O pewnym modelu pojawiania się szkód

Rafał M. Łochowski
Szkoła Główna Handlowa w Warszawie
O pewnym modelu
pojawiania się szkód
Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna
Zagadnienia aktuarialne – teoria i praktyka
Warszawa, IE SGH 2009
Modele pojawiania się szkód
Model Poissona
◦ Zalety: brak pamięci, możliwość modelowania
intensywności pojawiania się szkód w czasie za
pomocą funkcji intensywności
◦ Wady: brak możliwości modelowania intensywności w
zależności od liczby zaistniałych szkód
Model Sparre-Andersena (proces odnowy)
◦ Zalety – uogólnienie jednorodnego procesu Poissona,
inne niż niejednorodny proces Poissona czy nawet
proces Coxa
◦ Wady – brak możliwości modelowania intensywności
w zależności od liczby zaistniałych szkód (jak w
przypadku procesu Poissona), co więcej - brak
możliwości modelowania liczby szkód w czasie
Założenia prowadzące do pewnego
innego modelu
1.
2.
3.
W portfelu firmy ubezpieczeniowej
znajduje się n niezależnych ryzyk
Każde ryzyko może wygenerować
dokładnie jedną szkodę, po czym wygasa
Prawdopodobieństwo zajścia szkody w
przedziale [t, t+∆] (po warunkiem, że
nie zaszła wcześniej) zależy tylko od ∆ i
jest takie samo dla każdego z ryzyk
Wnioski płynące z założeń
Z założenia 3. wynika, że czas oczekiwania
na szkodę wygenerowaną przez
pojedyncze, i-te ryzyko, Ti, jest
wykładniczy z takim samym
parametrem λ dla każdego z ryzyk
Z niezależności ryzyk wynika, że czasy
oczekiwania są niezależne
Wnioski, c.d.
Niech T(1) ≤ T(2) ≤ … ≤ T(n) będą statystykami pozycyjnymi ciągu T1,T2,...,Tn
T(i) – moment napłynięcia i-tej szkody
Łatwo można udowodnić (Feller, T. II), że
czasy między kolejnymi szkodami
T(1) ~ Exp(nλ),
T(2) - T(1) ~ Exp((n-1) λ),
…………………………………….,
T(n) - T(n-1) ~ Exp(λ)
są niezależnymi zmiennymi losowymi
Proces liczby szkód
Niech
Lt = max{k:T(k) ≤ t}
oznacza liczbę szkód, które napłynęły do
momentu t
Bardzo łatwo udowodnić, że
Lt ~ Bin(n, 1-exp(-λt))
Wniosek – nie jest to ani proces
Poissona ani proces Sparre-Andersena!
(warunkowany, że liczba szkód nie
przekracza n)
Parę rysunków
Własności procesu liczby szkód
Proces nie ma przyrostów niezależnych
Jest to proces Markowa (co wynika z braku
pamięci rozkładu wykładniczego)
o następujących prawdopodobieństwach
przejścia
(Lt_k – Lt_k-1 | Lt_1 ,Lt_2 ,…,Lt_k-1 )~
Bin(n- Lt_k-1, 1-exp(-λ(tk-tk-1))
Obserwacja: gdy n→∞, λ n → λ0,
wówczas nasz proces zbiega (w jakim
sensie?) do procesu Poissona o
intensywności λ0
Uogólnienie modelu
Niech ∆1 ~ Exp(λ 1), ∆2 ~ Exp(λ 2),…, ∆n ~ Exp(λ n)
będą niezależnymi zmiennymi losowymi
Niech
T(1) = ∆ 1,
T(2) = ∆1 + ∆ 2,
……………..,
T(n) = ∆1 + ∆ 2 + … + ∆ n
Uwaga: T(i) nie jest statystyką pozycyjną!
Uwaga: dopuszczamy n=∞
∆i są czasami między kolejnymi szkodami
T(i) są momentami pojawiania się kolejnych szkód
Uogólnienie modelu, c.d.
Ponownie, niech
Mt = max{k:T(k) ≤ t}
oznacza liczbę szkód, które napłynęły do
momentu t (Mt – czysty proces urodzin)
Rozkład zmiennej Mt?
