Praca

Transkrypt

Praca

1
POLITECHNIKA ÓDZKA
Wydzia Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek: Matematyka
Specjalność:Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Karolina Wierucka
nr albumu: 110604
System dziesietny i geometria w matematyce
średniowiecznych Indii.
Praca magisterska napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem prof. Jana Kubarskiego
ódź, wrzesień 2007
Spis Treści
Spis Treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Arytmetyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 System dziesietny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Pochodzenie cyfr arabskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Pismo brahmi i kharoszthi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 System pozycyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Zasada pozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Droga do odkrycia systemu pozycyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Wynalezienie numeracji pozycyjnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Wk ad Brahmagupty w rozwój arytmetyki. Zero jako liczba . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Rozpowszechnienie numeracji pozycyjnej przez Arabów . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Rachunki na piasku i pyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Metoda kratek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Teoria proporcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Regu a trzech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Regu a fa szywego po ozenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Geometria starozytna w ksiegach Sulvasutry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ii
Spis Treści
iii
2.1.1 Regu a sznura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Pierwsze sform uowania twierdzenia Pitagorasa.
Trójkaty pitagorejskie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
p
2.1.3 Wartość przyblizona 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4 Cyrkulatura kwadratu i kwadratura ko a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Geometria w średniowiecznych Indiach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Geometria czworokatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Brahmagupta i jego dokonania w dziedzinie czworokatów . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Wspó czesne dowody wzorów geometrii czworokatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Wzór Brahmagupty na pole czworokata wpisanego w okrag . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Twierdzenie Ptolemeusza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3 Wzór Herona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bibliogra a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Wstep
Tematem mojej pracy magisterskiej jest system dziesietny i geometria w matematyce
średniowiecznych Indii. W pierwszej cześci swojej pracy opisze zagadnienie, nad którym
wiekszość ludzi sie nie zastanawia - Skad wzie y sie liczby, którymi sie pos ugujemy?
Niektórzy nie wiedza nawet, ze nazywaja sie one arabskimi, inni wnioskujac z nazwy zak adaja, ze wymyślili je Arabowie. Ale czy na pewno? Dla mnie problem ten zawsze jawi
sie jako niezwykle ciekawy, dlatego tez postanowi am go rozwinać w tejze pracy. Druga
cześć swojej pracy poświece geometrii, nauce, która w codziennym zyciu ludzi by a obecna
od zawsze. W starozytności geometria pojmowana by a czysto praktycznie. Niezbedna
by a znajomość podstawowych gur geometrycznych i ich w asności do budowania o tarzy
o arnych. Dopiero w średniowieczu miedzy innymi Brahmagupta, Sridhara, Aryabhata
czy Bhaskary zaczeli formu ować pierwsze twierdzenia dotyczace gur p askich. Poniewaz
jednak indyjskie prace matematyczne dotyczace geometrii sa bardzo zwiez e i czesto nie
zawieraja dowodów, w ostatniej cześci swojej pracy podam wspó czesne dowody wzorów
geometrii czworokatów, które to wzory znajdujemy w Indiach w wiekach średnich.
W swojej pracy przedstawie zatem kolejno:
w rozdziale pierwszym - pismo brahmi i kharoszthi, dwa najstarsze pisma indyjskie.
Wyjaśnie czemu nazwa "cyfry arabskie' niesie za soba powazny b ad historyczny
oraz prześledze droge jaka przeszed system pozycyjny, zero czy regu a trzech, od
starozytności do czasów wspó czesnych.
1
Wstep
2
w rozdziale drugim - zajme sie geometria w starozytnych i średniowiecznych Indiach
oraz przedstawie wspó czesne dowody wzorów geometrii czworokatów. W cześci
dotyczacej starozytności podam pierwsze sformu owanie twierdzenia Pitagorasa, na
d ugo przed Pitagorasem, wartość przyblizona
p
2, która pojawia sie w ksiegach
Sulvasutry oraz rozwine zagadnienie cyrkulatury kwadratu i kwadratury ko a.
W cześci poświeconej geometrii średniowiecznej skupie uwage na dokonaniach
Brahmagupty w dziedzinie czworokatów. Na zakończenie przedstawie trzy dowody
wzorów, które powszechnie stosowane by y przez Brahmagupte w średniowieczu.
Mam nadzieje, ze niniejsza praca przyczyni sie do lepszego poznania historii liczb i
geometrii w wiekach średnich..
Rozdzia 1
Arytmetyka
1.1 System dziesietny
1.1.1 Pochodzenie cyfr arabskich
Pochodzenie cyfr zwanych "arabskimi" od zawsze wzbudza o powszechne zainteresowanie i zaciekawienie. Od wieków uczeni interesowali sie ich powstaniem i d ugotrwa ym procesem ewolucji.
Wed ug jendej z ludowych tradycji nadal obecnej w Egipcie i Afryce Pó nocnej cyfry
arabskie by y dzie em pewnego szklarza - geometryka z Magh-rebu, który dziewieć liczb
oznaczy cyframi posiadajacymi odpowiednia ilość katów: cyfra przedstawiajaca liczbe 1
zawiera a jeden kat, liczbe 2 - dwa katy, liczbe 3 - trzy katy i tak dalej.
By a to pierwsza nie prawdziwa hipoteza dotyczaca naszych cyfr.
Kolejna hipoteza, zaczerpnieta z dzie a pewnego Geneuńczyka znajdujemy u P.Voizota
- francuskiego autora z końca XIX wieku, który uwaza, ze cyfry u ozone zosta y z odpowied-
3
4
niej liczby kresek:
Przedstawione powyzej hipotezy to tylko dwie z "mylnych" teorii, jakie znajdujemy na temat pochodzenia cyfr arabskich, które powsta y przez setki lat. Jeśli wierzyć
ich zwolennikom obecne cyfry by yby dzie em wyobraźni pojedynczego cz owieka, który
sam wymyśli wszystkie znaki, nadajac im kszta t zwiazany z poszczególna liczba wedle
obranej przed siebie zasady. Zadna z poznanych teorii nie wyjaśnia jednak rozmaitości kszta tów, jakie dziewieć cyfr przybiera o na przestrzeni wieków w róznych cześciach świata.
Rozpatruja one tylko ostateczna forme wspó czesnych cyfr, jaka pos ugujemy sie w druku,
nie biorac pod uwage kolejnych etapów trwajacej od wieków ewolucji. Podobnie jest z
rozpowszechnionym przekonaniem o wynalezieniu cyfr arabskich przez Arabów. Nazwa
ta niesie za soba powazny b ad historyczny gdyz wynalazcami naszego systemu z ca a
pewnościa nie byli Arabowie. Prawdziwymi autorami tego waznego dla nas wynalazku,
stojacego na równi z umiejetnościa rozniecania ognia, wynalezienia ko a, pisma czy maszyny
parowej, byli matematycy i astronomowie cywilizacji indyjskiej, którzy przejawiali prawdziwa
pasje do wielkich liczb i rachunku liczbowego. Na poparcie tezy, ze prawdziwa ojczyzna
naszego systemu liczbowego sa Indie, przytocze kilka dokumentów historycznych:
W 1814 roku Pierre Simon de Laplace napisa [?, tom I, str. 899]:
"Pomys owa metode przedstawiania wszystkich liczb za pomoca dziesieciu symboli,
z których kazdy ma wartość zalezna od pozycji i wartość absolutna, zawdzieczamy Indiom.
Dziś pomys ten wydaje sie nam tak prosty, ze nie doceniamy jego g ebi i rzeczywistego
5
znaczenia. Ale jego prostota i olbrzymia atwość wszelkich obliczeń sprawiaja, ze nasza
arytmetyke mozna umieścić w pierwszym rzedzie uzytecznych wynalazków, a jak wielkie to
osiagniecie, niech o tym świadczy fakt, ze nie zdo a y go dokonać tak genialne umys y, jak
Archimedes i Apoloniusz z Pergi, dwaj najwieksi ludzie, jakich wyda a starozytność."
Natomiast juz o wiele wcześniej, bo w roku 976 zakonnik imieniem Vigila z klasztoru
Albedy w pó nocnej Hiszpanii pisze "Codex Vigilanus", w którym znajdujemy fragment
zawierajacy dziewieć cyfr, nie ma jednak zera. Vigila wyraźnie wskazuje na indyjskie
pochodzenie cyfr [?, tom I, str. 904]:
"To samo dotyczy cyfr arytmetyki. Nalezy wiedzieć, ze Hindusi maja niezwykle subtelne umys y, a inne nacje nie dotrzymuja im kroku w arytmetyce, geometrii i innych sztukach wyzwolonych. Najlepszym tego dowodem jest dziewieć cyfr, za pomoca których
oznaczaja kazda liczbe dowolnej wielkości. Oto postać tych cyfr: 9 8 7 6 5 4 3 2 1".
Wspomniani autorzy nie byli ani pierwszymi ani ostatnimi, którzy pisali o indyjskim
rodowodzie wspó czesnych cyfr.
1.1.2 Pismo brahmi i kharoszthi.
Najstarsze pismo indyjskie znamy z pieczeci i tabliczek cywilizacji Indusu (oko o XXV
- XVIII w.p.n.e.), znalezionych w ruinach starozytnych miast Mohendzo Daro i Harappa.
Pisma tego do dziś nie odczytano, a zatem nic nie wiemy o jezyku, który zosta uzyty. Historie czysto indyjskich systemów pisma rozpoczynaja inskrypcje Aśoki, trzeciego w adcy
Magadhy z dynastii Maurjów, który panowa w Indiach od 273 do 235 roku p.n.e. Napisy
te to g ównie edykty wykute na ska ach lub kolumnach. Sporzadzono je kilkoma rodza-
6
jami pisma. W Kandaharze i Dzalalabadzie w Afganistanie uzywano alfabetu greckiego i
aramejskiego, w Mansarze i Szahbazgarhi w górnym biegu Indusu - pisma kharoszthi, a w
pozosta ych rejonach - brahmi.
Kharoszthi pochodzi bezpośrednio od starozytnego alfabetu aramejskiego, dlatego
nosi tez nazwe pisma aramejsko-indyjskiego. Wprowadzono je oko o wieku IV p.n.e. i
uzywano w pó nocno - zachodnich Indiach do końca IV w.n.e. Podobnie jak jego pierwowzór pisane jest z prawa do lewa a liczby od 1 do 9 przedstawiane sa na ogó na pomoca odpowiedniej liczby pionowych kresek oznaczajacych jedność, ponadto w zapisie
kharoszthi tylko liczby 1, 10, 20 i 100 maja w asne symbole.
