Wybrane zagadnienia algebry

Transkrypt

Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: [email protected])
Maj 1995
Spis treści
1 Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...
1.1 Algebra tensorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Algebra zewnętrzna . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Algebra symetryczna . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Algebra Clifforda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
4
6
2 Algebra obejmująca
2.1 Definicja i istnienie . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Twierdzenie Poincaré-Birkhoffa-Witta . . . .
Algebry Weyla . . . . . . . . . . . . .
2.4 Elementy prymitywne . . . . . . . . . . . . .
2.5 Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
10
10
11
3 Derywacje algebr łącznych
3.1 Pojęcia wstępne . . . . . .
3.2 Algebra tensorowa . . . .
3.3 Algebra zewnętrzna . . .
3.4 Algebra symetryczna . . .
3.5 Algebra obejmująca . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
14
15
4 Algebry proste
4.1 Algebry centralne . . . . . . . .
4.2 Iloczyn tensorowy algebr . . . .
4.3 Algebry proste . . . . . . . . .
4.4 Moduły proste . . . . . . . . .
4.5 Minimalne ideały . . . . . . . .
4.6 Twierdzenie Skolema - Noether
4.7 Grupa Brauera . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
18
18
18
19
19
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
skończonym .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
21
22
22
22
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Grupy skończone
5.1 Grupy rozwiązalne . . . . . .
5.2 Grupa diedralna . . . . . . .
5.3 Twierdzenia Sylowa . . . . .
5.4 Grupy macierzowe nad ciałem
Grupa specjalna . . .
5.5 Centrum grupy . . . . . . . .
5.6 Automorfizmy . . . . . . . . .
i
Andrzej Nowicki, 1995
ii
Automorfizmy grupy symetrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Automorfizmy Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Reprezentacje grup
6.1 Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu
6.2 Podstawowe definicje i fakty . . . . . . . . . .
6.3 Algebra grupowa . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . .
6.5 Charaktery reprezentacji . . . . . . . . . . . .
6.6 Reprezentacja regularna . . . . . . . . . . . .
6.7 Reprezentacje zespolone grup abelowych . . .
6.8 Reprezentacje grupy Sn . . . . . . . . . . . .
23
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
25
26
26
27
28
29
7 Ogólna teoria Galois
7.1 Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Teoria Galois przestrzeni wektorowych . . . . .
7.3 Przyporządkowanie Jacobson-Bourbaki . . . . .
7.4 Teoria Galois rozszerzeń czysto nierozdzielczych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
31
31
32
8 Działania grup skończonych na ciała
8.1 Twierdzenie Hilberta o nierozkładalności . . . . . .
8.2 Problem odwrotny w teorii Galois . . . . . . . . .
8.3 Problem E. Noether . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stare wyniki dotyczące problemu Noether .
Wyniki dla grup abelowych . . . . . . . . .
Wyniki dla ciała algebraicznie domkniętego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
33
34
35
35
9 Pierścienie nieprzemienne
9.1 Ułamki Ore’go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Wymiar Gelfanda-Kirillova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Centroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
36
37
10 Zagadnienia różne
10.1 Charaktery . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakter grupy . . . . . . . . . . . .
Charakter łącznej algebry nad ciałem
Charakter grupy topologicznej . . . .
Charaktery w teorii liczb . . . . . . .
39
39
39
39
39
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Spis cytowanej literatury
40
Indeks
42
1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...
1
1
Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...
Niech R będzie pierścieniem przemiennym z 1. Rozważać będziemy łączne R-algebry z 1. Przez R M i
R A oznaczamy odpowiednio kategorię R-modułów (lewych) i kategorię łącznych R-algebr z jedynką.
1.1
Algebra tensorowa
Definicja 1.1.1. Algebrą tensorową R-modułu M nazywamy parę (T, ρ), w której T jest R-algebrą,
ρ : M −→ T jest homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności:
Dla każdej R-algebry A i dla każdego homomorfizmu R-modułów ψ : M −→ A istnieje dokładnie
jeden R-algebrowy homomorfizm f : T −→ A taki, że f ρ = ψ.
Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia.
Stwierdzenie 1.1.2. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M , to ρ : M −→ T jest homomorfizmem różnowartościowym. Stwierdzenie 1.1.3. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M , to obraz ρ(M ) generuje algebrę
T nad R. Stwierdzenie 1.1.4. Jeśli (T, ρ), (T 0 , ρ0 ) są algebrami tensorowymi R-modułu M , to R-algebry T i
T 0 są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : T −→ T 0 , β : T 0 −→ T takie,
że αβ = id, βα = id, αρ = ρ0 , βρ0 = ρ. Dowody powyższych stwierdzeń (jak również dowody pewnych dalszych faktów) są w PN2 138 - 149, ZadAlg3 32 37, SemSt2 , [16] 451.
Twierdzenie 1.1.5. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra tensorowa (T (M ), ρ).
Konstrukcja. Niech T 0 (M ) = R,
T 1 (M ) = M oraz T n (M ) = M ⊗n = M ⊗ · · · ⊗ M . Niech
∞
{z
}
|
M
n
T n (M ) (suma prosta R-modułów).
T (M ) =
n=0
Definiujemy mnożenie w T (M ) przez regułę:
(a1 ⊗ · · · ⊗ an )(b1 ⊗ · · · ⊗ bm ) = a1 ⊗ · · · ⊗ an ⊗ b1 ⊗ . . . bm .
Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Homomorfizm ρ : M −→ T (M ) jest włożeniem
m 7→ m ∈ T 1 (M ) = M . Niech (T (M ), ρ), (T (M 0 ), ρ0 ) będą algebrami tensorowymi odpowiednio R-modułów M i M 0 . Jeśli
f : M −→ M 0 jest homomorfizmem R-modułów, to z definicji algebry tensorowej wynika, że istnieje
dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : T (M ) −→ T (M 0 ) taki, że f ρ = ρ0 f . Homomorfizm
ten oznaczamy przez T (f ). Jeśli algebry T (M ), T (M 0 ) są takie, jak w powyższej konstrukcji, to
T (f )(a1 ⊗ · · · ⊗ am ) = f (a1 ) ⊗ · · · ⊗ f (am ),
dla wszystkich a1 , . . . , am ∈ M . Ponadto, T (f ) | M = f .
Wniosek 1.1.6. T jest funktorem kowariantnym z kategorii
RM
do kategorii
R A.
Stwierdzenie 1.1.7. Funktor T :R M −→R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania ξ :R
A −→R M, tzn. istnieje naturalna równoważność funktorów R A(T (∗), ) ≈ R M( ∗ , ξ( )). (Dowód
patrz PN2 143 lub SemSt2 ) 1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...
2
Przykład 1.1.8.
(1) T (0) = R.
(2) T (R) = R[t], gdzie R[t] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej.
(3) Jeśli M jest modułem wolnym o bazie {ei ; i ∈ I}, to T (M ) jest R-algebrą nieprzemiennych
wielomianów nad R zniennych {xi ; i ∈ I}. (Dowody: PN2 146 − 148) Uwaga 1.1.9. Ponieważ funktor T :R M −→R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania,
więc funktor T zachowuje kogranice. Stąd w szczególności wynika, że R-algebra postaci T (M ⊕ N )
jest koproduktem w kategorii R A. Zwróćmy uwagę, że w kategorii R A iloczyn tensorowy A ⊗ B nie jest
koproduktem (ma to miejsce w kategorii R-algebr przemiennych). Nie jest więc na ogół prawdą, że Ralgebra T (M ⊕ N ) jest równa R-algebrze T (M ) ⊗ T (N ). Widać to już w przypadku, gdy M = N = R.
Algebra T (R)⊗T (R) jest R-algebrą przemiennych wielomianów dwóch zmiennych. Natomiast T (R⊕R)
jest R-algebrą nieprzemienną (jest to R-algebra nieprzemiennych wielomianów dwóch zmiennych). 1.2
Algebra zewnętrzna
Literatura: SemSt2 , AP1 73, PN2 210, [16]455.
Definicja 1.2.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M −→ A homomorfizmem
R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest nil-homomorfizmem jeśli f (m)2 = 0, dla wszystkich
m ∈ M.
V
V
Definicja 1.2.2.
Algebrą zewnętrzną R-modułu M nazywamy parę ( , ϕ), w której jest R-algebrą,
V
ϕ : M −→
jest nil-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność
uniwersalności:
Dla każdej R-algebry A i dla
V każdego nil-homomorfizmu ψ : M −→ A, istnieje dokładnie jeden
R-algebrowy homomorfizm f : −→ A taki, że f ϕ = ψ.
Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia.
V
Stwierdzenie 1.2.3. Jeśli ( , ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to ϕ : M −→ S jest homomorfizmem różnowartościowym. V
Stwierdzenie
1.2.4. Jeśli ( , ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to obraz ϕ(M ) generuje alV
gebrę
nad R. V
V0
V
Stwierdzenie
1.2.5. Jeśli ( , ϕ), ( , ϕ0 ) są algebrami zewnętrznymi R-modułu
M
V0
V
V,0 to R-algebry
V0
V
i
są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α :
−→
, β :
−→
takie, że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ0 , βϕ0 = ϕ. Twierdzenie 1.2.6. Dla każdego
R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorV
fizmu) algebra zewnętrzna ( M, ϕ).
Pierwsza konstrukcja. (SemSt2 ). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M .
2
Oznaczmy przez
V I dwustronny ideał w T (M ) generowany przez wszystkie elementy
V postaci ρ(m) ,
m ∈ M . Niech M będzie R-algebrą ilorazową T (M )/I. Odwzorowanie ϕ : M −→ M definiujemy
ρ
η
jako złożenie M −→T (M )−→T (M )/I, gdzie η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem naturalnym.
Druga konstrukcja. Zdefiniujemy najpierw odwzorowania alternujące oraz p-tą potęgę zewnętrzną danego R-modułu.
Definicja 1.2.7. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M p oznaczamy produkt p
egzemplarzy modułu M . Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M p −→ N jest alternujące jeśli
f (m1 , . . . , mp ) = 0, gdy mi = mj , dla pewnych i 6= j.
Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T p (M ) = M ⊗p , p-tą potęgę tensorową modułu
M . Niech Np będzie R-podmodułem w T p (M ) generowanym przez wszystkie elementy postaci m1 ⊗
· · · ⊗ mp , gdzie mi = mj dla pewnych i 6= j. Można udowodnić następujące stwierdzenie (AP1 66).
3
Stwierdzenie 1.2.8. Jeśli σ jest permutacją zbioru {1, . . . , p}, to każdy element postaci
m1 ⊗ · · · ⊗ mp − (sgn σ)mσ(1) ⊗ · · · ⊗ mσ(p)
należy do podmodułu Np Definicja 1.2.9. p-Tą potęgą zewnętrzną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowy
V1
V0
W szczególności M = M . Przyjmujemy ponadto, M = R.
Vp
M = T p (M )/Np .
Z p-tą potęgą
alternujące
Vp zewnętrzną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie
Vp
ρp : M p −→ M , otrzymane ze złożenia M p −→ T p (M ) −→ T p (M )/Np = VM .
p
Obraz elementu (m1 , . . . , mp ) ∈ M p przy odwzorowaniu kanonicznym w
M oznaczamy przez
m1 ∧· · ·∧mp . Element ten V
jest także obrazem elementu m1 ⊗· · ·⊗mp przy naturalnym homomorfizmie
p
T p (M ) −→ T p (M )/Np = M .
Vp
Można udowodnić, że para ( M, ρp ) ma następującą własność uniwersalności.
Stwierdzenie 1.2.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania
alternującego
Vp
f : M p −→ E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f : M −→ E taki, że f ρp = f . Jeśli f : M −→ M 0 jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T p (f ) : T ( M ) −→
T (M 0 ) taki, że
T p (f )(m1 ⊗ · · · ⊗ mp ) = f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mp ).
p
Łatwo
sprawdzić,V że wtedy T p (f )(Np ) ⊆ Np0 . Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów
Vp
V
p
p
f : M −→ M 0 . Spełniona jest wtedy własność
Vp
( f )(m1 ∧ · · · ∧ mp ) = f (m1 ) ∧ · · · ∧ f (mp ).
Vp
Wniosek 1.2.11.
: R M −→ R M jest funktorem kowariantnym. Oznaczmy teraz
V
Definiujemy mnożenie w
V
M=
L∞ V p
M
p=0
(suma prosta R-modułów).
M przez regułę:
(a1 ∧ · · · ∧ an )(b1 ∧ · · · ∧ bm ) = a1 ∧ · · · ∧ an ∧ b1 ∧ . . . bm .
V
Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M −→ M będzie włożeniem m 7→
V1
m ∈ M = M.
V
Stwierdzenie 1.2.12. Para ( M, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M . W ten sposób zakończyliśmy drugą konstrukcję algebry zewnętrznej.
Z każdym homomorfizmem
R-modułów f : M −→ M 0 stowarzyszony jest (jedyny) homomorfiV
V
V
zmem R-algebr f : M −→ M 0 , który spełnia własność
V
( f )(m1 ∧ · · · ∧ mp ) = f (m1 ) ∧ · · · ∧ f (mp ),
dla wszystkich p oraz m1 , . . . , mp ∈ M .
V
Wniosek 1.2.13.
jest funktorem kowariantnym z kategorii R M do kategorii
V
Mnożenie w M oznacza się przez ∧. Można wykazać:
Vp
Vq
Stwierdzenie 1.2.14. Jeśli x ∈ M , y ∈ M , to x ∧ y = (1)pq y ∧ x. Podamy jeszcze kilka faktów dotyczących p-tej potęgi zewnętrznej.
R A.
4
Twierdzenie 1.2.15 V
([16] 456). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n.
p
(1) Jeśli p > n, to
M = 0.
Vp
(2) Niech 1 6 p 6 n i niech {e1 , . . . , en } będzie bazą R-modułu M . Wtedy
M jest R-modułem
wolnym rangi np i elementy
ei1 ∧ · · · ∧ eip , i1 < · · · < ip ,
tworzą jego bazę. 0
0
Stwierdzenie
1.2.16
1 71). Jeśli M , M są wolnymi R-modułami i f : M −→ M jest injekcją,
V p Vp
Vp (AP
0
to
f : M −→ M również jest injekcją. Stwierdzenie 1.2.17 (AP1 72). Niech M będzie R-modułem wolnym. Elementy
m1 , . . . , mp ∈ M są
Vp
liniowo niezależne nad R wtedy i tylko wtedy, gdy element m1 ∧· · ·∧mp ∈ M jest liniowo niezależny
nad R. Vn
L
Vp
Vq
Stwierdzenie 1.2.18 ([16] 461, PN2 213).
(M ⊕ M 0 ) ≈ p+q=n ( M ) ⊗ ( M 0 ). 1.3
Algebra symetryczna
Literatura: SemSt2 , ZadAlg3 38 − 45, [16]458.
Definicja 1.3.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M −→ A homomorfizmem
R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest sym-homomorfizmem jeśli f (m)f (n) = f (n)f (m), dla
wszystkich m, n ∈ M .
Definicja 1.3.2. Algebrą symetryczną R-modułu M nazywamy parę (S, ϕ), w której S jest R-algebrą,
ϕ : M −→ S jest sym-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność
uniwersalności:
Dla każdej R-algebry A i dla każdego sym-homomorfizmu ψ : M −→ A, istnieje dokładnie jeden
R-algebrowy homomorfizm f : S −→ A taki, że f ϕ = ψ.
Z tej definicji wynikają następujące cztery stwierdzenia.
Stwierdzenie 1.3.3. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M , to ϕ : M −→ T jest homomorfizmem różnowartościowym. Stwierdzenie 1.3.4. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M , to obraz ϕ(M ) generuje algebrę S nad R. Stwierdzenie 1.3.5. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M , to R-algebra S jest przemienna. Stwierdzenie 1.3.6. Jeśli (S, ϕ), (S 0 , ϕ0 ) są algebrami symetrycznymi R-modułu M , to R-algebry S
