Ćwiczenia 6 – HIPOTEZY PARAMETRYCZNE Zadanie 1 - E-SGH

Ćwiczenia 6 – HIPOTEZY PARAMETRYCZNE
Zadanie 1.
W instrukcji użytkowania samochodu jako normę zużycia paliwa na 100 km poza obszarem zabudowanym
podano wielkość 5,5 l. Czy norma ta jest zaniżona, jeśli średnie zużycie paliwa w próbie 121 użytkowników
pojazdó tej marki wynosiło 5,9 l, a odchylenie standardowe 0,4 l? Przyjąć α=0,05.
Zadanie 2.
Zgodnie z przyjętą normą w pewnej firmie farmaceutycznej waga tabletki powinna wynosić 8 mg netto. Czy
można przyjąć, że automat produkcyjny spełnia normę, jeżeli w próbie 40 tabletek średnia waga netto wynosiła
8,05 mg, a odchylenie standardowe 0,1 mg? Przyjąć α=0,05.
Zadanie 3.
Sprawdzono 200 losowo wybranych urządzeń pomiarowych i stwierdzono, że 7 jest uszkodzonych. Czy na
poziomie istotności 0,01 należy uznać, że wadliwość tych urządzeń, która została ustalona na poziomie 3%, jest
zaniżona?
Zadanie 4.
Na podstawie wydruku z programu statystycznego należy stwierdzić, jaka będzie decyzja weryfikacyjna hipotezy
zerowej na poziomie istotności 0.,01 i na poziomie 0,1. Proszę uzasadnić odpowiedź graficznie i słownie.
Hypotesis Test for H0:
Mean = 500
Computed t-statistic = 2,10067
vs Alt: NE
Sig. Level = 0,0408383
at Alpha = 0,05
so reject H0
Zadanie 5.
Związek zawodowy zarzucił prezesowi koncernu zawyżenie średniego zarobku jego pracowników w
sprawozdaniu z prowadzonej działalności. Według prezesa średnia pensja wynosiła 50 dukatów, podczas gdy
średnia uzyskana na podstawie próby losowej 200 pracowników wyniosła 48,5 dukata, przy wariancji 100
dukatów2. Przyjmując poziom istotności 0,05 należy sprawdzić czy twierdzenie związkowców jest uzasadnione.
Czy zmiana poziomu istotności może wpłynąć na decyzję weryfikacyjną? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 6.
Wiadomo, że miesięczne wydatki na żywność w gospodarstwach domowyh są zmienną losową o rozkładzie
normalnym. Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 500 zł jako średni poziom wydatków z
odchyleniem standardowym 50 zł.
a. Należy zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw
domowych istotnie różnią sięod 450 zł, przy poziomie istotności 0,01.
b. Czy decyzja weryfikacyjna zależy od przyjętego poziomu istotności?
Zadanie 7.
Badanie czasu rozmów telefocznicznych wykazało, że w godzinach przedpołudniowych dla 25 losowo wybranych
rozmów średni czas wynosił 10 min z 25% zmiennością, zaś w godz. popołudniowych dla tej samej liczby rozmów
odpowiednio 15 min oraz 20%. Czy można stwierdzić, że rozmowy przedpołudniowe trwają przeciętnie krócej niż
popołudniowe? Należy zweryfikować hipotezę zerową przy poziomie istotności 0,01. Dodatkowo należy przyjąć
założenie, że czas rozmów telefonicznych w obu przypadkach ma rozkład normalny o jednakowej wariancji.
Zadanie 8.
Starzy górale powiadają, że białe owce dają więcej mleka niż czarne. Czy mają oni rację, jeśli w wylosowanej
próbie 16 białych i 12 czarnych owiec otrzymano wyniki: ̅ = 3 , ̅ = 2,6 oraz = 0,4 = 0,2? Proszę
przyjąć poziom istotności 0,1. Jakie wstępne założenia należy przyjąć, aby zweryfikować hipotezę?
Zadanie 9.
Badając próbę losową 1000 ubezpieczonych kierowców stwierdzono, że w badanym roku 30 z nich zgłosiło
szkodę powypadkową. W kolejnym roku wprowadzono przepisy znacznie ograniczające prędkość na obszarze
zabudowanym. W próbie o takiej samej liczebności stwierdzono wówczas 28 szkód. Czy można uznać, że
zaostrzenie przepisów wpłynęło na zmniejszenie liczby szkód?
Zadanie 10.
Pewnym badaniu ankietowym zapytano kobiety posiadające dzieci, czy wykorzystały one w pełni urlop
wychowawczy. W grupie 900 kobiet z wykształceniem wyższym pozytywnej odpowiedzi udzieliło 360 kobiet, zaś
w grupie 1200 kobiet z wykształceniem zawodowym bądź niższym 600 kobiet. Na poziomie istotności 0,05 należy
zweryfikować hipotezę, że odsetek kobiet z wykształceniem co najwyżej zawodowym wykorzystujących urlop
wychowawczy jest wyższy niż odset kobiet z wykształceniem wyższym.
Zadanie 11.
W próbie losowej 300 butelek napoju alkoholowego przewożonego koleją uszkodzeniu uległo 21 szt., natomiast
wśród 300 szt. butelek przewożonych transportem samochoowym uszkodzonych było 27 szt. Czy na tej podstwie
można twierdzić, że wymienione rodzaje transpotrtu są jednakowo bezpieczne? Przyjąć α=0,04.