[3; tomI; str:967]
7
Pismo brahmi natomiast wywodzi sie od dawnych alfabetycznych pism zachodniosemickich. W alfabecie brahmi teksty pisane sa od strony lewej do prawej. Alfabet
ten by przystosowany do dźwieków sanskrytu, klasycznego jezyka starozytnych i średniowiecznych Indii i hinduizmu. Cyfry w pierwotnym zapisie brahmi po raz pierwszy spotykamy w po owie III w.p.n.e. w inskrypcjach sporzadzonych alfabetem brahmi w jezyku
ardha-magadhi. Sa to teksty edyków, z oko o 273-235 roku p.n.e., które król Aśoko kaza
wyryć na ska ach i ścianach światyń wykutych w zboczach gór. Przypuszczalnie pismo
brahmi pojawi o sie przed czasami Aśoki, poniewaz za jego panowania by o juz doskonale
znane i rozpowszechnione na wielu terytoriach Indii. W edyktach nie znajdujemy jednak wszystkich cyfr, a tylko symbole liczb 1, 2, 4 i 6, gdzie mozemy rozpoznać nasza
wspó czesna szóstke.
[3; tomI; str:944]
System brahmi przedstawia trzy pierwsze cyfry, jako odpowiednia ilość poziomych kresek, natomiast liczby od 4 do 9, w przeciwieństwie do kharoszthi, od poczatku by y wyrazane
oddzielnymi znakami, pozbawionymi skojarzeń z przedstawiana liczba. Jest to wazna
cecha tego pisma, niewyjaśniona do dzisiaj.
1.2 System pozycyjny
8
Znacznie lepsze pojecie o tym systemie znajdujemy w dokumentach z późniejszych
okresów, gdzie pojawiaja sie one w pe niejszej postaci. Pismo brahmi przetrwa o znacznie
d uzej niz pozosta e ówczesne systemy pisma i podlega o ciag ej ewolucji na przestrzeni
kolejnych stuleci. Rozmaite serie cyfr od 1 do 9 uzywane niegdyś i obecnie w Indiach, Azji
Środkowej i Po udniowo - Wschodniej pochodza bezpośrednio lub pośrednio od dawnego
zapisu liczb w systemie brahmi.
1.2.1 Zasada pozycji
"Osio na najwyzszym stopniu wart jest wiecej niz lew na najnizszym" [2, str. 45].
Oto zasada systemu pozycyjnego. Jedynka z 1000 jest warta wiecej niz którakolwiek z dziewiatek liczby 999. W wiekszości systemów numerycznych wartość cyfry nie
zalezy od pozycji, jaka zajmuje ona w zapisie liczby. I tak "I" w numeracji rzymskiej
ma wartość "jeden" gdziekolwiek znalaz aby sie w zapisie, podobnie "M", która oznacza
"tysiac". A zatem "tysiac jeden" zapisujemy "MI". W numeracji pozycyjnej przyjeto natomiast, ze wartość cyfry nie jest sta a, zmienia sie ona zaleznie od pozycji, jaka zajmuje
w zapisie liczby. W systemie tym liczy sie przede wszystkim miejsce. Poniewaz kazde
miejsce równa sie pewnej określonej wartości bazy, nie musi ona być bezpośrednio oznaczona przez cyfre w zapisie liczby, bowiem teraz te funkcje pe ni pozycja. Numeracja
pozycyjna jest jedyna, dla której istnienie zera jest absolutna koniecznościa. Na przyk ad
by miejsce zajmowane przez dziesiatki nie znik o, jeśli oznaczajaca je kolumna nie jest
9
zajeta, konieczny jest znak umieszczony po kolumnie jednostek. Z jednej strony informujemy, ze dziesiatki sie nie licza, z drugiej jednak, ze nastepna cyfra wyraza setki. Oto rola,
jaka odgrywa zero. W liczbie "1001", dziesiatki i setki sie nie licza, miejsca drugie i trzecie zajete sa przez "0". W przypadku dwóch "1", jedna z nich w po aczeniu z zajmowana
pozycja ma wartość "jeden" druga zaś ma wartość "tysiac". A zatem zadnej z cyfr nie
mozna odczytywać, jako zestawienie kilku innych, sa one bowiem nierozk adalne i niezalezne od siebie. Ta wzajemna niezalezność wyklucza wszelka dwuznaczność odczytu, co
czesto sie zdarza w innych systemach numerycznych. Zaleta tego zapisu jest umieszczenie
cyfr jedna za druga, w jednej linii, z określonym kierunkiem odczytu. Wszystkie miejsca sa
dozwolone dla wszystkich cyfr, w acznie z "0". Kolejna zaleta tego systemu jest zwiazek
miedzy d ugościa nazwy a wielkościa. Im d uzsza nazwa liczby, tym wieksza liczba, i
odwrotnie. Ten zwiazek niezwykle u atwia porównywanie, na przyk ad: "1001" d uzsze
niz "888" implikuje, ze 1001 jest wieksze od 888. W zapisie rzymskim liczbe 1001 zapisujemy "MI" ma ona dwa znaki, natomiast 888 zapisujemy "DCCCLXXXVIII" czyli ma
znaków 12.
1.2.2 Droga do odkrycia systemu pozycyjnego
Zanim Hindusi doszli do naszego wspó czesnego systemu liczbowego musia o minać wiele
czasu. Ich prymitywna numeracja mia a jednak pewna ceche wspólna, mianowicie jej
dziewieć liczb od 1 do 9, nie mia o nic wspólnego z zadna intuicja wzrokowa, nie kojarzy o sie przez swój kszta t z zadna liczba i nie by o to ich zadaniem. By y to znaki
czysto umowne. Ich kszta ty przypomina y obecne cyfry, które powsta y z tamtych i które
10
do dziś nosza nazwe, choć nies usznie, arabskie.
Nie by y one jednak uzywane wed ug regu y pozycji, co nie pozwala o na ich rachowanie.
Baza tego systemu by a dziesiatka, a liczby pisano na zasadzie dodawania. Kazda z nastepujacych liczb mia a swoja w asna cyfre.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 9000
A zatem osobnymi cyframi oznaczane by y nie tylko liczby od 1 do 9, ale takze
wszystkie wielokrotności 10 az do liczby 90, wielokrotności liczby 100 az do 900, wielokrotności liczby 1000 az do 9000 i wielokrotności 10000 az do 90000. Zeby zapisać liczbe
7629, trzeba by o napisać po kolei, od lewej do prawej, cyfry "7000" , "600", "20", "9" :
W systemie tym nie mozna by o jednak wykonywać dzia ań arytmetycznych, najwyzsza
cyfra mia a wartość 90000 i nie mozna by o zapisać liczby wiekszej od 99999. Co by o
niezadawalajace dla uczonych indyjskich, którzy lubowali sie w wielkich liczbach. Poniewaz
uczeni nie mogli wyrazać duzych liczb cyframi, wpadli na pomys pisania ich s owami.
Pomocny sta sie tu naukowy jezyk Indii - sanskryt. Ta ustna numeracja zawiera a nazwy
11
pierwszych dziewieciu liczb :
1
eka
2
dvi
3
tri
4
5
katura pańca
6
sat
7
sapta
8
asta
9
nava
I tak, nie wiedzac nawet o tym, uczeni indyjscy szli droga prowadzaca do odkrycia
systemu pozycyjnego i zera, poniewaz ich system nosi juz w sobie zalazek tych odkryć.
1.2.3 Wynalezienie numeracji pozycyjnej
Numeracja pozycyjna z zerem zosta a wynaleziona w Indiach w V wieku n. e. W roku
458 pojawia sie napisany w sanskrycie traktat kosmologiczny - "Lokavibhaga" - "Cześci
wszechświata", og oszony przez uczestników indyjskiego ruchu religijnego dzainów. Dok adna
data to 25 sierpnia 458 roku kalendarza julianowskiego. Data ta zosta a dok adnie zaznaczona w tym tekście wed ug ówczesnej indyjskiej rachuby czasu. W ksiazce tej spotykamy
liczbe "14236713" jako:
triny ekam sapta sat trini dve catvary ekam
Co dos ownie znaczy " trzy, jeden, siedem, sześć, trzy, dwa, cztery, jeden".
W tekście tym pojawia sie równiez s owo sunya - "pusto", które oznacza zero. Liczba
"13107200000", w której brak cyfr niektórych rzedów, zosta a dzieki temu s owu wyrazona
bez obawy nieporozumienia:
sunya sunya sunya sunya sunya dvi sapta sunya eka tri eka
dos ownie: "pusto, pusto, pusto, pusto, pusto, dwa, siedem, pusto, jeden, trzy, jeden".
12
Kazde z tych wyrazeń opatrzone jest w tekście objaśnieniem "sthānakram- ād", co
znaczy w sanskrycie "wed ug kolejnej pozycji". A zatem zosta y one zapisane wed ug zasady pozycyjnej od strony prawej do lewej. Autorzy traktatu kierowali zatem swoje dzie o
nie tylko w kierunku uczonych, ale równiez w kierunku zwyk ych ludzi, gdyz nie tylko
dodali szereg objaśnień, ale równiez unikali szczegó ów zbyt technicznych. Ich celem
by o ukazanie zas ug naukowych od amu religijnego, który reprezentowali. Ten sposób
wyrazania liczb musia być zatem znany w Indiach w V wieku n.e. i to nie tylko w
środowisku uczonych. Rozpowszechni sie on na terenie kraju w VI wieku n.e. i później
takze poza granicami Indii. Pos ugiwali sie nim dla oznaczenia dat rytownicy napisów na
kamienicach u Khamerów w Kambodzy, u Szamów w po udniowo-wschodnim Wietnamie,
u Jawajczyków i innych. Nic w tym dziwnego, poniewaz te dawne kultury indochińskie
i indonezyjskie uleg y w pierwszych wiekach naszej ery silnym wp ywom indyjskim z
powodu ekspansji religii siwy i buddyzmu, oraz wskutek roli, która te spo eczności odgrywa y, jako pośrednicy w handlu korzeniami, jedwabiem i kościa s oniowa miedzy Indiami
a Chinami.