i S 0 są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : S −→ S 0 , β : S 0 −→ S takie,
że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ0 , βϕ0 = ϕ. Twierdzenie 1.3.7. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra symetryczna (S, ϕ).
Konstrukcja. (SemSt2 , ZadAlg3 42). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M .
Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (M ) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(m)ρ(n)−
ρ(n)ρ(m), m, n ∈ M . Niech S będzie R-algebrą ilorazową T (M )/I. Odwzorowanie ϕ : M −→ S defiρ
η
niujemy jako złożenie M −→T (M )−→T (M )/I = S, gdzie η : T (M ) −→ T (M )/I jest homomorfizmem
naturalnym. Jedyną algebrę symetryczną R-modułu M oznaczamy przez S(M ). Moduł traktujemy jako Rpodmoduł algebry S(M ). Przyjmujemy ponadto, że kanoniczny sym-homomorfizm M −→ S(M ) jest
tożsamościowym włożeniem.
Algebrę symetryczną R-modułu M można skonstruować także w inny sposób, który teraz przedstawimy.
5
Definicja 1.3.8. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M p oznaczamy produkt p
egzemplarzy modułu M . Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M p −→ N jest symetryczne jeśli
f (m1 , . . . , mp ) = f (mσ(1) , . . . , mσ(p) ),
dla wszystkich permutacji σ zbioru {1, . . . , p} i wszystkich elementów m1 , . . . , mp ∈ M .
Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T p (M ) = M ⊗p , p-tą potęgę tensorową modułu
M . Niech Np będzie R-podmodułem w T p (M ) generowanym przez wszystkie elementy postaci
m1 ⊗ · · · ⊗ mp − mσ(1) ⊗ · · · ⊗ mσ(p) ,
gdzie m1 , . . . , mp ∈ M i σ jest permutacją zbioru {1, . . . , p}.
Definicja 1.3.9. p-Tą potęgą symetryczną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowy S p (M ) =
T p (M )/Np . W szczególności S 1 (M ) = M . Przyjmujemy ponadto, S 0 (M ) = R.
Z p-tą potęgą symetryczną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie symetryczne
ρp : M p −→ S p (M ), otrzymane ze złożenia M p −→ T p (M ) −→ T p (M )/Np = S p (M ).
Obraz elementu (m1 , . . . , mp ) ∈ M p przy odwzorowaniu kanonicznym w S p (M ) oznaczamy przez
m1 · · · mp . Element ten jest także obrazem elementu m1 ⊗ · · · ⊗ mp przy naturalnym homomorfizmie
T p (M ) −→ T p (M )/Np = S p (M ).
Można udowodnić, że para (S p (M ), ρp ) ma następującą własność uniwersalności.
Stwierdzenie 1.3.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania symetrycznego f : M p −→
E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f : S p (M ) −→ E taki, że f ρp = f . Jeśli f : M −→ M 0 jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T p (f ) : T p (M ) −→
T (M 0 ) taki, że
T p (f )(m1 ⊗ · · · ⊗ mp ) = f (m1 ) ⊗ · · · ⊗ f (mp ).
p
Łatwo sprawdzić, że wtedy T p (f )(Np ) ⊆ Np0 . Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów
S p (f ) : S p (M ) −→ S p (M 0 ). Spełniona jest wtedy własność
S p (f )(m1 · · · mp ) = f (m1 ) · · · f (mp ).
Wniosek 1.3.11. S p :
−→
RM
S(M ) =
L∞
RM
Oznaczmy teraz
jest funktorem kowariantnym. p=0
S p (M )
(suma prosta R-modułów).
Definiujemy mnożenie w S(M ) przez regułę:
(a1 · · · an )(b1 · · · bm ) = a1 · · · an b1 · · · bm .
Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M −→ S(M ) będzie włożeniem m 7→
m ∈ S 1 (M ) = M .
Stwierdzenie 1.3.12. Para (S(M ), ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M . Z każdym homomorfizmem R-modułów f : M −→ M 0 stowarzyszony jest (jedyny) homomorfizmem R-algebr S(f ) : S(M ) −→ S(M 0 ), który spełnia własność
S(f )(m1 · · · mp ) = f (m1 ) · · · f (mp ),
dla wszystkich p oraz m1 , . . . , mp ∈ M .
Wniosek 1.3.13. S jest funktorem kowariantnym z kategorii
algebr. RM
do kategorii przemiennych R-
Twierdzenie 1.3.14 ([16] 458, ZadAlg3 44). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n i niech
{e1 , . . . , en } będzie jego bazą. Elementy tej bazy, traktowane jako elementy z S 1 (M ) ⊂ S(M ) są algebraicznie niezależne nad R. Algebra S(M ) jest izomorficzna z R-algebrą wielomianów (przemiennych)
R[e1 , . . . , en ]. 1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne, ...
1.4
6
Algebra Clifforda
William Kingdon Clliford: matematyk angielski, 1845 - 1879.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k i niech G : V × V −→ k będzie formą
symetryczną, tzn. k-dwuliniowym odwzorowaniem takim, że G(x, y) = G(y, x), dla wszystkich x, y ∈
V.
Definicja 1.4.1. G-odwzorowaniem nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V −→ A, gdzie
A jest k-algebrą z jedynką, spełniające warunek
f (x)f (x) = G(x, x) · 1,
dla x ∈ V.
Definicja 1.4.2. Algebrą Clifforda formy G nazywamy parę (C, ρ), w której C jest k-algebrą, ρ :
V −→ C jest G-odwzorowaniem, przy czym spełniona jest następująca własność:
Dla każdej k-algebry A i dla każdego G-odwzorowania f : V −→ A istnieje dokładnie jeden kalgebrowy homomorfizm F : C −→ A taki, że F ◦ ρ = f .
Z definicji wynika, że jeśli (C, ρ) jest algebrą Clifforda formy G, to obraz ρ(V ) generuje k-algebrę C.
Jeśli algebra Clifforda formy G istnieje, to dokładnie jedna, z dokładnością do izomorfizmu.
Twierdzenie 1.4.3 ([16] 396). Dla każdej formy symetrycznej G : V × V −→ k, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra Clliforda (C(G), ρG ). Odwzorowanie ρG jest
injekcją, a algebra C(G) ma skończony wymiar nad ciałem k (jako przestrzeń liniowa) równy n2 , gdzie
n = dimk V . O własnościach i zastosowaniach algebr Clliforda znajdziemy w [12] 119 - 138.
2. Algebra obejmująca
2
7
Algebra obejmująca
Na podstawie [1], [8], [29], [17]V 498 i zeszytów AL, PH2 96.
Inna polska nazwa: algebra obwiednia.
Nazwa angielska: universal enveloping algebra.
2.1
Definicja i istnienie
Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Przez Algk i Liek oznaczamy odpowiednio kategorię
łącznych k-algebr z 1 i kategorię k-algebr Liego.
Jeśli A jest łączną k-algebrą, to przez A oznaczamy k-algebrę Liego A z nawiasem Liego [a, b] =
ab − ba. Jeśli f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr, to dla dowolnych elementów x, y ∈ A,
zachodzi równość:
f ([x, y]) = [f (x), f (y)],
z której wynika, że odwzorowanie f = f : A −→ B jest homomorfizmem k-algebr Liego. Mamy zatem
funktor kowariantny
−
: Algk −→ Liek .
Skonstruujemy funktor U : Liek −→ Algk , który będzie funktorem lewostronnie sprzężonym do powyższego funktora.
Definicja 2.1.1. Niech L będzie k-algebrą Liego i niech A będzie łączną k-algebrą. Niech ϕ : L −→ A
będzie k-modułowym homomorfizmem. Mówimy, że homomorfizm ϕ jest γ-homomorfizmem jeśli
ϕ([a, b]) = ϕ(a)ϕ(b) − ϕ(b)ϕ(a),
dla wszystkich a, b ∈ L.
Definicja 2.1.2. Algebrą obejmującą k-algebry Liego L nazywamy parę (U, σ), w której U jest łączną
k-algebrą z jedynką, σ : L −→ U jest γ-homomorfizmem, przy czym spełniona jest następująca
własność uniwersalności:
Dla każdej łącznej k-algebry A (z jedynką) i dla każdego γ-homomorfizmu ϕ : L −→ A, istnieje
dokładnie jeden k-algebrowy homomorfizm f : U −→ A taki, że f σ = ϕ.
Z tej definicji wynikają następujące dwa stwierdzenia.
Stwierdzenie 2.1.3 (AL 73). Jeśli (U, σ) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, to obraz σ(L)
generuje algebrę U nad k. Stwierdzenie 2.1.4 (AL 71). Jeśli (U, σ), (U 0 , σ 0 ) są algebrami obejmującymi k-algebry Liego L,
to k-algebry U i U 0 są izomorficzne. Dokładniej, istnieją k-algebrowe homomorfizmy α : U −→ U 0 ,
β : U 0 −→ U takie, że αβ = id, βα = id, ασ = σ 0 , βσ 0 = σ. Twierdzenie 2.1.5 (AL 74). Dla każdego k-algebry Liego L istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra obejmująca (U (L), σL ).
Konstrukcja. Niech (T (L), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu L. Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (L) generowany przez wszystkie elementy postaci
ρ(x)ρ(y) − ρ(y)ρ(x) − ρ([x, y]),
gdzie x, y ∈ L. Niech U (L) będzie k-algebrą ilorazową T (L)/I. Odwzorowanie σL : L −→ U (L) definiuρ
η
jemy jako złożenie L−→T (L)−→T (L)/I, gdzie η : T (L) −→ T (L)/I jest homomorfizmem naturalnym.
8
Uwaga 2.1.6. Konstrukcja algebry obejmującej jest podobna do konstrukcji algebry zewnętrznej i
konstrukcji algebry symetrycznej danego k-modułu M . Widoczne jest podobieństwo w samych definicjach tych obiektów. Jest jednak pewna techniczna różnica. Wprost z definicji algebry symetrycznej
(S(M ), ϕ) można było udowodnić, że odwzorowanie ϕ : M −→ S(M ) jest injekcją. Podobna sytuacja
wystąpiła dla algebry zewnętrznej. Z definicji algebry obejmującej nie wynika natychmiast odpowiedź
na pytanie, czy odwzorowanie σ : L −→ U (L) jest injekcją. Pytanie to można inaczej sformułować
tak: Czy każda k-algebra Liego jest podalgebrą Liego k-algebry łącznej? Twierdząca odpowiedź na
to pytanie (w przypadku, gdy k jest ciałem) wynika z twierdzenia Poincare-Birkhoffa-Witta, które
przedstawimy później.
Z definicji algebry obejmującej wynika:
Stwierdzenie 2.1.7. Jeśli f : L −→ L0 jest homomorfizmem k-algebr Liego, to istnieje dokładnie
jeden homomorfizm k-algebr U (f ) : U (L) −→ U (L0 ) taki, że diagram
σ
L
L −→
U (L)
f↓
L0
↓ U (f )
σL0
U (L0 )
−→
jest przemienny. Łatwo sprawdzić, że U (1L ) = 1U (L) oraz U (f ◦ g) = U (f ) ◦ U (g). Mamy zatem kowariantny funktor
U : Liek −→ Algk zwany funktorem algebry obejmującej.
Twierdzenie 2.1.8 (AL 78). Funktor U : Liek −→ Algk jest lewostronnie sprzężony do funktora
−
: Algk −→ Liek . Innymi słowy: jeśli L jest k-algebrą Liego i A jest łączną k-algebrą z jedynką, to
istnieje naturalny izomorfizm
α
−→
Liek (L, A) ≈ Algk (U (L), A) .
←−
β
Dowód. Jeśli f : L −→ A jest homorfizmem k-algebr Liego, to f : L −→ A jest γ-homomorfizmem,
a zatem istnieje (jedyny) k-algebrowy homomorfizm α(f ) : U (L) −→ A taki, że α(f )σL = f .
Jeśli g : U (L) −→ A jest homomrfizmem k-algebr, to przyjmujemy β(g) = gσL : L −→ A.
Zauważmy, że β(g) jest istotnie homomorfizmem k-algebr Liego. Jeśli bowiem x, y ∈ L, to
β(g)([x, y])
=
=
=
=
=
gσ([x, y])
g(σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x))
g(σ(x))g(σ(y)) − g(σ(y))g(σ(x)))
β(g)(x)β(g)(y) − β(g)(y)β(g)(x)
[β(g)(x), β(g)(y)],
gdzie σ = σL . 2.2
Własności
Stwierdzenie 2.2.1 ([1] 22, AL 83). Jeśli L1 , L2 są k-algebrami Liego, to para
(U (L1 ) ⊗k U (L2 ), σ), gdzie
σ : L1 × L2 −→ U (L1 ) ⊗k U (L2 ),
(x, y) 7−→ σL1 (x) ⊗ 1 + 1 ⊗ σL2 (y),
jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L1 × L2 . 2. Algebra obejmująca
9
Stwierdzenie 2.2.2 ([1] 22, AL 88). Niech A będzie ideałem Liego w k-algebrze Liego L i niech
η : L −→ L/A będzie homomorfizmem naturalnym. Wtedy k-algebrowy homomorfzim U (η) : U (L) −→
U (L/A) jest surjekcją i KerU (η) jest dwustronnym ideałem w U (L), generowanym przez zbiór σL (A).
Wniosek 2.2.3. Jeśli A jest ideałem Liego w k-algebrze Liego L, to algebra obejmująca U (L/A) jest
izomorficzna z k-algebrą U (L)/B, gdzie B jest ideałem w U (L), generowanym przez obraz σL (A). Niech L będzie k-algebrą Liego. Oznaczmy przez Lo k-algebrę Liego przeciwną do L, tzn. Lo = L,
[x, y]o = [y, x]. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to oznaczmy przez Ao łączną k-algebrę przeciwną do A,
tzn. Ao = A, ao +bo = (a+b)o , ao ·bo = (b·a)o . Odwzorowanie σL : L −→ U (L) indukuje odwzorowanie
o
o
σ o : Lo −→ U (L)o , określone wzorem σL
(x) = σL (x). Wtedy σL
jest γ-homomorfizmem i mamy:
o
Stwierdzenie 2.2.4 ([1] 24, AL 93). (U (Lo ), σLo ) = (U (L)o , σL
). Algebry Liego z zerowym nawiasem Liego nazywamy przemiennymi. Każdy k-moduł L można
utożsamiać z przemienną k-algebrą Liego (L, [ , ]), gdzie [ , ] = 0. Z konstrukcji algebry obejmującej
i algebry symetrycznej wynika:
Stwierdzenie 2.2.5. Jeśli L jest przemienną k-algebrą Liego, to algebra obejmująca U (L) jest algebrą
symetryczną S(L). Stwierdzenie 2.2.6 ([1] 27). Jeśli pierścień k jest noetherowski i k-algebra Liego L jest skończenie
generowana nad k (jako k-moduł), to k-algebra U (L) jest prawostronnie i lewostronnie noetherowska.
2.3
Twierdzenie Poincaré-Birkhoffa-Witta
Wiemy, że algebra obejmująca U (L) jest k-algebrą postaci T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą tensorową, a I jest ideałem (dwustronnym) w T (L) generowanym przez wszystkie elementy postaci
x⊗y−y⊗x−[x, y], gdzie x, y ∈ L. Homomorfizm σL : L −→ U (L) jest określony wzorem σL (x) = x+I,
dla x ∈ L.
Twierdzenie 2.3.1 (Poincar’e, Birkhoff, Witt). Niech L będzie k-algebrą Liego. Załóżmy, że L
jest wolnym k-modułem i niech {eλ ; λ ∈ Λ} będzie jego bazą, gdzie Λ jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Rozważmy podzbiór Ω ⊆ U (L) zdefiniowany jako
Ω = {σL (eλ1 ⊗ · · · ⊗ eλs ) ; λ1 6 λ2 6 · · · 6 λs }.
Wtedy U (L) jest k-modułem wolnym i jego bazą nad k jest zbiór Ω. Powyższe twierdzenie, zwane Twierdzeniem Poincaré-Birkhoffa-Witta (w skrócie: PBW-twierdzenie) ma kilka równoważnych sformułowań. Często pewne wnioski z tego twierdzenia nazywa się również
PBW-twierdzeniami. Przedstawiona wersja pochodzi z książki [29] (strona 166).
Algebra obejmująca (U (L), σ = σL ) posiada kanoniczną filtrację
U0 (L) ⊆ U1 (L) ⊆ U2 (L) ⊆ . . . ,
gdzie U0 (L) = k oraz Un (L), dla n > 0, jest k-podmodułem w U (L), generowanym przez wszystkie
iloczyny postaci
σ(x1 ) · · · σ(xm ),
x1 , . . . , xm ∈ L, m 6 n .
Wtedy grU (L), algebra z gradacją stowarzyszona z powyższą filtracją, jest algebrą przemienną. Inne
równoważne sformułowanie PBW-twierdzenia jest następujące.
Twierdzenie 2.3.2 ([17]V 498). Jeśli k-algebra Liego L jest k-modułem wolnym, to algebra z gradacją grU (L) jest izomorficzna z algebrą symetryczną S(L). 2. Algebra obejmująca
10
Oto wnioski wynikające z PBW-twierdzenia.
Wniosek 2.3.3 ([29] 166). Jeśli (U (L), σL )) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, przy czym
L jest k-modułem wolnym, to homomorfizm σL : L −→ U (L) jest injekcją. Wniosek 2.3.4 ([1] 23). Załóżmy, że k jest ciałem. Niech L0 będzie podalgebrą Liego k-algebry
Liego L. Niech i : L0 ,→ L będzie kanonicznym włożeniem. Wtedy k-algebrowy homomorfizm U (i) :
U (L0 ) −→ U (L) jest injekcją. Wniosek 2.3.5 ([1] 33). Załóżmy, że k jest pierścieniem bez dzielników zera i L jest k-algebrą Liego
taką, że L jest wolnym k-modułem. Wtedy k-algebra U (L) nie ma dzielników zera. Algebry Weyla. Następny fakt jest również konsekwencją PBW-twierdzenia.
