docpanelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania
download 
Reklamacja Transkrypt
panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania
Krystyna Strzała Wydział Zarządzania Uniwersytet Gdański PANELOWE TESTY KOINTEGRACJI – TEORIA I ZASTOSOWANIA 1. Wstęp Najczęściej, jeżeli nie w większości przypadków, hipotezy ekonomiczne odpowia‑ dają w terminologii ekonometrycznej relacjom długookresowym. Dlatego też roz‑ ważania przedstawione w niniejszym artykule zostały ukierunkowane na metody wykrywania relacji długookresowych dla danych przekrojowo‑czasowych, z poło‑ żeniem akcentu na możliwości oraz ograniczenia omawianych procedur, a także na wskazanie potencjalnych błędów we wnioskowaniu, które mogą wyniknąć z niedo‑ pasowania testu do specyfiki procesu generującego dane. Do podstawowych testów kointegracji w ujęciu panelowym zalicza się procedury zaproponowane przez McCo‑ skey i Kao1, Kao2, Pedroniego3 oraz wykorzystanie testu Fishera do indywidualnych wyników testu kointegracji Johansena4. Testy McCoskey i Kao, Kao oraz Pedroniego, 1 S. McCoskey, C. Kao, A residual‑based test of the null of cointegration in panel data „Econometric Re‑ views” 1998, vol. 17, s. 57–84. 2 C. Kao, Spurious regression and residual‑based tests for cointegration in panel data, „Journal of Econo‑ metrics” 1999, vol. 90, s. 1–44. 3 P. Pedroni, Panel cointegration: asymptotic and finite sample properties of pooled time series tests with an application to the PPP hypothesis, „Econometric Theory” 2004, vol. 20, s. 597–625; P. Pedroni, Critical va‑ lues for cointegration tests in heterogeneous panels with multiple regressors, „Oxford Bulletin of Economics and Statistics” 1999, vol. 61, s. 653–670. 4 G.S. Maddala, S. Wu, A comparative study of unit root tests with panel data and a new simple test, „Oxford Bulletin of Economics and Statistics” 1999, Special Issue, s. 631–652. 41 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 41 10/15/12 13:07 PM Krystyna Strzała mają zastosowanie do poszukiwania jednej relacji długookresowej. Natomiast zasto‑ sowanie metody Johansena pozwala ustalić liczbę wektorów kointegrujących w mo‑ delach panelowych z wieloma zmiennymi objaśniającymi. Artykuł ten składa się z pięciu części, przedstawiając kolejno testy panelowej kointegracji dla przypadku jednej i wielu zmiennych objaśniających, występujących w przekroju. Rozważania teoretyczne w części czwartej zostały zilustrowane wynikami badań własnych autorki, związanych z ewaluacją międzynarodowej mobilności kapitału w Unii Europejskiej przy wykorzystaniu podejścia Feldsteina i Horioki. kointegracji panelowej zakłada heterogeniczność efektów indywidualnych αi, 2. Panelowe testy kointegracji wzorowane indywidualne wartości współczynników nachylenia trendu δi oraz parametrów βi, na procedurze Engle’a – Grangera co prowadzi do następującej postaci modelu ogólnego: Ogólnie sformułowany proces generujący dane ść dla celu badania kointegracji pa‑α , efektów indywidualnych kointegracji panelowej zakłada heterogeniczno i indywidualnych αi, y itkointegracji =α + βpanelowej +indywidualnych β Mi x Mi,t + eitść , i, efektów i + δ i theterogeniczność 