λ 1= λ2 =…= λ, (Mt) - proces Poissona
λ 1= λn,λ2= λ(n-1),…, λn= λ, (Mt) – „nasz”
model
λ 1= λ,λ2= 2λ,…, - (Mt) – proces Yule’a (Mt
ma rozkład geometryczny, Feller, T. I)
Rozkład Mt dla dowolnych λ 1, λ 2 …
W ogólnym przypadku rozkład Mt można
najprościej otrzymać za pomocą metody
Monte Carlo
Przykład: t=1,
(λ 1, λ2,…, λ10) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7)
Histogram
of sample of M_1 vs. its distribution
0.4
0.3
0.2
0.1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dynamika procesu (M
(Mt)
Oznaczmy
P(Mt=k)=:P(k;t; λ 1 , λ2 ,… )
Proces (Mt) jest procesem Markowa
Proces (Mt) nie ma niezależnych
przyrostów, lecz
P(Mt_k-Mt_k-1=k | Mt_k-1=m , …,Mt_1)
=P(k; tk-tk-1; λm, λm+1,…)
Proces (M
(Mt) - uwagi
Dla n=∞ nie jest jasne czy zdefiniowany
proces nie eksploduje (z niezerowym
prawdopodobieństwem napłynie
nieskończona liczba szkód)
Można podać analityczne formuły na
P(k;t; λ 1 , λ2 ,… ),
formuły te są jednak skomplikowane
i numerycznie niestabilne
Zachodzi pytanie o przydatność
uogólnionego modelu do modelowania
pojawiania się szkód
Problem eksplozji i istnienia
momentów procesu (M
(Mt)
Warunek konieczny i wystarczający na
brak eksplozji (Feller, T. I)
∞
1
∑ λ = +∞
k =1 k
∞
Warunek wystarczający na istnienie
momentu rzędu p≥1
p −1
k
∑ 1 + α / λ 1 + α / λ ... 1 + α / λ = +∞
k =1 (
(
1 )(
2)
2)
dla pewnego α > 0
Formuły analityczne
Jeżeli λ1,..., λn są parami różne, wówczas
 k  k 1 − exp (−ti x i )
P (M t = k ) = ∏ x j  ∑
k
 j =1  i =1
x i ∏ (x j − x i )
j =1, j ≠i
 k +1  k +1 1 − exp (−ti x i )
− ∏ x j  ∑
, dla k = 1,2,..., n − 1
k
+
1
 j =1  i =1
x i ∏ (x j − x i )
j =1, j ≠i
Formuły te można uzyskać za pomocą
metod odwrotnej transformaty Fouriera i
rachunku residuów
Zastosowanie formuł – obliczanie
rozkładów
(λ 1, λ2,…, λ10) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7),
t=0.2, t=0.6
Distribution
Distribution
of M_t , t=0.2
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
of M_t , t=0.6
n
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zastosowanie formuł – obliczenie
rozkładów, c. d.
(λ 1, λ2,…, λ10) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7),
t =1, t=1.8
of M_t , t=1
Distribution
Distribution
of M_t , t= 1.8
0.25
0.4
0.2
0.3
0.15
0.2
0.1
0.1
0.05
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zastosowanie formuł – obliczenie
rozkładów, c. d.
(λ 1, λ2,…, λ10) = (3,1,4,1.5,9,2,6,5.3,8,9.7),
t =2.6, t=3.4
Distribution
of M_t , t=2.6
Distribution
of M_t , t=3.4
0.3
0.5
0.25
0.4
0.2
0.3
0.15
0.1
0.2
0.05
0.1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ewolucja wartości oczekiwanej
Evolution
of EHM_t L
10
8
6
4
2
t
1
2
3
4
5
6
7
Ewolucja wariancji
Evolution
of Var HM_t L
10
8
6
4
2
t
2
4
6
8
Uwagi nt. przydatności
Rodzina możliwych rozkładów zmiennych Mt jest
bardzo bogata i obejmuje rozkłady o skończonej
jak i o nieskończonej liczbie wartości
Czyste procesy urodzin pozwalają na
modelowanie „intensywności” napływania szkód
w zależności od dotychczasowej ich liczby
Wydaje się jednak, że sama rodzina czystych
procesów urodzin może być niewystarczająca.
Propozycja – bardziej adekwatnym modelem
może być uogólnienie czystego procesu urodzin,
w którym λ 1, λ2 … jest łańcuchem Markowa.
Bibliografia
Cox, D. R., Renewal Theory, Methuen & Co.
1962
Łochowski, R. On certain model of claim
arrival,
http://akson.sgh.waw.pl/~rlo
cho/LochowskiWIEM09.pdf
Pytania, komentarze?
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!