Wniosek 2.3.6 (PH2 97). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem k. Wtedy
k-algebra U (L) spełnia warunek Ore’go (posiada więc ciało ułamków). Jeśli A jest pierścieniem spełniającym warunek Ore’go, to przez q(A) oznaczamy ciało ułamków
(Ore’go) pierścienia A. Istnieje następująca hipoteza z 1966 roku, dotycząca problemu klasyfikacji
algebr obejmujących skończenie wymiarowych algebr Liego.
Hipoteza 2.3.7 (Gelfand-Kirillov [4] ,[19]). Dla każdej skończenie wymiarowej algebry Liego L
istnieje liczba naturalna n taka, że ciała ułamków q(U (L)) i q(An ), są izomorficzne.
Algebra An , występująca w tej hipotezie, to tzw. algebra Weyla. Jest to k-algebra nieprzemiennych
wielomianów nad k zmiennych x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn z następującymi prawami komutowania
[xi , xj ] = 0,
[yi , yj ] = 0,
[xi , yj ] = δij ,
gdzie δij jest deltą Kroneckera. Algebrę tę można równoważnie zdefiniować jako algebrę skośnych
wielomianów typu derywacyjnego:
∂
∂
, . . . , ∂x
].
An = k[x1 , . . . , xn ][y1 , . . . , yn , ∂x
1
1
Z powyższą hipotezą związane jest następujące pytanie.
Pytanie 2.3.8. Czy jeśli q(An ) ≈ q(Am ), to n = m?
Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnili to Gelfand i Kirillov w [4], wykorzystując pewien
specjalny niezmiennik zwany dzisiaj wymiarem Gelfanda-Kirillova.
2.4
Elementy prymitywne
Niech (U (L), σL ) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L, gdzie k jest ciałem. Podamy charakteryzację elementów z U (L) należących do obrazu σL (L).
Rozpatrzmy odwzorowanie przekątniowe ∆ : L −→ L × L, ∆(x) = (x, x). Dla wszystkich x, y ∈ L
spełnione są równości
∆([x, y]) = ([x, y], [x, y]) = [(x, x), (y, y)] = [∆(x), ∆(y)],
z których wynika, że ∆ jest homomorfizmem k-algebr Liego. Homomorfizm ten indukuje więc kalgebrowy homomorfizm
U (∆) : U (L) −→ U (L × L) = U (L) ⊗k U (L)
taki, że przemienny jest diagram
∆
L −→
σL ↓
L×L
↓ σL ⊗ 1 + 1 ⊗ σL
s
U (L) −→
U (L) ⊗k U (L) .
11
Definicja 2.4.1. Mówimy, że element a ∈ U (L) jest prymitywny, jeśli
U (∆)(a) = a ⊗ 1 + 1 ⊗ a.
Z powyższego diagramu wynika, że każdy element σ(x), gdzie σ = σL i x ∈ L, jest prymitywny.
Mamy bowiem:
U (∆)(σ(x)) = (σ ⊗ 1 + 1 ⊗ σ)∆(x) = σ(x) ⊗ 1 + 1 ⊗ σ(x).
Konsekwencją PBW-twierdzenia jest:
Twierdzenie 2.4.2 ([29] 169). Niech L będzie k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem. Niech a ∈ U (L).
Wtedy a ∈ Im σL ⇐⇒ a jest elementem prymitywnym. 2.5
Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące
Definicja 2.5.1. Niech X będzie zbiorem. Wolną k-algebrą Liego zbioru X nazywamy każdą parę
(W, i), w której W jest k-algebrą Liego, i : X −→ W jest zwykłą funkcją różnowartościową, przy czym
spełniona jest następująca własność uniwersalności:
Dla każdej k-algebry Liego M i dla każdej zwykłej funkcji f : X −→ M istnieje dokładnie jeden
homomorfizm k-algebr Liego F : W −→ M taki, że F ◦ i = f .
W sposób analogiczny jak dla algebr tensorowych, symetrycznych, itd. dowodzi się, że istnieje co
najwyżej jedna (z dokładnością do izomorfizmu) wolna k-algebra Liego zbioru X oraz, że jeśli para
(W, i) jest wolną k-algebrą zbioru X, to zbiór i(X) generuje algebrę W .
Twierdzenie 2.5.2 ([29] 170). Dla każdego zbioru X istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do
izomorfizmu) wolna k-algebra Liego.
Konstrukcja. Niech N będzie k-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór X. Rozpatrzmy kalgebrę tensorową T (N ), ϕN . Jest to łączna k-algebra. Mamy więc nawias Liego w T (N ) określony
wzorem [u, v] = uv − vu. Niech W będzie k-podalgebrą Liego w T (N ) generowaną (jako k-algebra
Liego) przez podzbiór ϕN (N ). Odwzorowanie i : X −→ W definiujemy jako obcięcie ϕ | X. Wtedy
para W, i jest wolną k-algebrą Liego zbioru X (szczegóły można odtworzyć np. na podstawie [29] 170).
Stwierdzenie 2.5.3 ([29] 170). Niech W będzie wolną k-algebrą Liego zbioru X. Wówczas algebra
obejmująca U (W ) jest algebrą tensorową T (N ), gdzie N jest k-modułem wolnym, którego bazą jest
zbiór X. 3. Derywacje algebr łącznych
3
12
Derywacje algebr łącznych
3.1
Pojęcia wstępne
Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Niech A będzie łączną k-algebrą z jedynką. Każde
k-liniowe odwzorowanie D : A −→ A, spełniające warunek
dla a, b ∈ A,
D(ab) = D(a)b + aD(b),
nazywamy k-derywacją k-algebry A. Jeśli D jest k-derywacją k-derywacją k-algebry A, to D(1) = 0.
Zanotujmy ponadto kilka własności.
Stwierdzenie 3.1.1. D(a1 · · · as ) = D(a1 )a2 · · · as + a1 D(a2 ) · · · as + · · · + a1 a2 · · · D(as ). Stwierdzenie 3.1.2. Załóżmy, że k-algebra A jest generowana przez zbiór B. Niech D1 , D2 : A −→ A
będą k-derywacjami. Jeśli D1 (b) = D2 (b), dla wszystkich b ∈ B, to D1 = D2 . Stwierdzenie 3.1.3. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem
w A generowanym przez zbiór X. Jeśli D(x) ∈ I, dla wszystkich x ∈ X, to D(I) ⊆ I. Stwierdzenie 3.1.4. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem
w A. Jeśli D(I) ⊆ I, to istnieje (dokładnie jedna) k-derywacja D : A/I −→ A/I taka, że D(a + I) =
d(a) + I, dla wszystkich a ∈ A. W następnym podrozdziale wykorzystamy następujący lemat.
Lemat 3.1.5. Niech A będzie łączną k-algebrą i niech D : A −→ A będzie przekształceniem kliniowym. Niech a, b ∈ A. Załóżmy, że a = a1 + · · · + ap , b = b1 + · · · + bq , gdzie wszystkie elementy postaci ai , bj należą do A. Jeśli d(ai bj ) = D(ai )bj + ai D(bj ), dla wszystkich i ∈ {1, . . . , p},
j ∈ {1, . . . , q}, to D(ab) = D(a)b + aD(b).
Dowód.
D(ab)
P
P
P P
= D(( i ai )( j bj )) = D( i j ai bj )
P P
P P
=
i
j D(ai bj ) =
i
j (D(ai )bj + ai D(bj ))
P P
P P
=
i
j D(ai )bj +
i
j ai D(bj )
P
P
P
P
=
i D(ai )
j bj +
i ai
j D(bj )
P
P
P
P
= = D( i ai )( j bj ) + ( i ai )D( j bj )
= D(a)b + aD(b). 3.2
Algebra tensorowa
Twierdzenie 3.2.1 ([1] 33). Niech (T (M ), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu M . Niech f :
M −→ M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : T (M ) −→
T (M ) taka, że przemienny jest diagram
M
f
−→ M
ρ↓
↓ρ
D
T (M ) −→ T (M ).
L∞
n
0
1
n
Dowód. Przypomnijmy, że T (M ) =
n=0 T (M ), gdzie T (M ) = k, T (M ) = M , T (M ) =
⊗n
1
M
oraz ρ(x) = x ∈ T (M ) ⊆ T (M ), dla wszystkich x ∈ M .
3. Derywacje algebr łącznych
13
Dla każdego n = 0, 1, . . . definiujemy k-liniowe przekształcenia fn : T n (M ) −→ T n (M ) w następujący sposób. Przyjmujemy: f0 = 0, f1 = f . Jeśli n > 1, to definiujemy najpierw n-liniowe
odwzorowanie
Fn : M × · · · × M −→ M ⊗ · · · ⊗ M = T n (M ),
|
{z
}
|
{z
}
n
n
przyjmując (dla x1 , . . . xn ∈ M ):
Fn (x1 , . . . , xn )
= f (x1 ) ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn + x1 ⊗ f (x2 ) ⊗ · · · ⊗ xn
+ · · · + x1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ f (xn ).
Stąd otrzymujemy k-liniowe przekształcenie fn : T n (M ) −→ T n (M ) takie, że
fn (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) = f (x1 ) ⊗ · · · ⊗ xn + · · · + x1 ⊗ · · · ⊗ f (xn ),
dla wszystkich x1 , . . . xn ∈ M .
Definiujemy teraz k-liniowe przekształcenie D : T (M ) −→ T (M ), przyjmując
L∞
D = n=0 fn .
Jest oczywiste, że D ◦ ρ = ρ ◦ f . Pokażemy, że D jest k-derywacją k-algebry T (M ). W tym celu należy
wykazać, że D(a ⊗ b) = D(a) ⊗ b + a ⊗ D(b), dla wszystkich a, b ∈ T (M ). Dzięki Lematowi 3.1.5
wystarczy to tylko sprawdzić w przypadku, gdy
a = x1 ⊗ · · · ⊗ xp ,
b = y1 ⊗ · · · ⊗ yq ,
gdzie x1 , . . . , xp , y1 , . . . , yq ∈ M . Sprawdzamy:
D(a ⊗ b)
= D(x1 ⊗ · · · ⊗ xp ⊗ y1 ⊗ · · · ⊗ yq )
Pp
=
i=1 (x1 ⊗ · · · ⊗ D(xi ) ⊗ · · · ⊗ xn ) ⊗ (y1 ⊗ · · · ⊗ yq )
Pp
+
i=1 (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) ⊗ (y1 ⊗ · · · ⊗ D(yj ) ⊗ · · · ⊗ yq )
= D(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) ⊗ (y1 ⊗ · · · ⊗ yq ) + (x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) ⊗ D(y1 ⊗ · · · ⊗ yq )
= D(a) ⊗ b + a ⊗ D(b).
Zatem D jest istotnie k-derywacją k-algebry T (M ) i D ◦ ρ = ρ ◦ f . Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, bowiem zbiór ρ(M ) generuje k-algebrę T (M ). Z dowodu wynika:
Wniosek 3.2.2. Derywacja D : T (M ) −→ T (M ) (z powyższego stwierdzenia) spełnia warunek:
D(T n (M )) ⊆ T n (M ),
dla wszystkich n = 0, 1, . . . . 3.3
Algebra zewnętrzna
V
Twierdzenie 3.3.1. Niech ( (M ), ϕ) będzie algebrą zewnętrzną k-modułu M . Niech
V f : M −→
V M
będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : (M ) −→ (M )
taka, że przemienny jest diagram
f
M −→ M
ϕ↓
V
D
(M ) −→
↓ϕ
V
(M ).
14
V
Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2,
V gdyż zbiór ϕ(M ) generuje k-algebrę (M ).
Z konstrukcji algebry zewnętrznej wiemy, że (M ) = T (M )/I, gdzie T (M ) jest algebrą tensorową
k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M ), generowanym
V przez wszystkie elementy
postaci x ⊗ x, gdzie x ∈ M . Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M −→ (M ) jest równe η ◦ ρ, gdzie
ρ : M −→ T (M ) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M ) −→ T (M )/I jest
homomorfizmem naturalnym.
Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M ) −→ T (M ) taka, że ρ ◦ f = δ ◦ ρ (Twierdzenie 3.2.1).
Pokażemy, że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x ⊗ x) ∈ I, dla wszystkich x ∈ M (patrz
Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:
δ(x ⊗ x)
= δ(x) ⊗ x + x ⊗ δ(x)
= y ⊗ y − δ(x) ⊗ δ(x) − x ⊗ x,
V
V
gdzie y = δ(x) + x. Teraz definiujemy k-derywację D : (M ) −→ (M ), przyjmując:
D(u + I) = δ(u) + I,
dla wszystkich u ∈ T (M ). Derywacje algebry zewnętrznej
V
(M ) kojarzą się z kanonicznymi rózniczkami algebry
Ω(X) =
n
∞ ^
M
Γ(T X ∗ ),
n=0
form różniczkowych na rozmaitości gładkiej X. Patrz np. rozdziały 11 i 12 [18], gdzie mówi się o kompleksie de Rhama.
Tamte różniczki nie są jednak k-derywacjami. Spełniają one podobny warunek (ale jednak inny): d(ωp ∧ ωq ) = d(ωp ) ∧
ωq + (−1)p ωp ∧ d(ωq ).
3.4
Algebra symetryczna
Twierdzenie 3.4.1. Niech (S(M ), ϕ) będzie algebrą symetryczną k-modułu M . Niech f : M −→ M
będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : S(M ) −→ S(M )
taka, że przemienny jest diagram
f
M −→ M
ϕ↓
↓ϕ
D
S(M ) −→
S(M ).
Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór ϕ(M ) generuje k-algebrę S(M ).
Z konstrukcji algebry symetrycznej wiemy, że S(M ) = T (M )/I, gdzie T (M ) jest algebrą tensorową
k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M ), generowanym przez wszystkie elementy
postaci x ⊗ y − y ⊗ x, gdzie x, y ∈ M . Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M −→ S(M ) jest równe η ◦ ρ,
gdzie ρ : M −→ T (M ) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M ) −→ T (M )/I
jest homomorfizmem naturalnym.
Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M ) −→ T (M ) taka, że ρ ◦ f = δ ◦ ρ (Twierdzenie 3.2.1).
Pokażemy, że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x ⊗ y − y ⊗ x) ∈ I, dla wszystkich
x, y ∈ M (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:
δ(x ⊗ y − y ⊗ x)
= δ(x) ⊗ y + x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x − y ⊗ δ(y)
=
(x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x) + (y ⊗ δ(x) − δ(x) ⊗ y).
Teraz definiujemy k-derywację D : S(M ) −→ S(M ), przyjmując:
D(u + I) = δ(u) + I,
dla wszystkich u ∈ T (M ). 3. Derywacje algebr łącznych
3.5
15
Algebra obejmująca
Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L −→ L spełniające
warunek
d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b ∈ L.
Twierdzenie 3.5.1 ([1] 34). Niech (U (L), σ) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L i niech
d : L −→ L będzie derywacją. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : U (M ) −→ U (M ) taka,
że przemienny jest diagram
f
L −→ L
σ↓
↓σ
D
U (L) −→
U (L).
Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór σ(L) generuje k-algebrę U (L).
Z konstrukcji algebry obejmującej wiemy, że U (L) = T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą tensorową
k-modułu L oraz I jest dwustronnym ideałem w T (L), generowanym przez wszystkie elementy postaci
x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y], gdzie x, y ∈ L. Odwzorowanie kanoniczne σ : L −→ U (L) jest równe η ◦ ρ,
gdzie ρ : L −→ T (L) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (L) −→ T (L)/I
jest homomorfizmem naturalnym.
Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (L) −→ T (L) taka, że ρ◦f = δ◦ρ (Twierdzenie 3.2.1). Pokażemy,
że δ(I) ⊆ I. W tym celu wystarczy pokazać, że
δ(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]) ∈ I,
dla wszystkich x, y ∈ L (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości:
δ(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y])
= δ(x) ⊗ y + x ⊗ δ(y) − δ(y) ⊗ x − y ⊗ δ(y) − d([x, y])
= d(x) ⊗ y + x ⊗ d(y) − d(y) ⊗ x − y ⊗ d(y) − [d(x), y] − [x, d(y)]
=
(d(x) ⊗ y − y ⊗ d(x) − [d(x), y])
+
(x ⊗ d(y) − d(y) ⊗ x − [x, d(y)]).
Teraz definiujemy k-derywację D : U (L) −→ U (L), przyjmując:
D(u + I) = δ(u) + I,
dla wszystkich u ∈ T (L). Stwierdzenie 3.5.2 ([1] 34). Niech L będzie k-algebrą Liego i niech (U (L), σ) będzie jej algebrą
obejmującą. Jeśli d : L −→ L jest derywacją wewnętrzną, to k-derywacja D : U (L) −→ U (L),
istniejąca na mocy poprzedniego twierdzenia, jest wewnętrzna.
Dowód. Zaóżmy, że d = adu , gdzie u ∈ L, tzn.
d(x) = [u, x],
dla x ∈ L.
Rozpatrzmy wewnętrzną k-derywację ∆ : U (L) −→ U (L), wyznaczoną przez element σ(u) ∈ U (L),
tzn.
∆(v) = σ(u)v − vσ(u), dla v ∈ U (L).
Wtedy przemienny jest diagram
f
L −→ L
σ↓
↓σ
∆
U (L) −→ U (L).
16
Istotnie, jeśli x ∈ L, to
= σ(u)σ(x) − σ(x)σ(u);
∆σ(x)
=
σd(x)
= σ([u, x]) = σ(u)σ(x) − σ(x)σ(u).
Ponieważ derywacja D jest wyznaczona jednoznacznie, więc D = ∆, a zatem derywacja D jest wewnętrzna. 4. Algebry proste
4
17
Algebry proste
Niech k będzie ciałem. Przez k-algebrę rozumiemy łączną k-algebrę z jedynką. Centrum k-algebry
A oznaczamy przez Z(A). Przypomnijmy:
Z(A) = {x ∈ A; ∀y∈A xy = yx}.
Centrum Z(A) jest przemienną k-podalgebrą w A.
4.1
Algebry centralne
Definicja 4.1.1. Mówimy, że k-algebra A jest centralna, jeśli Z(A) = k.
Jeśli A jest k-algebrą, to przez Mn (A) oznaczamy k-algebrę (n × n)-macierzy o współczynnikach
należących do A.
Stwierdzenie 4.1.2 (PN2 57). Niech A będzie dowolnym pierścieniem (nieprzemiennym) z jedynką.
Wtedy