1.2.4 Wk ad Brahmagupty w rozwój arytmetyki. Zero jako liczba
W roku 628 n.e. pojawia sie traktat "Brahmasphutasiddhanta" napisany przez trzydziestoletniego wówczas Brahmagupte. Pomimo, ze Brahmagupta zaprzecza g oszonej od 520
roku przez Arjabhate teorii ruchu obrotowego Ziemi, by niewatpliwie najwiekszym matematykiem VII wieku n.e.. Z wielkim uznaniem wypowiadali sie o nim nie tylko matematycy
i astronomowie indyjscy, ale równiez liczni uczeni arabsko-muz umańscy. Jego osiagnie-
13
cia przedstawione w skrócie w "Brahmasphutasiddhanta" w 628 roku n.e., a nastepnie w
znacznie bardziej rozwinietej wersji w "Khandakhadjaka" w 664 roku n.e., oznacza y olbrzymi postep w stosunku do prac dawniejszych uczonych, zw aszcza w cześci dotyczacej
algebry i arytmetyki, gdzie dokona najwiecej. Jego zas uga jest sformu owanie zasad arytmetyki, liczb ujemnych, pojawienia sie po raz pierwszy zera jako liczby oraz ogólnych
zasad rozwiazywania równań kwadratowych z pierwiastkami dodatnimi, ujemnymi lub zerowymi. Brahmagupta podaje nam metode szybkiego wykonywania podstawowych dzia ań arytmetycznych (dodawania, odejmowania, mnozenia, dzielenia, potegowania i pierwiastkowania) na obiektach, które nazwa "dobrem", "d ugiem", "nicościa", co oznacza
liczby dodatnie, ujemne i zero. By to pierwowzór arytmetyki liczb ca kowitych a jego
podstawowa regu a to:
"d ug odjety od nicości staje sie dobrem, a dobro odjete od nicości staje sie d ugiem".
Odkrycie to by o bardzo znaczace dla ówczesnej matematyki i nie ogranicza sie tylko
do arytmetyki, umozliwi o równiez powstanie algebry.
1.2.5 Rozpowszechnienie numeracji pozycyjnej przez Arabów
W roku 733 do Bagdadu przyby o poselstwo indyjskie. W ich bagazu znajdowa y sie
nieocenione skarby: obliczenia i cyfry. Bardzo mozliwe, ze wśród sanskryckich dzie ,
przywiezionych z Indii, znalaz sie równiez napisany przez Brahmagupte traktat z 628 roku.
Kalif Al-Mansur i otaczajacy go arabscy uczeni natychmiast docenili niezrównana wartość
tego podarunku. Pierwszym napisanym po arabsku dzie em przedstawiajacym te nowa
wiedze by a ksiega "Abu Abdullaha Mohammada ibn Musa Al-Chuwarizmiego" - "Ksiega
1.3 Rachunki na piasku i pyle
14
dodawania i odejmowania wed ug systemu liczenia Hindusów" powsta a na poczatku IX
w.n.e.. Za jej pośrednictwem indyjski system liczenia przenikna na chrześcijański Zachód.
Ksiega przet umaczona na acine sta a sie tak znana, ze system liczenia zosta nazwany
"algoryzmem" (obecnie - algorytm) od acińskiej wersji nazwiska Chuwarizimiego, Algorismus. "Nazywamy algorismus nowa sztuke, dzieki której uzywamy tych cyfr indyjskich w liczbie dwa razy po pieć" napisano w "Carmen de Algorismo" acińskim wierszu
powsta ym oko o roku 1200 n.e.. Z up ywem czasu stopniowo zapominano o indyjskim
pochodzeniu tej rozprzestrzeniajacej sie po ca ym świecie metodzie obliczeń, pamietano
tylko o tych, od których ja otrzymano. I tak indyjskie symbole sta y sie cyframi arabskimi,
a zero arabskim wynalazkiem.
O tym jak wielkim wynalazkiem by o odkrycie systemu pozycyjnego mówi Georges
Ifrah:
"Nasza numeracja pozycyjna stanowi system doskona y. Wynalezienie naszej obecnej
numeracji stanowi o naprawde ostatnie stadium historii zapisu numerycznego. Z chwila,
gdy sta sie on faktem, w tej dziedzinie nie by o juz mozliwe zadne inne odkrycie". [2, str.
56]
Uczeni indyjscy potra li sobie poradzić z róznymi rachunkami uzywajac pomocniczych
środków, mimo, ze nie znali oni jeszcze wspó czesnej pisowni liczb. Te niedogodności ich
wspó czesnej numeracji sta y sie bodźcem do wynalezienia takich przyrzadów jak "abak"
czy "tablica do liczenia". Najcześciej uzywali oni abaku, którego role pe ni y kolumny
15
wykreślane w mia kim piasku. Pierwszej kolumnie z prawej strony odpowiada y jedności
(od 1 do 9), z drugiej dziesiatki, trzeciej setki itd. Uczeni indyjscy wykonywali dzia ania arytmetyczne, wykreślajac dziewieć cyfr na ziemi uzywajac do tego rylca, patyczka
lub palca. Sposób ten nazywano hisab al-ghubar (rachunek na pyle) lub hisab ala ta-turab
(rachunek na piasku). Jedno z najstarszych świadectw stosowania tej metody mozemy
znaleźć w traktacie napisanym przez Abu Sahla Dunasza Ibn Tamima z Keruanu, oko o
roku 950 n.e.. Matematycy indyjscy kreślili na p askiej powierzchni równoleg e linie
wyznaczajac kolumny, w kolumnach tych zapisywali cyfry, których wartość zaleza a od
pozycji. Zacierali je w trakcie rachowania, pozostawiajac tylko wyniki kolejnych dzia ań.
Na przyk ad: liczbe 7629 przedstawiali rysujac 9 w kolumnie jedności, 2 w kolumnie
dziesiatek, 6 w kolumnie setek a liczbe 7 w kolumnie tysiecy.
W przypadku braku cyfr pewnego rzedu, zostawiali Oni dana kolumne pusta. Na przyk ad
tak wyglada zapis liczby 102670:
Nie potrzebowali oni zatem zera.
16
Przypuśćmy teraz, ze rachmistrz potrzebuje pomnozyć liczbe 325 przez 28. W tym
celu rysuje na ziemi pieć równoleg ych lini, tworzac cztery kolumny. W kolumnach tych
umieszcza liczby 325 i 28 w nastepujacy sposób:
3
2 8
2
5
Umieści zatem najnizsza cyfre mnoznika pod najwyzsza cyfra mnoznej. Nastepnie pomnozy 3 na górze przez 2 na dole, a iloczyn 6 umieści na lewo od górnego 3:
#
6 3 2 5
2 8
Kolejno mnozy 3 na górze przez 8 na dole, a ze otrzyma cyfre 24, wymazuje wiec górne 3
i wpisuje w to miejsce 4, które jest cyfra jedności iloczynu 24:
#
6 4 2 5
2 8
Do górnego 6 dodaje liczbe 2, która jest cyfra dziesiatek poprzedniego iloczynu 24:
#
+2
6 4
2 8
2
5
Po dodaniu otrzymuje:
8 4
2 8
2
5
W ten sposób rachmistrz zakończy pierwszy etap rachunku, gdyz pomnozy cyfre setek
mnoznej - 3 przez mnoznik 28. Przechodzi zatem do drugiego etapu, przesuwajac obie
cyfry mnoznika w prawo o jedno miejsce:
8
4
2
2
8
17
5
!
Mnozy górne 2 przez dolne 2. Otrzymuje iloczyn 4 i dodaje te liczbe do liczby 4 znajdujacej sie po stronie lewej od liczby 2 na górze:
#
+4
8 4
2
2
8
5
Po wykonaniu dodawania otrzymuje:
8 8
2
2
8
5
Nastepnie to samo górne 2 mnozy przez dolne 8, a poniewaz otrzymuje iloczyn 16 to w
miejsce górnego 2 wpisuje liczbe jedności iloczynu, czyli liczbe 6:
8 8
2
#
6
8
5
Potem natomiast dodaje pierwsza cyfre poprzedniego iloczynu 16 do liczby 8 znajdujacej
sie na lewo od wpisanej w aśnie liczby 6:
8 9
2
6
8
5
Rachmistrz zakończy zatem drugi etap rachunku, bowiem wykona mnozenie dwóch cyfr
mnoznej przez mnoznik 28. Aby przejść do etapu trzeciego nalezy znów przesunać cyfry
mnoznika o jedno miejsce w prawo:
8
9
6
2
18
5
8
!
Rachmistrz mnozy liczbe jedności mnoznej, czyli górne 5 przez dolne 2 i otrzymuje iloczyn
10. Poniewaz liczba 10 nie zawiera cyfr pierwszego rzedu (zero na końcu), zatem nie
zmienia on cyfry 6 nad ta 2. Dodaje natomiast cyfre dziesiatek iloczynu, czyli liczbe 1 do
cyfry 9 na lewo od pozostawionej 6:
#
+1
8 9 6 5
2 8
Otrzymuje znów liczbe 10, zatem rachmistrz wymazuje liczbe 9 i pozostawia puste miejsce,
1 natomiast dodaje do liczby 8 sasiadujacej z lewej strony z pustym miejscem:
#
+1
8
6
2
5
8
6
2
5
8
Po dodaniu kolumny wygladaja nastepujaco:
9
Teraz rachmistrz mnozy górne 5 przez druga cyfre mnoznika, czyli przez 8. Otrzymuje 40,
wiec wymazuje górne 5 nad ta 8 i zostawia tam puste pole, gdyz 40 kończy sie zerem:
9
#
6
2 8
Liczbe 4 dodaje natomiast do liczby lezacej na lewo od pustego miejsca, to jest do liczby
6:
19
#
+4
6
2 8
9
Poniewaz suma wynosi 10, zatem rachmistrz wymazuje 6 i zostawia tam puste pole. Natomiast liczbe 1 dodaje do liczby na nastepnym miejscu z lewej strony. Poniewaz jest to puste
miejsce, w praktyce dodaje liczbe 1 do zera:
#
+1
9
2
8
2
8
Teraz kolumny wygladaja nastepujaco:
9
1
Cyfra najnizszego rzedu mnoznika znajduje sie w tej samej kolumnie, co cyfra najnizszego
rzedu mnoznej, zatem mnozenie 325 przez 28 zosta o zakończone. Rachmistrz otrzyma
dziewieć tysiecy, jedna setke, natomiast nie otrzyma ani dziesiatek ani jedności. Iloczyn
wynosi wiec 9100. A zatem w przedstawionej metodzie obliczenia przeprowadzamy tyle
etapów, ile znajduje sie cyfr w mnoznej. Mnozy sie wiec kolejno cyfry mnoznej, zaczynajac od cyfry najwyzszej, przez cyfry mnoznika, czyli przez kolejne jego cyfry, by nastepnie
dodać odpowiednie iloczyny. Na końcu dodaje sie otrzymane rezultaty.
