ma matematyka i inne dziedziny ¯ycia

CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
24.
SPRAWD DOŒWIADCZALNIE: CO WSPÓLNEGO Z „BOSK¥
PROPORCJ¥” MA MATEMATYKA I INNE DZIEDZINY ¯YCIA
1. Realizowane treœci podstawy programowej
Przedmiot
Realizowana treϾ podstawy programowej
Matematyka
6. Wyra¿enia algebraiczne. Uczeñ:
6.7. wyznacza wskazan¹ wielkoœæ z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych
10. Figury p³askie. Uczeñ:
10.18. rozpoznaje symetraln¹ odcinka i dwusieczn¹ k¹ta
10.22. rozpoznaje wielok¹ty foremne i korzysta z ich podstawowych
w³asnoœci
Biologia
V. Budowa i funkcjonowanie organizmu roœlinnego na przyk³adzie roœliny
okrytozal¹¿kowej. Uczeñ:
1) identyfikuje (np. na schemacie, fotografii, rysunku lub na podstawie opisu)
i opisuje organy roœliny okrytonasiennej (korzeñ, pêd, ³odyga, liœæ, kwiat, owoc)
oraz przedstawia ich funkcje
2. Kszta³cone kompetencji
u kompetencje matematyczne,
u porozumiewania siê w jêzyku ojczystym.
3. Cele zajêæ blokowych
u poznanie powszechnoœci wystêpowania „z³otego podzia³u” w otaczaj¹cym œwiecie,
u poznanie znaczenia liczb ci¹gu Fibonacciego.
strona 230
4. Oczekiwane osi¹gniêcia ucznia
Uczeñ:
u ³¹czy wiedzê z ró¿nych przedmiotów, która jest niezbêdna do prawid³owego interpretowania zjawisk i opisu otaczaj¹cego œwiata,
u wyci¹ga wnioski z przeprowadzonych badañ,
u bada, pracuj¹c w grupie oraz indywidualnie.
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
5. Wykaz pomocy dydaktycznych
Lp.
Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu
IloϾ sztuk
1
kwiat stokrotki
Jeden dla ucznia
2
³odyga krwawnika
Jedna dla ucznia
3
linijka
Jedna na ucznia
4
cyrkiel
Jeden na ucznia
6. Proponowany przebieg zajêæ z rozliczeniem czasowym
Opis kolejnych dzia³añ
Uwagi do realizacji dla
Czas
nauczyciela (rysunki, schematy, trwania
fotografie, linki do WWW itp.) w min
1
Rozdanie kart pracy uczniom i krótkie objaœnienie Ka¿dy uczeñ otrzymuje kartê.
przebiegu zajêæ.
5
2
Zapoznanie siê uczniów ze wstêpem do zadañ.
Praca indywidualna ucznia.
3
3
Obliczenie liczb ci¹gu Fibonacciego.
Praca indywidualna ucznia.
15
4
Obliczenie iloœci p³atków.
Praca indywidualna ucznia.
5
5
Wyznaczenie „z³otej proporcji” w schemacie Parte- Praca indywidualna ucznia.
nonu. Opis zadania.
8
6
Sprawdzenie istnienia „z³otego podzia³u” w rozk³a- Praca indywidualna ucznia.
dzie kostek na palcu rêki.
10
7
Podzia³ uczniów na grupy 2 osobowe.
Mo¿e byæ zgodnie z tym, jak siedz¹ w ³awkach.
2
8
Sprawdzenie proporcji w profilu g³owy.
Praca w grupach 2 osobowych.
15
9
Konstrukcja piêciok¹ta foremnego.
Praca indywidualna ucznia.
15
10 Wyznaczenie stosunku d³ugoœci przek¹tnej piêcio- Praca indywidualna ucznia.
k¹ta foremnego do d³ugoœci jego boku.
3
11 Wyznaczenie stosunku, w jakim dziel¹ siê przek¹tne Praca indywidualna ucznia.
piêciok¹ta foremnego.
3
12 Oddanie karty pracy nauczycielowi.
Ka¿dy uczeñ oddaje swoj¹ kartê.
2
13 Wype³nienie przez uczniów ankiety ewaluacyjnej.
Indywidualnie
3
14 Wype³nienie karty samooceny.
3
Ca³kowity czas trwania jednostki
90
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
strona 231
Lp.
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
7. Obudowa do zajêæ blokowych
Wszystkie potrzebne definicje, zdjêcia, opis konstrukcji piêciok¹ta foremnego znajduj¹ siê
w karcie pracy ucznia oraz w kryterium oceniania dla nauczyciela. W Internecie znajduje siê
bardzo du¿o informacji o ci¹gu Fibonacciego i „z³otej proporcji”.
Proponowane rozwi¹zania
Zadanie 1.
Pierwszych piêtnaœcie licz ci¹gu Fibonacciego:
u 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, 610
Poprawne podanie wszystkich liczb – 1 pkt,
Brak odpowiedzi lub b³êdna, (nawet jedna) odpowiedŸ – 0 pkt.
Zadanie 2.