1i x1i ,t + β 2 zakłada i x 2efektów i ,t + ...heterogeniczno nelowej zakłada indywidualne wartościβ(1) indywidualne wartości współczynników nachylenia trendu δi oraz parametrów ,i indywidualne wartościtrendu współczynników nachylenia trendu δi do oraz parametrów βi, współczynników parametrów i, co prowadzi następują‑ dla ico = 1, 2, …, Ndo ; tnast =nachylenia 1,ępuj 2, …, Tpostaci ; m = i oraz 1,modelu 2, …, M, ą cej ogólnego: prowadzi cej postaci modelu do ogólnego: następującej postaci modelu ogólnego: gdzie ( y it ,coxitprowadzi ) ~ I (1) to procesy zintegrowane w stopniu pierwszym. y it = α i + δ i t + β 1i x1i ,t + β 2i x 2i ,t + ... + β Mi x Mi,t + eit , (1) y it = α i +MCK, δ i t + β 1i xK1i ,t +i β 2Pi x 2i ,tsą+ ...analogiczne + β Mi x Mi,t + eit ,do (1) postępowania (1) Procedury testów 5 dla = 1, 2, …, …, Nprzez ;t = t =1,1,Engle’a 2, …,T;Tm = ; imGrangera = 1,2, 2, …, , . MJest to procedura dwuetapowa. zaproponowanego dla ii = 1, 2, M, dla i = 1, N; 2, …, N;2,t …, = 1, 2, …, 1, T; m…, = 1, 2, …, M, ą estymacji, podlega model W pierwszym oszacowaniu, wskazaną metod gdzie w stopniu pierwszym. gdzie ( y it , xkroku to procesy procesy zintegrowane zintegrowane w stopniu pierwszym. it ) ~ I (1) to gdziezale ( y itż,no ~ I (1), (1) toaprocesy xit ś)ci zintegrowane wprzeprowadza stopniu pierwszym. w etapie drugim sięępowania badanie analizowanej Procedury MCK, K i P K są analogiczne postępowania analogiczne do zaproponowa‑ post Procedury testów testów MCK, i P są do ą analogiczne do post ępowania Procedury testów MCK, K i P s 5 ś ci reszt na podstawie regresji pomocniczej dla ka ż dej jednostki stacjonarno 5. Jest to Jest5 to procedura dwuetapowa. zaproponowanego przez Engle’a i Grangera nego przez Engle’a i Grangera procedura.dwuetapowa. W pierwszym kroku . Jest to procedura dwuetapowa. zaproponowanego przez Engle’a i Grangera panelu. ą metod ą estymacji, podlega model W pierwszym wskazaną kroku oszacowaniu, wskazan oszacowaniu, metodą estymacji, podlega model analizowanej zależności ązmiennymi metodą estymacji, podlega model W pierwszym kroku oszacowaniu, wskazan ż eli poddana badaniu relacja pomi ę dzy niestacjonarnymi Je żnośprzeprowadza ci (1), a w się etapie drugim przeprowadza ę badanie analizowanej zale (1), a na etapie drugim badanie stacjonarności reszt nasipodstawie ści (1), a jest w etapie drugim przeprowadza si ę badanie analizowanej zależno zintegrowanymi w stopniu pierwszym skointegrowana, reszty tej relacji ś ci reszt na podstawie regresji pomocniczej dla ka ż dej jednostki stacjonarno regresji pomocniczej każdej ści dla reszt na jednostki podstawiepanelu. regresji pomocniczej dla każdej jednostki stacjonarno panelu. powinny byćpoddana generowane stacjonarny. W przypadku, gdy Jeżeli badaniuprzez relacjaproces pomiędzy zmiennymi niestacjonarnymi zinte‑nie panelu. ż eli poddana badaniu relacja pomi ę dzy zmiennymi niestacjonarnymi Je puje relacja kointegruj ąca pomi dzy rozpatrywanymi ciami, reszty wystęgrowanymi w stopniu pierwszym jest ęskointegrowana, tejwielko relacji śpowinny być żeli poddana badaniu relacja pomięreszty dzy zmiennymi niestacjonarnymi Je w stopniu