Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Transkrypt
Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania (obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe) Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T1 i T2 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. 1 Zadanie 1 Na podstawie prawa Ohma, I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i prądami zbudować model matematyczny wiążący napięcie wyjściowe uwy(t) z napięciem wejściowym uwe(t) nieobciążonego prądowo obwodu przedstawionego na Rysunku 1. R1 i1(t) i2(t) u1(t) uwe(t) iobc(t) u2(t) R2 uwy(t) Rysunek 1. Schemat układu elektrycznego Rozwiązanie Zadania 1 Z I prawa Kirchoffa mamy (iobc = 0, gdyż obwód jest nieobciążony): i1 (t ) − i2 (t ) = 0 ⇒ i1 (t ) = i 2 (t ) (1) Z II prawa Kirchoffa dla dwóch oczek i z prawa Ohma mamy: u we (t ) − R1 ⋅ i1 (t ) − R2 ⋅ i2 (t ) = 0 u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + R2 ⋅ i2 (t ) u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + u wy (t ) ⇒ ⇒ (2) R2 ⋅ i2 (t ) − u wy (t ) = 0 u wy (t ) = R2 ⋅ i2 (t ) u wy (t ) = R2 ⋅ i2 (t ) Przekształcając uzyskujemy: u we (t ) = R1 ⋅ i1 (t ) + u wy (t ) ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ i1 (t ) ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ i2 (t ) ⇒ u wy (t ) u (t ) ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ 2 ⇒ u wy (t ) = u we (t ) − R1 ⋅ ⇒ R2 R2 R2 R ⋅ u we (t ) ⇒ u wy (t ) + 1 ⋅ u wy (t ) = u we (t ) ⇒ u wy (t ) = R2 R1 + R2 (3) Ostatnie równanie w (3) jest liniowym równaniem algebraicznym. UWAGA: Dzielnik napięcia: Obwód elektryczny złożony z szeregowego połączenia dwóch pasywnych elementów elektrycznych, np. rezystorów. Napięcie wyjściowe uwy(t) nieobciążonego dzielnika napięcia jest zawsze mniejsze od napięcia zasilania uwe(t) i zależy tylko od stosunku wartości użytych rezystancji oraz wartości napięcia wejściowego uwe(t). Zastosowanie: obwody z rezystorami nastawczymi (potencjometry) – sprzęt audio, np. odbiorniki radiowe, wzmacniacze. 2 Zadanie 2 Na podstawie I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i prądami zbudować model matematyczny wiążący napięcie wyjściowe uwy(t) z napięciem wejściowym uwe(t) nie obciążonego prądowo czwórnika RLC przedstawionego na Rysunku 2. R L iRL(t) iobc(t) iC(t) uL(t) uR(t) uwe(t) uC(t) C uwy(t) Rysunek 2. Schemat układu elektrycznego – czwórnik RLC Rozwiązanie Zadania 2 Korzystając z II prawa Kirchhoff’a, dla wejściowego oczka możemy napisać równanie równowagi w następującej postaci: u R (t ) + u L (t ) + u C (t ) = u we (t ) (1) Należy również zwrócić uwagę, że dla rozważanego układu zachodzą następujące zależności: u wy (t ) = u C (t ) u R (t ) = R ⋅ iRL (t ) d u L (t ) = L ⋅ i RL (t ) dt d iC (t ) = C ⋅ u C (t ) dt (2) (3) (4) (5) Ponadto z warunku nie obciążania prądowego czwórnika iobc (t ) = 0 wynika, że: iRL (t ) = iC (t ) (6) Podstawiając zatem zależności (2-6) do równania równowagi (1) otrzymamy odpowiednio następujące równania: R ⋅ i RL (t ) + L ⋅ d i RL (t ) + u C (t ) = u we (t ) dt 3 (7) d iC (t ) + u wy (t ) = u we (t ) dt d d d R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + L ⋅ C ⋅ u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t ) dt dt dt 2 d d R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + L ⋅ C ⋅ 2 u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t ) dt dt R ⋅ iC (t ) + L ⋅ (8) (9) (10) Porządkując ostatnie równanie (10) otrzymamy poszukiwany model matematyczny czwórnika RLC w następującej postaci: L ⋅C ⋅ d2 d u (t ) + R ⋅ C ⋅ u wy (t ) + u wy (t ) = u we (t ) 2 wy dt dt (11) lub d2 R d 1 1 u (t ) = − ⋅ u wy (t ) − ⋅ u wy (t ) + ⋅ u we (t ) 2 wy L dt L ⋅C L ⋅C dt (12) Równanie (12) jest liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu z parametrami stałymi w czasie. Często zachodzi potrzeba przedstawiania modelu matematycznego w postaci równania różniczkowego pierwszego rzędu lub odpowiedniego układu równań różniczkowych pierwszego rzędu. W rozpatrywanym przypadku, równanie (12) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu pierwszego, aby tego dokonać można posłużyć się następującymi podstawieniami (13): x1 (t ) = u wy (t ) d d ( ) ( ) x t = u t = x1 (t ) 2 wy dt dt (13) Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia oraz równanie (12) otrzymujemy następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu: d x1 (t ) = x2 (t ) dt d R 1 1 x2 (t ) = − ⋅ x2 (t ) − ⋅ x1 (t ) + ⋅ u we (t ) L L ⋅C L ⋅C dt (14) Zadanie 3 Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować prosty model matematyczny ruchu pojazdu mechanicznego przedstawionego na Rysunku 3. 4 a) b) x f(t) m Rysunek 3. Pojazd mechaniczny: a) rzeczywisty pojazd mechaniczny (foto: http://motoryzacja.interia.pl) b) prosty model ideowy pojazdu mechanicznego Opracowany model matematyczny ruchu pojazdu powinien opisywać zależności pomiędzy siłą napędową f(t) działającą na masę pojazdu mechanicznego m a prędkością pojazdu wzdłuż osi x. Otrzymany model matematyczny należy przedstawić w postaci równania, układu równań różniczkowych pierwszego rzędu. Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 3 należy uwzględnić: - że ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi x, - że na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na Rysunku 3, - siłę bezwładności działającą na pojazd, - siłę oporu powietrza jako proporcjonalną do prędkości pojazdu. Rozwiązanie Zadania 3 Uwzględniając warunki zadania, siły oddziaływujące na układ mechaniczny, przedstawiony na Rysunku 3, można zilustrować w następującej postaci: siła bezwładności lokom otywy m⋅ d 2x dt 2 µ⋅ f (t ) m siła napędowa oddziaływująca na pojazd dx dt siła oporu powietrza współrzędna odniesienia x Rysunek 4. Graficzna reprezentacja sił dla układu z Rysunku 3 5 Bilans sił oddziaływujących na pojazd (masa m) można przedstawić następująco: f (t ) = m ⋅ d 2x dx +µ⋅ 2 dt dt (1) Porządkując równanie (1) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny ruchu pojazdu mechanicznego w postaci niejednorodnego liniowego równania różniczkowego drugiego rzędu z parametrami stałymi w czasie w następującej postaci: d 2x µ dx 1 = − ⋅ + ⋅ f (t ) 2 m dt m dt (2) Równanie (2) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu pierwszego. W tym celu można posłużyć się następującym podstawieniem: v= dx dt (3) Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia (3) oraz równanie (2) otrzymujemy następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu: dx =ν dt dν µ 1 = − ⋅ν + ⋅ f (t ) m m dt (4) Zadanie 4 Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować model matematyczny systemu mechanicznego, będącego fragmentem systemu zawieszenia samochodu osobowego (1/4 systemu zawieszenia samochodu osobowego, dla jednego koła: układ amortyzatorzawieszenie-opona), Rysunek 5. 6 a) b) m2 y2 β2 k2 m1 y1 k1 a Rysunek 5.. System mechaniczny „fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego”: a) rzeczywisty fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego (foto: http://mrr.infamis.org) b) prosty model ideowy ideow układu mechaniczny amortyzator-zawieszenie zawieszenie-opona gdzie: m1 m2 k1 k2 B2 a - masa zawieszenia, - masa nadwozia samochodu osobowego, - współczynnik sprężysto ężystości opony, - współczynnik sprężysto ężystości amortyzatora, - współczynnik tłumienia amortyzatora, - profil powierzchni drogi (np. krawężnik). kraw Opracowany