W naszym przyk adzie dzia anie to mozemy przedstawić za pomoca nastepujacego
algorytmu:
325
28 =
(3
PIERWSZY ETAP
2) 1000 + (3 2)
20
100
+
(2
2)
DRUGI ETAP
100 + (2 8)
100
+
(5
TRZECI ETAP
2) 100 + (5 8)
Metoda ta wymaga a jednak duzej wprawy i by a dość monotonna i mozolna. Na poczatku
VI wieku nastapi prze om w tej dziedzinie. Juz jakiś czas wcześniej uczeni indyjscy
wynaleźli zasade systemu pozycyjnego i zero, o czym wspomina am juz w pracy. Aby
wyrazić na przyk ad liczbe 9100 pisali, badź mówili coś w rodzaju:
powietrze pusto ksiezyc
_
otwory
0
0
1
9
Odkrycie to stosowano jednak tylko do nazw liczb lub do s ów-symboli. Najwazniejsze
by o, aby zapisać rezultat i wyrazić go w sposób zrozumia y i zgodny z regu ami pisma. Na
poczatku V wieku rachmistrze w pó nocnych Indiach dazyli do przedstawienia tych rezultatów w brulionie, za pomoca cyfr, jakie rysowa o sie na abaku, stosujac do nich zasade
pozycji oraz zero. I w ten sposób znikne y kolumny abaków a dziewieć pierwszych cyfr
numeracji indyjskiej otrzyma o wartości zalezne od ich pozycji w zapisie przedstawiajacym liczbe. Zero zaznaczano ma ym kó kiem badź punktem (s owo bindu oznacza o punkt
i by o jednym z synonimów "pustki"). Cyfry zaczeto pisać poczawszy od najwyzszego
rzedu w porzadku malejacych poteg, dziesiatki z lewa na prawo, a nie tak jak wcześniej
gdzie cyfry pisano zgodnie ze wzrostem ich rzedu dziesietnego. Zatem liczba 9100 przed-
1.4 Metoda kratek
21
stawiano teraz w postaci:
Taka tez by a na abaku kolejność rzedów, a dok adniej kolumn, które im odpowiada y:
#
miliony
#
#
setki
dziesiatki
dziesiatek
tysiecy
#
tysiace
#
setki
#
#
dziesiatki jedności
Technika rachunkowa ulega a ciag ym ulepszeniom. Skomplikowane regu y abaku
wymaga y duzego skupienia i duzej zreczności, czeste ścieranie cześciowych wyników
nie pozwala o na wychwycenie ewentualnych pomy ek. Dzieki wynalezieniu zera i wciaz
ulepszanym i upraszczanym metodom, uczeni indyjscy doszli do tego, co kilka wieków
później sta o sie wzorcem dla naszego rachunku pisanego.
1.4 Metoda kratek
Przyjrzyjmy sie teraz metodzie wykonywania mnozenia przez arytmetyków indyjskich
poczawszy od VI wieku. Jest to tak zwana metoda kratek zwana tez metoda tablicowa.
Metoda ta zosta a przekazana Arabom, a nastepnie za ich pośrednictwem Europejczykom,
którzy nadali jej nazwe mnozenia per gelosia ("z zaluzja"). Kratki bowiem, w których zapisywano dzia ania przypomina y zaluzje, przez które mog y patrzeć z ukrycia zazdrosne
zony lub zazdrośni mezowie.
1.4 Metoda kratek
22
[3; tomII; str:424]
Zapis ma dość ciekawa postać, ale wynik końcowy dostajemy w podobny sposób,
jak za pomoca dzisiejszych metod, przez dodawanie iloczynów kolejnych cyfr mnoznej
i mnoznika. Spróbujemy pomnozyć liczbe 6538 przez 547. Mnozna jest 4-cyfrowa a
mnoznik 3-cyfrowy, zatem rysujemy tablice prostokatna o czterech kolumnach i trzech
wierszach. Nad kolumnami zapisujemy cyfry mnoznej z lewa do prawa: 6, 5, 3, 8, a po
1.4 Metoda kratek
23
lewej stronie wierszy zapisujemy od do u do góry cyfry mnoznika:
Kazda kratke dzielimy na dwa pola, prowadzac przekatna z lewego górnego wierzcho ka do
prawego dolnego. Nastepnie mnozymy kazda z cyfr po stronie lewej przez cyfry na górze
a iloczyn wpisujemy w kratke lezaca na przecieciu odpowiedniego wiersza z odpowiednia kolumna. Iloczyny te sa oczywiście mniejsze od 100. Cyfre dziesiatek wpisujemy w
lewym dolnym polu, a cyfre jedności w prawym górnym. Jezeli iloczyn jest jednocyfrowy,
wówczas piszemy zero w lewej cześci. Zatem w naszym przyk adzie, w prawej górnej
kratce wpisujemy iloczyn 8 i 7 tj. 56 , umieszczamy wiec 5 w lewym polu, a 6 w prawym,
1.4 Metoda kratek
24
i tak dalej:
Sumujemy teraz cyfry w kazdym ukośnym pasie, zaczynajac od trójkata w prawym górnym
rogu, czyli z cyfra 5. Dodajemy do siebie cyfry od prawej do lewej z kolejnych, coraz
nizszych pasów. Otrzymane sumy zapisujemy za zewnatrz tabelki, jeśli przy którymś
sumowaniu wychodzi liczba wieksza od 10 to zapisujemy tylko ostatnia jej cyfre a poprzednie zapisujemy w "pamieci" i dodajemy do odpowiednich dalszych sum, podobnie jak przy
naszym systemie przy dodawaniu kolumny liczb. W ten sposób na zewnatrz tabeli pojawi y
1.5 Teoria proporcji
25
sie wszystkie cyfry końcowego wyniku:
Wynik odczytujemy od lewej do prawej, jak wskazuje strza ka: 3576286.
Taki sposób wydaje sie być bardzo monotonny w porównaniu z obecnie uzywana
metoda obliczeń, ale wówczas stanowi on olbrzymi postep dla nauki. Mia tez swa zalete, gdyz wynik otrzymywany by w ca ości po zakończeniu obliczeń, podczas gdy dziś
dochodzimy do wyniku w miare wykonywania dzia ań pośrednich.
1.5.1 Regu a trzech
Bardzo szerokie zastosowanie w wiekach średnich mia a regu a trzech, trai-raśika, w
dos ownym t umaczeniu "trzy miejsca". Regu a trzech polega na znalezieniu liczby x,
tworzacej z trzema danymi liczbami a, b, c proporcje:
a
b
=
c
x
lub , jak mawiali uczeni, do
znalezienia odpowiedzi na pytanie: a wytwarza b, co wytwarza c? Regu a trzech zajmowa a
26
w arytmetyce indyjskiej znaczace miejsce, dzieki niej mozna by o bowiem rozwiazywać
szeroka klase zadań spotykanych w zyciu codziennym. Aryabhaty I g osi nastepujacy
przepis:
"W regule trzech "wynik" (b) pomnozony przez "zadanie" (c) jest dzielony przez
"dane" (a). Iloraz jest wartościa "szukanego" (x )".
Zdaniem A.P. Juszkiewicz [7, str. 115] we wszystkich pracach z tamtego okresu, trzy
dane liczby nosi y powyzsze nazwy i przy rozwiazywaniu zadań ustawiano je w jednym
wierszu:
dane - wynik - zadane
Na przyk ad w zadaniu Sridhary, w którym szukana jest cena 9 14 miary drzewa sanda owego, gdy wiadomo, ze 1 14 miary kosztuje 10 41 pana, liczby zosta y ustawione nastepujaco:
5 21 37
4 2 4
Wynik końcowy
21 4 37
5 2 4
=
3108
40
7
= 77 10
przeliczony zosta na 5 purana, 13 pana, 2 kakini
i 16 varataka. Brahmagupta i matematycy późniejsi dodali jeszcze odwrotna regu e trzech
oraz regu e 5, 7, 9 i 11 wielkości, które nazywano pancz-raśika, sapta-raśika, nova-raśika i
ekadaśa-raśika, w dos ownym t umaczeniu "pieciomiejscowa", "siedmiomiejscowa", "dziewieciomiejscowa", "jedenastomiejscowa". Natomiast odwrotna regu a trzech by a bardzo przydatna przy rozwiazywaniu zadań, w których wielkość szukana jest nie wprost, a odwrotnie
proporcjonalna do "zadanej". Jak na przyk ad w ponizszym zadaniu:
27
Zadanie 1A robotników wykonuje pewna prace w ciagu b dni. W ciagu ilu dni wykona te
sama prace c robotników?
Rozwiazanie. Mamy:
x
y
=
d
c
,
y
a
=
b
c
a
c
=
x
b
W regule pieciu szukana liczbe x, spe niajaca proporcje:
otrzymujemy, jako równa:
dba
ec
Prześledźmy to na przyk adzie zadania z Lilavati:
Zadanie 2Procent wynosi miesiecznie 5. Ile wynosza odsetki od 16 za 12 miesiecy?
Rozwiazanie. Oznaczajac przez y odsetki od 100 za 12 miesiecy, a przez x odsetki od 16
za 12 miesiecy, otrzymujemy:
y
5
=
12
1
,
x
y
=
16
100
. Bhaskara znajduje odpowiedź stosujac
regu e pieciu. Ustawia liczby 16, 12, 5 i 100 w dwie kolumny i dzieli iloczyn liczby
d uzszej kolumny przez iloczyn liczby krótszej, tzn:
16 12 5
1 100
=
48
5
Za pomoca regu y trzech rozwiazywano takze zadania, które dotyczy y zycia codziennego ówczesnych ludzi, a nam moga wydawać sie dziwne. Sridhara pisa :
"Jezeli 5 kobiet w wieku 16 lat kosztuje 200, powiedz mi matematyku, ile kosztuja
kobiety dwudziestoletnie?".
Chodzi o tu o wyznaczenie ceny istot zywych, przyjmujac, w sposób oczywiście
uproszczony, ze jest ona odwrotnie proporcjonalna do wieku. W indyjskich pracach regu y
te mia y charakter formalny, jednakze hinduscy uczeni zdawali sobie sprawe z ich wspólnej
podstawy i wzajemnych zwiazków. Bhaskara I pisze w swoim komentarzu do Aryabhatiya:
28
"Tutaj uczony Aryabhata opisa tylko regu e trzech. Jak otrzymuje sie dobrze znane
regu y pieciu wielkości itd.? Powiem, co nastepuje: uczony opisa tylko zasade proporcji.
Wszystkie pozosta e regu y, jak pieciu itd., wynikaja z tej podstawowej regu y proporcji.
Jak? regu y pieciu itd. sk adaja sie z kombinacji regu y trzech... w regule piatkowej wystepuja dwie trójkowe, w siódemkowej - trzy trójkowe itd.".
Hinduscy uczeni wyodrebnili grupe zadań, w których szuka sie wielkości proporcjonalnej do trzech danych i stworzyli w asny, bardzo elegancki system mechanicznych
regu z w asna terminologia, odrebnym sposobem ustawiania danych przy ich zapisywaniu
i z w asnym porzadkiem obliczeń. Regu a trzech z Indii zawedrowa a do krajów islamu, a
nastepnie do Europy, gdzie sta a sie najwazniejsza metoda arytmetycznego rozwiazywania
zadań a formalny charakter jej nauczania utrzyma sie w szko ach az do końca XIX wieku.