a 0 ... 0







 0 a . . . 0 


;
a
∈
Z(A)
≈ Z(A). Z(Mn (A)) =  .




 ..






0 0 ... a
Wniosek 4.1.3. Jeśli A jest centralną k-algebrą, to Mn (A) również jest centralną k-algebrą. W szczególności:
Wniosek 4.1.4. Mn (k) jest centralną k-algebrą. Następnym przykładem centralnej k-algebry jest algebra kwaternionów, którą oznacza się przez H
i definiuje w następujący sposób.
H jest przestrzenią liniową nad ciałem R, liczb rzeczywistych, wymiaru 4, o bazie {1, i, j, k}. Mnożenie elementów bazowych zadane jest tabelką:
1
i
j
k
1
1
i
j
k
i
i
-1
-k
j
j
j
k
-1
-i
k
k
-j .
i
-1
Algebra H jest centralna, tzn. Z(H) = R. Jest to nieprzemienne ciało (algebra z dzieleniem). Zauważmy,
że w H zawarte jest ciało C, liczb zespolonych. Jednak H nie jest C-algebrą.
4.2
Iloczyn tensorowy algebr
Stwierdzenie 4.2.1. Jeśli A, B, C są k-algebrami, to istnieją następujące k-algebrowe izomorfizmy:
(1) k ⊗k A ≈ A,
(2) A ⊗k B ≈ B ⊗k A,
(3) (A ⊗k B) ⊗k C ≈ A ⊗k (B ⊗k C),
(4) Mn (k) ⊗k A ≈ Mn (A),
(5) Mn (k) ⊗k Mm (k) ≈ Mnm (k). Stwierdzenie 4.2.2 (PN2 77). Jeśli A, B są k-algebrami, to Z(A ⊗k B) ≈ Z(A) ⊗k Z(B).
W szczególności:
Wniosek 4.2.3. Iloczyn tensorowy centralnych k-algebr jest centralną k-algebrą. 4. Algebry proste
4.3
18
Algebry proste
Definicja 4.3.1.
ideałów.
Mówimy, że k-algebra A jest prosta, jeśli nie posiada właściwych dwustronnych
Przykład 4.3.2. Każda algebra z dzieleniem (czyli ciało niekoniecznie przemienne) jest prosta. Przykład 4.3.3 (PN2 59). Jeśli D jest algebrą z dzieleniem, to algebra macierzy Mn (D) jest prosta.
Stwierdzenie 4.3.4. Centrum prostej k-algebry jest ciałem przemiennym. Stwierdzenie 4.3.5 (PN2 77). Jeśli A, B są prostymi k-algebrami, przy czym algebra A jest centralna, to A ⊗k B jest k-algebrą prostą. Stwierdzenie 4.3.6 (PN2 86). Niech k ⊂ L będzie rozszerzeniem ciał (przemiennych). Jeśli A jest
prostą i centralną k-algebrą, to L ⊗k A jest prostą i centralną L-algebrą. Ponadto dimL (L ⊗k A) =
dimk A. Twierdzenie 4.3.7 (Wedderburna 1907, PN2 61).
(1) Jeśli A jest prostą k-algebrą i dimk A < ∞, to istnieje k-algebra z dzieleniem D taka, że
A ≈ Mn (D), dla pewnego n.
(2) Jeśli Mn (D) ≈ Mm (D0 ), dla pewnych k-algebr z dzieleniem D, D0 , to n = m oraz k-algebry D
i D0 są izomorficzne. Stąd w szczególności wynika:
Wniosek 4.3.8 (PN2 87). Jeśli A jest skończenie wymiarową prostą i centralną k-algebrą, to jej
wymiar jest kwadratem liczby naturalnej. 4.4
Moduły proste
Niezerowy lewy A-moduł nazywamy prostym, jeśli nie ma istotnych podmodułów.
Stwierdzenie 4.4.1. Niech A będzie k-algebrą. Wtedy A jest algebrą z dzieleniem ⇐⇒ algebra A
jest prosta jako lewy i prawy A-moduł. Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg2 441). Jeśli A jest skończenie wymiarową k-algebrą bez dzielników
zera, to A jest algebrą z dzieleniem. Lemat 4.4.3 (Schura). Jeśli f : M −→ N jest niezerowym homomorfizmem prostych A-modułów,
to f jest izomorfizmem. Wniosek 4.4.4. Jeśli M jest prostym A-modułem, to EndA (M ) jest algebrą z dzieleniem. Twierdzenie 4.4.5 (PN2 90). Niech A będzie prostą skończenie wymiarową k-algebrą i niech M
będzie skończenie wymiarowym (nad k) A-modułem. Wtedy M jest (skończoną) sumą prostą prostych
A-modułów. Wszystkie A-moduły proste są izomorficzne. 4.5
Minimalne ideały
Niech A będzie k-algebrą. Lewy ideał I w A jest prostym A-podmodułem w A wtedy i tylko
wtedy, gdy jest niezerowym lewym ideałem minimalnym w A, tzn. nie ma niezerowego lewego ideału
J w A, zawartego w I i różnego od I.
Każda skończenie wymiarowa k-algebra posiada oczywiście lewe ideały minimalne (gdyż każdy
ideał jest podprzestrzenią liniową).
Stwierdzenie 4.5.1 (PN2 61).
morficzne, jako A-moduły.
Dowolne dwa (lewe) ideały minimalne prostej k-algebry A są izo-
4. Algebry proste
19
Dowód. Niech I będzie niezerowym lewym ideałem w A. Wtedy Ann(I) = {a ∈ A; aI = 0} jest
dwustronnym ideałem w A, różnym od A (ponieważ 1 ∈ A). Jeśli zatem algebra A jest prosta, to
Ann(I) = 0.
Niech teraz I, J będą lewymi ideałami minimalnymi w A. Wtedy IJ 6= 0 (gdyż jeśli IJ = 0, to
I ⊆ Ann(J) = 0). Istnieją więc elementy x ∈ I, y ∈ J takie, że xy 6= 0. Rozpatrzmy A-homomorfizm
f : I −→ J, i 7→ iy. Jest to homomorfizm niezerowy (bo f (x) = xy 6= 0), a zatem - na mocy
Twierdzenia Schura - jest to izomorfizm. Rozpatrzmy prostą k-algebrę Mn (D), gdzie D jest k-algebrą z dzieleniem. Jeśli d = (d1 , . . . , dn )
jest niezerowym ciągiem elementów z D oraz i ∈ {1, . . . , n}, to oznaczmy przez d(i) , macierz należącą
do Mn (D), której i-ty wiersz jest ciągiem d, a pozostałe wiersze są zerowe.
Stwierdzenie 4.5.2 (PN2 70). Każdy lewy ideał minimalny w A = Mn (D) jest postaci Ad(i) , dla
pewnego niezerowego ciągu d ∈ Dn i pewnego i ∈ {1, . . . , n}. 4.6
Twierdzenie Skolema - Noether
Twierdzenie 4.6.1 (Skolema-Noether, PN2 93). Niech A będzie prostą skończenie wymiarową
k-algebrą. Niech B, C będą prostymi k-podalgebrami w A. Jeśli f : B −→ C jest k-algebrowym izomorfizmem, to istnieje element odwracalny a ∈ A taki, że
f (b) = a−1 ba,
dla wszystkich b ∈ B. Z tego twierdzenia wynikają następujące wnioski.
Wniosek 4.6.2. Niech A będzie prostą skończenie wymiarową k-algebrą. Niech B, C będą prostymi
k-podalgebrami w A. Jeśli f : B −→ C jest k-algebrowym izomorfizmem, to istnieje k-algebrowy
automorfizm g : A −→ A taki, że g | B = f . Mówimy, że k-algebrowy automorfizm f : A −→ A jest wewnętrzny, jeśli istnieje element odwracalny a ∈ A taki, że f (x) = a−1 xa, dla wszystkich x ∈ A.
Wniosek 4.6.3. Jeśli A jest prostą skończenie wymiarową k-algebrą, to każdy jej k-algebrowy automorfizm jest wewnętrzny. Następne fakty są również wnioskami z twierdzenia Skolema-Noether.
Twierdzenie 4.6.4 (Frobeniusa 1877, PN2 96). Jedynymi skończenie wymiarowymi R-algebrami
z dzieleniem są R, C i H (gdzie H jest ciałem kwaternionów). Twierdzenie 4.6.5 (Wedderburna 1905, PN2 99). Ciało skończone jest przemienne. Twierdzenie 4.6.6 (D6 160). Jeśli A jest prostą skończenie wymiarową k-algebrą, to każda kderywacja d : A −→ A jest wenętrzna. 4.7
Grupa Brauera
Oznaczmy przez U(k) rodzinę wszystkich skończenie wymiarowych prostych i centralnych k-algebr.
Jeśli A ∈ U(k), to przez [A] oznaczamy rodzinę wszystkich k-algebr należących do U(k), izomorficznych
z k-algebrą A. Zatem, jeśli A, B ∈ U(k), to
[A] = [B] ⇐⇒ A ≈ B.
Przez A(k) oznaczamy rodzinę wszystkich klas postaci [A], gdzie A ∈ U(k). W dalszym ciągu pisać
będziemy A = B, zamiast A ≈ B.
Wiemy, że jeśli A, B ∈ U(k), to A⊗k B ∈ U(k). Oznacza to, że iloczyn tensorowy ⊗k jest działaniem
w zbiorze A(k). Zachodzą ponadto równości A ⊗k B = B ⊗k A, A ⊗k (B ⊗k C) = (A ⊗k B) ⊗k C oraz
k ⊗k A = A, z których wynika:
4. Algebry proste
20
Stwierdzenie 4.7.1. Zbiór A(k), z działaniem ⊗k , jest przemienną półgrupą z jedynką. Jedynką jest
klasa [k]. W zbiorze A(k) wprowadzamy relację ∼, przyjmując:
A∼B
⇐⇒
A ⊗k Mn (k) ≈ B ⊗k Mm (k),
dla pewnych n, m ∈ N
⇐⇒
Mn (A) ≈ Mm (B),
dla pewnych n, m ∈ N.
Lemat 4.7.2 (PN2 80). Relacja ∼ jest typu równoważności. Jeśli A, A1 , B, B1 ∈ U(k) oraz A ∼ A1
i B ∼ B1 , to A ⊗k B ∼ Aa ⊗k B1 . Stąd wynika, że ∼ jest kongruencją w półgrupie A(k). Zanotujmy także:
Lemat 4.7.3 (PN2 82). Jeśli A ∈ U(k), to Ao ∈ U(k) oraz A ⊗k Ao ≈ Mk (k), gdzie n = dimk A
(przez Ao oznaczyliśmy k-algebrę przeciwną do A). Definicja 4.7.4. Grupą Brauera ciała k nazywamy zbiór, oznaczany przez Br(k), składający się z
wszystkich klas abstrakcji zbioru A(k), względem relacji ∼. Innymi słowy:
Br(k) = A(k)/ ∼ .
Z powyższych faktów wynika, że Br(k) jest grupą abelową, ze względu na iloczyn tensorowy. Zerem
jest klasa abstrakcji ciała k. Zerem jest więc klasa abstrakcji każdej k-algebry macierzowej postaci
Mn (k), gdzie n ∈ N. Elementem przeciwnym do klasy abstrakcji wyznaczonej przez algebrę A jest
klasa abstrakcji algebry przeciwnej Ao .
Twierdzenie 4.7.5 (PN2 83). Każda klasa abstrakcji należąca do Br(k) zawiera dokładnie jedną (z
dokładnością do izomorfizmu) skończenie wymiarową i centralną k-algebrę z dzieleniem. Grupa Brauera Br(k) ma więc tyle elementów ile jest (z dokładnością do izomorfizmu) skończenie
wymiarowych i centralnych k-algebr z dzieleniem. Grupa Brauera klasyfikuje zatem nieprzemienne
ciała, będące skończonymi rozszerzeniami ciała k.
Przykład 4.7.6 (PN2 85, 101).
(1) Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte, to jedyną skończenie wymiarową k-algebrą z dzieleniem jest ciało k, a zatem Br(k) = 0.
(2) Br(R) = Z2 . Jedynymi skończenie wymiarowymi centralnymi R-algebrami z dzieleniem są R i
H. Zaznaczmy jeszcze raz, że ciało C, liczb zespolonych, nie jest centralną R-algebrą.
(3) Jeśli k jest ciałem skończonym, to Br(k) = 0.
(4) (Tsen). Jeśli k jest ciałem algebraicznie domkniętym, to Br(k(t)) = 0, Br(k((t))) = 0, gdzie
k(t) jest ciałem funkcji wymiernych jednej zmiennej t nad k, a k((t)) jest ciałem ułamków pierścienia
szeregów k[[t]]. 5. Grupy skończone
5
21
Grupy skończone
Rząd grupy G oznaczamy przez |G|.
5.1
Grupy rozwiązalne
Dobrze wiadomo, że grupa symetrii Sn jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy n 6 4.
Twierdzenie 5.1.1 (Burnside’a). Każda grupa rzędu pa q b , gdzie p i q są liczbami pierwszymi, jest
rozwiązalna. Twierdzenie 5.1.2 (Feita-Thompsona 1965). Każda grupa nieparzystego rzędu jest rozwiązalna.
Twierdzenie 5.1.3. Każda grupa rzędu pqr, gdzie p, q, r są liczbami pierwszymi, jest rozwiązalna. Dowód tego faktu jest w notatkach z Cortony 1982.
Twierdzenie 5.1.4 ([6] 169). Każda grupa rzędu p2 qr, gdzie p, q, r są parami różnymi liczbami
pierwszymi, jest rozwiązalna lub izomorficzna z As . Jeśli 1 6 n 6 200 i n 6∈ {60, 120, 168, 180}, to wszystkie grupy rzędu n są rozwiązalne. Istnieje
grupa nierozwiązalna generowana przez dwa elementy ([30] 56).
5.2
Grupa diedralna
Grupę diedralną oznacza się przez Dn . Jest to grupa izometrii n-kąta foremnego. Posiada ona 2n
elementów. Przy pomocy generatorów i relacji zapisuje się następująco:
Dn = ha, b; an = e, b2 = e, (ab)2 = ei
(dowód tego faktu jest np. w [30] 20).
Stwierdzenie 5.2.1 ([14] 195, [30]). Grupa Dn jest rozwiązalna. 5.3
Twierdzenia Sylowa
Piotr Ludwik Sylow, 1832 - 1918, matematyk norweski. Teoria grup Sylowa pochodzi z 1872 r.
Mówimy, że grupa G jest p-grupą (gdzie p jest liczbą pierwszą), jeśli |G| jest potęgą liczby p. Każdą
podgrupę grupy G, różną od {e} i będącą p-grupą, nazywamy p-podgrupą grupy G.
Niech G będzie grupą, n = |G| i niech p-będzie liczbą pierwszą. Załóżmy, że n = pk m, gdzie k > 1,
p - n. Każdą podgrupę H grupy G taką, że |H| = pk (czyli maksymalną p-podgrupę w G), nazywamy
p-podgrupą Sylowa grupy G. Przez Sp (G) oznaczamy liczbę wszystkich p-podgrup Sylowa grupy G.
Twierdzenie 5.3.1 (Sylowa). Niech G będzie grupą skończoną rzędu n i niech p będzie liczbą pierwszą. Załóżmy, że p | n.
(1) Grupa G zawiera co najmniej jedną p-podgrupę Sylowa (tzn. Sp (G) > 1).
(2) p | Sp (G) − 1.
(3) Każda p-podgrupa grupy G zawarta jest w pewnej p-podgrupie Sylowa grupy G.
(4) Każde dwie p-podgrupy Sylowa grupy G są sprzężone, tzn. jeśli A, B są p-podgrupami Sylowa
w G, to istnieje g ∈ G takie, że A = gBg −1 . Z tego twierdzenia wynikają następujące wnioski.
Wniosek 5.3.2 ([28]). Niech G będzie grupą skończoną rzędu n i niech p będzie liczbą pierwszą.
(5) Jeśli p | n, to grupa G posiada element rzędu p.
(6) Niech n = pk m, gdzie k > 1, p - m. Wtedy grupa G posiada podgrupy H1 , H2 , . . . Hk odpowiednio
rzędów p1 , p2 , . . . , pk .
(7) p | n =⇒ Sp (G) | n. 5. Grupy skończone
22
Wniosek 5.3.3 ([16] 67, [28]). Niech G będzie grupą skończoną rzędu n. Załóżmy, że n = pq, gdzie
p > q są liczbami pierwszymi. Wtedy grupa G posiada dzielnik normalny rzędu p. Jeśli q - p − 1, to
grupa G jest cykliczna. Zanotujmy kilka własności podgrup Sylowa.
Stwierdzenie 5.3.4 ([14] 186, [28]).
(1) Dana p-podgrupa Sylowa grupy G jest jedyna ⇐⇒ jest ona dzielnikiem normalnym w G.
(2) Obraz p-podgrupy Sylowa grupy G, przy homomorfizmie grupy G na grupę H, jest p-podgrupą
Sylowa w H.
(3) Dowolna p-podgrupa Sylowa sumy prostej grup A i B jest sumą prostą p-podgrup Sylowa grup
A i B. Przykład 5.3.5 ([14], [28]).
(1) Grupa symetrii Sp (gdzie p jest liczbą pierwszą) posiada (p − 2)! parami różnych p-podgrup
Sylowa.
(2) Wszystkie podgrupy Sylowa grupy rzędu 100 są przemienne. Oto kilka konsekwencji twierdzeń Sylowa.
Przykład 5.3.6 ([14], [28]).
(1) Grupy rzędów 15, 35 i 185 są przemienne.
(2) Grupy Q8 (kwaternionów) i D4 (izometrii kwadratu) nie są izomorficzne.
(3) Grupa D4 jest izomorficzna z pewną 2-podgrupą Sylowa grupy S4 . 5.4
Grupy macierzowe nad ciałem skończonym
Przez GLn (q) oznaczamy grupę (n × n)-macierzy nieosobliwych o wyrazach należących do qelementowego ciała.
Stwierdzenie 5.4.1 ([14] 185, [28] 28).
|GLn (q)| = (q n − 1)(q n − q)(q n − q 2 ) · · · (q n − q n−1 ).
Grupa specjalna. Przez SLn (q) oznaczamy podgrupę w GLn (q), zwaną specjalną, składającą się
z macierzy (należących do GLn (q), o wyznaczniku 1. Grupa ta jest dzielnikiem normalnym w GLn (q).
Jest to jądro wyznacznika det : GLn (q) −→ F , gdzie F jest q-elementowym ciałem.
Stwierdzenie 5.4.2 ([14] 185, [28] 28).
|SLn (q)| = (g − 1)−1 |GLn (q)| = (q − 1)−1 (q n − 1)(q n − q)(q n − q 2 ) · · · (q n − q n−1 ).
W szczególności grupa SL2 (3) ma 24 elementy, tyle samo co grupa S4 . Grupy te nie są jednak izomorficzne. Grupa SL2 (3) posiada dzielnik normalny, który jest 2-podgrupą Sylowa ([14] 185, [28] 30).
Niech p będzie liczbą pierwszą. Można wykazać ([14] 186, [28] 31), że grupa SL2 (p) ma dokładnie
p + 1 parami różnych p-podgrup Sylowa. Jedną z nich jest p-grupa
1 a
P =
; a ∈ Zp .
0 1
5.5
Centrum grupy
Centrum grupy G oznaczamy przez Z(G). Jest to zbiór wszystkich elementów g ∈ G takich, że
gx = xg, dla wszystkich x ∈ G. Zbiór ten jest grupą abelową, bedącą dzielnikiem normalnym w G.
¯
Każda p-grupa ma nietrywialne centrum ([2]). Z faktu tego łatwo się wykazuje, że każda grupa
2
rzędu p (gdzie p jest liczbą pierwszą) jest abelowa.
5. Grupy skończone
23
Stwierdzenie 5.5.1 ([14] 183, [24] 55).
(1) Z(S1 ) = S1 , Z(S2 ) = S2 .
(2) Z(Sn ) = {e}, dla n > 3. Centrum grupy GLn (k) (gdzie k jest ciałem) jest zbiorem wszystkich macierzy postaci aE, gdzie
a ∈ k i E jest (n × n)-macierzą jednostkową.
5.6
Automorfizmy
Automorfizmem grupy G nazywamy każdą bijekcję f : G −→ G taką, że f (ab) = f (a)f (b), dla
a, b ∈ G. Mówimy, że automorfizm f jest wewnętrzny jeśli istnieje g ∈ G takie, że f (x) = gxg −1 , dla
wszystkich x ∈ G. Przez Aut(G), Int(G) oznaczamy odpowiednio grupy wszystkich automorfizmów
i wszystkich automorfizmów wewnętrznych grupy G. Grupa Int(G) jest dzielnikiem normalnym w
Aut(G).
Stwierdzenie 5.6.1. G/Z ≈ Int(G). Stwierdzenie 5.6.2 ([20] 132). Niech A i B będą grupami skończonymi o względnie pierwszych
rzędach. Wtedy Aut(A × B) ≈ Aut(A) × Aut(B). Mówimy, że grupa G jest doskonała jeśli ma trywialne centrum i każdy jej automorfizm jest wewnętrzny. Jeśli grupa G jest doskonała, to Aut(G) ≈ G, tj. badanie grupy automorfizmów zamienia
się w badanie samej grupy. Tej własności grupy doskonałe zawdzięczają swoją nazwę.
Stwierdzenie 5.6.3 ([20] 130). Nieprzemienna grupa prosta jest doskonała. Automorfizmy grupy symetrycznej.
Twierdzenie 5.6.4 (Hölder, [20] 132, [11] 72). Jeśli n 6= 2, 6, to grupa Sn jest doskonała. Stąd otrzymujemy:
Wniosek 5.6.5. Aut(Sn ) ≈ Sn , dla n 6= 2, 6.
Wiadomo, że AutS6 /Int(S6 ) ≈ Z2 . Grupa S6 posiada dokładnie jeden automorfizm niewewnętrzny.
Automorfizmy Zn . Każdy automorfizm f grupy Zn jest jednoznacznie wyznaczony przez swoją
wartość w punkcie 1 ∈ Zn . Jeśli f (1) = s, to NWD(s, n) = 1. Stąd łatwo wynika, że automorfizmów
grupy Zn jest tyle, ile jest liczb naturalnych 6 n i względnie pierwszych z n.
Wniosek 5.6.6. |Aut(Zn )| = ϕ(n), gdzie ϕ jest funkcją Eulera. Twierdzenie 5.6.7 ([20] 123).
(1) Aut(Z2 ) = {e}, Aut(Z4 ) = Z2 .
(2) Aut(Z2m ) = Z2 × Z2m−2 , dla m > 3.
(3) Jeśli p jest nieparzystą liczbą pierwszą, to Aut(Zpm ) = Zϕ(pm ) , dla m > 1. Dowody są w notatkach z Cortony 1984.
Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną, to grupę Aut(Zn ) obliczamy korzystając z powyższego twierdzenia oraz Stwierdzenia 5.6.2.
Przykład 5.6.8.
(1) Aut(Z100 ) ≈ Aut(Z4 ) × Aut(Z25 ) ≈ Z2 × Z20 .
(2) Aut(Z120 ) ≈ Aut(Z8 ) × Aut(Z3 ) × Aut(Z5 ) ≈ Z2 × Z4 × Z2 × Z4 . Grupa Znp = Zp × · · · × Zp jest przestrzenią liniową nad ciałem Zp . Każdy automorfizm tej grupy
{z
}
|
n
jest automorfizmem liniowym i odwrotnie. Mamy zatem:
Stwierdzenie 5.6.9. Aut(Znp ) ≈ GLn (Zp ). W szczególności grupy Aut(Z2 × Z2 ), GL2 (2) i S3 są izomorficzne.
6. Reprezentacje grup
6
24
Reprezentacje grup
6.1
Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu
Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem k i niech f : V −→ V będzie jej
k-liniowym endomorfizmem. Jeśli W jest taką podprzestrzenią w V , że f (W ) ⊆ W , to mówimy, że
podprzestrzeń W jest niezmiennicza względem f . Wektorem własnym endomorfizmu f nazywamy
każdy niezerowy wektor v ∈ V taki, że f (v) = av, dla pewnego a ∈ k. W tym przypadku skalar a
nazywamy wartością własną endomorfizmu f (odpowiadającą wektorowi własnemu v).
Stwierdzenie 6.1.1. Niech 0 6= v ∈ V i W = kv. Wówczas W jest podprzestrzenią niezmienniczą
względem endomorfizmu f wtedy i tylko wtedy, gdy v jest wektorm własnym tego endomorfizmu. Istnieje praktyczny sposób szukania wszystkich wartości własnych danego endomorfizmu f . Wartości własne, są bowiem pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tego endomorfizmu. Stąd wynika
w szczególności, że leśli ciało k jest algebraicznie domknięte, to każdy endomorfizm posiada co najmniej
jeden wektor własny, czyli posiada co najmniej jedną jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
Tak nie musi być już nad ciałem R, liczb rzeczywistych. Można jednak wykazać ([27] 13), że nad ciałem
R każdy endomorfizm posiada jedowymiarową lub dwuwymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
Stwierdzenie 6.1.2. Wektory własne odpowiadające parami różnym wartościom własnym są liniowo
niezależne nad k. Stąd otrzymujemy:
Wniosek 6.1.3. Niech f : V −→ V będzie endomorfizmem n-wymiarowej przestrzeni liniowej nad
ciałem k. Załóżmy, że endomorfizm f posiada n parami różnych wartości własnych a1 , . . . , an . Niech
v1 , . . . , vn będą wektorami własnymi, odpowiadającymi odpowiednio tym wartościom własnym. Wtedy
zbiór {v1 , . . . , vn } jest bazą przestrzeni V i w bazie tej endomorfizm f ma macierz diagonalną postaci


