Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania
(obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T1 i T2
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
1
Zadanie 1
Na podstawie prawa Ohma, I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i
prądami zbudować model matematyczny wiążący napięcie wyjściowe uwy(t) z napięciem
wejściowym uwe(t) nieobciążonego prądowo obwodu przedstawionego na Rysunku 1.
R1
i1(t)
i2(t)
u1(t)
uwe(t)
iobc(t)
u2(t)
R2
uwy(t)
Rysunek 1. Schemat układu elektrycznego
Rozwiązanie Zadania 1
Z I prawa Kirchoffa mamy (iobc = 0, gdyż obwód jest nieobciążony):
i1 (t ) − i2 (t ) = 0
⇒
i1 (t ) = i 2 (t )
(1)
Z II prawa Kirchoffa dla dwóch oczek i z prawa Ohma mamy:
u we (t ) − R1 ⋅ i1 (t ) − R2 ⋅ i2 (t ) = 0
u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + R2 ⋅ i2 (t )
u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + u wy (t )
⇒
⇒
(2)
R2 ⋅ i2 (t ) − u wy (t ) = 0
u wy (t ) = R2 ⋅ i2 (t )
u wy (t ) = R2 ⋅ i2 (t )
Przekształcając uzyskujemy:
u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + u wy (t ) ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ i1 (t ) ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ i2 (t ) ⇒
u wy (t )
u (t )
⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ 2
⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅
⇒
R2
R2
 R2 
R
 ⋅ u we (t )
⇒ u wy (t ) + 1 ⋅ u wy (t ) = u we (t ) ⇒ u wy (t ) = 
R2
 R1 + R2 
(3)
Ostatnie równanie w (3) jest liniowym równaniem algebraicznym.
UWAGA:
Dzielnik napięcia: Obwód elektryczny złożony z szeregowego połączenia dwóch pasywnych
elementów elektrycznych, np. rezystorów.
Napięcie wyjściowe uwy(t) nieobciążonego dzielnika napięcia jest zawsze mniejsze od
napięcia zasilania uwe(t) i zależy tylko od stosunku wartości użytych rezystancji oraz wartości
napięcia wejściowego uwe(t).
Zastosowanie: obwody z rezystorami nastawczymi (potencjometry) – sprzęt audio, np.
odbiorniki radiowe, wzmacniacze.
2
Zadanie 2
Na podstawie I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i prądami zbudować
model matematyczny wiążący napięcie wyjściowe uwy(t) z napięciem wejściowym uwe(t) nie
obciążonego prądowo czwórnika RLC przedstawionego na Rysunku 2.
R
L
iRL(t)
iobc(t)
iC(t)
uL(t)
uR(t)
uwe(t)
uC(t)
C
uwy(t)
Rysunek 2. Schemat układu elektrycznego – czwórnik RLC
Rozwiązanie Zadania 2
Korzystając z II prawa Kirchhoff’a, dla wejściowego oczka możemy napisać równanie
równowagi w następującej postaci:
u R (t ) + u L (t ) + u C (t ) = u we (t )
(1)
Należy również zwrócić uwagę, że dla rozważanego układu zachodzą następujące zależności:
u wy (t ) = u C (t )
u R (t ) = R ⋅ iRL (t )
d
u L (t ) = L ⋅ i RL (t )
dt
d
iC (t ) = C ⋅ u C (t )
dt
(2)
(3)
(4)
(5)
Ponadto z warunku nie obciążania prądowego czwórnika iobc (t ) = 0 wynika, że:
iRL (t ) = iC (t )
(6)
Podstawiając zatem zależności (2-6) do równania równowagi (1) otrzymamy odpowiednio
następujące równania:
R ⋅ i RL (t ) + L ⋅
d
i RL (t ) + u C (t ) = u we (t )
dt
3
(7)
d
iC (t ) + u wy (t ) = u we (t )
dt
d
d
d

R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + L ⋅  C ⋅ u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t )
dt
dt  dt