1.5.2 Regu a fa szywego po ozenia
Aby rozwiazać zadanie, które algebraicznie mozna przedstawić równaniem: ax = c hinduscy uczeni stosowali w arytmetyce takze regu e jednego fa szywego po ozenia. Regu e
te mozna znaleźć u Mahawairy, Sridhary i Bhaskary II, który nazywa ja ista-karma tj.:
operacja z jedna wybrana liczba. Szukanej wielkości zostaje nadana dowolna wartość x1 .
ax1 = c1 ; to x = x1
Jezeli
_
c
c1
:
Regu a ta jest bardzo dogodna, gdyz rozwiazanie nie wymaga stosowania zadnych środków
algebraicznych. Weźmy dla przyk adu zadanie, którym zajmowa sie Bhaskary II:
29
Zadanie 3 Z peków świezych kwiatów lotosu trzecia, piata i szósta cześć o arowano bogom Sziwa, Wisanu i Surya, a czwarta cześć bogini Bharani. Pozosta e cześci otrzyma
pewien znakomity dygnitarz. Podaj mi szybko liczbe kwiatów lotosu.
Rozwiazanie. Bhaskary przyjmuje x1 = 60 tj. obiera za x1 najmniejsza wspólna wielokrotność 3, 4, 5, 6 i po stwierdzeniu, ze reszta wynosi 3, a nie 6 wyznacza rozwiazanie:
60
6
3
= 120 .
W rekopisie Bachszali regu e jednego fa szywego po ozenia stosowano do zadań. które
wyrazaja sie równaniem: ax + b = c . Tu jednak nie zachodzi juz prosta proporcjonalność miedzy x a x1 jak w pierwszym przypadku. Rozwiazanie otrzymywano ze wzoru:
x = x1 +
c c1
a
, gdzie ax1 + b = c1 . W rekopisie tym regu a fa szywego po ozenia by a
stosowana równiez do zadań o kilku niewiadomych. W zadnych pracach matematyków
hinduskich nie odnajdujemy regu y dwóch fa szywych po ozeń.
Rozdzia 2
Geometria
2.1 Geometria starozytna w ksiegach Sulvasutry
2.1.1 Regu a sznura
Regu y sznura, inaczej Sulvasutra, sa bardzo cennym źród em, z których czerpiemy informacje na temat najwcześniejszej matematyki Indii. Zawieraja one konstrukcje geometryczne oraz wyniki pewnych obliczeń. Regu y sznura zachowa y sie w trzech redakcjach, najstarszej - Baudhayany i późniejszych - Apastamby i Kayayany. Badacze nie sa
zgodni, co do czasu powstania tych regu , ale wiekszość wypowiada sie za okresem VII
- V w.p.n.e.. Znaczaca cześć ksiag Sulvasutry to opisy zasad konstrukcji o tarzy (vedi)
przy uzyciu sznurów i tyczek bambusowych. Kwadratowe i koliste o tarze wystarcza y
do ceremonii domowych, natomiast dla potrzeb uroczystości publicznych niezbedne by y
prostokaty, trójkaty i trapezy. O tarze takie przybiera y przerózne formy, jak na przyk ad
o tarz w kszta cie soko a wykonany z czterech rodzajów cegie : (a) - równoleg oboków, (b)
- trapezów, (c) - prostokatów, (d) - trójkatów. Z ozenie o ary na takim o tarzu pozwala o
30
31
celebrantowi odbyć podróz do nieba na grzbiecie soko a.
Pierwsza warstwa o tarza o arnego w kszta cie soko a aczy rytualne i religijne
aspekty budowy o tarzy opisane w Sulvasutrach z technologia wyrobu cegie i
geometria. Do jej u ozenia uzyto 196 cegie . [12, str. 61]
Matematyczne elementy regu y sznura maja niejednolity charakter, ale mimo to świadcza o bardzo duzej wiedzy hinduskich uczonych w momencie powstania tych ksiag.
2.1.2 Pierwsze sform uowania twierdzenia Pitagorasa.
Trójkaty pitagorejskie
Konstrukcja o tarzy o arnych podporzadkowana by a konkretnym przepisom. Przy budowaniu o tarzy kierowano sie kierunkami stron świata, ich podstawa by y ściśle określone
gury, na przyk ad trapezy równoboczne z danymi stosunkami boków oraz musia zachodzić jeden z dwóch zwiazków: albo by y one podobne, na przyk ad kwadratowe, a ich
pola mia y sie do siebie jak liczby ca kowite 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 , albo mia y postać róznego
rodzaju wielokatów o równych polach. Wynika y stad odpowiednie zadania geometryczne
- konstrukcja kata prostego, kwadratu, pitagorejskich trójkatów prostokatnych, tworzenie z
nich trapezów, przekszta canie kwadratów o polu a2 w kwadrat o polu na2 , przekszta canie
32
prostokata w kwadrat o takim samym polu itp., a znaczaca role odgrywa o tu twierdzenie
Pitagorasa. Baudhayana sformu owa szczególny przypadek tego twierdzenia dla równoramiennego trójkata prostokatnego, czyli w rzeczywistości dla przekatnej kwadratu.
Twierdzenie 1
Ukośnie przez kwadrat przeciagniety sznur daje podwójnie tak wielkie
pole. Nastepnie Baudhayana formu uje twierdzenie ogólne.
Twierdzenie 2
Ukośnie przez prostokat przeciagniety sznur daje oba pola, jakie d ugi
bok i szeroki bok daja kazdy dla siebie. T umaczac twierdzenie to na jezyk wspó czesny
otrzymujemy klasyczne twierdzenie Pitagorasa.
Autorzy Sulvasutry stosowali pieć trójkatów prostokatnych, których d ugości boków
sa liczbami ca kowitymi:
3
5
8
7
12
4
12
15
24
35
5
13
17
25
37
i trójkaty do nich podobne. Z takich trójkatów powsta y trapezy równoramienne.
33
rys. 2.1
Podzielone na odpowiednie cześci sznury s uzy y do konstrukcji kata prostego. Zakreślajac
z końców odcinka uki okregów o promieniu równym danemu odcinkowi i aczac punkty
przeciecia okregów prosta prostopad a do odcinka w jego środku, dzielono wszystkie odcinki na po owy. Sposób ten wykorzystywano przy budowie kwadratu o danym boku 2a .
Zakreślano okrag o promieniu a , rysowano średnice W E i wstawiano prostopad a do średnicy w jej środku, przecinajac okrag w punktach S , N . Nastepnie z punktów S , E , N ,
W kreślono okregi o promieniu a , przecinajace sie w punktach A , B , C , D , które by y
wierzcho kami szukanego kwadratu.
rys. 2.2
34
35
Dzieki twierdzeniu Pitagorasa mozliwe by o podwojenie badź potrojenie itd. danego kwadratu.
Podwojenie kwadratu wymaga o jedynie zbudowania kwadratu na jego przekatnej.
rys. 2.3
Kazdy z dwu przylegajacych do siebie kwadratów dzieli sie na po owy, a nastepnie cześci
I i II przesuwa sie w po ozenia I` i II`. Ta w aśnie konstrukcja, równowazna przekszta ceniu prostokata w kwadrat, zosta a zastosowana przez Baudhayana do rozwiazywania zadania odwrotnego, czyli do przekszta cenia kwadratu w prostokat. Dany kwadrat
dzieli przekatna na po owy, a jedna z otrzymanych cześci dzieli raz jeszcze na dwie równe
cześci. Otrzymane ma e trójkaty przyk ada w odpowiedni sposób do boków wiekszego,
p
p
pozosta ego trójkata. Powsta y prostokat mia boki a 2 oraz 12 a 2 . W dalszych zadaniach
36
wystarczy o zbudować kwadrat o polu równym sumie pól dwóch nierównych kwadratów,
a2 + b 2 .
Twierdzenie 3
Odcina sie bokiem mniejszego na wiekszy równoleg y pas. Ukośnie
przeciagniety przez ten pas sznur aczy oba kwadraty
rys. 2.4
AB 2 = a2 + b2
Katyayana konstruuje bok kwadratu, którego pole jest n razy wieksze od pola a2
danego kwadratu, takze bezpośrednio, jako wysokość trójkata równoramiennego w podstawie (n
1)a i bokach 12 (n + 1)a . Rzeczywiście kwadrat tej wysokości jest równy:
1
(n + 1)a
2
2
1
(n
2
37
2
1)a
= na2
Regu a sznura podaje równiez sposób na znalezienie boku kwadratu o polu równym
róznicy pól dwóch danych kwadratów b2
a2 . W tym celu z punktu A (przypis rys24)
promieniem równym bokowi wiekszego kwadratu odcina sie na jego dolnej podstawie odcinek CD , co daje:
CD2 = b2
a2
Jeśli w konstrukcji kwadratu równego sumie dwóch nierównych kwadratów przeprowadzimy odcinki pomocnicze (przypis rys27) to powstanie nam gura ilustrujaca twierdzenie
Pitagorasa.
Twierdzenie 4 (Wspó czesne twierdzenie Pitagorasa) W trójkacie prostokatnym kwadrat
d ugości przeciwprostokatnej jest równy sumie kwadratów d ugości obu przyprostokatnych.
38
rys. 2.5
Kwadrat przeciwprostokatnej sk ada sie z pól: S , III , IV i s , a suma kwadratów przyprostokatnych sk ada sie z pól: S , I , II i s. Trójkaty I, II, III i IV sa równe. Przypuszczalnie
wychodzac z takiej konstrukcji uczeni hinduscy doszli do twierdzenia Pitagorasa.
Wed ug A. P. Juszkiewicza [7, str. 96-97] mozliwe jest, ze matematycy hinduscy
w aśnie w taki sposób otrzymali pierwszy dowód ogólnego twierdzenia odkrytego przedtem
dla przypadku trójkatów pitagorejskich. Z drugiej strony jest równiez prawdopodobne, ze
w architekturze stosowano równiez środki matematyczne odkryte wcześniej lub zapozyczone u innych narodów. Świadczy o tym zbiezność zdania podwojenia kwadratu z greckim
problemem podwojenia sześcianu, który, zgodnie z legenda, takze powsta w zwiazku z
budowaniem o tarzy. Wed ug Juszkiewicza zastanawiajace jest wiec, czy w tym przy-
39
padku mamy do czynienie ze wzajemnym zwiazkiem czy tez z przypadkowa zbieznościa.`
Bhaskary II podaje natomiast dowód twierdzenia Pitagorasa, który oparty jest na innym
rozbiciu pola kwadratu przeciwprostokatnej. Dowód ten znany by juz wcześniej w Chinach, ale w nieco bardziej skomplikowanej formie.