Stokrotki maj¹ zazwyczaj 34, 55 lub 89 p³atków, irysy i lilie 3 p³atki, niektóre odmiany
astrów – 21 p³atków.
Obliczenie iloœci p³atków wraz z odniesieniem odpowiedzi do licz ci¹gu Fibonacciego – 1 pkt.
Zadanie 3.
5 miesi¹c – 5 pêdów
4 miesi¹c – 3 pêdy
3 miesi¹c – 2 pêdy
2 miesi¹c – 1 pêd
strona 232
1 miesi¹c – 1 pêd
1, 2, 3,4 i 5 to kolejne miesi¹ce rozrostu krwawnika
Narysowanie schematu badanej roœliny – 1 pkt.
Okreœlenie liczby pêdów, które wyrasta³y w kolejnych miesi¹cach – 1 pkt.
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Zadanie 4.
Wykonanie schematycznego rysunku rêki z zaznaczonymi podzia³ami (kostki) – 1 pkt.
Sprawdzenie proporcji dla obu podzia³ów – 0–2 pkt za ka¿dy po 1 pkt.
Zadanie 5.
Obliczenia potwierdzaj¹ce z³oty podzia³ w profilu kolegi (kole¿anki) – 1 pkt.
Zadanie 6.
Za zauwa¿enie, ¿e w „z³otym podziale” s¹ ze sob¹ boki prostok¹ta – 1 pkt.
Za potwierdzenie proporcji obliczeniami – 1 pkt.
Zadanie 7.
Konstrukcja piêciok¹ta – 1 pkt.
Sprawdzenie stosunku d³ugoœci przek¹tnej do d³ugoœci boku piêciok¹ta potwierdzaj¹cego
z³ot¹ proporcjê – 1 pkt.
Sprawdzenie stosunku, w jakim dziel¹ siê przek¹tne piêciok¹ta, podobnie potwierdzaj¹cego z³ot¹ proporcjê – 1 pkt.
a
b
8. Literatura uzupe³niaj¹ca, zalecana podrêczniki i artyku³y
strona 233
1. Szczepan Jeleñski, Œladami Pitagorasa
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
9. Karta pracy ucznia
Z³ote ciêcie – „boska proporcja”
Matematyka, kosmologia, budowa œwiata roœlin i zwierz¹t, projekty architektoniczne,
dzie³a sztuki (rzeŸba, malarstwo), budowa instrumentów muzycznych oraz kompozycje muzyczne – we wszystkie tych dziedzinach odnaleŸæ mo¿emy pewien ci¹g, dziêki któremu
wszystkie one nabieraj¹ szczególnych walorów artystycznych. Ci¹g ten nazywamy ci¹giem
Fibonacciego.
Wyrazy tego ci¹gu obliczamy pos³uguj¹c siê wzorem:
ì F1 = 1
ï
n – oznacza kolejne liczby naturalne
í F2 = 1
ïF = F + F
n -1
n-2
î n
Z tego wzoru wynika, ¿e pierwszy i drugi wyraz tego ci¹gu s¹ równe 1. Kolejne wyrazy s¹
sum¹ dwóch wyrazów poprzednich. Zgodnie z t¹ definicj¹ trzeci wyraz jest równy 2.
Z ci¹giem Fibonacciego zwi¹zane jest „boskie ciêcie” – w³aœnie tak nazwali staro¿ytni
i œredniowieczny matematycy z³oty podzia³. Zgodnie z nim budowano budynki (Partenon
grecki), powstawa³y najs³ynniejsze rzeŸby (Apollo Belwederski z II wieku) i co ciekawe, budowa
cia³a ludzkiego (dok³adniej cia³a mê¿czyzn) podlega tak¿e prawom „boskiego ciêcia”.
Zasadê z³otego ciêcia mo¿emy zastosowaæ do podzia³u odcinka na dwie czêœci. Stosunek
z³otego podzia³u odcinka mo¿emy wyraziæ s³ownie:
Ca³y odcinek tak siê ma do swojej wiêkszej czêœci, jak wiêksza czêœæ do mniejszej.
a
b
a – d³ugoœæ d³u¿szej czêœci odcinka po podziale
b – d³ugoœæ ca³ego odcinka
5 -1
Ten podzia³ mo¿emy przedstawiæ w postaci liczby: „boska proporcja” =
= 0 ,61804...
2
(mniejsza czêœæ do wiêkszej) lub 1,618 ... (wiêksza czêœæ do mniejszej)
Stosunek kolejnej liczby ci¹gu Fibonacciego do poprzedniej jest w miarê wzrostu liczb
ci¹gu, bli¿szy „z³otemu podzia³owi”.
strona 234
Zbadaj, powszechnoœæ liczb ci¹gu Fibonacciego oraz „boskiej proporcji”
1. Wypisz piêtnaœcie pierwszych liczb ci¹gu Fibonacciego:
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
2. Stokrotki, lilie, irysy i wiele ró¿nych kwiatów, maj¹ iloœæ p³atków równ¹ jednej z liczb
ci¹gu Fibonacciego. Oblicz iloœæ p³atków Twojej stokrotki.