2
d
d
R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + L ⋅ C ⋅ 2 u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t )
dt
dt
R ⋅ iC (t ) + L ⋅
(8)
(9)
(10)
Porządkując ostatnie równanie (10) otrzymamy poszukiwany model matematyczny czwórnika
RLC w następującej postaci:
L ⋅C ⋅
d2
d
u (t ) + R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t )
2 wy
dt
dt
(11)
lub
d2
R d
1
1
u (t ) = − ⋅ u wy (t ) −
⋅ u wy (t ) +
⋅ u we (t )
2 wy
L dt
L ⋅C
L ⋅C
dt
(12)
Równanie (12) jest liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu z
parametrami stałymi w czasie. Często zachodzi potrzeba przedstawiania modelu
matematycznego w postaci równania różniczkowego pierwszego rzędu lub odpowiedniego
układu równań różniczkowych pierwszego rzędu. W rozpatrywanym przypadku, równanie
(12) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu
pierwszego, aby tego dokonać można posłużyć się następującymi podstawieniami (13):
x1 (t ) = u wy (t )


d
d

(
)
(
)
x
t
=
u
t
=
x1 (t )
2
wy

dt
dt
(13)
Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia oraz równanie (12) otrzymujemy
następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
d

x1 (t ) = x2 (t )

dt
d
R
1
1
 x2 (t ) = − ⋅ x2 (t ) −
⋅ x1 (t ) +
⋅ u we (t )
L
L ⋅C
L ⋅C
 dt
(14)
Zadanie 3
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować prosty model matematyczny ruchu
pojazdu mechanicznego przedstawionego na Rysunku 3.
4
a)
b)
x
f(t)
m
Rysunek 3. Pojazd mechaniczny:
a) rzeczywisty pojazd mechaniczny (foto: http://motoryzacja.interia.pl)
b) prosty model ideowy pojazdu mechanicznego
Opracowany model matematyczny ruchu pojazdu powinien opisywać zależności pomiędzy
siłą napędową f(t) działającą na masę pojazdu mechanicznego m a prędkością pojazdu wzdłuż
osi x.
Otrzymany model matematyczny należy przedstawić w postaci równania, układu równań
różniczkowych pierwszego rzędu.
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 3 należy
uwzględnić:
- że ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi x,
- że na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 3,
- siłę bezwładności działającą na pojazd,
- siłę oporu powietrza jako proporcjonalną do prędkości pojazdu.
Rozwiązanie Zadania 3
Uwzględniając warunki zadania, siły oddziaływujące na układ mechaniczny, przedstawiony
na Rysunku 3, można zilustrować w następującej postaci:
siła bezwładności
lokom otywy
m⋅
d 2x
dt 2
µ⋅
f (t )
m
siła napędowa
oddziaływująca
na pojazd
dx
dt
siła oporu
powietrza
współrzędna
odniesienia
x
Rysunek 4. Graficzna reprezentacja sił dla układu z Rysunku 3
5
Bilans sił oddziaływujących na pojazd (masa m) można przedstawić następująco:
f (t ) = m ⋅
d 2x
dx
+µ⋅
2
dt
dt
(1)
Porządkując równanie (1) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny ruchu
pojazdu mechanicznego w postaci niejednorodnego liniowego równania różniczkowego
drugiego rzędu z parametrami stałymi w czasie w następującej postaci:
d 2x
µ dx 1
= − ⋅ + ⋅ f (t )
2
m dt m
dt
(2)
Równanie (2) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych
rzędu pierwszego. W tym celu można posłużyć się następującym podstawieniem:
v=
dx
dt
(3)
Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia (3) oraz równanie (2) otrzymujemy
następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dx

=ν

dt
 dν
µ
1

= − ⋅ν + ⋅ f (t )
m
m
 dt
(4)
Zadanie 4
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować model matematyczny systemu
mechanicznego, będącego fragmentem systemu zawieszenia samochodu osobowego (1/4
systemu zawieszenia samochodu osobowego, dla jednego koła: układ amortyzatorzawieszenie-opona), Rysunek 5.
6
a)
b)
m2
y2
β2
k2
m1
y1
k1
a
Rysunek 5.. System mechaniczny „fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego”:
a) rzeczywisty fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego (foto: http://mrr.infamis.org)
b) prosty model ideowy
ideow układu mechaniczny amortyzator-zawieszenie
zawieszenie-opona
gdzie:
m1
m2
k1
k2
B2
a
- masa zawieszenia,
- masa nadwozia samochodu osobowego,
- współczynnik sprężysto
ężystości opony,
- współczynnik sprężysto
ężystości amortyzatora,
- współczynnik tłumienia amortyzatora,
- profil powierzchni drogi (np. krawężnik).
kraw
Opracowany model powinien umożliwiać
umo
analizę zachowania systemu (położenie
(poło
i prędkości
zawieszenia oraz nadwozia samochodu w przyjętym
przyj
układzie współrzędnych)
ędnych) ze względu
wzgl
na
profil nierówności drogi (np. krawężnik).
kraw
Otrzymany model matematyczny należy
nale przedstawić w postaci równania, układu równań
równa
różniczkowych
niczkowych pierwszego rzędu.
rzę
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego przedstawionego na
Rysunku 2 należy uwzględnić:
dnić:
- że ruch odbywa się na płaszczyźnie
płaszczy
w kierunku zaznaczonej osi,
- żee na system nie oddziaływają
oddziaływaj żadne zewnętrzne
trzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 2,
- siłę bezwładności
ci działającą na zawieszenie oraz na nadwozie pojazdu.
Rozwiązanie Zadania 4
Przyjmując założenia i uwzgl
ględniając prawa dynamiki Newtona, siły oddziaływujące
oddziaływuj
na
układ mechaniczny,
czny, przedstawiony na Rysunku 5, można
na przedstawić w następującej
graficznej postaci:
7
siła bezwładności
d 2 y2
m2 ⋅ 2
nadwozia
dt
siła sprężystości
amortyzatora
siła bezwładności
zawieszenia
m1 ⋅
k 2 ⋅ ( y1 − y 2 )
d 2 y1
dt 2
siła sprężystości
opony
y2
m2
 dy1 dy 2  siła tłumienia
−