pierwszym jest skointegrowana, reszty tej relacji generowane przez proces niestacjonarny. będązintegrowanymi generowane przez proces W przypadku, nie występuje relacja zintegrowanymi w stacjonarny. stopniu pierwszym jest gdy skointegrowana, reszty ko‑ tej relacji powinny być generowane przez proces stacjonarny. W przypadku, gdy nie powinny być generowane przez proces stacjonarny. W przypadku, gdy nie integrująca pomiędzy rozpatrywanymi reszty będą generowane ępuje relacja kointegruj ąca pomiwielkościami, ędzy rozpatrywanymi wielko ściami,przez reszty wyst ępuje relacja kointegrująca pomiędzy rozpatrywanymi wielkościami, reszty wyst proces niestacjonarny. będą generowane przez proces niestacjonarny. dą generowane przez proces niestacjonarny. Test Kaobę(1999) Test Kao (1999) Dla przypadku dwuwymiarowego, opisanego6 przez Kao6, model Dla przypadku dwuwymiarowego, opisanego przez Kao , model generujący dane ący dane panelowe można przedstawić jako: generuj Test Kao (1999) panelowe przedstawić jako: Testmożna Kao (1999) Dla przypadku dwuwymiarowego, przez Kao6, model , (2) = α i + β xit + eitopisanego Dla przypadkuy it dwuwymiarowego, opisanego przez Kao6, (2)model generujący dane panelowe można przedstawić jako: generujący dane panelowe można przedstawić jako: dla 5 R. Engle, C. Granger, Co‑integration and error correction representation, estimation and testing, „Eco‑ (2) y it = α i + β xit + eit , nometrica” 1987, vol. 55, s. 251–276. y it = α i + β xit + eit , yit Modele = yit −zintegrowanych + u (3) (2) 6 Por. także P. Kębłowski, szeregów przekrojowoczasowych, w: Gospodarka oparta 1 it dla na wiedzy, dlared. W. Welfe, PWE, Warszawa 2007, s. 173–199. (3) xit y=it x=it −y1yit+−1η=+it yuit + u (4) (3) it it −1 it gdzie:42i = 1, 2, …, N; t = 1,x 2,=…, xit −1T+. η it (4) it = xit −1 + ηgeneruj it ącego dane panelowe, trzeba (4) Odnosząc się do ogólnegoxit procesu gdzie: i ż=e1,proces 2, …, Nopisany ; t = 1, 2, …, Tą. (2) jest szczególnym przypadkiem (1), w żyć,gdzie: zauwa i = 1, 2, …, N; t =relacj 1, 2, …, T. ą c si ę do Odnosz SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 42 ogólnego procesu generującego dane panelowe, trzeba10/15/12 13:07 PM którym wystarczy przyjąć założenie, że nie występuje trend liniowy (czyli Dla(1999) przypadku dwuwymiarowego, opisanego przez Kao , model Test Kao generujący dane panelowe można przedstawić jako: Dla przypadku dwuwymiarowego, opisanego przez Kao6, model (2) y it przedstawi = α i + β xitć +jako: eit , generujący dane panelowe można y it = αtesty xit + eit , – teoria i zastosowania Panelowe kointegracji i +β dla dla dla (2) yit = yit −1 + uit (3) yit = yit −1 + uit xit = xit −1 + η it ,(3), (3) (4) xit1,= 2,xit…, η.it ,(4), (4) gdzie: i = 1, 2, …, N; t = −1 +T Odnosząc się do ogólnego procesu generującego dane panelowe, trzeba ; t T. = 1, 2, …,relacj T. ą (2) jest szczególnym przypadkiem (1), w gdzie: i =gdzie: 1, 2, …, 2, N …, żi y=N; ć,1,t = ż2, e 1,…, proces opisany zauwa ą c si ę do ogólnego procesu generuj ącego trzeba dane zauwa‑ panelowe, trzeba Odnosz Odnosząc się do ogólnego procesu którym wystarczy przyjąć generującego założenie, żdane e niepanelowe, występuje