Instrukcja i temat ćwiczenia nr 3

Sławomir Milewski
Metody komputerowe - laboratorium - instrukcja wykonania ćwiczenia 3
Ćwiczenie 3 - Analiza numeryczna ustalonego przepływu ciepła za pomocą MRS/BMRS.
Dla wybranego obszaru zbudowanego tylko z krawędzi prostych pionowych i poziomych (bez
otworów) rozwiązań zadanie ustalonego przepływu ciepła. Przyjąć materiał izotropowy
(współczynnik przewodnictwa cieplnego k), temperaturę brzegową (wspólną dla wszystkich
krawędzi brzegowych) Tb , oraz funkcję intensywności generacji ciepła wewnątrz obszaru
z = f ( x, y ) . Obliczenia przeprowadzić dla dwóch wariantów:
a) siatka regularna (o jednym module h) i klasyczna MRS,
b) siatka nieregularna i bezsiatkowa MRS.
Obliczenia przeprowadzić w środowisku Matlab. Wyniki obliczeń porównać z wynikami z
programu Heatmil. W programie Heatmil wykonać również obliczenia dla gęstej siatki.
Obszar i dane proszę dobrać samodzielnie. Przykładowe zadanie:
Dane: współczynnik przewodnictwa cieplnego k = 7 [J / ºCms], funkcja intensywności
 J 
generacji ciepła wewnątrz obszaru f ( x, y ) = (20 x − 30 y + 10)  2  , temperatura brzegowa
m s 
Tb = 10 [ºC]. Wymiary obszaru podane są na rys. powyżej.
Pierwsza regularna siatka pokazana jest na rys. poniżej - jej moduł to h = 1m.
1
Sławomir Milewski
Metody komputerowe - laboratorium - instrukcja wykonania ćwiczenia 3
W programie Matlab należy edytować przygotowany plik BMRS.m, dostępny na stronie www
przedmiotu (poniżej instrukcji do ćwiczenia 3).
W pierwszej sekcji DANE należy wprowadzić wszystkie dane liczbowe, wyszczególnione w
komentarzach.
W drugiej sekcji OBLICZENIA MRS (siatka regularna) należy:
− określić współrzędne x-owe węzłów X (w kolejności wg numeracji z rys., można
stosować skrótową notację zakresu od:do),
− określić współrzędne y-owe węzłów Y,
− wpisać wzór (w zależności od X i Y) dla funkcji f,
− określić numery węzłów wewnętrznych (WW) oraz węzłów brzegowych (wektor
WB).
− określić węzły wszystkich gwiazd budowanych dla węzłów wewnętrznych obszaru
(macierz GW), w takiej kolejności, jak w wektorze WW: pierwszy wiersz to numer
środkowy gwiazdy, potem kolejno: południe, wschód, północ, zachód), każdy wiersz
ma 5 wyrazów (bo gwiazda ma pięć węzłów), liczba wierszy to liczba gwiazd = liczba
węzłów wewnętrznych w obszarze.
Program powinien narysować regularną siatkę, oraz obliczyć temperaturę w węzłach oraz
podać wartości ekstremalne temperatur. Wyniki tekstowe zostaną wyświetlone w Command
Window.
W drugiej sekcji OBLICZENIA BMRS (siatka nieregularna) należy wygenerować siatkę
nieregularną, posługując się wygenerowaną wcześniej siatką regularną i dodając kilka
węzłów, np. w okolicach naroży obszaru (tam, gdzie rozwiązanie jest najmniej dokładne).
Zmianie ulegają wektory X i Y, a także zmienne n (całkowita liczba węzłów) oraz wektor
WW i zmienna nw (w przypadku dołożenia węzłów wewnętrznych) lub/i wektor WB i
zmienna nb (w przypadku dołożenia węzłów zewnętrznych). W rozważanym przypadku
dołożono trzy węzły wewnętrzne: (1.5, 2.5), (1.5, 1.5) oraz (2.5, 1.5). Wystarczy zatem
dopisać do każdego z wektorów X i Y po trzy elementy na trzech kolejnych miejscach pozostałe współrzędne pozostają bez zmian, dopisać numery tych węzłów do wektora WW
oraz zwiększyć o 3 zmienne n i nw. Taką przykładową siatkę nieregularną pokazuje poniższy
rys.
W dalszej kolejności należy:
− jeszcze raz określić wzór na f - współrzędne X i Y uległy zmianie,
− podać współrzędne dowolnego punktu wewnątrz obszaru x0, y0, nie pokrywającego
się z węzłem - w tym punkcie obliczona zostanie dodatkowo temperatura,
− określić liczbę węzłów każdej z gwiazd (zmienna lwg). Liczba powinna zapewniać
dobre uwarunkowanie gwiazdy, dla operatorów drugiego rzędu powinna się mieścić w
przedziale od 9 do 16. Liczba ta nie może też przekraczać całkowitej liczby węzłów n.
2
Sławomir Milewski
Metody komputerowe - laboratorium - instrukcja wykonania ćwiczenia 3
Uruchomiony program pokaże podobne wyniki, jak dla MRS, oraz dodatkowo temperaturę w
punkcie (x0, y0).
