
⇔
⇔
hV \ { v } , E ∪ { e ⊕ f }i
jest planarny
14 / 1
Przykªad
c
d
b
a
f
e
g
15 / 1
Przykªad
c
d
b
a
f
e
g
16 / 1
Przykªad
c
a
f
e
g
17 / 1
Przykªad
f
e
g
18 / 1
Przykªad
e
19 / 1
Grafy homeomorczne
Denicja
Grafy s¡ homeomorczne, je±li jeden z nich mo»na przeprowadzi¢
w drugi za pomoc¡ usuwania/wprowadzania kraw¦dzi szeregowych
20 / 1
Twierdzenie
Graf jest nieplanarny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podgraf
homeomorczny z K5 lub K3,3 .
21 / 1
A
b
c
B
a
C
22 / 1
A
b
c
B
a
C
23 / 1
A
b
c
B
a
C
24 / 1
I to by byªo na tyle . . .
25 / 1

Matematyka Dyskretna Skojarzenia - tw. Halla.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zagadnienia na ćwiczenia Algebra liniowa z geometrią analityczną

Świat horroru – horrory świata Plan sesji

więcej - spezial.pl

komunikat II - Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Wałbrzychu

12 kwietnia (ul. Nowy Świat 3, aula 409) 13.00

Czy Ziemia jest płaska? A może jednak?

Stawiali ogrodzenie, zamurowywali drzwi. Ale -jak podkreślają