a1 0 · · · 0
 0 a2 · · · 0 


 ..
..
..  .  .
.
. 


0 0 · · · an
Zanotujmy również
Twierdzenie 6.1.4 ([14] 231, [27] 11). Dowolny zbiór parami przemiennych endomorfizmów
skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętym posiada wspólny
wektor własny. 6.2
Podstawowe definicje i fakty
Niech G będzie grupą i V skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem k. Przez GLk (V )
oznaczamy grupę k-automorfizmów liniowych przestrzeni V . Liniową reprezentacją (krótko: reprezentacją) grupy G w przestrzeni V nazywamy każdy homomorfizm grup
T : G −→ GLk (V ).
Jeśli homomorfizm ten jest różnowartościowy, to mówimy, że reprezentacja T jest wierna. Wymiarem
reprezentacji T nazywamy liczbę dimk V . Jeśli g ∈ G, to automorfizm T (g) oznaczamy przez Tg .
Niech T : G −→ GLk (V ), T 0 : G −→ GLk (V 0 ) będą reprezentacjami tej samej grupy G. Mówimy,
że reprezentacje te są równoważne (lub izomorficzne lub podobne), jeśli istnieje k-liniowy izomorfizm
f : V −→ V 0 taki, że
f Tg = Tg0 f, dla wszystkich g ∈ G.
25
Mając dwie reprezentacje T , T 0 tej samej grupy G, możemy utworzyć ich sumę prostą
T ⊕ T 0 : G −→ GLk (V ⊕ V 0 ),
którą definiuje się wzorem
(T ⊕ T 0 )g (v, v 0 ) = (Tg (v), Tg0 (v 0 )),
dla wszystkich g ∈ G, v ∈ V , v 0 ∈ V 0 . Suma prosta reprezentacji jest oczywiście reprezentacją.
Niech T : G −→ GLk (V ) będzie reprezentacją i niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni V .
Mówimy, że W jest podprzestrzenią niezmienniczą reprezentacji T , jeśli Tg (W ) ⊆ W , dla wszystkich
g ∈ G. Każda podprzestrzeń niezmiennicza W wyznacza nową reprezentację
T W : G −→ GLk (W ),
TgW = Tg | W,
dla g ∈ G.
Tak określoną reprezentację T W nazywa się podreprezentacją reprezentacji T .
Mówimy, że reprezentacja T : G −→ GLk (V ) jest nieprzywiedlna, jeśli jedynymi jej podprzestrzeniami niezmienniczymi są 0 i V .
Twierdzenie 6.2.1 (Maschke, [13]). Jeśli charakterystyka ciała k nie dzieli rzędu grupy G, to
każda skończenie wymiarowa reprezentacja grupy G jest sumą prostą skończonej ilości reprezentacji
nieprzywiedlnych. Rozważać będziemy głównie reprezentacje nad ciałem C, liczb zespolonych. W tym przypadku
można udowodnić następujące twierdzenia.
Twierdzenie 6.2.2. Rozkład danej reprezentacji skończenie wymiarowej nad C jest jednoznaczny, z
dokładnością do izomorfizmu i porządku występowania składników. Mówimy, że dwa elementy a, b grupy G są sprzężone , jeśli istnieje element g ∈ G taki, że a = gbg −1 .
Sprzężoność jest relacją typu równoważności w G. Moc zbioru klas abstrakcji względem tej relacji
oznaczamy przez s(G).
Twierdzenie 6.2.3. Niech k = C i niech G będzie skończoną grupą.
(1) Jeśli T : G −→ GLk (V ) jest skończenie wymiarową reprezentacją grupy G, to wymiar przestrzeni V jest podzielnikiem rzędu grupy G.
(2) Liczba parami nieizomorficznych nieprzywiedlnych reprezentacji skończenie wymiarowych grupy G jest równa s(G). W szczególności liczba ta jest skończona.
(3) Jeśli T1 , . . . , Tr są wszystkimi parami nieizomorficznymi reprezentacjami grupy G (skończenie
wymiarowymi), to
|G| = n21 + · · · + n2r ,
gdzie n1 , . . . , nr są wymiarami odpowiednio reprezentacji T1 , . . . , Tr . Powyższe dwa twierdzenia dowodzi się przy pomocy charakterów, które wprowadzimy w podrozdziale 6.5. Liczne przykłady reprezentacji znajdziemy w [26].
6.3
Algebra grupowa
Niech g będzie grupą i k ciałem. Oznaczmy przez k[G] przestrzeń k-liniową o bazie G. Każdy
element z k[G] ma jednoznaczne przedstawienie postaci
P
g∈G ag g,
gdzie ag ∈ k oraz ag = 0, dla prawie wszystkich g ∈ G. W k[G] definiujemy dodawanie i mnożenie,
przyjmując:
P
P
P
g∈G ag g +
g∈G bg g =
g∈G (ag + bg )g,
P
P
P
P
·
g∈G ag g
g∈G bg g =
g∈G
h∈G ag bh gh.
26
Przestrzeń k[G], wraz z powyższymi działaniami, jest łączną k-algebrą, zwaną algebrą grupową grupy
G nad k. Algebra ta posiada jedynkę, którą jest element 1e (gdzie e jest elementem neutralnym grupy
G).
Pewne informacje o algebrach grupowych znajdziemy w PG, PN2 34-51, [23].
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy reprezentacjami grupy G nad ciałem k,
a lewymi k[G]-modułami. Jeśli T : G −→ GLk (V ) jest reprezentacją, to V jest lewym k[G]-modułem
z mnożeniem
P
P
( g∈G ag g) · v = g∈G ag Tg (v).
Jeśli natomiast V jest lewym k[G]-modułem, to odwzorowanie T : G −→ GLk (V ), określone wzorem
Tg (v) = gv,
dla g ∈ G, v ∈ V,
jest reprezentacją grupy G nad k.
Przy tej odpowiedniości reprezentacjom nieprzywiedlnym odpowiadają moduły proste. Każdy izomorfizm k[G]-modułów jest izomorfizmem reprezentacji i odwrotnie.
Twierdzenie Maschke można teraz wysłowić następująco:
Twierdzenie 6.3.1 (Maschke). Jeśli G jest grupą skończoną i charakterystyka ciała k nie dzieli
rzędu grupy G, to algebra k[G] jest półprosta. Przypomnijmy, że k-algebra A jest półprosta jeśli każdy A-moduł jest półprosty, tzn. jest sumą
prostą A-modułów prostych lub równoważnie, jeśli każdy jego k[G]-podmoduł jest składnikiem prostym.
Z twierdzenia Maschke oraz z twierdzenia Wedderburna wynika w szczególności, że jeśli G jest
skończoną grupą i k jest ciałem charakterystyki zero, to algebra k[G] jest iloczynem algebr macierzy
nad pierścieniami z dzieleniem, mającymi skończony wymiar nad ciałem k.
6.4
Reprezentacje unitarne
Przypomnijmy najpierw definicję przestrzeni unitarnej. Niech V będzie przestrzenią liniową nad C.
Funkcję h : V × V −→ C nazywamy iloczynem hermitowskim (na przestrzeni V ), jeśli:
(1) h(a, b) = h(b, a),
(2) h(a + a0 , b) = h(a, b) + h(a0 , b),
(3) h(αa, b) = αh(a, b),
(4) h(a, a) ∈ R i h(a, a) > 0, gdy a 6= 0,
dla wszystkich a, a0 , b ∈ V , α ∈ C. Każdą parę postaci (V, h) nazywamy przestrzenią unitarną.
Mówimy, że reprezentacja T : G −→ GLC (V ) jest unitarna, jeśli istnieje iloczyn hermitowski
h : V × V −→ C taki, że
h(Tg (a), Tg (b)) = h(a, b),
dla wszystkich g ∈ G, a, b ∈ V . Jeśli ciało C zastąpimy ciałem R, liczb rzeczywistych, to mówi się, że
taka reprezentacja jest ortogonalna.
Twierdzenie 6.4.1 ([5] 336). Każda reprezentacja nad C jest unitarna. 6.5
Charaktery reprezentacji
Jeśli k = C jest ciałem liczb zespolonych, to piszemy GL(V ), zamiast GLC (V ). W tym podrozdziale
zajmować się będziemy tylko skończenie wymiarowymi reprezentacjami skończonej grupy G nad ciałem
C.
Niech T : G −→ GL(V ) będzie reprezentacją. Charakterem reprezentacji T nazywamy funkcję
χT : G −→ C, określoną wzorem
χT (g) = tr(Tg ),
gdzie tr(Tg ) oznacza ślad automorfizmu Tg .
dla γ ∈ G,
27
Twierdzenie 6.5.1. Niech T : G −→ GL(V ) będzie reprezentacją. Wtedy:
(1) χT (e) = dim V , gdzie e jest elementem neutralnym grupy G;
(2) χT (ab) = χT (ba), dla a, b ∈ G;
(3) χT (a−1 ) = χT (a), dla a ∈ G. Twierdzenie 6.5.2. Reprezentacje T i T 0 są izomorficzne ⇐⇒ χT = χT 0 . Twierdzenie 6.5.3. Jeśli reprezentacja T jest sumą prostą reprezentacji T1 , . . . , Ts , to χT = χT1 +
· · · + χTs . Przez F(G) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji z G do C. Zbiór ten jest przestrzenią liniową nad
C wymiaru |G|. Mówimy, że funkcja f ∈ F(G) jest centralna, jeśli
f (ab) = f (ba),
dla a, b ∈ G.
Zbór wszystkich funkcji centralnych jest podprzestrzenią w F(G), któą oznaczamy przez Fc (G). Nie
jest trudno pokazać, że dim Fc (G) = s(G), gdzie s(G) jest (wprowadzoną wcześniej) mocą zbioru klas
abstrakcji w G względem sprzężoności. Zauważmy, że charakter reprezentacji jest funkcją centralną.
W przestrzeni F(G) definiuje się specjalny iloczyn hermitowski
h , i : F(G) × F(G) −→ C,
przyjmując, dla f, g ∈ F(G),
hf, gi =
1 X
f (a)g(a).
|G|
a∈G
Twierdzenie 6.5.4 ([5], [13]).
(1) Jeśli T, T 0 są nieprzywiedlnymi i nieizomorficznymi reprezentacjami grupy G, to
hχT , χT 0 i = 0.
(2) Reprezentacja T grupy G jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy
hχT , χT i = 1.
(3) Niech T będzie reprezentacją grupy G i niech T = T1 ⊕ · · · ⊕ Tr będzie jej rozkładem na sumę
prostą reprezentacji nieprzywiedlnych. Niech T 0 będzie dowolną reprezentacją nieprzywiedlną grupy G.
Wówczas hχT , χT 0 i jest nieujemną liczbą całkowitą, równą liczbie reprezentacji ze zbioru {T1 , . . . , Tr }
izomorficznych z T 0 . Wniosek 6.5.5 ([13] 283). Charaktery wszystkich parami nieizomorficznych reprezentacji nieprzywiedlnych skończonej grupy G stanowią bazę ortonormalną przestrzeni Fc (G), funkcji centralnych na
G. 6.6
Reprezentacja regularna
Niech G będzie skończoną grupą. Przypomnijmy, że przez F(G) oznaczamy przestrzeń C-liniową,
składającą się z wszystkich funkcji z G do C. Wymiar tej przestrzeni jest równy |G|. Bazą jest zbiór
{eg ; g ∈ G}, gdzie eg : G −→ C jest funkcją określoną wzorem
(
1,
dla h = g,
eg (h) =
0,
dla h 6= g.
Definiujemy odwzorowanie ρ : G −→ GL(F(G)) przyjmując (dla elementów bazowych):
ρg (eh ) = egh ,
dla g, h ∈ G.
Łatwo sprawdzić, że ρ jest reprezentacją grupy G; nazywamy ją reprezentacją regularną.
28
Stwierdzenie 6.6.1 ([14] 243, [25] 37). Niech χ będzie charakterem reprezentacji ρ. Wtedy
(
0,
dla g 6= e,
χ(g) =
|G|, dla g = e.
Twierdzenie 6.6.2 ([13] 285). Niech T będzie nieprzywiedlną reprezentacją zespoloną grupy G.
Niech m będzie wymiarem tej reprezentacji. Wtedy T występuje m razy w rozkładzie reprezentacji
regularnej grupy G na sumę prostą reprezentacji nieprzywiedlnych. Stąd w szczególności wynika, że każda reprezentacja nieprzywiedlna grupy G jest podreprezentacją
reprezentacji ρ.
Z powyższych faktów wynikają następujące wnioski.
Wniosek 6.6.3 ([25] 38). Jeśli |G| > 1, to reprezentacja ρ jest przywiedlna. Wniosek 6.6.4 ([14] 243, [25] 38). Jeśli e 6= h ∈ G, to istnieje nieprzywiedlna reprezentacja T
grupy G taka, że Th 6= id. 6.7
Reprezentacje zespolone grup abelowych
W tym podrozdziale podamy kilka faktów o skończenie wymiarowych reprezentacjach zespolonych
skończonej grupy abelowej. Jeśli G jest skończoną grupą abelową, to liczba s(G) pokrywa się z rzędem
grupy G. Z Twierdzenia 6.2.3(2) wynika zatem, że istnieje dokładnie |G| parami nieizomorficznych
reprezentacji nieprzywiedlnych (skończenie wymiarowych) grupy G. Nie jest trudno zauważyć, że każda
taka nieprzywiedlna reprezentacja jest jednowymiarowa.
Stwierdzenie 6.7.1 ([14] 243, [25] 14). Wszystkie nieprzywiedlne reprezentacje grupy G są jednowymiarowe wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową. Każda więc reprezentacja zespolona skoṅczonej grupy abelowej jest sumą prostą reprezentacji
jednowymiarowych. Innymi słowy:
Wniosek 6.7.2. Niech T : G −→ GL(V ) będzie skończenie wymiarową reprezentacją zespoloną skończonej grupy abelowej G. Wtedy przestrzeń V jest sumą prostą jednowymiarowych podprzestrzeni niezmienniczych względem wszystkich automorfizmów Tg , g ∈ G. Niech G będzie grupą abelową i niech m będzie liczbą naturalną. Oznaczmy przez r(m, G) liczbę
wszystkich parami nieizomorficznych m-wymiarowych reprezentacji grupy G. Z powyższych faktów
wynika, że r(1, G) = |G| oraz, że jeśli m > 1, to każda m-wymiarowa reprezentacja grupy G jest
przywiedlna.
Przykład 6.7.3. r(2, Z2 ) = 3.
Dowód. Ponieważ |Z2 | = 2, więc grupa Z2 ma tylko dwie nieizomorficzne reprezentacje nieprzywiedlne. Oznaczmy je przez T i T 0 . Są to oczywiście reprezentacje jednowymiarowe. Każda dwuwymiarowa reprezentacja grupy Z2 jest więc sumą prostą reprezentacji należących do zbioru {T, T 0 }.
Ponieważ rozkład na sumę prostą jest jednoznaczny, więc mamy dokładnie trzy parami nieizomorficzne
reprezentacje dwuwymiarowe: T ⊕ T , T ⊕ T 0 oraz T 0 ⊕ T 0 . Stwierdzenie 6.7.4 ([14] 244, [25] 16-18). Niech G będzie grupą abelową rzędu n.
r(2, G) = n2 + n1