WERYFIKACJA obliczeń za pomocą programu Heatmil - program Heatmil jest również
napisany w Matlabie, zatem wyniki obliczeń z poprzedniego programu można skopiować np.
w postaci tekstu z Command Window i przechowywać w notatniku, w programie Word itp.
Program Heatmil znajduje się na stronie www przedmiotu - w postaci pliku heatmil.zip. Plik
ten należy ściągnąć, zapisać w wybranej lokalizacji, a następnie rozpakować archiwum do
osobnego katalogu. W katalogu tym należy edytować w Matlabie plik heatmil.m, a następnie
go uruchomić. Kolejne kroki prowadzące do zamodelowania powyższego zadania wyglądają
następująco:
1. Wybór języka interfejsu użytkownika - z listy "polski".
2. Wybór metody MRS: USTAWIENIA -> USTAWIENIA MODELU: Z pierwszej listy
należy wybrać METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH (MRS). Następnie należy
wybrać AKTUALIZACJA DANYCH.
3. Modelowanie geometrii (punkty): OBSZAR -> PUNKTY KRAWĘDZI. Należy
wprowadzić TYLKO współrzędne punktów wierzchołkowych tworzących brzeg
obszaru (a nie wszystkie węzły), czyli w rozważanym przypadku P1: (0,0), P2: (5,0),
P3: (5,2), P4: (2,2), P5: (2,3), P6: (0,3). Po każdorazowym wpisaniu współrzędnych
potwierdzany "Dodanie nowego punktu" - zostanie on wyświetlony na rysunku obok.
4. Modelowanie geometrii (linie): OBSZAR -> LINIE KRAWĘDZIOWE. Jeżeli punkty
wierzchołkowe podawane były po kolei, w porządku tworzącym kontur, można
wybrać "AUTOMATYCZNE TWORZENIE LINII BRZEGOWYCH". Jeżeli nie,
należy budować kontur linia po linii, podając numery punktów: początkowego i
końcowego.
5. Modelowanie materiały: MODEL -> MATERIAŁ. W okienku, dla materiału
izotropowego, należy podać tę samą wartość stałej k dla kx i ky.
6. Modelowanie obciążenia: MODEL -> OBCIĄŻENIE. W okienku należy wpisać
postać funkcji f(x,y), pamiętając o operacjach algebraicznych (* / + -); w rozważanym
przypadku należy wpisać 20*x-30*y+10.
3
Sławomir Milewski
Metody komputerowe - laboratorium - instrukcja wykonania ćwiczenia 3
7. Modelowanie warunków brzegowych (na temperaturę): MODEL -> WARUNKI
BRZEGOWE. Dla wszystkich linii brzegowych należy wybrać z list:
TEMPERATURA i wpisać wartość, w rozważanym przypadku 10. Po wpisaniu
temperatury 10 należy wybrać AKTUALIZACJA DANYCH.
8. Generacja siatki: SIATKA -> GENERACJA AUTOMATYCZNA. Należy tak dobrać
obydwa parametry gęstości (jako małe liczby całkowite, ale większe niż 1), by
uzyskać siatkę jak na rys. powyżej. W rozważanym przypadku będą to liczby: 2 i 2.
Jeżeli nie jest to możliwe, należy węzły wygenerować ręcznie, tj. SIATKA ->
GENERACJA RĘCZNA.
9. Przeprowadzenie obliczeń: OBLICZENIA -> START.
10. Przeglądanie wyników w formie graficznej i tekstowej: REZULTATY -> WYNIKI
WĘZŁOWE - TEMPERATURA i REAKCJE. Pokaże się wektor temperatur
węzłowych, wykres temperatury oraz wartości ekstremalne (w opisie rysunku).
11. Zapis / odczyt danych do modelu odbywa się poprzez opcje w menu DANE. Zapis
pliku tekstowego z wynikami znajduje się w menu REZULTATY.
12. Wybór metody BMRS: USTAWIENIA -> USTAWIENIA MODELU: Z pierwszej
listy należy wybrać BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
(BMRS). Można też ustawić liczbę węzłów w gwieździe (obszar). Następnie należy
wybrać AKTUALIZACJA DANYCH.
13. Dodanie nowych węzłów: SIATKA -> GENERACJA RĘCZNA. Należy wpisać
współrzędne pierwszego nowego węzła (1.5, 2.5), a następnie wybrać DODANIE
DODATKOWEGO WĘZŁA. Czynność należy powtórzyć dla nowych węzłów (1.5,
1.5) oraz (2.5, 1.5). Dodane węzły są nieaktywne (jeszcze nie należą do siatki). Aby je
uaktywnić w siatce, należy je zaznaczyć (lista po lewej stronie) i wybrać
WŁĄCZ/WYŁĄCZ DODATKOWE WĘZŁY. Wtedy na rys. węzłom tym zostaną
przypisane kolejne numery (tu: 22, 23 i 24).
14. Powtórzyć czynności 9-10. Dodatkowo można obliczyć temperaturę w wybranym
punkcie: REZULTATY -> WYNIKI W DOWOLNYM PUNKCIE, podając jego
współrzędne i wybierając AKTUALIZACJA DANYCH.
4