Masa obszaru

Automatyka i Robotyka
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Masa obszaru
Przykład.
Obliczyć masę obszaru D : y ¬ x2 + y 2 ¬ x, jeżeli gęstość powierzchniowa masy w punkcie (x, y) tego obszaru
wyraża się wzorem ρ(x, y) = x2 + y 2 .
6
Y
% = sin ϕ
% = cos ϕ
D1
e
@
@e
D2
X
Obszar D dzielimy na dwa obszary D1 i D2 o rozłącznych wnętrzach. Wówczas masa obszaru D jest sumą mas
obszarów D1 i D2 . Niech M będzie masą obszaru D,
 zaś M1 - masa obszaru D1 i M2 - masa obszaru D2 .
0 ¬ ϕ ¬ π
4
przy przekształceniu biegunowym. Zatem
Zauważmy, że obszar D1 jest obrazem zbioru ∆1 :
sin ϕ ¬ % ¬ cos ϕ
M1 =
x
2
x +y
2
D1
dxdy =
x
π
3
% d%dϕ =
∆1
Z4
dϕ
0
cos
Z ϕ
% d% =
=
1
4
0
0
sin ϕ
π
Z4
π
Z4
3
π
Z4
1 4 cos ϕ
1 4
cos ϕ − sin4 ϕ dϕ =
% sin ϕ dϕ =
4
4
0
π
1
cos2 ϕ − sin2 ϕ · cos2 ϕ + sin2 ϕ dϕ =
4
Z4
0
π
cos2 ϕ − sin2 ϕ dϕ =
1
4
Z4
cos 2ϕdϕ =
0

− π ¬ ϕ ¬ 0
2
Analogicznie zauważmy, że obszar D2 jest obrazem zbioru ∆2 :
0 ¬ % ¬ cos ϕ
π
1 1
1
· sin 2ϕ 04 =
4 2
8
przy przekształceniu biegunowym.
Zatem
M2 =
x
D2
2
x +y
2
dxdy =
x
3
% d%dϕ =
∆2
π
1
=
4
Z4 1
(1 + cos 2ϕ)
2
2
1 1
dϕ = ·
4 4
0
=
−π
2
Z0
−π
2
1
1
ϕ + sin 2ϕ +
16
2
Z0
dϕ
cos
Z ϕ
3
% d% =
0
Z0
1 4 cos ϕ
1
% |0
dϕ =
4
4
−π
2
1
1 + 2 cos 2ϕ + cos (2ϕ) dϕ =
16
2
Z0
cos4 ϕdϕ =
−π
2
Z0 1
1 + 2 cos 2ϕ + (1 + cos(4ϕ)) dϕ =
2
−π
2
1
1
π
1
π
1
1 3
3
0
ϕ + sin(4ϕ) − π2 =
0 − (− + 0 +
− + ·0
=
· π=
π.
4
16
2
2
2
4
16 4
64
Stąd masa obszaru D: M = M1 + M2 =
8+3π
64 .
Opracowała: Małgorzata Wyrwas