Dr Katarzyna Kocot-Górecka - E-SGH

ZMIENNE LOSOWE
SKOKOWE
1. Na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω={
zdefiniowano zmienną losową w
następujący sposób:
, zdarzenia elementarne są
jednakowo prawdopodobne.
a) Wyznacz rozkład tak zdefiniowanej zmiennej losowej
b) Podaj parametry
c) Wyznacz i przedstaw graficznie dystrybuantę.
2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej:
-2
0,10
-1
0,30
0
0,65
1
0,85
2
1
Obliczyć parametry zmiennej losowej oraz wyznaczyć dominantę i medianę.
3. Analitycy giełdowi zalecają inwestowanie kapitałów w międzynarodowe portfele papierów
wartościowych. Pewien doradca inwestycyjny jest przekonany, że rozkład prawdopodobieństwa stopy
przychodu (w % na rok) z pewnego portfela w rejonie Pacyfiku jest następujący:
xi
pi
5
0,05
a)
b)
c)
d)
e)
6
0,15
7
0,30
8
0,20
9
0,15
10
0,10
11
0,05
Czy funkcja pi jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że stopa przyrostu wyniesie, co najmniej 8%?
Wyznacz dystrybuantę stopy przychodu.
Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe tej zmiennej.
Odchylenie standardowe stopy przychodu z określonej lokaty kapitału powszechnie jest
uznawane za miarę ryzyka związanego z tą lokatą. Wiedząc, że oczekiwana stopa przychodu z
pewnej lokaty inwestycyjnej w Europie jest identyczna, zaś odchylenie standardowe wynosi
1%, oceń, która lokata jest bardziej bezpieczna.
4. Na podstawie badań przeprowadzonych przez pewną firmę ubezpieczeniową stwierdzono, że w
ciągu roku 30% ubezpieczanych mieszkań staje się obiektem kradzieży. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że wśród 9 ubezpieczonych mieszkań:
a) więcej niż 1 mieszkanie będzie okradzione;
b) co najmniej 4 mieszkania będą okradzione.
Egzaminowany otrzymuje 10 pytań z trzema odpowiedziami, z których jedna jest właściwa. Do
zdania egzaminu wystarczy podkreślić 6 dobrych odpowiedzi.
a. Oblicz prawdopodobieństwo zdania egzaminu przy założeniu całkowitej ignorancji zdającego.
b. Jaka jest oczekiwana liczba dobrych odpowiedzi?
c. Wyznacz i zinterpretuj odchylenie standardowe.
5.
6.
W statystycznej kontroli jakości partia wyrobów zostaje zaakceptowana jako dobra tylko
wtedy, gdy liczba sztuk wadliwych w stosunku do liczebności całej partii nie przekracza pewnej z
góry określonej wartości. Przypuśćmy, że w dużej partii wyrobów jest 20% sztuk wadliwych. Pobrano
próbę liczącą 20 sztuk. Procedura kontrolna przewiduje zaakceptowanie partii wyrobów tylko wtedy,
gdy nie więcej niż 1 sztuka na 20 okaże się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia
wyrobów zostanie zaakceptowana?
7. W schemacie 4 prób Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania, co najmniej jednego sukcesu
wynosi ½. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu przy jednej próbie?
ROZKŁAD NORMALNY
1. Zużycie paliwa ( w l. na 100 km) w samochodzie Fajne-Auto ma rozkład normalny z
parametrami 8 ; 1,2 .
a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zużycie paliwa w losowo wybranym
samochodzie nie przekroczy 9,2 litra.
b) Podać interpretację graficzną wyniku z punktu a) na wykresie funkcji gęstości.
c) Obliczyć prawdopodobieństwo zużycia w przedziale od 7 do 8 litrów.
2. Średnice zwierciadeł w teleskopach produkowanych przez firmę Skywatcher są zmiennymi
losowymi o rozkładzie N(15 cm; 0,05 cm).
a. Jaki procent zwierciadeł ma średnicę większą niż 14,9 cm?
b. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia teleskopu ze zwierciadłem o średnicy równej
15 cm z dokładnością do 0,001 cm?
3. Zmienna losowa X określona jako czas budowania piramid Majów ma rozkład normalny z
odchyleniem standardowym 15 lat. Wiadomo, że 84,13% piramid zbudowano w czasie
krótszym niż 70 lat. Ile najczęściej trwała budowa piramid?
4. Na uniwersytecie w Cośłapie rozpisano konkurs na stypendia naukowe, które może
otrzymać, co najwyżej 2,5% studentów - kandydatów. Kryterium otrzymania tego stypendium
jest jak najwyższy iloraz inteligencji (IQ). Jaki iloraz powinien posiadać kandydat, aby
uzyskać stypendium, jeżeli rozkład zmiennej losowej IQ w zbiorowości wszystkich
kandydatów jest N(100,15)?
5. Czas oczekiwania na połączenie z Biurem Obsługi Klienta jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym.
a) Ile wynosi przeciętne zróżnicowanie czasu oczekiwania na połączenie, jeżeli 50% osób
stwierdza, iż czeka krócej niż 5 min, a 69,15% - nie dłużej niż 5,75 min?
b) Ile co najwyżej będzie czekała na połączenie osoba należąca do 1% osób oczekujących
najkrócej?
[6.] Na obu uczelniach student na egzaminie ze statystyki uzyskał 70 pkt. Na uczelni A
i s=5, a na uczelni B
i s=10. Na której uczelni student uzyskał lepszy
wynik?
7. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne:
a) Zmienna X ma rozkład N(15,2), zmienna Y ma rozkład N(12,2): P(X > 17) czy P(Y<11)?
b) Zmienna X ma rozkład N(15,2), zmienna Y ma rozkład N(12,3): P(X > 19) czy P(Y>19)?
Można to rozwiązać bez wykonywania obliczeń.
8. Zmienna losowa X ma rozkład N(5,2) zaś zmienna Y - rozkład N(3,1). Wyznaczyć
prawdopodobieństwo, że zmienna Z = X + Y przyjmie wartość większą niż 5.
9. X:N(2; 2) i Y:N(-3; 3) to niezależne zmienne losowe. Wyznacz: E(2X+Y); D2(X-Y);
D2[(1/3)*(2X+3Y)]; E(X*Y)