Klasa 3. Trójkąty.

Klasa 3. Trójkąty.
1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 𝑝 i 𝑞 oraz przeciwprostokątną 𝑟. Z twierdzenia Pitagorasa wynika
równość:
A. 𝑟2 + 𝑞2 = 𝑝2
B. 𝑝2 + 𝑟2 = 𝑞2
C. 𝑝2 + 𝑞2 = 𝑟2
D. 𝑝 + 𝑞 = 𝑟
2. W trójkącie równoramiennym miara kąta między ramionami wynosi 30∘. Miary pozostałych kątów tego
trójkąta wynoszą:
A. 150∘, 150∘
B. 60∘, 90∘
C. 75∘, 75∘
D. 80∘, 65∘
3. Boki trójkąta prostokątnego mogą mieć długości:
A. √6, √30, √6
B. √6, √30, 36
C. 6, √30, 6
D. √6, √30, 6
4. Pole trójkąta jest równe 0,6 m2 , a jeden z jego boków ma długość 30 cm. Oblicz wysokość poprowadzoną
na ten bok.
5. Korzystając z informacji podanych na rysunkach, oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią
kratkę.
Kąt 𝛼 ma miarę 48∘.
prawda
fałsz
Kąt 𝛽 ma miarę 125∘.
prawda
fałsz
Kąt 𝛾 ma miarę 70∘.
prawda
fałsz
6. Oblicz długości odcinków 𝑥, 𝑦, 𝑧.
7. Wyznacz długości boków narysowanego obok trójkąta.
8. Pole trójkąta przedstawionego na rysunku jest równe 204.
Ile wynosi obwód tego trójkąta?
A. 75
C. 92
B. 68
D. 56
9. Oblicz długości odcinków 𝑎 i 𝑏.
10. Po wyjściu z punktu 𝐴 w kierunku południowym pokonano 4 km, a potem jeszcze 7 km w kierunku wschodnim, aby się znaleźć w punkcie 𝐵. Czy odległość w linii prostej od punktu 𝐴 do punktu 𝐵 jest większa niż
8 km?
49 + 16 > 64
TAK,
49 − 16 < 64
ponieważ
NIE,
odległość w linii prostej jest o połowę mniejsza:
7+4
< 8.
2
4+7>8
11. Najdłuższy bok trójkąta 𝐴𝐵𝐶 o wierzchołkach 𝐴 = (1, 1), 𝐵 = (−1, 3), 𝐶 = (−3, −2) ma długość:
A. √29
B. 7
C. 2√2
D. 5
12. Jak zmieni się pole trójkąta, jeśli jego wysokość zmniejszy się 6 razy?
A. wzrośnie 3 razy
B. zmaleje 3 razy
C. wzrośnie 6 razy
D. zmaleje 6 razy
13. Uzasadnij, że jeśli w trójkącie kąt między bokami 𝑎 i 𝑏 ma miarę 60∘, to pole tego trójkąta jest równe
1
4 𝑎𝑏√3.
14. Jeden z boków trójkąta ma 14 cm, co stanowi 20 % obwodu tego trójkąta. Czy ten bok może być najdłuższym bokiem tego trójkąta? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie.
dwa pozostałe boki też mogą mieć 14 cm.
TAK,
ponieważ
NIE,
ten bok jest krótszy od sumy długości dwóch pozostałych.
najdłuższy bok tego trójkąta ma co najmniej 28 cm.
taki trójkąt nie istnieje.
15. Uzupełnij zdania.
a) Pole trójkąta równobocznego o wysokości 5√3 cm wynosi
b) Pole trójkąta równobocznego o obwodzie
. . . . . . . .
. . . . . . . .
wynosi 4√3 cm2 .
16. Punkt 𝐷 jest środkiem boku 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, a ∢ 𝐴𝐶𝐵
tego trójkąta ma miarę 30∘. Wykaż, że jeśli trójkąt 𝐴𝐷𝐶
jest równoramienny, to trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny.
17. Cztery proste przecinają się tak jak na rysunku obok.
Uzasadnij, że 𝛼 + 𝛾 = 𝛽 + 𝛿.
*18. Trójkąt równoboczny podziel na osiem trójkątów równobocznych. Podaj, jakie długości mają boki powstałych trójkątów, jeśli długość boku dzielonego trójkąta wynosi 𝑎.