Przez Bhaskara II podany zosta w " Koronie wiedzy" w postaci rysunku (2.6) z
napisem "patrz".
rys. 2.6
Przez a i b oznaczamy przyprostokatne trójkata prostokatnego, zbudowanego na kazdym
z boków kwadratu na rysunku Bhaskary, a > b . Przez c oznaczamy d ugość przeciwprostokatnej, równej bokowi wiekszego kwadratu. Wówczas pole tego kwadratu wynosi
c2 . Powsta y w środku czworokat jest tez kwadratem, poniewaz ma wszystkie katy proste
i równe boki. Bok tego kwadratu ma d ugość a
b . A zatem pole c2 duzego kwadratu
40
bedzie równe poczwórnemu polu trójkata prostokatnego oraz polu kwadratu, zbudowanego
na róznicy przyprostokatnych trójkata. Tzn.:
c2 = 4
a
b
2
+ (a
b)2 = 2ab + a2
2ab + b2 = a2 + b2
czyli c2 = a2 + b2 .
2.1.3 Wartość przyblizona
p
2
Zdaniem George'a Josepha [5, str. 221-222] powstanie metody obliczenia pierwiastków
kwadratowych wynika o z konieczności podwojenia wielkości kwadratowego o tarza. Zaózmy, ze chcemy dwukrotnie powiekszyć o tarz, którego boki maja d ugość jednej jednostki. Jeśli podwoimy d ugości boków, oczywiście otrzymamy o tarz czterokrotnie wiekszy.
A zatem potrzebujemy o tarza, którego boki beda mia y d ugość pierwiastka kwadratowego
z 2 , a to z kolei wymaga o techniki obliczenia takiego pierwiastka. Sulvasutry podaja
wymierne przyblizenie dla przekatnej kwadratu o danym boku, tj. dla
p
2. Przedstawiono
je w postaci u amka
1+
1
1
+
3 3 4
3
1
4 34
Mozemy zauwazyć duza, jak na owe czasy, dok adność przyblizenia w u amkach dziesietnych: 1; 4142157 zamiast wartości dok adnej: 1; 4142136. Nie zosta y jednak podane
zadne wskazówki, w jaki sposób uzyskano to oryginalne wyrazenie. Wed ug A. P. Juszkiewicza
zastosowano tu najprawdopodobniej proces iteracyjny, znany duzo wcześniej w Babilonii.
Jeśli za pierwsze przyblizenie (z nadmiarem) przyjać a1 =
przyblizeniem (z niedomiarem) bedzie b1 = 2
a2 =
3
2
+
2
4
3
=
17
6
2
=
3
2
17
3
4
=
3
4
3
2
41
, to odpowiadajacym mu
. Drugie przyblizenie
=1+
1
1
+
3 3 4
i odpowiada mu
b2 = 2
Trzecim przyblizeniem
a3 =
a2 +b2
2
=
= 1 + 13 +
p
17
24
+ 17
12
2
1
3 4
24
17
= :
12
17
2 bedzie
=
289+288
2 204
=
289+288
2 3 4 17
=
2 289
2 3 4 17
1
2 3 4 17
1
3 4 17
Oko o wieku XVIII p.n.e. matematycy babilońscy znaleźli dla
p
2 wartość, która w
systemie sześćdziesiatkowym wynosi a 1; 24; 51; 10 od której wartość indyjska rózni sie
dopiero na szóstym dziesietnym miejscu po przecinku. Babilońskie przyblizenie równiez
uzyskuje sie po drugim kroku obliczeń, przyjmujac znane w Babilonii przyblizenie
17
12
=
1; 25 . Moze świadczyć to o kontaktach uczonych hinduskich i babilońskich w trakcie
powstawania Sulvasutry.
2.1.4 Cyrkulatura kwadratu i kwadratura ko a
Dla potrzeb przekszta cania o tarzy o podstawie kawadratowej w o tarze o podstawie ko owej
i na odwrót, Sulvasutra podaje kilka sposobów cyrkulatury kwadratów i kwadratury ko a.
Baudhayana podaje bardzo interesujaca konstrukcje ko a, którego powierzchnia jest w
przyblizeniu równa danemu kwadratowi. Baudhayana pisze [10, str. 18-20]:
42
"If you wish to circle a square, draw half of its diagonal about the centre towards the
cast-west line; then describe a circle together with a third part of that which lies outside
the square."
Co w dos ownym t umaczeniu mówi nam:
"Jeśli chcesz zakreślić kwadrat, narysuj pó jego przekatnej w okolicy środka w
kierunku wschodnio-zachodniej linii; wówczas opisz okrag razem z trzecia cześcia tego,
który lezy poza kwadratem."
ry. 2.7
Dowód.
Dany jest kwadrat ABCD, który przekszta camy w ko o. Powierzchnia powsta ego
ko a i kwadratu jest ta sama. Niech O bedzie środkiem danego kwadratu. Prostopadle do
43
AB prowadzi sie odcinek OE, gdzie OE jest równe po owie przekatnej kwadratu. Odcinek
EM dzieli punkt P w stosunku: EP = 2P M , gdzie M jest środkiem AB. Zatem M P =
1
ME
3
. OP jest promieniem powsta ego ko a a AC przekatna kwadratu. Przyjmujac teraz
za a d ugość boku kwadratu ABCD otrzymujemy:
p
1p
2
1
2a =
a
OA = AC =
2
2
2
ponadto:
1
1
1
OP = OM + M E = a + (OE
3
2
3
p
1
1
OM ) = a +
2
3
2
a
2
1
a
2
gdzie:
OE = OA =
p
2
a:
2
Zatem
2
2OP = a +
3
p
2
a
2
1
a
2
!
=a+
p
1
1 p
a = a( 2 + 2)
3
3
2
a
3
Przyjmujac za 2OP = d, gdzie d jest szukana średnica ko a, mamy:
9d2
p
2+ 2
a2 =
36
=
p
2+ 2
zatem:
2
=
2
p
36 2
= 3; 088 w przyblizeniu.
d2 2 1 2 p
;d = a
2+2
4
9
=
22
2
2
=9 2
p
2
2
2
=9 6
p
4 2
!
44
Jedna z regu kwadratury ko a jest dość prosta. Mówi, aby przyjać
a=
1
2
15
a2 =
d2
4
=)
=4
13
15
d=
13
d
15
=
4a2
d2
zatem
=
4
13 2
15
d2
d2
2
=
676
= 3; 004
225
A. P. Juszkiewicz przypuszcza, ze [7, str. 99-100] konstrukcje te otrzymano dzielac okrag
na 12 równych cześci.
rys. 2.8
45
Budowano kwadrat, którego boki przechodza przez osiem punktów podzia u i przyjmowano,
ze w przyblizeniu jest równy ko u. Bok tego kwadratu równy jest a =
za pierwsze przyblizenie (z niedomiarem) dla
blizenie (z nadmiarem) jest równe 3
średnice
5
3
+
9
3
2=
26
15
3
5
p
1
2
p
3d. Przyjmujac
3 u amek 53 , to odpowiadajace mu przy-
= 95 , a nastepnie przyblizenie otrzymuje sie biorac
wtedy a =
13
d.
15
Po owe boku kwadratu mozemy policzyć
za pomoca twierdzenia Pitagorasa. Musimy do tego jedynie wiedzieć, ze bok wpisanego
sześciokata foremnego jest równy promieniowi i, ze promień prostopad y do cieciwy dzieli
ja na po owy. Mozliwe jest, ze stad w aśnie otrzymano konstrukcje ko a o polu równym
polu danego kwadratu, chociaz w tekście Regu Sznura znacznie wyprzedza opisana wyzej
kwadrature ko a. Istotnie z równości a =
p1
3
=
p
3
3
1
2
p
3d wynika, ze r = 2
1
3
p
3
1
a
2
. Równość
by a w Regu ach Sznura juz znana i stosowana. Wobec tego dla
p
3 '
5
3
promień r jest równy:
r=
Z drugiej strony dla
p
2'
4
3
10
9
1
1
1
a= a+
2
2
9
p
odcinek M E = 12 a( 2
1
a
2
1) ma d ugość
1
3
1
a.
2
A wiec dla
wykonania cyrkulatury kwadratu nalezy jego bok przed uzyć o 13 M E. Kolejny przepis na
kwadrature ko a zawarty w Sulvasutrze podaje:
a= 1
1
1
+
8 8 29
1
8
29
Podobnie jak w cyrkulaturze kwadratu otrzymujemy
to, tak jak dla
p
1
6
1
6
8
d
= 3; 088. Ostatecznie wyrazenie
2, świadczy o dazeniu hinduskich uczonych do zachowania adu w tworza-
2.2 Geometria w średniowiecznych Indiach
cych je u amkach jednostkowych. Punktem wyjściowym jest równość d = 1 +
przekszta cona w a =
3p
d
2+ 2
46
p
2 1
3
a
.
Bardzo prawdopodobne jest, ze autorzy Sulvasutry korzystali ze wzajemnego zwiazku
miedzy zadaniami kwadratury ko a i cyrkulatury kwadratu. Nie zag ebiali sie jednak w
studiowanie w asności ko a. Podane liczbowe oszacowania dok adności konstrukcji leza y
poza polem widzenia ówczesnych hinduskich uczonych. Nie wykorzystywali oni równiez
zalezności pomiedzy polem ko a a d ugościa okregu. Za d ugość okregu przyjmowano
3d. Wnioskujemy stad, iz autorzy Regu y Sznura znali obwód wpisanego sześciokata
foremnego. Zawarte w Regu ach Sznura wiadomości swiadcza o tym, ze juz w po owie
I tysiaclecia p.n.e. uczeni hinduscy opanowali róznorodne metody geometryczne i nabyli
bieg ości w obliczeniach wartości przyblizonych. Wiekszość z tych zadań i metod rozwijano i rozpowszechniano w Indiach średniowiecznych.
Wiadomości z zakresu geometrii hinduskiej mozemy znaleźć w traktatach Brahmagupty,
Mahawiry, Bhaskary czy Sridhary. Odrebnych dzie geometrycznych nie ma, a wzory na
mierzenie gur geometrycznych wchodzi y w zakres ogólnej nauki rachunku. U Brahmagupty i Sridhary wystepuja one, na przyk ad w formie tak zwanych "determinacji" pod
nazwami: " gury p askie", "do y", "stosy cegie ", "pnie drzew", "sterty piasku", "cienie". Pod nazwa "cienie" kry y sie pomiary wykonane za pomoca cienia preta. Do najwazniejszych gur p askich naleza y:
47
trójkat
czworokat
ko o
wycinek ko a
pierścień ko owy
elipsa
Ich pola wyznaczono wed ug określonych wzorów, natomiast pola innych gur rozk adano
na sumy pól tych podstawowych gur. Aryabhata podaje metody obliczania pola kwadratu,
objetości kuli i pola trójkata wed ug wzoru
aha
2
oraz objetości czworościanu. Formu uje on,
takze zwiazki miedzy polem ko a S, jego obwodem s i średnica d : S = 2s + d2 . Wzór na objetość czworościanu jest jednak fa szywy, gdyz iloczyn pola podstawy i wysokości dzieli
on przez dwa. Nastepnie podaje wzór na objetość kuli, który równiez okazuje sie być
p
fa szywym: V = S S gdzie S jest polem ko a wielkiego. Wzorowi temu odpowiada
wartość
=
16
.