= n+1
2
r(3, G) = n3 + 2 n2 + n1
= n+2
3
r(4, G) = n4 + 3 n3 + 3 n2 + n1
= n+3
4 . 6. Reprezentacje grup
29
Stąd wynika np., że każda grupa abelowa rzędu 9 posiada 165 nieizomorficznych reprezentacji
trójwymiarowych. Inne informacje o reprezentacjach grup abelowych znajdziemy w [27].
Niech teraz G będzie dowolną grupą skończoną (niekoniecznie abelową). Jeśli a, b ∈ G, to przez
[a, b] oznaczamy komutator tych elementów, tzn. [a, b] = aba−1 b−1 . Podgrupę grupy G, generowaną
przez wszystkie komutatory [a, b], a, b ∈ G, oznaczamy przez G0 i nazywamy komutantem grupy G.
Komutant G0 jest dzielnikiem normalnym w G i grupa ilorazowa G/G0 jest abelowa.
Stwierdzenie 6.7.5 ([25] 20). Jednowymiarowe reprezentacje zespolone skończonej grupy G odpowiadają, w sposób wzajemnie jednoznaczny, nieprzywiedlnym reprezentacjom grupy ilorazowej G/G0 ,
gdzie G0 jest komutantem grupy G. Ich ilość jest równa indeksowi (G : G0 ). Stąd otrzymujemy:
Wniosek 6.7.6 ([14] 242-4, [25] 23-25). Jeśli grupa G posiada wierną dwuwymiarową zespoloną
reprezentację przywiedlną, to G jest grupą abelową. 6.8
Reprezentacje grupy Sn
Niech σ będzie permutacją zbioru {1, . . . , n} (czyli elementem grupy Sn ). Typem permutacji σ
nazywamy ciąg [j1 , . . . , jp ], liczb naturalnych będących długościami wszystkich cykli występujących
w rozkładzie permutacji σ na iloczyn parami rozłącznych cykli, spełniający warunki:
(1) j1 > j2 > · · · > jp ;
(2) j1 + · · · + jp = n.
Dla przykładu, jeśli σ = (1, 2, 3)(4, 5) jest elementem grupy S6 , to jej typem jest ciąg [3, 2, 1].
Przypomnijmy, że dwa elementy a, b danej grupy G są sprzężone jeśli a = gbg −1 , dla pewnego
g ∈ G.
Stwierdzenie 6.8.1 ([24] 41).
mają jednakowy typ. Dwie permutacje grupy Sn są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy
Z typami permutacji związane są podziały liczb naturalnych. Podziałem (lub partycją liczby naturalnej n nazywamy każdy ciąg [j1 , . . . , jp ] liczb naturalnych takich, że n > j1 > · · · > jp > 1,
j1 + · · · + jp = n. Przez p(n) oznaczamy liczbę wszystkich podziałów liczby n.
Dla przykładu p(5) = 7, gdyż liczba 5 ma następujące podziały: [5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1],
[2, 1, 1, 1] i [1, 1, 1, 1, 1].
Z powyższego stwierdzenia (oraz z Twierdzenia 6.2.3) wynika:
Twierdzenie 6.8.2. Liczba wszystkich parami nieizomorficznych zespolonych reprezentacji grupy Sn
jest równa p(n). Wniosek 6.8.3. s(Sn ) = p(n). Przyjmujemy dodatkowo, że p(0) = 1 oraz p(n) = 0, dla n < 0. Liczbę p(n) można obliczyć
korzystając z następującego stwierdzenia.
Stwierdzenie 6.8.4 ([3]).
p(n) =
i−1
(p(n
i>1 (−1)
P
−
3i2 −i
2 )
+ p(n −
3i2 +i
2 )).
W pracy magisterskiej [25] 31 podane są wartości p(n), dla 1 6 n 6 50. Wartości te obliczono
przy pomocy powyższego wzoru (oraz komputera). Oto kilka z tych wartości: p(10) = 42, p(20) = 627,
p(30) = 5604, p(40) = 37338, p(50) = 204226, p(100) = 190 569 292.
We wspomnianej pracy [25] znajdziemy opis wszystkich nieprzywiedlnych reprezentacji grupy Sn .
W opisie tym wykorzystuje się diagramy i tablice Jounga.
7. Ogólna teoria Galois
7
30
Ogólna teoria Galois
7.1
Podstawowe pojęcia
Zbiorem częściowo uporządkowanym nazywamy parę (X, 6), w której X jest zbiorem, a 6 jest
relacją częściowego porządku (tzn. zwrotną, antysymetryczną i przechodnią) na X. Antymorfizmem
zbiorów częściowo uporządkowanych (X, 6) i (Y, 6) nazywamy każdą funkcję f : X −→ Y taką, że
a 6 b =⇒ f (a) > f (b), dla a, b ∈ X.
Definicja 7.1.1. Niech (X, 6), (Y 6) będą zbiorami częściowo uporządkowanymi i niech
α : (X, 6) −→ (Y, 6),
β : (Y, 6) −→ (X, 6)
będą antymorfizmami. Mówimy, że odwzorowania α i β zadają ziązek Galois jeśli:
∀x∈X x 6 βα(x),
∀y∈Y y 6 αβ(y).
Załóżmy, że odwzorowania α : (X, 6) −→ (Y, 6), β : (Y, 6) −→ (X, 6) zadają związek Galois.
Wtedy αβα = α oraz βαβ = β. Mówimy, że element x ∈ X (odpowiednio y ∈ Y ) jest stacjonarny,
jeśli βα(x) = x (odp. αβ(y) = y). Zbiór wszystkich elementów stacjonarnych w X pokrywa się ze
zbiorem β(Y ), a zbiór wszystkich elementów stacjonarnych w Y pokrywa się ze zbiorem α(X).
Definicja 7.1.2. Związek Galois α : (X, 6) −→ (Y, 6), β : (Y, 6) −→ (X, 6) nazywamy przyporządkowaniem Galois, jeśli αβ = 1Y , βα = 1X , tzn. jeśli wszystkie elementy zbiorów X i Y są
stacjonarne.
Przykład 7.1.3. Rozwaṁy zbiór częściowo uporządkowany (R, 6) (liczby rzeczywiste ze zwykłą
nierównością) i antymorfizm ϕ : R −→ R, r 7→ −r. Wtedy para (ϕ, ϕ) jest przyporządkowaniem
Galois. Przykład 7.1.4. Niech M będzie dowolnym zbiorem i niech X = 2M będzie rodziną wszystkich
jego podzbiorów. Mamy wtedy zbiór częściowo uporządkowany (X, ⊆) i antymorfizm ϕ : X −→ X,
A 7→ M r A. Para (ϕ, ϕ) jest przyporządkowaniem Galois. Przykład 7.1.5. Niech X = 2M , Y = 2N będą rodzinami wszystkich podzbiorów odpowiednio
zbiorów M i N . Mamy wtedy dwa zbiory częściowo uporządkowane (X, ⊆) i (Y, ⊆). Niech H będzie
ustalonym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego M × N . Rozpatrzmy antymorfizmy α : X −→ Y ,
β : Y −→ X oreślone wzorami
α(A) = {n ∈ N ; ∀a∈A (a, n) ∈ H},
β(B) = {m ∈ M ; ∀b∈B (m, b) ∈ H},
dla A ∈ X, B ∈ Y . Łatwo sprawdzić, że B ⊆ αβ(B), A ⊆ βα(A). Para (α, β) jest więc związkiem
Galois. Jeśli zbiory M i N nie są równoliczne, to związek ten nie jest na ogół przyporządkowaniem
Galois. Z każdym związkiem Galois stowarzyszone jest przyporządkowanie Galois. Niech α : (X, 6) −→
(Y, 6), β : (Y, 6) −→ (X, 6) będzie związkiem Galois. Niech X 0 = β(Y ), Y 0 = α(X), α0 = α | X 0 ,
β 0 = β | Y 0 . Wtedy para (α0 , β 0 ) jest przyporządkowaniem Galois.
Główny problem ogólnej teorii Galois:
Dany jest związek Galois. Opisać zbiory elementów stacjonarnych.
7.2
31
Teoria Galois przestrzeni wektorowych
Niech k będzie ciałem. Jeśli V jest przestrzenią liniową nad k, to przez P (V ) oznaczać będziemy rodzinę wszystkich k-podprzestrzeni liniowych przestrzeni V . Rodzina ta jest zbiorem częściowo
uporządkowanym ze względu na inkluzję ⊆.
Niech V, W będą przestrzeniami k-liniowymi i niech Φ : V × W −→ k będzie ustaloną formą kdwuliniową. Rozpatrzmy antymorfizmy α : P (V ) −→ P (W ), β : P (W ) −→ P (V ) określone wzorami
α(V 0 ) = {w ∈ W ; ∀v0 ∈V 0 Φ(v 0 , w) = 0},
β(W 0 ) = {v ∈ V ; ∀w0 ∈W 0 Φ(v, w0 ) = 0},
gdzie V 0 ∈ P (V ), W 0 ∈ P (W ).
Stwierdzenie 7.2.1. Odwzorowania α : P (V ) −→ P (W ), β : P (W ) −→ P (V ) zadają związek Galois
pomiędzy zbiorami P (V ) i P (W ). Nie jest trudno zauważyć, że powyższy związek Galois nie musi być przyporządkowaniem Galois.
Tak jest na przykład, gdy przestrzenie liniowe V i W są skończenie wymiarowe i ich wymiary są różne.
Twierdzenie 7.2.2. Jeśli przestrzenie V i W mają skończony wymiar i forma dwuliniowa Φ : V ×
W −→ k jest nieosobliwa, to para (α, β) jest przyporządkowaniem Galois.
Dowód. Patrz np. notatki do wykładu Algebra II 1978/79 (kartki dotyczące ogólnej teorii Galois).
Przypomnijmy, że dwuliniowa forma Φ : V ×W −→ k jest nieosobliwa, jeśli α(V ) = 0 oraz β(W ) =
0. Jeśli forma Φ jest nieosobliwa i przestrzenie V , W mają skończony wymiar, to dim V = dim W .
7.3
Przyporządkowanie Jacobson-Bourbaki
Na podstawie [9] 19-24, D4 276-284.
Skonstruujemy pewne przyporządkowanie Galois stowarzyszone z danym ciałem.
Jeśli k ⊆ L są ciałami, to przez EndZ (L) oznaczamy pierścień wszystkich endomorfizmów addytywnej grupy (L, +), a przez Endk (L) oznaczamy pierścień (k-algebrę) wszystkich k-liniowych endomorfizmów przestrzeni L. Pierścień Endk (L) jest oczywiście podpierścieniem pierścienia EndZ (L).
Pierścień EndZ (L) jest przestrzenią liniową nad L z mnożeniem:
(l · f )(a) = lf (a),
dla l ∈ L, f ∈ EndZ (L), a ∈ L.
Pierścień Endk (L) jest podprzestrzenią przestrzeni EndZ (L).
Twierdzenie 7.3.1 ([9] 20, D4 280). Niech L będzie ciałem i niech U będzie podpierścieniem (z
jedynką) pierścienia EndZ (L), będącym skończenie wymiarową L-podprzestrzenią przestrzeni EndZ (L).
Oznaczmy:
k = {l ∈ L; ∀f ∈U ∀a∈L f (la) = lf (a)}.
Wtedy k jest podciałem ciała L takim, że (L : k) = dimL U oraz U = Endk (L). Niech L będzie ustalonym ciałem. Rozważmy dwa następujące zbiory.
K =
U
=
zbiór wszystkich podciał k ciała L takich, że (L : k) < ∞;
zbiór wszystkich podpierścieni pierścienia EndZ (L),
będących skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami
przestrzeni EndZ (L) nad L.
Zbiory K i U są częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję ⊆. Definiujemy antymorfizmy α :
K −→ U, β : U −→ K przyjmując
dla k ∈ K,
α(k)
= Endk (L),
β(U )
= {l ∈ L; ∀f ∈U ∀a∈L f (la) = lf (a)}, dla U ∈ U.
Nie jest trudno wykazać, że antymorfizmy α, β tworzą związek Galois. Parę (α, β) nazywa się przyporządkowaniem Jacobson-Bourbaki.
32
Twierdzenie 7.3.2 ([9] 20, D4 280). Para (α, β) jest przyporządkowaniem Galois. 7.4
Teoria Galois rozszerzeń czysto nierozdzielczych
Na podstawie [9], D4 285-294.
Skonstruujemy pewne przyporządkowanie Galois stowarzyszone z danym ciałem dodatniej charakterystyki.
Niech L będzie ciałem charakterystyki p > 0. Rozważmy algebrę Liego Der(L), wszystkich derywacji ciała L. Wiadomo, że jeśli d ∈ Der(L), to odwzorowanie dp (p-krotne złożenie) również należy
do Der(L). Jeśli U ⊆ Der(L) jest podalgebrą Liego w Der(L), to mówimy, że podalgebra U jest ograniczona (lub, że U jest podalgebrą Liego z ograniczeniem) jeżeli z tego, że d ∈ U wynika, że dp ∈ U .
Dla danego podzbioru ∆ ⊆ Der(L) przez L∆ oznaczamy ciało stałych podzbioru ∆, tzn.
L∆ = {a ∈ L; ∀d∈∆ d(a) = 0}.
Jest oczywiste, że ciało L∆ zawiera podciało Lp .
Jeśli k jest podciałem ciała L, to przez Derk (L) oznaczamy algebrę Liego wszystkich k-derywacji
ciała L. Algebra ta jest ograniczoną podalgebrą Liego w Der(L).
Twierdzenie 7.4.1 (Jacobsona). Niech L będzie ciałem charakterystyki p > 0 i niech U ⊆ Der(L)
będzie skończenie wymiarową (nad L) ograniczoną podalgebrą Liego. Oznaczmy k = LU . Wtedy:
(1) k jest podciałem ciała L (zawierającym Lp ) takim, że (L : k) = dimL U < ∞;
(2) U = Derk (L);
(3) jeśli {d1 , . . . , dm } jest bazą przestrzeni U nad L, to zbiór
{di11 · · · dimm ; 0 6 i1 , . . . , im < p}
jest bazą przestrzeni Endk (L) nad L. Rozważmy dwa następujące zbiory.
Kp
=
zbiór wszystkich podciał k ciała L takich, że Lp ⊆ k, (L : k) < ∞;
Up
=
zbiór wszystkich skończenie wymiarowych (nad L)
ograniczonych podalgebr Liego w Der(L).
Zbiory Kp i Up są częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję ⊆. Definiujemy antymorfizmy
α : Kp −→ Up , β : Up −→ Kp przyjmując
α(k)
= Derk (L), dla k ∈ Kp ,
β(U )
= LU ,
dla U ∈ Up .
Antymorfizmy α, β tworzą związek Galois. Z powyższego twierdzenia wynika:
Twierdzenie 7.4.2 ([9], D4 294). Para (α, β) jest przyporządkowaniem Galois. 8. Działania grup skończonych na ciała
8
33
Działania grup skończonych na ciała
8.1
Twierdzenie Hilberta o nierozkładalności
Na podstawie [17]1 971.
Angielska nazwa: Hilbert irreducibility theorem.
Oryginalne twierdzenie Hilberta o nierozkładalności jest w pracy Hilberta z 1892 roku.
Twierdzenie 8.1.1 (Hilbert). Niech f (t1 , . . . , tm , x1 , . . . , xn ) ∈ Q[t1 , . . . , tm , x1 , . . . , xn ] będzie wielomianem nierozkładalnym (nad Q). Istnieje wówczas nieskończony podzbiór B ⊆ Qn taki, że dla
wszystkich b = (b1 , . . . , bm ) ∈ B, wielomian f (b1 , . . . , bm , x1 , . . . , xn ) jest nierozkładalny w Q[x1 , . . . , xn ].
Przykład 8.1.2. Niech f (t, x) = t − x2 ∈ Q[t, x]. Wielomian ten jest nierozkładalny w Q[t, x]. Dla
każdego b ∈ Q r Q2 , wielomian f (b, x) = b − x2 jest nierozkładalny w Q[x]. Twierdzenie Hilberta o nierozkładalności zachodzi również dla innych ciał (zamiast Q), np. dla
