x2x1(x1 +2)=2x3 x3x2(x2 +2)

Pieciogodzinówka
przed drugim etapem
,
styczeń 2006, dzień 2.
4. Znaleźć liczbe, rozwiazań
układu równań:
,



x2 x1 (x1 + 2) = 2x31 + x22





x3 x2 (x2 + 2) = 2x32 + x23




x4 x3 (x3 + 2) = 2x3 + x2
3
4
..


.




3
2


x2005 x2004 (x2004 + 2) = 2x2004 + x2005



x x
(x
+ 2) = 2x3 + x2
1 2005
2005
2005
1
w ciagach
liczb dodatnich (x1 , x2 , x3 , . . . , x2004 , x2005 ).
,
5. Na bokach BC, CA i AB równoramiennego trójkata
ABC, w którym AB = BC, obrano
,
odpowiednio punkty D, E i F tak, by ∠BF D = ∠CDE = ∠BAC. Proste BE i CF przecinaja,
sie, w punkcie P . Wykazać, że na czworokacie
AEP F da sie, opisać okrag.
,
,
6. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność:
√
√
√
√
a b2 + c2 + bc + b c2 + a2 + ca + c a2 + b2 + ab ­ 3(ab + bc + ca)
1