trend liniowy (czyli ż y ć , ż e proces opisany relacj ą (2) jest szczególnym przypadkiem (1), w zauwa żyć, że proces opisany relacją (2) jest szczególnym przypadkiem (1), wy‑ograniczony współczynniki δi są równe 0), zbiór zmiennych objaśniająw którym cych został którym wystarczy przyjąć założenie, że nie występuje trend liniowy (czyli starczy przyjąć założenie, że nie ,występuje trend liniowy (czyli współczynniki δi sąw równaniu do jednej zmiennej a współczynniki βi sa homogeniczne. jak współczynniki δ są xrówne 0), zbiór zmiennych objaśniającychTak został ograniczony it równe 0), zbiór zmiennychi objaśniających został ograniczony do jednej zmiennej (1) jednej występuj ą zró żnicowane efekty indywidualne α(1) . do zmiennej xit, a współczynniki β sa homogeniczne. Tak jak w równaniu xit, a współczynniki βi są homogeniczne. Tak jak w równaniu zróżni‑ i występują i Windywidualne takim przypadku Kao proponuje oszacowanie równań pomocniczych cowane efekty αi. (1) wyst ępują zró żnicowane efekty indywidualne α. i ), które można ww postaci regresji ł ą cznej (ang. pooled auxiliary regression W takim przypadku Kao (ang. proponuje oszacowanie pomocniczych w po‑ w postaci postaci regresji cznej (ang. pooled pooled auxiliary równań regression które mo mo na regresji łłąącznej auxiliary regression ),), które żżna 5W takim przypadku Kao proponuje oszacowanie równań pomocniczych R. Engle, C. Granger,auxiliary Co-integration and error correction representation, estimation and ćććjako: przedstawi jako: przedstawi staci regresji łącznej (ang. pooled regression), które można przedstawić jako: jako: przedstawi testing, „Econometrica” 1987, vol. 55,ws.postaci 251–276.regresji łącznej (ang. pooled auxiliary regressi 56 ć jako: ˆeˆeitˆit−−11 +++przedstawi R. Engle, correction representation, estimation and ,and error ===ρρρeModele vitzintegrowanych (5) ącznej (ang. pooled auxiliary regression ), żeˆna Por. takżktóre eC.P.Granger, Kmo ębłowski, szeregów przekrojowoczasowych, w: (5) eˆeitˆitititCo-integration (5) itit,,(5) itit−−11 vvit lub tete lublub teżżteż ż eˆit = ρeˆitlub −1 + v it , testing, „Econometrica” 1987, vol. 251–276. Gospodarka oparta na wiedzy, red.55, W.s.Welfe, PWN, Warszawa 2007, s.eˆ173–199. ˆ it = ρeit −1 + v it , Por. także P. Kębłowski, Modele zintegrowanych szeregów przekrojowoczasowych, w: Gospodarka oparta na (5) wiedzy, red. W.lub Welfe, też PWN, Warszawa 2007, s. 173–199. 6 pp pp p eˆeˆeitˆit ===ρ~ρ~ρ~eˆeˆeitˆit−−11 +++ ϕϕϕijijΔΔΔeˆeˆeitˆit−−j j +++vvvitit,,, (6) (6) ~eˆ + (6) itit itit−−11 ijij itit−−j j itit (6) ˆ e = ρ ϕ ij Δeˆit − j + vit , 1 − it it j= =1=111 p jj j= j =1 ~ 32 (6) eˆit = ρ eˆit −1 + ϕ ij Δeˆit − j + vit , 222 2.)d– 2)),, – 1gdzie: j =gdzie: gdzie: ê – szereg reszt modelu (2); v ~ i.i.d.(0, σ składnik losowy równania po‑ składnik losowy – szereg reszt modelu (2); ê v i i σ ~ . .( 0 , – składnik losowy – szereg reszt modelu (2); ê v i i d σ ~ . . .( 0 , it it v modelu (2); vit ~ i. i. d .(0, σ v2 ) , – gdzie: êitititit – szereg reszt modelu (2); itvitititgdzie: składnik losowy ~ i. i. dê.