model powinien umożliwiać umo analizę zachowania systemu (położenie (poło i prędkości zawieszenia oraz nadwozia samochodu w przyjętym przyj układzie współrzędnych) ędnych) ze względu wzgl na profil nierówności drogi (np. krawężnik). kraw Otrzymany model matematyczny należy nale przedstawić w postaci równania, układu równań równa różniczkowych niczkowych pierwszego rzędu. rzę Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego przedstawionego na Rysunku 2 należy uwzględnić: dnić: - że ruch odbywa się na płaszczyźnie płaszczy w kierunku zaznaczonej osi, - żee na system nie oddziaływają oddziaływaj żadne zewnętrzne trzne siły poza siłami przedstawionymi na Rysunku 2, - siłę bezwładności ci działającą na zawieszenie oraz na nadwozie pojazdu. Rozwiązanie Zadania 4 Przyjmując założenia i uwzgl ględniając prawa dynamiki Newtona, siły oddziaływujące oddziaływuj na układ mechaniczny, czny, przedstawiony na Rysunku 5, można na przedstawić w następującej graficznej postaci: 7 siła bezwładności d 2 y2 m2 ⋅ 2 nadwozia dt siła sprężystości amortyzatora siła bezwładności zawieszenia m1 ⋅ k 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) d 2 y1 dt 2 siła sprężystości opony y2 m2 dy1 dy 2 siła tłumienia − dt amortyzatora dt β2 ⋅ m1 y1 k1 ⋅ (a − y1 ) a Rysunek 6. Graficzna reprezentacja sił działających w systemie z Rysunku 5 gdzie: y1 - współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy zawieszenia, y2 - współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy nadwozia, a - współrzędna odniesienia, współrzędna profilu powierzchni drogi Należy zwrócić uwagę, że na Rysunku 6 dla opisu sił działających na poszczególne masy m1 i m2 występujące w układzie, przyjęto odpowiednio dwie współrzędne odniesienia y1 i y2. Natomiast dla opisu profilu powierzchni drogi przyjęto współrzędną odniesienia a. To właśnie profil drogi jest wielkością wymuszającą zachowanie analizowanego systemu. Bilans sił oddziaływujących na masę m1 można przedstawić za pomocą następującego równania: m1 ⋅ d 2 y1 dy dy + k 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) + β 2 ⋅ 1 − 2 = k1 ⋅ (a − y1 ) 2 dt dt dt (1) Natomiast bilans sił oddziaływujących na masę m2 można przedstawić za pomocą następującego równania: m2 ⋅ d 2 y2 dy dy = β 2 ⋅ 1 − 2 + k 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) 2 dt dt dt (2) Porządkując równania (1) i (2) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny systemu mechanicznego („układu dwóch mas podwieszonych pod sufitem”) w postaci układu dwóch niejednorodnych liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu z parametrami stałymi w czasie w następującej postaci: 8 d 2 y1 k1 β dy dy k ⋅ (a − y1 ) − 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) − 2 ⋅ 1 − 2 2 = dt m1 m1 m1 dt dt 2 d y2 k β dy dy = 2 ⋅ ( y1 − y 2 ) + 2 ⋅ 1 − 2 2 m2 m 2 dt dt dt (3) W rozpatrywanym przypadku, każde z równań układu równań (3) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu pierwszego. W tym celu można posłużyć się następującymi podstawieniami: x1 = y1 dy1 dx1 = x 2 = dt dt x3 = y 2 x = dy 2 = dx3 4 dt dt (4) Uwzględniając powyższe podstawienia (4) oraz układ równań (3) otrzymujemy następujący układ czterech liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu: dx1 = x2 dt dx β k k 2 = 1 ⋅ (a − x1 ) − 2 ⋅ ( x1 − x3 ) − 2 ⋅ ( x 2 − x 4 ) m1 m1 m1 dt dx3 = x4 dt dx 4 k 2 β = ⋅ ( x1 − x3 ) + 2 ⋅ ( x 2 − x 4 ) dt m2 m2 (5) Ostatecznie porządkując układ równań (5) otrzymujemy: dx1 = x2 dt dx 2 = − k1 + k 2 ⋅ x − β 2 ⋅ x + k 2 ⋅ x + β 2 ⋅ x + k1 ⋅ a 2 3 4 m m 1 m dt m1 m1 m1 1 1 1 dx3 = x4 dt dx 4 k 2 β k β = ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x3 − 2 ⋅ x 4 dt m2 m2 m2 m2 9 (6)