skończonych rozszerzeń ciała Q. Nie zachodzi natomiast dla ciała C. Wielomian f (t, x) = t − x2 jest
nierozkładalny w C[t, x], a wielomian f (b, x) = b − x2 jest rozkładalny w C[x], dla wszystkich b ∈ C.
Dowód twierdzenia Hilberta o nierozkładalności można znaleźć np. w [22] §§22-28 (patrz również
wstęp w [22] XV).
8.2
Problem odwrotny w teorii Galois
Niech k będzie ciałem i G grupą. Problem odwrotny w teorii Galois, to:
Pytanie 8.2.1. Czy istnieje rozszerzenie Galois ciała k, którego grupą Galois jest grupa G?
Hilbert udowodnił (przy pomocy Twierdzenia 8.1.1) istnienie rozszerzenia Galois ciała Q dla grupy
symetrii Sn i grupy An , permutacji parzystych (grupę tę nazywa się znakoprzemienną). Konstrukcję
takich rozszerzeń podał I. Schur (patrz [17]1 849).
Twierdzenie 8.2.2 (Szfarewicz 1954). Odpowiedź na Pytanie 8.2.1 jest pozytywna w przypadku,
gdy G jest skończoną grupą rozwiązalną i k = Q. W ogólnym przypadku wiadomo:
Twierdzenie 8.2.3 (Czerbotajew 1934, [17]1 850).
rozszerzenia Galois pewnego ciała k. Każda grupa skończona jest grupą Galois
Ważnym wynikiem dotyczącym omawianego zagadnienia jest twierdzenie E. Noether (z 1913 roku),
o którym wspomnimy w następnym podrozdziale.
8.3
Problem E. Noether
Na podstawie [17]1 972 i [21].
Niech G będzie podgrupą grupy Sn i niech k będzie ciałem. Grupa G działa na ciało k(X) =
k(x1 , . . . , xn ), funkcji wymiernych nad k, zmiennych x1 , . . . , xn , w następujący sposób. Jeśli σ ∈ G,
to definiujemy k-automorfizm σ ciała k(X), przyjmując
σ(xi ) = xσ(i) ,
dla i = 1, . . . , n.
Mamy zatem działanie G −→ Autk k(X) (czyli homomorfizm grup). Mamy więc ciało niezmienników
k(X)G = {a ∈ k(X); ∀σ∈G σ(a) = a}.
8. Działania grup skończonych na ciała
34
Ciało k(X)G jest skończenie generowane nad k (bo każde podciało ciała k(X), zawierające k, jest
skończenie generowane nad k).
Konsekwencją twierdzenia Hilberta o nierozkładalności jest następujące twierdzenie dotyczące odwrotnego problemu teorii Galois dla ciała Q.
Twierdzenie 8.3.1 (E. Noether 1913). Jeśli rozszerzenie Q ⊆ Q(X)G jest ściśle przestępne, to
grupa G jest grupą Galois pewnego rozszerzenia Galois ciała Q. Wspomnijmy w tym miejscu następujący wynik Swana.
Twierdzenie 8.3.2 (R. G. Swan 1969). Istnieje skończona grupa G zawarta w Sn taka, że rozszerzenie Q ⊆ Q(X)G nie jest ściśle przestępne. Niech k będzie znowu dowolnym ciałem. Następujące pytanie nazywa się Problemem Noether.
Pytanie 8.3.3 (E. Noether 1913). Kiedy rozszerzenie k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne?
Istnieje pewien związek ściśle przestępnych rozszerzeń postaci k ⊆ k(X)G z pewną uogólnioną
wersją odwrotnego problemu teorii Galois. Do wysłowienia tego związku potrzebne są nowe pojęcia
(patrz [21]), których nie będziemy tu wprowadzać.
Definicja 8.3.4 ([21]). Mówimy, że dwa rozszerzenia ciał L ⊇ k i L0 ⊇ k są stabilnie izomorficzne
(ang. stably isomorphic), jeśli istnieją ciała M ⊇ L i M 0 ⊇ L0 takie, że M ≈ M 0 i rozszerzenia L ⊆ M ,
L0 ⊆ M 0 są ściśle przestępne.
Stabilna izomorficzność jest relacją typu równoważności.
Ściśle przestępne rozszerzenia nazywa się często rozszerzeniami wymiernymi. Mówimy, że rozszerzenie k ⊆ L jest stabilnie wymierne, jeśli jest stabilnie izomorficzne z wymiernym rozszerzeniem postaci
k ⊆ L0 . Można wykazać (W. Kuyk 1964), że klasa rozszerzeń stabilnie wymiernych jest zamknięta ze
wzgłędu na pewne specjalne operacje.
Stare wyniki dotyczące problemu Noether. Na podstawie [21].
Twierdzenie 8.3.5 (F. Seidelman 1916, E. Noether 1918). Jeśli char(k) = 0 i G jest podgrupą
grupy S3 lub S4 , to rozszerzenie k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne. Wykładnikiem (ang. exponent) grupy G nazywamy najmniejszą liczbą naturalną n taką, że g n = e,
dla wszystkich g ∈ G (przez e oznaczamy element neutralny grupy G). Wykładnik skończonej grupy
G jest oczywiście dzielnikiem jej rzędu.
Twierdzenie 8.3.6 (E. Fischer 1915). Niech G będzie skończoną grupą przemienną o wykładniku
n i załóżmy, że ciało k posiada wszystkie prymitywne pierwiastki n-tego stopnia z 1. Wtedy rozszerzenie
k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne. Stąd w szczególności wynika:
Wniosek 8.3.7. Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i G jest skończoną grupą abelową, to rozszerzenie k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne. Twierdzenie Fischera zachodzi w przypadku, gdy charakterystyka ciała k nie dzieli wykładnika
grupy G. Istnieje następujący wynik dotyczący przypadku, gdy to założenie nie jest spełnione.
Twierdzenie 8.3.8 (H. Kuniyoshi 1955, W. Gaschütz 1959). Jeśli G jest skończoną p-grupą
(abelową?) i char(k) = p, to rozszerzenie k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne. 8. Działania grup skończonych na ciała
35
Wyniki dla grup abelowych. Jednym z wyników dotyczących problemu Noether dla grup
abelowych jest wspomniane wyżej twierdzenie Fischera z 1915 roku. Pierwszy przykład grupy (abelowej) G takiej, że rozszerzenie Q ⊂ Q(X)G nie jest ściśle przestępne podał R. G. Swan w 1969 roku.
Wspomnieliśmy już o tym (Twierdzenie 8.3.2). Grupą G w przykładzie Swana jest grupa cykliczna
C47 . Z pewnych faktów można wywnioskować, że taką grupą jest również grupa cykliczna C8 (patrz
[21]).
Wyniki dla ciała algebraicznie domkniętego. Przypomnijmy jeszcze raz, że jeśli k
jest ciałem algebraicznie domkniętym i G jest grupą abelową, to (na mocy twierdzenia Fischera)
rozszerzenie k ⊆ k(X)G jest ściśle przestępne. Istnieją kryteria, pozwalające stwierdzać (w pewnych
przypadkach), że rozszerzenie postaci k ⊆ k(X)G nie jest ściśle przestępne. Tak jest na przykład,
gdy grupa G posiada p-podgrupę Sylowa spełniająca pewne warunki. Do przedstawienia szczegółów,
potrzebne są pewne nowe pojęcia (patrz [21]).
9. Pierścienie nieprzemienne
9
9.1
36
Pierścienie nieprzemienne
Ułamki Ore’go
Każdy przemienny pierścień bez dzielników zera ma swoje ciało ułamków. Podobną własność mają
nieprzemienne pierścienie bez dzielników zera. Zbiór wszystkich niedzielników zera danego pierścienia przemiennego jest systemem multyplikatywnym; istnieje zatem pierścień ułamków, względem tego
systemu. Podobny pierścień ułamków istnieje w sytuacji nieprzemiennej. Musi być jednak wtedy spełniony pewien dodatkowy warunek, zwany warunkiem Ore’go. Dokładne wyjaśnienie tych zdań, to cel
niniejszego podrozdziału, bazowanego na książce I. Hersteina [7].
Niech R będzie pierścieniem nieprzemiennym. Mówimy, że element a ∈ R jest regularny jeśli nie jest
ani prawym ani lewym dzielnikiem zera w R. Niech M (R) będzie zbiorem wszystkich par (a, b) ∈ R×R,
w których element b jest regularny.
Definicja 9.1.1. Mówimy, że pierścień R spełnia warunek Ore’go jeśli dla każdej pary (a, b) ∈ M (R)
istnieje para (a1 , b1 ) ∈ M (R) taka, że b1 a = a1 b.
Definicja 9.1.2. Lewym pierścieniem ułamków (Ore’go) pierścienia R nazywamy każdy pierścień Q
taki, że:
(0) R jest podpierścieniem pierścienia Q,
(1) każdy element regularny pierścienia R jest odwracalny w Q,
(2) każdy element x ∈ Q jest postaci x = a−1 b, gdzie (a, b) ∈ M (R).
Twierdzenie 9.1.3 (Ore’go, [7] 170). Pierścień R posiada lewy pierścień ułamków wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnia warunek Ore’go. Jeśli pierścień R spełnia warunek Ore’go, to jego lewy pierścień ułamków konstruuje się następująco. Najpierw w zbiorze M (R) wprowadzamy relację równoważności
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ d1 a = b1 c,
gdzie b1 , d1 są takimi reularnymi elementami w R (istniejącymi na mocy warunku Ore’go), że b1 d =
d1 b. Klasę abstrakcji pary (a, b) ∈ M (R) oznacza się przez ab . Zbiór Q, wszystkich klas abstrakcji,
to włańie lewy pierścień ułamków. Dodawanie i mnożenie w Q definiuje się w podobny sposób jak w
sytuacji przemiennej:
a
1c
+ dc = d1 a+b
gdzie d1 b = b1 d;
b
b1 d ,
a
b
·
c
d
=
a1 c
e1 b ,
gdzie
e1 a = a1 d.
Jeśli pierścień R nie ma dzielników zera, to każdy jego niezerowy element jest regularny i wtedy
pierścień R spełnia warunek Ore’go, a zatem posiada lewy pierścień ułamków. W tym przypadku lewy
pierścień ułamków jest (nieprzemiennym) ciałem, zwanym ciałem ułamków Ore’go pierścienia R.
Można udowodnić (patrz [7] 171), że każdy pierścień lewostronnie noetherowski spełnia warunek
Ore’go, ma więc lewy pierścień ułamków. Istnieje szersza klasa pierścieni (zawierająca pierścienie
noetherowskie) posiadających tę własność. W klasie tej są w szczególności tzw. pierścienie Goldie’go.
9.2
Wymiar Gelfanda-Kirillova
Na podstawie opracowania [19].
O zastosowaniu wymiaru Gelfanda-Kirillova wspomnieliśmy w Rozdziale 2.3 podczas omawiania
algebr Weyla. Podamy teraz definicję i własności tego wymiaru.
Niech k będzie ciałem i niech A = k[a1 , . . . , ar ] będzie skończenie generowaną (na ogół nieprzemienną) k-algebrą z jedynką. Załóżmy, że a1 = 1 i niech
V = k · a1 + · · · + k · ar
37
będzie przestrzenią k-liniową rozpiętą na zbiorze generatorów. Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez
V n oznaczamy podprzestrzeń k-liniową w A rozpiętą na zbiorze wszystkich iloczynów postaci b1 · · · bn ,
gdzie b1 , . . . , bn ∈ {a1 , . . . , ar }. Oznaczmy:
dV (n) = dimk V n .
Ponieważ V 1 ⊆ V 2 ⊆ . . . , więc dV (1) 6 dV (2) 6 . . . . Mamy zatem niemalejącą funkcję
dV : N −→ N,
zwaną funkcją wzrostu.
Definicja 9.2.1. Wymiarem Gelfanda-Kirillova (w skrócie GK-wymiarem) skończenie generowanej
k-algebry A z jedynką nazywamy liczbę
GK(A) = lim sup logn dV (n).
Jeśli algebra A nie ma jedynki, to jej GK-wymiarem jest GK-wymiar k-algebry z jedynką powstałej z A
przez standardowe dołączenie jedynki. GK-wymiar dowolnej k-algebry A (niekoniecznie skoćzenie generowanej) definiujemy jako sup GK(B), gdzie supremum przebiega wszystkie skończenie generowane
k-podalgebry w A.
Łatwo się pokazuje, że definicja ta jest poprawna; GK-wymiar nie zależy od wyboru skończenie wymiarowej przestrzeni V .
Przykład 9.2.2 ([19]).
(1) Niech A = khx, yi będzie wolną k-algebrą o dwóch generatorach x, y. Niech V = k1 + kx + ky.
Wtedy dV (n) = 1 + 2 + · · · + 2n = 2n+1 − 1 i stąd GK(A) = ∞.
(2) Niech A = k[x1 , . . . , xr ] będzie k-algebrą
przemiennych wielomianów nad k i niech V =
k1 + kx1 + · · · + kxr . Wtedy dV (n) = n+r
i
stąd
GK(A)
= r.
r
(3) Niech L będzie skończenie wymiarową k-algebrą Liego i niech U (L) będzie jej algebrą obejmującą. Wtedy GK(U (L)) = dimk L.
(4) GK(An ) = 2n, gdzie An jest algebrą Weyla. Stwierdzenie 9.2.3 ([19]).
(1) Jeśli dimk A < ∞, to GK(A) = 0.
(2) Jeśli GK(A) > 0, to GK(A) > 1.
(3) (G. Bergman 1978) Jeśli GK(A) > 1, to GK(A) > 2.
(4) Dla każdej liczby rzeczywistej α > 2 istnieje k-algebra A taka, że GK(A) = α. Stwierdzenie 9.2.4 ([19]).
(1) Jeśli A jest skoṅczenie generowaną k-algebrą przemienną to GK(A) pokrywa się z wymiarem
Krulla algebry A.
(2) Każda skończenie generowana PI-algebra ma skończony GK-wymiar. 9.3
Centroid
Na podstawie [10] 148, PN3 100.
Niech R będzie pierścieniem (nieprzemiennym i na ogół bez jedynki). Przez End(R) oznaczamy
pierścień endomorfizmów addytywnej grupy pierścienia R. Jeśli a ∈ R, to przez ra , la oznaczamy
endomorfizmy należące do End(R) będące odpowiednio prawymi i lewymi mnożeniami wyznaczonymi
przez element a, tzn,
ra (x) = xa, la (x) = ax, dla x ∈ R.
Centroidem pierścienia R nazywamy pierścień
C(R) = {f ∈ End(R); ∀a∈R ra ◦ f = f ◦ ra , la ◦ f = f ◦ la }.
38
Zauważmy, że jeśli f ∈ C(R), to f (xy) = xf (y) = f (x)y, dla wszystkich x, y ∈ R. Ponadto, f g(xy) =
