Prawdopodobienstwo i statystyka

Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III:
Wektory losowe i charakterystyki ich rozkładów
20 października 2014
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Słowniczek TP cz. IV
„Słowniczek” teorii prawdopodobieństwa, cz. IV
Definicja wektora losowego i jego rozkładu
Niech X1 , X2 , . . . , Xd będą zmiennymi losowymi na przestrzeni
probabilistycznej (Ω, F, P). Wektorem losowym nazywamy
odwzorowanie
~ (ω) = (X1 (ω), X2 (ω), . . . , Xd (ω))T ∈ Rd .
Ω 3 ω 7→ X
~ (lub rozkładem łącznym
Rozkładem wektora losowego X
zmiennych X1 , X2 , . . . , Xd ) nazywamy prawdopodobieństwo
PX~ na Rd zadane na wzorem
PX~ ((a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] × . . . × (ad , bd ]) :=
= P(a1 < X1 ¬ b1 , a2 < X2 ¬ b2 , . . . , ad < Xd ¬ bd ).
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Słowniczek TP cz. IV
„Słowniczek” teorii prawdopodobieństwa, cz. IV, cd.
Definicja dystrybuanty wektora losowego
~ nazywamy funkcję
Dystrybuantą wektora losowego X
FX~ : Rd → [0, 1], zadaną wzorem
FX~ (a1 , a2 , . . . , ad ) := PX~ ({X1 ¬ a1 , X2 ¬ a2 , . . . , Xd ¬ ad }) .
Uwaga: dystrybuanta wektora losowego określa rozkład wektora
losowego. W jaki sposób?
Uwaga: nie każda funkcja na Rd , która jest niemalejąca po
współrzędnych, zadaje dystrybuantę! (Przykład!)
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Wartość oczekiwana i kowariancja
Własności
„Słowniczek” teorii prawdopodobieństwa, cz. IV, cd.
Kowariancją zmiennych losowych X i Y nazywamy liczbę
cov (X , Y ) := E (X − EX )(Y − EY ) = EXY − EX · EY .
Zmienne losowe X i Y są nieskorelowane, jeśli cov (X , Y ) = 0.
Uwaga: |cov (X , Y )| ¬ D(X )D(Y ).
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Wartość oczekiwana i kowariancja
Własności
„Słowniczek” teorii prawdopodobieństwa, cz. IV, cd.
~ = (X1 , X2 , . . . , Xd )T będzie wektorem losowym.
Niech X
~ będzie całkowalna
Niech każda składowa wektora X
~ k < +∞). Wartością oczekiwaną wektora
(równoważnie: E kX
~
X nazywamy wektor wartości oczekiwanych jego składowych:
~ = (EX1 , EX2 , . . . , EXd )T .
EX
~ będzie całkowalna z
Niech każda składowa wektora X
~ k2 < +∞). Macierzą
kwadratem (równoważnie: E kX
~ nazywamy macierz Cov (X
~) o
kowariancji wektora X
współczynnikach
σjk = cov (Xj , Xk ),
1 ¬ j, k ¬ d.
~ nazywamy liczbę
Wariancją wektora X
~ ) := E kX
~ − EX
~ k2 =
Var (X
d
X
~ ).
Var (Xj ) = tr Cov (X
j=1
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Wartość oczekiwana i kowariancja
Własności
Równoważna definicja wartości oczekiwanej
Twierdzenie
~ k < +∞. Wartość oczekiwana wektora X
~ to jedyny
Niech E kX
d
wektor m ∈ R taki, że
~ i = hx, mi,
E hx, X
x ∈ Rd .
Wniosek
~ istnieje i A : Rd → Rm jest odwzorowaniem liniowym,
Jeżeli E X
~ ) istnieje i mamy
to EA(X
~ = A EX
~ .
EA X
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Wartość oczekiwana i kowariancja
Własności
Równoważna definicja macierzy kowariancji
Twierdzenie
~ k2 < +∞. Macierz kowariancji wektora X
~ jest jedyną
Niech E kX
symetryczną macierzą Σ wymiaru d × d wyznaczoną przez formę
kwadratową
~ − EX
~ i2 = Var (hx, X
~ i) = hx, Σ xi,
E hx, X
x ∈ Rd .
~ ) jest więc jedyną macierzą Σ spełniającą związek
Cov (X
~ − EX
~ ihy, X
~ − EX
~ i = cov (hx, X
~ i, hy, X
~ i) = hx, Σ yi, x, y ∈ Rd .
E hx, X
Wniosek
~ k2 < +∞ i A : Rd → Rm jest odwzorowaniem liniowym, to
Jeżeli E kX
~
Cov (A X ) istnieje i mamy
~ ) = A Cov (X
~ ) AT .
Cov (A X
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Wartość oczekiwana i kowariancja
Własności
Charakteryzacja macierzy kowariancji
Twierdzenie (Charakteryzacja macierzy kowariancji)
~ jest symetryczna i
Macierz kowariancji wektora losowego X
nieujemnie określona. Na odwrót, dla dowolnej symetrycznej i
nieujemnie określonej macierzy Σ rozmiaru d × d istnieje
~ taki, że
d-wymiarowy wektor losowy X
~ ) = Σ.
Cov (X
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Korelacja
Brak korelacji
Współczynnik korelacji
Definicja współczynnika korelacji
Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych
losowych X i Y nazywamy liczbę
r (X , Y )(= ρ(X , Y )) =


 cov (X , Y )
D(X )D(Y )

1
jeśli D(X ) · D(Y ) 6= 0,
jeśli D(X ) · D(Y ) = 0.
Twierdzenie (Interpretacja wsp. korelacji)
|r (X , Y )| = 1 wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieją stałe α, β takie, że
X = αY + β lub Y = αX + β.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Korelacja
Brak korelacji
Współczynnik korelacji r (X , Z ) = 0, 986
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe
Wektory losowe
Charakterystyki wektorów losowych
Korelacja
Korelacja
Brak korelacji
Współczynnik korelacji r (X , Y ) = −0, 013
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład III: Wektory losowe