9
Ale bezpośrednio potem, mianowicie za twierdzeniem Pitagorasa oraz
za twierdzeniem mówiacym, ze cieciwa odpowiadajaca jednej szóstej obwodu ko a jest
równa po owie jego średnicy, mówi, ze d ugość okregu o średnicy 2000 wynosi 62832.
Odpowiadajaca temu wartość przyblizona
= 3; 1416 , dok adna do 0; 0001 Aryabhata
stosuje w tablicach funkcji sinus oraz swoich rozwazaniach dotyczacych rozmiarów kuli
14
yo
ziemskiej, której średnice przyjmuje 1600 a obwód 5026 25
yana. Te sama wartość
przyblizona uzywali miedzy innymi Bhaskara II , Waraha-Mihira, Arybhata II.
48
2.2.1 Geometria czworokatów
Hinduscy uczeni w średniowieczu wykazywali duze zainteresowanie czworokatami. Klasykowali jest w nastepujacy sposób:
kwadrat ("równoleg obok")
prostokat (czworokat "o bokach parami równych")
trapez równoramienny (czworokat "o dwóch równych bokach")
trapez o trzech równych bokach ("trójrównobok")
czworokat o wszystkich bokach róznych
Podane w cudzys owiu nazwy gur nie wyrazaja w pe ni ich w asności, dlatego nie
mozna ich uzywać za de nicje. Interesujace jest tez to, ze w indyjskiej klasy kacji trapezy
zajmowa y odrebne miejsce. W literaturze indyjskiej de nicje gur nie wystepuja. Trapezy
charakteryzowano, jako czworokaty, w których piony opuszczone z obu górnych wierzcho ków na podstawe sa równej d ugości, nie wspomniano o równoodleg ości podstaw.
Trudno jest tez znaleźć jakiekolwiek elementy nauki o równoleg ych czy o równoleg obokach.
Podana przez Hindusów klasy kacja jest nie kompletna i nie znamy jej pochodzenia. Da
sie natomiast wyt umaczyć odrebne miejsce, jakie zajmuja trapezy równoramienne.W Indiach, podobnie jak w starozytnym Egicie, Chinach i krajach hellenistycznych, stosowano
te gury do praktycznych pomiarów pól. Od najdawniejszych czasów znajdujemy w Indiach zastosowania trapezu równoramiennego przy budowie o tarzy. Nie znamy jednak
powodów wyodrebnienia trapezów o trzech równych bokach. Widać natomiast zwróce-
49
nie szczególnej uwagi na kwadraty i prostokaty. Klasy kacja ta moze być dowodem na
niewielkie zainteresowanie hinduskich uczonych geometria, a zw aszcza jej podstawami.
2.2.2 Brahmagupta i jego dokonania w dziedzinie czworokatów
Brahmagupta wyróznia sie ciekawymi i oryginalnymi wywodami na temat geometrii.
Rozdzia "Figury p askie" zawiera ponad 20 wzorów na obliczanie trójkatów, czworokatów,
kó i cieciw ko owych. Trudno jest jednak dopatrzeć sie w nich logicznych zalezności,
podobnie jak u Aryabhaty. Dla obliczenia pól czworokatów i trójkatów, gdy dane sa ich
boki, Brahmagupta stosowa nastepujace sposoby:
1) pole czworokata jest iloczynem po ówek sum przeciwleg ych boków, to znaczy dane
jest wzorem:
a+c b+d
2
2
W przypadku trójkata, za jeden z boków przyjmuje sie wartość zero.
2) pole jest funkcja boków, to znaczy:
- dla czworokata:
S=
p
(p
a)(p
b)(p
c) (p
- dla trójkata:
S=
p
p(p
a)(p
przy czym p oznacza po owe obwodu gury.
b)(p
c)
d)
50
Drugi z tych wzorów, odkryty przez Archimedesa i stosowany przez Herona, do Indii
przypuszczalnie dotar z krajów hellenistycznych. Natomiast wzór na obliczanie pola czworokata, pojawi sie po raz pierwszy u Brahmagupty. Otrzymuje sie z niego tylko wartość
przyblizona, gdyz wartość dok adna daje on tylko dla czworokatów wpisanych w okrag.
Brahmagupta twierdzi jednak, ze wzór ten jest dok adny i nie poda zadnych ograniczeń
w jego stosowaniu. W rezultacie tacy uczeni jak Mahawira i Sridhara, wprowadzeni w
b ad zalecali stosowanie wzoru Brahmagupty, podczas gdy dla innych stanowi on przedmiot krytyki. Aryabhata II pisa , ze matematyk, który chce obliczyć pole czworokata, nie
znajac jego przekatnej jest " albo g upcem, albo zosta wprowadzony w b ad ". Równie
ostro wypowiada sie Bhaskara II. W uzupe nieniu Brahmagupta podaje natomiast sposób
na obliczenie przekatnych i wysokości trapezu równoramiennego, twierdzenie pitagorasa
oraz oblicza z boków czworokata lub trójkata średnice opisanego na nim ko a. Znajdujemy równiez pewne twierdzenia o przekatnych, wysokościach i kilku innych odcinkach w
czworokacie oraz znany juz Ptolemeuszowi zwiazek:
ef = ac + bd
miedzy przekatnymi e, f i parami boków przeciwleg ych a, b, c, d oraz nie znana dotad
proporcje:
ad + bc
e
=
f
ab + cd
Podane wzory, prawdziwe tylko dla czworokatów wpisanych w okrag, sformu owane sa
bez zadnych ograniczeń. Na koniec Brahmagupta poda równiez regu y na konstruowanie
trójkatów i czworokatów o wymiernych lub ca kowitych bokach, przekatnych, wysokoś-
51
ciach, średnicach kó opisanych i polach. Problemy tego typu, jak wiemy, wywodza sie z
Sulvasutry. Konstrukcje Brahmagupty polega y na budowaniu trójkatów prostokatnych o
bokach wymiernych lub ca kowitych, danych wzorami:
m;
1
2
m2
m
n
;
1
2
m2
+n
n
oraz 2mn ; m2
n 2 ; m2 + n 2
Z takich trójkatów budowano trójkaty równoramienne i równoboczne, trapezy równoramienne i trapezy o trzech równych bokach oraz czworokaty pewnego szczególnego typu, które
opisze ponizej.
Punktem wyjścia sa dwa wybrane trójkaty o wymiernych lub ca kowitych bokach
p, q, r i u, v, w z których r i w sa przeciwprostokatnymi. Mnozymy wszystkie boki
pierwszego trójkata przez kazda z przyprostokatnych drugiego i otrzymujemy dwa nowe
trójkaty o bokach pu, qu, ru i pv, qv, rv. Oba trójkaty sa podobne do pierwszego. Postepujac analogicznie, mnozac boki drugiego trójkata przez kazda z przyprostokatnych pierwszego otrzymujemy dwa nowe trójkaty, podobne do drugiego, o bokach : up, vp, wp oraz
uq, vq, wq. Nastepnie wszystkie cztery otrzymane trójkaty przyk adamy do siebie równymi
przyprostokatnymi i uzyskujemy w ten sposób czworokat o bokach:
a = ur; b = wp; c = vr; d = wq
52
rys. 2.9
Na rysunku (2.9) przyjmujemy, ze trójkaty wyjściowe maja boki: 3,4,5 i 5,12,13 . Zbudowany z nich czworokat ma zatem boki a = 26, b = 39, c = 60 i d = 52.
Przyk ad ten znajdujemy zarówno u Mahawiry jak i u Bhaskary II.
Boki skonstruowanego w ten sposób czworokata sa ca kowite, jezeli ca kowite sa
boki trójkatów wyjściowych. Ca kowite sa tez inne wspomniane wyzej odcinki tej gury,
a przekatne takiego czworokata sa do siebie prostopad e i maja d ugości ca kowite pu + qv
i pv + qu. Mozna równiez zauwazyć, ze powsta y czworokat jest czworokatem wpisanym
w okrag, mimo, ze nie wspomina o tym Brahmagupta ani późniejsi autorzy.
Matematycy hinduscy wykazywali cheć do wyrazania pola czworokata wzorem odpowiadajacym wzorowi Herona. By o to dość naturalne, gdyz znali oni inne metody obliczania cz-
53
worokatów, które jako przypadek szczególny zawiera y w sobie wzory dla trójkata, jak w
przypadku wzoru:
S=
a+c
2
b+d
2
czy wzoru:
S=
a+c
2
h
który przy c = 0 dawa pole trójkata.
Zastanawiajace jest jednak czy Brahmagupta uwaza wzór:
S=
p
(p
a)(p
b)(p
c)(p
d)
za prawdziwy tylko dla trapezów równoramiennych i czworokatów o prostopad ych przekatnych, czy tez dla dowolnych czworokatów wpisanych, badź moze dla zupe nie dowolnych
czworokatów. Wed ug A. P. Juszkiewicza Brahmagupta [7, str. 152-153] uwaza ten wzór
za prawdziwy w ogólnym przypadku. Świadczy o tym fakt, ze ca y tekst Brahmagupty
odnośnie tego problemu, nie zawiera zadnej wzmianki o tym, ze dotyczy dowolnych czworokatów wpisanych, poza tym w przypadku trapezów równoramiennych i czworokatów
o prostopad ych przekatnych, pole daje sie obliczyć znacznie prościej, bez kilkakrotnego
mnozenia i pierwiastkowania. O powszechnej stosowalności tego wzoru byli równiez
przekonani jego nastepcy, tacy jak Mahawira czy Sridhary. W przypadku trapezów równoramiennych i czworokatów o prostopad ych przekatnych wzory Brahmagupty mozna otrzymać w sposób elementarny, stosujac w zasadzie tylko twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie
54
o iloczynie przekatnych, czyli tak zwane twierdzeniu Ptolemeusza, dla drugiej grupy czworokatów jest jedynie prostym sformu owaniem identyczności:
ef = (pu + qv)(pv + qu) = uv(p2 + q 2 ) + pq(u2 + v 2 ) = uvr2 + pqw2
= (ur)(vr) + (wp)(wq) = ac + bd
przy czym jest zupe nie obojetne, czy wystepujace tu przekszta cenie stosowane sa w przypadku ogólnym, czy tylko dla liczb ca kowitych. W prosty sposób mozemy uzyskać takze
wzór na średnice D ko a opisanego:
D2 = b2 + d2 = r2 w2
Brahmagupta wiedzia równiez, ze czworokat z prostopad ymi przekatnymi daje sie wpisać
w okrag, traktowa to jednak jako wynik uboczny.
