Własności funkcji

Funkcje – powtórzenie wiadomości
1. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x).
a) Odczytaj z wykresu:
 dziedzinę funkcji,
 zbiór wartości funkcji,
 miejsca zerowe funkcji,
 zbiór, w którym funkcja jest rosnąca (malejąca),
 zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie (ujemne)
 wartość wyrażenia f(5)  f(0)  f(6).
 największą i najmniejszą wartość funkcji
b) Dla jakich argumentów f(x) > –x + 3?
x2  4x  4
2. Dana jest funkcja o wzorze f(x) =
.
ax  8
a) Określ dziedzinę i narysuj wykres funkcji dla a = 2.
b) Wyznacz a tak, aby do wykresu funkcji należał punkt A (2, –1).
c) Wyznacz a tak, aby dziedziną funkcji był zbiór R – 5.
3. Zbadaj na podstawie definicji monotoniczność funkcji f(x) = 2x2 +4x w zbiorze (–, -1).
4. Zbadaj na podstawie definicji parzystość oraz nieparzystość funkcji:
x3
a) f(x) = 1 4 x ,
b) g(x) = 2
.
x 1
| 4 x  2 | 4
5. Wyznacz dziedzinę i miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią y funkcji f(x) =
.
x3
x2  2x  1
6. Dane są funkcje f(x) =
oraz g(x) = {(x, x – 1), x R}. Sprawdź, czy funkcje f oraz g są
x 1
równe. Odpowiedź uzasadnij.
7. Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji f:
a) Na podstawie wykresu funkcji podaj: zbiór wartości funkcji, miejsca zerowe funkcji oraz zbiór tych
argumentów dla których funkcja osiąga wartości dodatnie.
b) Uzupełnij wykres funkcji f, tak by otrzymać wykres funkcji parzystej(nieparzystej) h, której
dziedziną jest zbiór –6, 6.
8. Funkcja okresowa f ma okres zasadniczy równy 4, a w przedziale  3,1 jest określona wzorem
f ( x)  2 x  3 . Naszkicuj wykres tej funkcji dla x   9,9 oraz oblicz f (6), f (11), f (102) .
1
 2 x  2 dla x   8, 2

9. Funkcja f jest określona wzorem f ( x)    1
dla x  2,5
 x  1 dla x  5,


a) Oblicz wartości tej funkcji dla argumentów: -3, 4, 11.
b) Znajdź miejsca zerowe funkcji f.
c) Naszkicuj wykres funkcji f.
d) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie?
c) Określ przedziały monotoniczności funkcji.
10. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = 2(x – 1)(ax + 1), xR.
a) Dla a = 3 wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
b) Wyznacz a tak, aby do wykresu funkcji należał punkt A(4, –6).
2  x2
x2  4
11. Dana jest funkcja o wzorze A) f(x) =
,B) f ( x) 
x6
2x  4
C) f(x) =
| x  1 | 3 ,D) f(x) =
x2 3
3  2x
, E) f ( x)  2
2
x  10 x  25
x 4
a) Określ dziedzinę tej funkcji.
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
b) Wyznacz współrzędne punktu, w którym wykres przecina oś OY.
12. Poniżej podany jest wykres pewnej funkcji f:
a) Oblicz wartość wyrażenia f(–3) – 2f(7).
b) Podaj wszystkie argumenty dla których wartość funkcji wynosi 1.
c) Podaj zbiory liczbowe, w których funkcja jest rosnąca.
d) Odczytaj z wykresu:
 dziedzinę funkcji,
 zbiór wartości funkcji,
 miejsca zerowe funkcji,
13. Narysuj wykres dowolnej funkcji nieparzystej, której dziedziną jest zbiór –5, 5, zbiorem wartości
jest przedział –3, 3 oraz rosnącej tylko w przedziale –2, 2.
14. Dane są funkcje o wzorach f(x) = –3x + 5 oraz g(x) = 2. Dla jakich argumentów wartości funkcji f
są większe od wartości funkcji g?
15. a) Podaj wzór funkcji, której dziedziną jest zbiór R – {–2, 7}.
17
2
k przecinają oś
b) Dla jakich wartości k wykresy funkcji f(x) = –2x + 3 +
oraz g(x) = x2 +
5
x 5
OY w tym samym punkcie?
4x  5
16. Dana jest funkcja f, opisana wzorem f(x) =
.
3 x
a) Wyznacz dziedzinę funkcji f.
5
b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji f wynosi  .
2
c) Oblicz wartość funkcji f dla argumentu 5 i podaj tę wartość w postaci a  b c , gdzie a, b, c są
liczbami wymiernymi i c > 0.
4x
d) Dla jakiego argumentu funkcje f oraz g o wzorze g(x) =
, gdzie x 1, przyjmują tę samą
1 x
wartość?
17. Dana jest funkcja f(x) = x2 – (a + 2)x + b, określona w zbiorze liczb rzeczywistych.
a) Dla a = –2 i b = 0, rozwiąż graficznie nierówność f(x) = 2 – x.
b) Wiedząc, że wykres funkcji f ma z osią OY punkt wspólny o współrzędnych (0, 4), zaś jednym z
miejsc zerowych funkcji f jest liczba 3, ustal wartości współczynników a i b.
 x 3 dla x   2, 1

18. Dana jest funkcja f (x)   1
.
 dla x  1,   
x
a) Oblicz wartość wyrażenia f  2  f 2 .
b) Naszkicuj wykres funkcji f.
c) Podaj zbiór wartości funkcji f.
d) Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f.
e) Czy funkcja f jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnij.
19. Funkcja okresowa f ma okres zasadniczy równy 6, a w przedziale  1, 5 jest określona wzorem

  
f ( x)   x  2 . Naszkicuj wykres tej funkcji dla x   12,10 oraz oblicz f (7), f (21), f (109) .