Klasa 3. Czworokąty.
1. W każdym równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:
A. |𝐴𝐶| = |𝐷𝐵|
C. |𝐴𝑂| = |𝑂𝐶|
B. 𝐴𝐶 ⟂ 𝐷𝐵
D. |𝐴𝐷| = |𝐷𝐵|
2. Jakie pole ma trapez przedstawiony na rysunku?
A. 14
B. 28
C. 42
D. 21
3. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Każdy kwadrat ma przekątne równej długości.
prawda
fałsz
Każdy romb jest równoległobokiem.
prawda
fałsz
Przekątne każdego prostokąta przecinają się pod kątem prostym.
prawda
fałsz
Każdy trapez jest równoległobokiem.
prawda
fałsz
4. Jeden z kątów rombu ma miarę 120∘. Miary pozostałych kątów tego rombu wynoszą:
A. 90∘, 90∘, 60∘
B. 60∘, 60∘, 120∘
C. 30∘, 60∘, 120∘
D. 180∘, 90∘, 90∘
5. Krótszy bok równoległoboku ma długość 4 cm, krótsza wysokość ma 3 cm, a dłuższa 9 cm. Dłuższy bok
równoległoboku jest równy:
A. 3 cm
B. 6,75 cm
C. 6 cm
D. 12 cm
6. Obwód kwadratu o przekątnej 4 cm jest równy:
A. 8√2 cm
B. 2√2 cm
C. 8 cm
D. 16 cm
7. Oblicz pola i obwody narysowanych figur:
a) rombu
b) trapezu równoramiennego
8. Obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy 54 cm. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 31 cm, a trójkąta 𝐴𝐶𝐷 –
35 cm. Oblicz długość przekątnej 𝐴𝐶.
9. Kąt ostry równoległoboku o bokach 4 cm i 6 cm ma miarę 45∘. Pole tego równoległoboku jest równe:
A. 12√2 cm2
B. 6√2 cm2
C. 24 cm2
D. 12 cm2
10. Czy można skonstruować taki trapez, którego suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180∘, a suma
miar kątów przy innym boku jest równa 100∘? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie.
suma miar dwóch kątów trapezu przy jednym boku może być dowolna:
większa od 0∘, ale mniejsza od 360∘.
180∘ + 100∘ = 280∘, a suma miar wszystkich kątów w czworokącie jest
TAK,
ponieważ
NIE,
równa 360∘.
jeśli suma miar kątów przy jednym boku wynosi 180∘, to przy innym
boku też jest równa 180∘.
można podać przykład takiego trapezu: trapez równoramienny, którego
kąty przy jednym ramieniu mają miary 130∘ i 50∘.
11. Oblicz miary kątów, korzystając z informacji podanych na rysunku.
| ∢ 𝐴𝐵𝐶| =
. . . . . . . . . . . . . .
| ∢ 𝐵𝐶𝐷| =
. . . . . . . . . . . . . .
| ∢ 𝑂𝑃𝑅| =
. . . . . . . . . . . . . .
| ∢ 𝑃𝑅𝑆| =
. . . . . . . . . . . . . .
romb
trapez równoramienny
12. Oblicz obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴 = (3, −4), 𝐵 = (7, 2), 𝐶 = (3, 5), 𝐷 = (−1, 2).
13. Oblicz pole i obwód trapezu przedstawionego na poniższym rysunku.
14. O bokach czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 wiadomo, że |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐷| = |𝐴𝐷|. Przekątna 𝐴𝐶 dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: równoboczny i prostokątny. Bok trójkąta równobocznego wynosi 4. Oblicz pole
czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.
15. Podstawy trapezu równoramiennego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości 12 cm i 18 cm, a jego przekątne przecinają się
pod kątem 60∘ w punkcie 𝑆. Oblicz pola trójkątów: 𝐴𝐵𝑆, 𝐷𝐶𝑆, 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐷𝑆.
16. W kwadracie o boku 20 cm umieszczono ośmiokąt o równych bokach
(jak na rysunku). Wykaż, że pole ośmiokąta jest większe niż pole trójkąta 𝐵𝐶𝐷, jeżeli długość odcinka 𝐴𝐵 jest równa 6 cm.
17. Wykaż, że pole pierścienia utworzonego przez okrąg opisany na kwadracie o boku 𝑎 i okrąg wpisany w ten
kwadrat jest mniejsze od pola tego kwadratu.
18. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶, w którym | ∢ 𝐶𝐴𝐵| = 72∘ i | ∢ 𝐴𝐶𝐵| = 67∘, na bokach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 obrano odpowiednio
punkty 𝐷 i 𝐸, tak że | ∢ 𝐷𝐸𝐵| = 140∘. Czy czworokąt 𝐴𝐵𝐸𝐷 jest trapezem? Uzasadnij odpowiedź.
*19. W kwadracie zamalowano 4 jednakowe trójkąty równoramienne, tak jak
pokazano na rysunku. Obszar zamalowany ma dwa razy mniejsze pole
niż obszar biały. Wykaż, że zaznaczony na rysunku odcinek ℎ stanowi
1
6
długości boku tego kwadratu.
Klasa 3. Koła i okręgi.
1. Pole koła o promieniu 𝑟 wyraża się wzorem:
A. 𝜋𝑟2
B. 2𝜋𝑟
C. 𝜋𝑟
D. 2𝜋𝑟2
2. Koniec wskazówki minutowej o długości 12 cm w ciągu 50 minut pokonał drogę:
A. ok. 62,8 cm
B. ok. 3,14 cm
C. ok. 31,4 cm
D. ok. 6,28 cm
3. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Każda średnica okręgu przechodzi przez jego środek.
prawda
fałsz
Punkt odległy o 6 cm od środka koła o promieniu 5 cm należy do tego koła.
prawda
fałsz
Cięciwa koła o promieniu 4 cm może mieć 7 cm długości.
prawda
fałsz
Środek okręgu należy do okręgu.
prawda
fałsz
4. Uzupełnij poniższe zdania dotyczące okręgu o promieniu 10 cm, wpisując jedno z trzech podanych sformułowań.
a) Długość tego okręgu jest
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 cm.
mniejsza od / większa od / równa
b) Średnica tego okręgu ma długość
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
5 cm / 10 cm / 20 cm
c) Pole koła ograniczonego tym okręgiem jest
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40𝜋 cm2 .
mniejsze od / większe od / równe
5. Oblicz pole i obwód koła o promieniu 9 cm.
6. Ile pełnych obrotów wykona koło o średnicy 50 cm na drodze długości 2 km? Przyjmij, że 𝜋 ≈
7.
22
7 .
Pewien trawnik ma kształt części koła, zaznaczonej na rysunku obok. Ile opakowań nawozu trzeba kupić, aby zasilić ten trawnik, jeśli jedno opakowanie
wystarcza na 1 ar powierzchni?
8. Z punktu na okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy o długościach 5 i 2√6. Długość tego okręgu
wynosi:
A. 3,5𝜋
B. 14𝜋
C. 7𝜋
D. 49𝜋
9. Punkty 𝐴𝐵𝐶𝐷 leżą na pewnym okręgu, a odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐸.
Oznaczmy miary kątów tak jak na rysunku obok. Uzasadnij, że jeśli 𝛼 + 𝛽 = 90∘, to
odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 są prostopadłe.
Klasa 3.Wzajemne położenie dwóch okręgów
1. Okrąg o środku 𝐶 ma promień długości 12 cm, a okrąg o środku 𝐵 ma promień długości 7 cm. Podaj długość
odcinka 𝐵𝐶, jeśli okręgi są styczne wewnętrznie.
2. Odległość między środkami dwóch okręgów wynosi 12 cm. Promienie tych okręgów mają 8 cm i 6 cm.
Wynika stąd, że okręgi te:
A. są styczne wewnętrznie
B. są styczne zewnętrznie
C. są rozłączne
D. przecinają się
3. Okrąg o środku w punkcie 𝐴 = (−2, 5) ma promień 8, a okrąg o środku w punkcie 𝐵 = (4, 5) ma promień 2,
zatem okręgi te:
A. przecinają się
B. są styczne wewnętrznie
C. są styczne zewnętrznie
D. są rozłączne
4. Na stoliku, którego blat ma kształt koła o średnicy 80 cm, położono okrągłą serwetkę o promieniu 25 cm
tak, że nie wychodziła poza brzeg blatu. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Powierzchnia blatu nieprzykryta serwetką jest większa niż 1000𝜋 cm2 .
prawda
fałsz
Serwetka zawsze przykrywa środek koła wyznaczonego przez blat stolika.
prawda
fałsz
Środki kół wyznaczonych przez blat i serwetkę mogą być odległe o 20 cm.
prawda
fałsz
Serwetka przykryła mniej niż 40 % powierzchni blatu.
prawda
fałsz
5. Trzy okręgi: 𝑂1 o środku 𝐴 i promieniu 5 cm, 𝑂2 o środku 𝐵 i promieniu 10 cm, 𝑂3 o środku 𝐶 i promieniu
15 cm położone są tak, że każde dwa są styczne do siebie zewnętrznie. Uzasadnij, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest
prostokątny.
6. Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego przez dwa współśrodkowe okręgi, wiedząc, że średnica
jednego okręgu wynosi 12 cm, a średnica drugiego okręgu jest 4 razy krótsza.
7. Czy okręgi o różnych promieniach spełniające podany warunek są styczne wewnętrznie? Wstaw znak X
w odpowiednią kratkę.
Odległość między środkami jest równa promieniowi większego z okręgów.
TAK
NIE
Promień większego okręgu jest średnicą mniejszego okręgu.
TAK
NIE
Odległość między środkami okręgów o promieniach 1 cm i 5 cm jest równa
TAK
NIE
średniej arytmetycznej długości tych promieni.
*8. Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 9. Oblicz promienie pozostałych
kół, jeśli wiadomo, że pola powstałych pierścieni i najmniejszego koła są równe.
Klasa 3.Wielokąty i okręgi.
1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 12 cm ma długość:
A. 4√3 cm
B. 6√3 cm
C. 2√3 cm
D. 36√3 cm
2. Narysuj okrąg o promieniu 3,5 cm i skonstruuj ośmiokąt foremny wpisany w ten okrąg.
3. W koło wpisany jest kwadrat o boku 12 cm. Oblicz łączne pole części pozostałych po wycięciu kwadratu.
4. Miara kąta wewnętrznego osiemnastokąta foremnego jest równa:
A. 20∘
B. 40∘
C. 80∘
D. 160∘
5. Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma 144∘. Ile boków ma ten wielokąt?
A. 20
B. 36
C. 10
D. 18
6. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa dłu-
prawda
fałsz
prawda
fałsz
W każdy romb można wpisać okrąg.
prawda
fałsz
Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia się dwu-
prawda
fałsz
gości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest jednakowo odległy od boków
tego trójkąta.
siecznych kątów tego trójkąta.
7. Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm.
Klasa 3.Symetrie.
1. Osiami symetrii narysowanej obok figury są:
A. proste 𝑎 i 𝑐
C. proste 𝑎 i 𝑏
B. proste 𝑏 i 𝑐
D. proste 𝑎, 𝑏, 𝑐
2. Na którym rysunku odcinki są symetryczne względem punktu 𝑆?
3. Która z figur nie ma środka symetrii?
A. odcinek
B. kwadrat
C. prosta
D. trapez równoramienny
4. Na którym rysunku narysowane okręgi są symetryczne względem prostej 𝑘?
5. Przyjrzyj się rysunkowi obok i uzupełnij poniższe zdania.
a) Punkt
. . . . .
jest symetryczny do punktu 𝐶 względem punktu 𝐵.
b) Punkt
. . . . .
jest symetryczny do punktu 𝐷 względem prostej 𝐵𝐶.
6. Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 ma wierzchołki w punktach 𝐴 = (−2, 5), 𝐵 = (−4, 3), 𝐶 = (−1, 1). Narysuj ten trójkąt w układzie współrzędnych, a następnie narysuj trójkąt symetryczny do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 względem punktu
𝑂 = (0, 0).
7. Zbuduj sześciokąt, który ma oś symetrii i nie ma środka symetrii. Wskaż tę oś.
8. Odpowiedz, ile osi symetrii ma:
a) koło
b) romb niebędący kwadratem
9. Na podstawie rysunku oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę.
Figura I ma dokładnie 2 osie symetrii i środek symetrii.
prawda
fałsz
Tylko dwie figury mają środek symetrii, ale nie mają osi symetrii.
prawda
fałsz
Figury III i IV mają tyle samo osi symetrii.
prawda
fałsz
10. Narysuj kwadrat o boku 5 cm i znajdź taką prostą 𝑝, aby wspólna część kwadratu i kwadratu do niego
symetrycznego względem prostej 𝑝 była prostokątem o polu 5 cm2 .