Analiza matematyczna 2.3

Analiza matematyczna 2.3
Zastosowania całek potrójnych – kompendium
1. Objętość bryły U liczymy ze wzoru
ZZZ
|U | =
1 dV
U
Przykład: obliczmy objętość bryły ograniczonej powierzchniami: y = x2 , y + z = 4,
x = 0, z = 0. Wtedy U = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4 − y}.
Z
|U | =
2
Z
4
4−y
x2
2
Z
Z
4
x2
0
0
Z
4 − y dy =
dx
dz =
dy
dx
0
Z
Z
2
=
0
0
2
y2
4y −
2
4
dx
x2
2
4 3 x5
x4
128
dx = 8x − x +
8 − 4x +
=
2
3
10 0
15
2
2. Masa bryły U o gęstości zadanej funkcją γ(x, y, z) wyraża się wzorem
ZZZ
M (U ) =
γ(x, y, z) dV
U
Przykład: obliczmy masę kuli o promieniu R, której gęstość masy w każdym punkcie
jest równa kwadratowi odległości tego punktu od środka kuli.
Jeśli umieścimy środek kuli w poczatku układu współrzędnych, to we współrzędnych
sferycznych funkcja gęstości ma wzór γ(ρ) = ρ2 . Jeśli U oznacza nasza kulę, to
przechodząc do współrzędnych sferycznych otrzymamy
ZZZ
Z
γ(x, y, z) dV =
U
2π
Z
π/2
dϕ
0
Z
dψ
−π/2
R
ρ2 · ρ2 cos ψ dρ
0
= 2π ·
π/2
[sin ψ]−π/2
ρ5
·
5
R
0
4
= πR5
5
3. Środek masy bryły U o gęstości zadanej funkcją γ(x, y, z) ma współrzędne
SY Z SXZ SXY
,
,
,
M
M
M
gdzie M jest masą bryły U , a SY Z , SXZ , SXY oznaczają momenty statyczne U
względem płaszczyzn Y Z, XZ, XY obliczane ze wzorów:
Z
SY Z =
x · γ(x, y, z) dV
Z
SXZ =
y · γ(x, y, z) dV
Z
SXY =
x · γ(x, y, z) dV
1
4. Moment bezwładności względem osi 0X, 0Y i 0Z to odpowiednio
Z
MX = (y 2 + z 2 ) · γ(x, y, z) dV
Z
MY = (x2 + z 2 ) · γ(x, y, z) dV
Z
MZ = (x2 + y 2 ) · γ(x, y, z) dV.
Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych to
Z
M0 = (x2 + y 2 + z 2 ) · γ(x, y, z) dV.
Uwaga. Podobne wzory obowiązują dla obszarów płaskich obszarów, ale ze zmienionymi
całkami potrójnymi na podwójne, np. masa obszaru płaskiego D o gęstości γ(x, y) to
ZZ
γ(x, y, z) dx dy.
D
2