gf (xy), dla f, g ∈ C(R), x, y ∈ R.
Jeśli pierścień R posiada jedynkę, to odwzorowanie l : R −→ End(R), a 7→ la , jest injekcją
pierścieni. Zatem w tym przypadku centroid C(R) można utożsamiać z centrum Z(R). W ogólnym
przypadku można udowodnić:
Stwierdzenie 9.3.1 (Kaplansky69 148).
(1) Jeśli R2 = R, to C(R) jest pierścieniem przemiennym.
(2) Jeśli pierścień R jest prymitywny, to C jest dziedziną.
(3) Jeśli pierścień R jest prosty, to R jest ciałem. Przypomnijmy co to znaczy, że pierścień R jest prymitywny. Mówimy, że lewy R-moduł M jest wierny (ang. faithful) jeśli z równości xM = 0, gdzie x ∈ R, wynika równość x = 0. Mówimy, że lewy
R-moduł M jest nierozkładalny (ang. irreducible) jeśli RM 6= 0 oraz M nie posiada istotnych lewych podmodułów. Jeśli R posiada jedynkę, to nierozkładalność pokrywa się z prostością. Pierścień
R nazywamy lewostronnie prymitywnym jeśli posiada nierozkładalny lewy R-moduł wierny lub równoważnie, jeśli ideał zerowy jest maksymalnym dwustronnym ideałem zawartym w pewnym lewym
ideale maksymalnym ([15]). Podobnie definiuje się prawostronną prymitywność. Istnieje pierścień prawostronnie prymitywny, który nie jest lewostronnie prymitywny ([7] 40). Każdy pierścień prymitywny
jest półprosty , tzn. ma zerowy radykał Jacobsona. Prymitywny pierścień przemienny jest ciałem.
10. Zagadnienia różne
10
10.1
39
Zagadnienia różne
Charaktery
W Podrozdziale 6.5 opisaliśmy charaktery skończenie wymiarowych reprezentacji grup.
Charakter grupy. Charakterem grupy G nazywamy każdy homomorfizm grup z G do ustalonej
standardowej grupy abelowej A. Zwykle grupą A jest C∗ = C r {0} lub S1 = {z ∈ C; |z| = 1}.
Najpierw rozpatrywano tylko charaktery grup skończonych (dla A = S1 ).
Charaktery tworzą grupę. Niech XA (G) będzie zbiorem wszystkich charakterów grupy G o wartościach w A. W zbiorze XA (G) wprowadzamy mnożenie:
(χ1 · χ2 )(g) = χ1 (g)χ2 (g),
dla g ∈ G.
Zbiór XA (G), wraz z tym mnożeniem, jest grupą zwaną grupą charakterów grupy G.
Stwierdzenie 10.1.1. XA (G) ≈ Hom(G/[G, G], A), gdzie [G, G] jest komutantem grupy G. Niech G będzie grupą, a k ciałem. Oznaczmy przez Fk (G) przestrzeń k-liniową wszystkich funkcji
z G do k i niech A = k ∗ = k r {0}. Każdy charakter grupy G o wartościach w k ∗ należy oczywiście
do Fk (G). Zatem Xk∗ (G) ⊂ Fk (G).
Stwierdzenie 10.1.2 (PH2 99). Zbiór Xk∗ (G) jest liniowo niezależny nad k. Zaznaczmy jeszcze, że każdy charakter χ : G −→ k ∗ , to nic innego jak jednowymiarowa reprezentacja liniowa grupy G.
Charakter łącznej algebry nad ciałem. Niech R będzie łączną algebrą z jedynką nad
ciałem k. Charakterem k-algebry R nazywa się każdy k-algebrowy homomorfizm f : R −→ k. Każdy
charakter takiej algebry jest surjekcją i jego jądrem jest ideał maksymalny w R.
Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i R jest przemienną k-algebrą skończenie generowaną, to
każdy ideałmaksymalny w R jest jądrem dokładnie jednego charakteru tej algebry. W tym przypadku
istnieje więc wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy charakterami, a ideałami maksymalnymi.
Każdy charakter grupy G w k ∗ przedłuża się w naturalny sposób do charakteru algebry grupowej
k[G]. Istnieje zatem wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy charakterami grupy G w k ∗
(czyli jednowymiarowymi reprezentacjami), a charakterami algebry k[G].
Charakter grupy topologicznej. Jeśli G jest grupą topologiczną, to jej charakterem nazywa
się każdy ciągły homomorfizm grup G −→ S1 . Jeśli grupa topologiczna G jest lokalnie zwarta i abelowa,
to jej charaktery oddzielają punkty, tzn. dla dowolnych punktów a, b ∈ G, a 6= b, istnieje charakter
ψ : G −→ S1 taki, że ψ(a) 6= ψ(b). Jeśli G jest tylko grupą Hausdorffa, to taka własność na ogół nie
zachodzi.
Jeśli G jest grupą algebraiczną nad algebraicznie domkniętym ciałem k, to jej charakterem nazywa
się każdy wymierny homomorfizm grup G −→ k ∗ .
Charaktery w teorii liczb. Niech Z∗n będzie multyplikatywną grupą pierścienia Zn . Każdemu
charakterowi α : Z∗n −→ S1 można przyporządkować tzw. charakter Dirichleta β : Z −→ C. Określamy
go wzorem
(
α([s]n ),
gdy (s, n) = 1,
β(s) =
0,
gdy (s, n) 6= 1.
Nie jest to charakter w sensie definicji charakteru grupy, tzn. β : Z −→ C nie jest na ogół homomorfizmem grup. Charaktery Dirichleta są funkcjami multyplikatywnymi.
Literatura
40
Literatura
[1] N. Bourbaki, Groupes et Algebras de Lie, I, II, III, Herman Paris, 1972 (tł. ros. Moskwa 1976).
[2] J. Browkin, Teoria Ciał, PWN, Warszawa, 1977.
[3] R. A. Chiappa, On the partitions of an integer, Rev. Union Mat. Argentina, 27(1974), 33-40.
[4] I. M. Gelfand, A. A. Kirillov, Sur les corps lies aux algebras enveloppantes des algebres de Lie,
Publ. Math. IHES, 31(1966), 5-19.
[5] K. L. Gołowina, Algebra liniowa i jej pewne zasosowania, (po rosyjsku), Moskwa, 1985.
[6] M. Hall, The theory of groups, The MacMillan Company, New York, 1959 (tł. ros. Moskwa 1962).
[7] I. Herstein, Noncommutative Rings, Carus Math. Mon., N 15, Amwe. Math. Soc., 1968.
[8] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, New
York Heidelberg Berlin, 1972.
[9] N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, III, Toronto, New York, London, 1964.
[10] I. Kaplansky, Fields and Rings, Chicago, London 1969.
[11] M. I. Kargapołow, J. I. Mierzlakow, Podstawy teorii grup, Nauka, Moskwa, 1982 (tł. polskie:
PWN, Warszawa, 1989).
[12] J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN,
Warszawa, 1978.
[13] A. I. Kostrykin, Wstęp do algebry (po rosyjsku), Nauka, Moskwa 1977 (tl. polskie PWN, Warszawa
1984).
[14] A. I. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry (po rosyjsku), Moskwa, Nauka, 1987 (tl. polskie PWN,
Warszawa 1995).
[15] J. Lambek, Lectures on Rings and Modules, Blaisdell Publ. Comp., 1968 (tł. ros., Moskwa 1971).
[16] S. Lang, Algebra, Addison–Wesley Publ. Comp. 1965.
[17] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1 - 5, Moskwa, 1977 - 1985.
[18] A. Nowicki, Topologia i geometria różniczkowa, Preprint 1995.
[19] J. Okniński, Notes on Gelfand-Kirillov dimension of algebras, Preprint 1994.
[20] J. J. Rotman, The theory of groups. An introduction, Allyn and Bacon Inc.,1979.
[21] D. J. Saltman, Groups acting on fields: Noether’s problem, Contemporary Mathematics, 43(1985),
267-276.
[22] A. Schinzel, Selected Topics on Polynomials, Univ. Michigan Press, 1982.
[23] J. -P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, Paris, 1967, 1978, (tł polskie,
PWN, Warszawa, 1988).
[24] M. Skorupka, Działania grupy na zbiór i ich zastosowania, Praca magisterska, UMK Toruń, 1989.
[25] D. Słupecka, Reprezentacje liniowe pewnych grup skończonych, Praca magisterska, UMK Toruń,
1989.
[26] J. Szwed, Przykłady liniowych reprezentacji grup, Praca magisterska, UMK Toruń, 1989.
[27] J. E. Trojanowska, Reprezentacje grup małych rzędów, Praca magisterska, UMK Toruń, 1989.
Literatura
[28] A. Tyburska, Pewne zastosowania twierdzeń Sylowa, Praca magisterska, UMK Toruń, 1989.
[29] W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, Warszawa, 1986.
[30] H. Żubkowska, Skończone grupy rozwiązalne, Praca magisterska, UMK Toruń, 1989.
41
Skorowidz
algebra
bez dzielników zera 10
centralna 17, 20
Clliforda 6
grupowa 27, 41
kwaternionów 17
Liego 10, 39
derywacja 15
derywacji ciała 34
ograniczona 34
przeciwna 9
przemienna 9
wolna 11
z ograniczeniem 34
nieprzemiennych wielomianów 2
obejmująca 7, 15, 39
obwiednia 7
półprosta 27
prosta 17-18
przeciwna 20
symetryczna 4, 9-10, 14
konstrukcja 5
modułu wolnego 6
tensorowa 1-2, 5, 7, 11-12
homomorfizm T(f) 1
konstrukcja 1
modułu wolnego 2
Weyla 10, 39
z dzieleniem 17-19
zewnętrzna 2, 13
konstrukcja 2
modułu wolnego 4
antymorfizm 32
automorfizm
grupy 23
wewnętrzny 23
Zn 23
liniowy 25
wewnętrzny 19
stałych derywacji 34
ułamków Ore’go 10, 38
Clliford W. K. 6
Czerbotajew 35
derywacja 10
algebry
Liego 15
łącznej 12
obejmującej 15
symetrycznej 14
tensorowej 12
zewnętrznej 13
ciała 34
wewnętrzna 15, 19
diagramy Jounga 31
działanie
grupy
skończonej 35
eksponent grupy 36
element
prymitywny 10
regularny 38
stacjonarny 32
elementy
sprzężone 26
enveloping algebra 7
Bergman G. 39
faithful module 40
Fischer E. 36
forma
nieosobliwa 33
symetryczna 6
funkcja
centralna 28
Eulera 23
multyplikatywna 41
wzrostu 39
funktor
lewy sprzężony 1, 7-8
centroid 40
centrum
algebry 17-18
grupy 23
pierścienia 40
charakter 41
algebry 41
Dirichleta 41
grupy 41
algebraicznej 41
topologicznej 41
reprezentacji 28-29
ciało
nieprzemienne 17
skończone 19
Gaschutz W. 36
Gelfand I. M. 10
GK-wymiar 39
grupa
automorfizmów
grupy 23
liniowych 25
wewnętrznych 23
Brauera 20
charakterów 41
cykliczna 22
diedralna 21
doskonała 23
Galois 35
izometrii
42
Indeks
kwadratu 22
wielokąta foremnego 21
kwaternionów 22
macierzowa
centrum 23
nad ciałem skończonym 22, 24
specjalna 22
p-grupa 21
prosta 23
rozwiązalna 35
skończona 21
sprzężoność 26, 30
symetryczna 21-22
automorfizmy 23
centrum 23
reprezentacje 30
topologiczna
lokalnie zwarta 41
Herstein I. 38
Hilbert D. 35
hipoteza
Gelfanda-Kirillova 10
ideał
Liego 9
minimalny 19
iloczyn tensorowy
algebr 17, 20
algebry macierzy 17
hermitowski 27-28
Kirillov A. A. 10
kogranica 2
komutant grupy 30, 41
komutator 30
kongruencja
w półgrupie 20
koprodukt
kategoria algebr 2
Kuniyoshi H. 36
Kuyk W. 36
kwaterniony 17, 22
liczba
p(n) 30
r(m,G) 29
s(G) 26, 28-29, 31
moduł
nierozkładalny 40
półprosty 27
prosty 18, 27, 40
wierny 40
niedzielnik zera 38
nil-homomorfizm 2
Noether E. 35-36
odwzorowanie
43
alternujące 3
p-grupa 23
p-podgrupa 21
Sylowa 21-22
partycja 30
PI-algebra 39
pierścień
endomorfizmów 33-34, 39
Goldie’go 38
półprosty 40
prosty 40
prymitywny 40
podprzestrzeń
niezmiennicza
endomorfizmu 25
reprezentacji 26
podziałliczby naturalnej 30
potęga
symetryczna 5
zewnętrzna 3
problem
Noether 35-36
odwrotny teorii Galois 35-36
ogólnej teorii Galois 32
przestrzeń
unitarna 27
przyporządkowanie Galois 32
przyporządkowanie Jacobson-Bourbaki 33
radykał
Jacobsona 40
reprezentacja
grupy 25, 41
abelowej 29
symetrycznej 30
izomorfizm 26
liniowa 25
nieprzywiedlna 26
ortogonalna 27
podreprezentacja 26
regularna 29
suma prosta 26
unitarna 27
wierna 25, 30
wymiar 25
rozszerzenie
czysto nierozdzielcze 34
Galois 35
stabilnie izomorficzne 36
stabilnie wymierne 36
wymierne 36
Schur I. 35
Seidelman F. 36
Swan R. G. 36-37
Sylow P. L. 21
sym-homomorfizm 4
system multyplikatywny 38
Indeks
ślad
endomorfizmu liniowego 28
teoria
Galois 35
ogólna 32
przestrzeni wektorowych 33
rozszerzeń czysto nierozdzielczych 34
twierdzenie
Burnside’a 21
Feita-Thompsona 21
Fischera 36
Frobeniusa 19
Hilberta
o nierozkładalności 35-36
Holdera 23
Jacobsona 34
Maschke 26-27
Noether 35-36
Ore’go 38
Poincare-Birkhoffa-Witta 8-9, 11
Schura 18
Skolema-Noether 19
Swana 36-37
Sylowa 21-22
Szafarewicza 35
Wedderburna 18-19, 27
typ
permutacji 30
ułamki
Ore’go 38
wartość własna 25
warunek
Ore’go 10, 38
wektor
własny 25
wielomian
charakterystyczny 25
nierozkładalny 35
skośny 10
wykładnik grupy 36
wymiar
Gelfanda-Kirillova 10, 38
Krulla 39
zbiór
częściowo uporządkowany 32
związek Galois 32
44

Wybrane zagadnienia algebry

Transkrypt

Podobne dokumenty

geometria różniczkowa

spis treści

Algebra, matematyka, studia niestacjonarne, I rok II stopień

Algebra

Teoria Mnogo˝uci - Polsko-Japońska Akademia Technik

Wykład 5 Liczby aib nazywamy względnie pierwszymi jeśli

Zagadnienia na ćwiczenia Algebra liniowa z geometrią analityczną

Praca z ciałem „Być ze sobą w ciele”