Michał Krawiec Detekcja zmiany dryfu w modelowaniu natężenia

Michał Krawiec
Detekcja zmiany dryfu w modelowaniu natężenia śmiertelności
Stale wydłużający się czas życia populacji stawia nowe wyzwania w różnych obszarach ekonomicznych:
socjalnym, politycznym, prawniczym, a co najważniejsze ma kluczowy związek z obowiązującym systemem
emerytalnym. Jest jasne, że coraz więcej kapitału będzie potrzebne aby podołać ryzyku zwiększania się
długości życia, a występujące kryzysy finansowe tylko potęgują problemy związane z tym fenomenem.
Obecnie powstają produkty finansowo-aktuarialne mające na celu przeniesienie choćby części ryzyka
związanego ze starzejącym się społeczeństwem.
W celu poprawnej konstrukcji tego typu kontraktów potrzebne jest jednak dogłębne zrozumienie tego
zjawiska, a w szczególności określenie jak bardzo wydłuża się długość życia. Celem tego referatu jest
detekcja zmiany długości trwania życia i określenie zmian w jego trendzie. W referacie będziemy
modelować natężenie śmiertelności procesem Lévy'ego, który będzie się składał zarówno z części ciągłej jak
i skokowej, odpowiadającej złożonemu procesowi Poissona. Rozważany proces intensywności śmiertelności
będzie ulegać zmianie w losowej, nieobserwowalnej chwili o zadanym z góry rozkładzie.
W referacie skonstruujemy optymalne momenty zatrzymania, które będą służyć do detekcji zmian
śmiertelności w określonej populacji. W tym celu użyjemy podejścia zaproponowanego przez Kołmogorowa
i Shiryaeva i sprowadzimy problem optymalnej detekcji do rozwiązania pewnego problemu wariacyjnego.
Powyższa analiza zostanie poparta dużą ilością badań numerycznych.
Drift change detection in mortality rate models
Permanently increasing lifetime of population produces new challenges in various areas of economics:
social, political and, what is even more important for us, it has strong connection to the pension system. It is
obvious that increasing amount of capital will be needed to cope with the risk of longevity and occurring
financial crises only magnifies problems connected to this phenomenon. Special financial products have
been already created to deal with some of the longevity risks. In order to construct such products properly,
there is a need to understand deeply how this phenomenon works, especially how much lifetime is
increasing.
The main purpose of this talk is to detect changes in the lifetime and to describe change in its trend. We will
model a mortality rate by a Lévy process, which consists of a continuous linear Brownian part and a jump
part corresponding to a compound Poisson process. The mortality rate process will change at some random,
unobservable moment, but with known a priori distribution.
In the talk we will construct optimal stopping times, which will be used to detect changes in population
mortality rate. In order to do this we will use optimization approach proposed by Kolmogorov and Shiryaev
and we will transfer our problem of optimal detection to the solution of specific variational problem.
Analysis above will be followed by some numerical examples.