Geometria czworokatów i dalszym jej rozwojem zajmowali sie miedzy innymi Mahawira, Sridhary, Bhaskara II i Ganesza. Bhaskara II z takich samych odcinków ca kowitych konstruowa czworokaty wpisane z nieprostopad ymi przekatnymi. Przestawia w
tym celu dwa sasiednie boki, przyjmujac na przyk ad: a = 25, b = 39, c = 52, d = 60.
Jedna z przekatnych pozostawia niezmieniona, druga zaś otrzymywa jako iloczyn przeciwprostokatnych - 65. Ko o wieku XIX geometria czworokatów przezy a odrodzenie w
pracach takich uczonych jak M. Chasles'a . E. Kummera i innych.
2.3 Wspó czesne dowody wzorów geometrii czworokatów
55
W poprzednim rozdziale poda am i po krótce omówi am wzory, które powszechnie by y
stosowane przez Brahmagupte. Naleza do nich wzór na pole czworokata wpisanego w
okrag, wzór na obliczanie zalezności pomiedzy przekatnymi takiego czworokata i parami
boków przeciwleg ych, czyli tak zwane twierdzenie Ptolemeusza oraz wzór na obliczanie
pola trójkata który zosta odkryty przez Archimedesa i uzywany równiez przez Herona.
Przedstawie teraz wspó czesne dowody wymienionych wzorów.
2.3.1 Wzór Brahmagupty na pole czworokata wpisanego w okrag
Dowód ponizszego wzoru oparty jest na dowodzie z serwisu PlanetMath [15] oraz na
dowodzie pochodzacym z Encyklopedii Wikipedia [14].
Twierdzenie 5 Pole czworokata o bokach a, b, c, d wpisanego w okrag jest dane wzorem:
p
(T
a) (T
b) (T
c) (T
gdzie T jest równe po owie obwodu czworokata: T =
d)
a+b+c+d
2
.
56
rys. 2.10
Dowód. Niech ABCD bedzie czworokatem wpisanym w ko o. Pole tego czworokata jest
równe:
P
ABCD
1
1
= P4ADB + P4BCD = ab sin A + cd sin C
2
2
Poniewaz czworokat mozna wpisać w okrag wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar jego
przeciwleg ych katów wewnetrznych jest równa 180 , zatem:
\DAB = 180
\DCB
a stad mamy: sin A = sin C . Pole czworokata jest wiec równe:
P
ABCD
1
1
= ab sin A + cd sin A
2
2
2
ABCD )
(P
4 (P
2
ABCD )
=
1 2
sin A (ab + cd)2
4
= sin2 A (ab + cd)2 = 1
= (ab + cd)2
Stosujac twierdzenie cosinusów dla
57
cos2 A (ab + cd)2
cos2 A (ab + cd)2
ADB i
BDC oraz przyrównujac otrzymane wyraze-
nie dla DB, otrzymujemy:
a2 + b 2
2ab cos A = c2 + d2
2cd cos C
Poniewaz katy A i C sa katami przeciwleg ymi czworokata wpisanego w okrag, zatem
mozemy dokonać podstawienia: cosA =
a2 + b 2
c2
cosC . Przekszta cajac otrzymujemy:
d2 = 2 cos A (ab + cd)
cos A (ab + cd) =
1 2
a + b2
2
c2
d2
1 2
a + b2
4
c2
d2
2
a2 + b 2
c2
d2
2
Podstawiajac do wzoru otrzymujemy:
2
ABCD )
4 (P
16 (P
= (ab + cd)2
2
ABCD )
= 4 (ab + cd)2
Stosujac wzór skróconego mnozenia mamy:
16 (P
2
ABCD )
=
(2 (ab + cd) + (a2 + b2
(2ab + 2cd + a2 + b2
((a + b)2
(a + b + c
(c
c2
c2
d2 )) (2 (ab + cd)
d2 )(2ab + 2cd
d)2 )((c + d)2
d) (a + b
(a
a2
(a2 + b2
c2
b2 + c2 + d2 )
b)2 )
c + d) (c + d + a
b) (c + d
a + b)
d2 ))
(a + b + c
Podstawiajac T =
d) (a + b + d
a+b+c+d
2
16 (P
c) (a + c + d
b) (b + c + d
58
a)
otrzymujemy:
2
ABCD )
= 16(T
a)(T
b)(T
c)(T
d)
Pierwiastkujac stronami i dzielac przez 16 dostajemy:
P
ABCD
=
p
(T
a)(T
b)(T
c)(T
d)
co naleza o udowodnić.
2.3.2 Twierdzenie Ptolemeusza
Dowód ponizszego twierdzenia pochodzi z encyklopedii Wikipedia [13].
Twierdzenie 6 W dowolnym czworokacie ABCD wpisanym w okrag iloczyn d ugości
przekatnych równa sie sumie iloczynów d ugości przeciwleg ych boków:
jACj jBDj = jABj jCDj + jBCj jADj
rys. 2.11
59
Dowód. Weźmy dowolny czworokat wpisany w okrag. Umieśćmy punkt K na przekatnej
AC tak, ze pó prosta BK przecina przekatna AC tak, aby \ABD = \KBC. Otrzymaliśmy w ten sposób trójkaty
ABD i
KBC. Musimy udowodnić:
jACj jBDj = jABj jCDj + jBCj jADj
Mozna zauwazyć,ze z konstrukcji \ABD = \KBC oraz \ADB = \KCB, poniewaz
katy te sa katami wpisanymi opartymi na ty samym uku. Zatem trójkaty
ABD i
KBC
sa do siebie podobne i zachodzi nastepujaca proporcja
jKCj
jBCj
=
jADj
jBDj
jKCj jBDj = jADj jACj
Widać wiec, ze trójkaty
ABK i
DBC, majac równe katy \ABK i \DBC oraz katy
\BAC i \BDC, sa do siebie podobne. Odpowiednie boki zatem sa do siebie proporcjonalne:
jAKj
jABj
=
jDCj
jBDj
jAKj jBDj = jABj jDCj
Sumujac ze soba jKCj jBDj = jADj jACj i jAKj jBDj = jABj jDCj , otrzymujemy:
jAKj jBDj + jKCj jBDj = jABj jDCj + jADj jACj
co daje:
(jAKj + jKCj) jBDj = jABj jDCj + jADj jACj
a ostatecznie:
jACj jBDj = jABj jDCj + jADj jACj
60
co by o do udowodnienia.
2.3.3 Wzór Herona
Dowód ponizszego twierdzenia pochodzi ze strony dr Marka Szyjewskiego [16].
Dany jest trójkat
ABC. D ugość boków oznaczmy ma ymi literami odpowiadaja-
cymi przeciwleg ym wierzcho kom:
a = jBCj ; b = jACj ; c = jABj
Twierdzenie 7 (Wzór Herona) Jeśli p =
(a+b+c)
2
, to pole S powierzchni trójkata
jest równe:
S=
p
p (p
a) (p
rys. 2.12
b) (p
c)
ABC
61
Dowód. Niech D bedzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzcho ka A. Oznaczmy
h = jADj ; u = jBDj ; v = jDCj : Ponadto:
u+v =a.
Do trójkatów prostokatnych
ABC i
ADC stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
u2 + h2 = c2 ; v 2 + h2 = b2
u2 = c 2
h2 ; v 2 = b2
h2
Zatem:
u2
v 2 = c2
b2
Z drugiej strony:
u2
v 2 = (u
v)(u + v) = (u
Mamy wiec:
v)a = c2
(u
u
v=
b2
c2
b2
a
Wiemy, ze u + v = a, mozemy wiec atwo wyznaczyć u:
v=a
u
u
a+u=
2u =
u=
c2
a2
c2
a
b 2 + a2
a
b2 + c2
2a
Wyznaczamy h:
c2 = h2 + u2
h=
p
b2
c2
u2
v)a
Stad obliczamy pole S trójkata
S =
ah
2
p
=
a
2
=
a
2
=
a
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
q
=
ABC:
c2
u2
q
c2
a2 b2 +c2 2
2a
q
c2
q
(ac)2
q
q
p
ac +
a2 +2ac+b2 c2
2
q
q
a2 b2 +c2 2
2
a2 b2 +c2
2
ac
q
q
a2 b2 +c2 2
2
1
a2
a2 +2ac b2 +c2
2
a2 2ac+c2 b2
2
(a c)2 b2
2
b2 (a c)2
2
p (p
(a+c)2 b2
2
b+c a
2
a) (p
a2 +2ac+c2 b2
2
(a+c)2 b2
2
(b a+c)(b+a c)
2
a+c+b
2
a2 b2 +c2
2
(a+c b)(a+c+b)
2
a+c b
2
b) (p
a to naleza o udowodnić.
a+b c
2
c)
62
Bibliogra a
[1] D. Bibhuti, The science of the Śulwa, A study in Early Hindu Geometry, Calcutta 1932
[2] D. Guedj, Imperium liczb, Focus, Warszawa 2003
[3] G. Ifrah, Historia powszechna cyfr, tom I, II, Wydawnictwo W.A.B.,
Warszawa 2006
[4] G. Ifrah, Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Zak ad Narodowy
im. Ossolińskich-Wydawnictwo, Wroc aw 1989
[5] G.G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematic, Penguin,
Nowy Jork 1992
[6] A.P. Juszkiewicz, Historia matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1975
[7] A.P. Juszkiewicz, Historia matematyki w wiekach średnich, Państwowe Wydawnictwo
Naukowe PWN, Kraków 1969
[8] E. Ko er, Z dziejów matematyki, Państwowe Wydawnictwo Popularno-Naukowe
"Wiedza Powszechna" , Warszawa 1956
[9] M. Kordos, Wyk ady z historii matematyki, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,
Warszawa 2005
[10] Dr. S. Balachandra Rao, Indian mathematics and astronomy, Jnana Deep Publications,
National College, 2000
[11] D.J. Struik, Krótki zarys historii matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1963
[12] D. Teresi, Zapomniane odkrycia, Wydawnictwo Amber, Warszawa 2004
[13] Encyklopedia Wikipedia, Twierdzenie Ptolemeusza,
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Ptolemeusza
[14] Encyklopedia Wikipedia, Brahmagupta's formula,
http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_formula
63
Bibliogra a
[15] G. Gurumurthy, Proof of Brahmagupta's formula,
http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfBrahmaguptasFormula.html
[16] M. Szyjewski, Wzór Herona,
http://www.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/geometria/heron.htm
[17] J.J. O'Connor and E.F. Robertson, The Indian Sulbasutras,
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_sulbasutras.html
64

Praca

Transkrypt

Podobne dokumenty

sierpień-wrzesień 1997

TEST TEST Rok ze skuterem Kymco Xciting 500, okazał