dt  amortyzatora
 dt
β2 ⋅ 
m1
y1
k1 ⋅ (a − y1 )
a
Rysunek 6. Graficzna reprezentacja sił działających w systemie z Rysunku 5
gdzie:
y1
- współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy zawieszenia,
y2
- współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy nadwozia,
a
- współrzędna odniesienia, współrzędna profilu powierzchni drogi
Należy zwrócić uwagę, że na Rysunku 6 dla opisu sił działających na poszczególne masy m1
i m2 występujące w układzie, przyjęto odpowiednio dwie współrzędne odniesienia y1 i y2.
Natomiast dla opisu profilu powierzchni drogi przyjęto współrzędną odniesienia a. To
właśnie profil drogi jest wielkością wymuszającą zachowanie analizowanego systemu.
Bilans sił oddziaływujących na masę m1 można przedstawić za pomocą następującego
równania:
m1 ⋅
d 2 y1
 dy dy 
+ k 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) + β 2 ⋅  1 − 2  = k1 ⋅ (a − y1 )
2
dt 
dt
 dt
(1)
Natomiast bilans sił oddziaływujących na masę m2 można przedstawić za pomocą
następującego równania:
m2 ⋅
d 2 y2
 dy dy 
= β 2 ⋅  1 − 2  + k 2 ⋅ ( y1 − y 2 )
2
dt 
dt
 dt
(2)
Porządkując równania (1) i (2) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny
systemu mechanicznego („układu dwóch mas podwieszonych pod sufitem”) w postaci układu
dwóch niejednorodnych liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu z parametrami
stałymi w czasie w następującej postaci:
8
 d 2 y1 k1
β  dy dy 
k
⋅ (a − y1 ) − 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) − 2 ⋅  1 − 2 
 2 =
 dt
m1
m1
m1  dt
dt 

2
d y2
k
β  dy dy 

= 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) + 2 ⋅  1 − 2 
2

m2
m 2  dt
dt 
dt
(3)
W rozpatrywanym przypadku, każde z równań układu równań (3) można przedstawić w
postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu pierwszego. W tym celu
można posłużyć się następującymi podstawieniami:
x1 = y1


dy1 dx1
=
 x 2 =
dt
dt

x3 = y 2

 x = dy 2 = dx3
 4
dt
dt
(4)
Uwzględniając powyższe podstawienia (4) oraz układ równań (3) otrzymujemy następujący
układ czterech liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dx1

= x2

dt
 dx
β
k
k
 2 = 1 ⋅ (a − x1 ) − 2 ⋅ ( x1 − x3 ) − 2 ⋅ ( x 2 − x 4 )
m1
m1
m1
 dt

dx3

= x4
dt

dx 4 k 2
β

=
⋅ ( x1 − x3 ) + 2 ⋅ ( x 2 − x 4 )

dt
m2
m2

(5)
Ostatecznie porządkując układ równań (5) otrzymujemy:
dx1

= x2

dt

 dx 2 = − k1 + k 2  ⋅ x − β 2 ⋅ x + k 2 ⋅ x + β 2 ⋅ x + k1 ⋅ a
2
3
4
m m  1 m
 dt
m1
m1
m1
1 
1
 1

dx3

= x4

dt

dx 4 k 2
β
k
β
=
⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x3 − 2 ⋅ x 4

dt
m2
m2
m2
m2

9
(6)