Podaj iloœæ p³atków: ……………
3. Zbadaj, czy pêdy krwawnika, roœliny maj¹cej w³aœciwoœci lecznicze, rozrastaj¹ siê w ka¿dym miesi¹cu zgodnie z ci¹giem Fibonacciego.
Narysuj poni¿ej schemat roœliny, któr¹ bada³eœ. Okreœl liczbê pêdów, które w Twojej
roœlinie wyros³y w kolejnych miesi¹cach:
4. U³o¿enie kostek na palcu ludzkiej rêki jest zgodne ze „z³otym podzia³em”. SprawdŸ
s³usznoœæ tej tezy w odniesieniu do wybranego palca Twojej rêki. Narysuj schematyczny
rysunek.
Punktami podzia³u palca bêd¹ charakterystyczne dwa jego zgiêcia. SprawdŸ proporcjê
dla tych dwóch podzia³ów oddzielnie. Wykonaj potrzebne obliczenia.
strona 235
5. Podzia³ ludzkiej g³owy z profilu daje wiele stosunków bliskich „boskiej proporcji”.
SprawdŸ tê proporcjê w profilu Twojego kolegi lub kole¿anki. Punkt podzia³u umieœæ
na wysokoœci nosa, ca³y odcinek to odleg³oœæ od brody do koñca czo³a, miejsca gdzie
zaczynaj¹ siê w³osy.
Przedstaw swoje obliczenia poni¿ej:
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
6. Partenon to œwi¹tynia w Antenach na Akropolu, której wymiary cechuje „boska proporcja”. ZnajdŸ „z³oty podzia³” w poni¿szym schemacie Partenonu
Zapisz swoje spostrze¿enia i obliczenia.
5 miesi¹c – 5 pêdów
4 miesi¹c – 3 pêdy
3 miesi¹c – 2 pêdy
2 miesi¹c – 1 pêd
1 miesi¹c – 1 pêd
7. Wykonaj konstrukcje piêciok¹ta:
a. Narysuj okr¹g o œrodku S.
b. Narysuj œrednicê okrêgu (oznacz j¹ literami A, B) i prostopad³y do niej promieñ.
Oznacz go CS.
c. Podziel ten promieñ na dwie po³owy. Punkt podzia³u oznacz liter¹ D.
d. Po³¹cz ze sob¹ punkty B i D.
e. Narysuj dwusieczn¹ k¹ta BDS.
f. Narysuj prost¹ prostopad³¹ do œrednicy przechodz¹c¹ przez punkt przeciêcia
dwusiecznej ze œrednic¹ okrêgu. Punkt wspólny prostopad³ej i okrêgu oznacz liter¹
E. Odcinek BE jest d³ugoœci¹ boku piêciok¹ta.
g. Narysuj piêciok¹t.
SprawdŸ, czy:
1. Stosunek d³ugoœci przek¹tnej do d³ugoœci boku piêciok¹ta s¹ w „z³otej proporcji”.
2. Przek¹tne tego wielok¹ta przecinaj¹ siê w punkcie, który dzieli je w „z³oty sposób”.
strona 236
Lp.
1
Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia
eksperymentu
IloϾ sztuk
Cena
Cena ³¹czna
jednostkowa
Brak kosztów. Roœliny mog¹ przynieœæ uczniowie.
Suma kosztów
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
10. Oszacowanie kosztów pracy
Lp.
Zadanie
Czas
wykonania
(h)
£¹cznie
Cena
Liczba osób osobogodzin osobogodziny
pracy
pracy (z³)
Koszt
1
2
strona 237
Suma:
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego
CZ£OWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
11. Ankieta ewaluacyjna zajêæ
Lp.
Pytanie do ucznia
1
Czy zajêcia by³y dla Ciebie ciekawe?
2
Czy s³ysza³eœ wczeœniej o „z³otym
podziale”?
3
Czy zna³eœ wczeœniej liczby ci¹gu
Fibonnaciego?
4
Czy temat powszechnoœci wystêpowania liczb tego ci¹gu w otaczaj¹cym nas œwiecie jest dla Ciebie
ciekawy?
5
Czy lubisz pracowaæ w grupie?
6
Czy dyskusja w trakcie rozwi¹zywania zadañ jest wed³ug Ciebie
kszta³c¹ca?
Tak
Raczej tak
Trudno
powiedzieæ
Nie
Zdecydowanie nie
12. Karta samooceny ucznia
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE
strona 238
1. Samodzielnie obliczy³em(³am) liczby ci¹gu Fibonacciego:
2. Nie mia³em ¿adnego problemu z obliczeniem przyrastaj¹cych
w ka¿dym miesi¹cu pêdów krwawnika:
3. Nie znalaz³em „z³otego podzia³u” w schemacie Partenonu:
4. Samodzielnie znalaz³em „bosk¹ proporcjê w u³o¿eniu kostek na moim palcu:
5. Nauczy³em(³am) siê konstruowaæ piêciok¹t foremny:
6. To by³a moja pierwsza w ¿yciu prawdziwa konstrukcja:
7. Zdobyt¹ wiedzê wykorzystam do nauki wielu przedmiotów:
Projekt wspó³finansowany ze œrodków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Spo³ecznego