Zadania sprawdzające na podst. M. Wieczorek, Statystyka. Lubię to! Zbiór zadań, Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 2013.
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Hipoteza zerowa nie będzie odrzucona, jeśli:
a. przedział ufności obejmuje wartość parametru wskazaną w hipotezie,
b. krytyczny poziom istotności będzie wynosił 0,2,
c. wartość testu wyniesie 0.
Zadanie 1.2
Wykorzystanie statystyki t Studenta przy weryfikacji hipotezy dla średniej w populacji:
a. wymaga, aby dana zmienna miała w populacji rozkład normalny,
b. jest możliwe tylko wtedy, gdy znane jest odchylenie standardowe w populacji,
c. jest zasadne przy małej próbie.
Zadanie 1.3
Weryfikując na podstawie małych prób (n1 i n2-elementowych) hipotezę o równości średnich w dwóch
populacjach:
a. zakładamy, że rozkłady cech w populacjach są normalne,
b. stosujemy statystykę testową o rozkładzie t Studenta z n1+n2-2 stopniami swobody,
c. zakładamy, że odchylenia standardowe , nie są znane, ale są jednakowe.
Zadanie 1.4
Jeśli weryfikujemy hipotezę typu: =
, to rozkład populacji, z której pochodzi próba:
a. musi być zawsze normalny, gdy próba jest mała,
b. może być dowolny, o ile próba jest duża,
c. musi być normalny w przypadku dużej próby i t Studenta w przypadku małej próby.
Zadanie 1.5
Jeżeli wartość testu znajduje się w obszarze krytycznym, to odrzucamy , ponieważ:
a. prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju jest mniejsze niż krytyczny poziom
istotności,
b. wystąpiło zdarzenie, którego prawdopodobieństwo jest bardzo niewielkie (mniejsze niż przyjęty poziom
istotności α),
c. krytyczny poziom istotności jest mniejszy lub równy przyjętemu poziomowi istotności.
Wzory – hipotezy parametryczne
1. Sformułowanie hipotezy zerowej H0 i hipotezy alternatywnej H1 (przykłady):
H1 - hipotezy obustronne
H1 - hipotezy lewostronne
H1 - hipotezy prawostronne
H0: m=m0
H0: m=m0
H0: m=m0
H1: m<m0
H1: m>m0
H1: m≠m0
H0: m1=m2
H1: m1≠m2
H0: m1=m2
H1: m1<m2
H0: m1=m2
H1: m1>m2
H0: p=p0
H1: p≠p0
H0: p=p0
H1: p<p0
H0: p=p0
H1: p>p0
H0: p1=p2
H1: p1≠p2
H0: p1=p2
H1: p1<p2
H0: p1=p2
H1: p1>p2
2. Wybrane testy weryfikacyjne
Test weryfikacyjny – wystandaryzowana statystyka z próby.
I próba
A
B
C
popul. gen. ma rozkład popul. gen. ma rozkład popul. gen. ma rozkład
N
N
N
−znane
−nieznane
−nieznane
−znane
−nieznane
−nieznane
−dowolne
−małe
−dowolne
A:
B:
uemp =
xn − m0
δ/ n
uemp =
x1 − x2 − 0
δ12
n1
+
δ 22
n2
C:
temp =
A
rozkłady populacji 1 i 2 są N
,
−znane
, −znane
, −dowolne
A:
B:
t emp =
D
dowolny rozkład
populacji generalnej
−nieznane
−nieznane
−duże
xn − mo
sx / n
temp =
D:
xn − m0
S ( x) / n − 1
II próby
B
rozkłady populacji 1 i 2 są N
,
−nieznane
, −nieznane (dowolne)
, −małe
x1 − x2
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22
n1 + n2 − 2
=
−
( )/√
C
rozkłady populacji są nieznane
,
−nieznane
, −nieznane
, −duże
C:
− −0
=
1
1
 + 
 n1 n2 
!
+
Test weryfikacyjny przy szacowaniu frakcji:
Różnicy dwóch frakcji:
u emp =
# , # – liczba sukcesów w próbie 1 i próbie 2
, – liczebność próby 1 i 2
uemp =
wi − p0
p0 (1 − p0 )
n
w1i − w2i
1
1 
wi (1 − wi ) + 
 n1 n2 
;
wi =
k1 + k 2
n1 + n 2
5. Decyzja weryfikacyjna
Empiryczna wartość testu znajduje się w obszarze krytycznym – odrzucenie H0
Empiryczna wartość testu znajduje się poza obszarem krytycznym – brak podstaw do odrzucenia H0
obszar krytyczny = obszar odrzuceń H0
Rzeczywistość:
Hipoteza H0
prawdziwa
nieprawdziwa
Wniosek o hipotezie
nie odrzucać
odrzucać
prawidłowy
nieprawidłowy
błąd I rodzaju
nieprawidłowy
prawidłowy
błąd II rodzaju
$% − #&'(')* '+,* , (,( ,ś)
Dla każdego $ ≥ $% odrzucamy
Dla każdego $ < $% brak podstaw do odrzucenia