(it 0,–σvvvvszereg ) , – reszt 32 2 mocniczego (regresji łącznej) odpowiednio – (5) lub (6). –––(5) (regresji łłąłąącznej) równania pomocniczego (regresji łącznej) odpowiednio – (5) lu cznej) odpowiednio (5) lub (6). równania (regresji losowy reszt modelu (2);równania vit ~ i. i. dpomocniczego .(pomocniczego 0, σ v ) , – składnik cznej)odpowiednio odpowiednio (5)lub lub(6). (6). równania pomocniczego (regresji Hipotezy Hipotezy testu Kao są ssformułowane następująco: nast ąąąco: Hipotezy testu Kao sformułowane nast puj co: Hipotezy testu Kao sąsąąsformułowane – (5) lub (6). go (regresji łącznej) odpowiednio sformułowane nastęęępuj puj co: testu Kao są sformułowane następująco: Hipotezy testu Kao Kao są sformułowane następująco: ... = ρ = ρ = 1 , H 0 : ρ1 = ρ 2 = (7) HH (7) ... (7) N ...===ρρρNN ===ρρρ===111,,,(7) H00 :::ρρρ11 ===ρρρ22 ===... H 0 : ρ1 = ρ 2 = ... = ρ N = ρ = 1 , 00 11 (7) 22 NN a hipoteza alternatywna: aaahipoteza a hipoteza alternatywna: hipotezaalternatywna: alternatywna: hipoteza alternatywna: na: H 0 : ρ1 = ρ 2 = ... = ρ N = ρ < 1 . (8) H ρ = ρ = = ρ = ρ < . (8) : ... 1 0 1 2 N H ρ = ρ = = ρ = ρ < . (8) : ... 1 H ρ = ρ = = ρ = ρ < . (8) : ... 1 0 1 2 N H 0 : ρ1 = ρ 2 = ... = ρ N = ρ < 1 . 00 11(8) 22 NN Przy założeniu prawdziwości H 0 (brak kointegracji) K * żżee * Przy założeniu prawdziwości kointegracji) Kaotestu: wykazuje, że sprawdziany prawdziwo HH kointegracji) Kao Przy zało prawdziwo ci (brak kointegracji) Kao wykazuje, Przy zało rawdziwości H 0 (brak kointegracji) Kao wykazuje,śści żcie0 (brak sprawdziany DF p , wykazuje, DF żeniu eniu prawdziwo śH H0000 (brak (brak kointegracji) Kao wykazuje, że t wyznaczone na Przy założżeniu t , DF p , DF * * * * testu: DF , DF , DF * , DF * wyznaczone na podstawie regresji pomocniczej (5) oraz * * p testu: tna podstawie p t DF *,* DF **pomocniczej ADF dla regresji (6) (5) oraz DF p , DFt , DF p , sprawdziany DF wyznaczone regresji DF , , DF wyznaczone na podstawie regresji t sprawdziany testu: DF DFpppp,, DF DFt tt t,, DF DFpppp,, DF DFt tt t wyznaczone wyznaczone na na podstawie podstawie regresji regresji są asymptotycznie sprawdziany testu: ADF dla regresji (6) są asymptotycznie zbieżne do N(0,1) dla T → ∞ i N → ∞ . Oszaco‑ dla i . Oszacowane wariancje krótko- i T ∞ N ∞ ADF dla regresji (6) są asymptotycznie zbieżne do N(0,1) dla ssąsąąasymptotycznie zbie żż2ne pomocniczej (5) 2zbie 2doN −N 2(0,1) ADF dlaregresji regresji(6) (6) asymptotycznie zbie żne neσdo (0,1) pomocniczej (5)oraz orazADF ADF dla regresji (6) asymptotycznie do N (0,1) pomocniczej (5) oraz wyznaczone jako: σ = σ − σ , oraz σ 02v = σ 02u − σ 02uη σ 0 wane wariancje krótkoi długookresowe są wyznaczone jako: oraz wariancje krótkoi długookresowe są ∞ . Oszacowane dla v u uη η i . Oszacowane wariancje krótkoi długookresowe s ą T ∞ N ∞ dla i . Oszacowane wariancje krótkoi długookresowe s ą T ∞ N ∞ dla T ∞ i N . ∞ . Oszacowane wariancje krótkoi długookresowe są występowania korelacji seryjnej v ęzaleca siękorelacji sto‑ = σ u2 − σ u2η σ η−2 , oraz σ 02v = σ 02u − σ 02uη σ 0η−222.W przypadku W przypadku wyst powania seryjnej vit zal wyznaczone jako: σσσvv22===σσσu2u222−−−σσσu2uη222ησσση−η−−2−22,2,,oraz σσσ02022v2v ===σσσ0202u22u −−−σσσ020u222uηησσσ0*00η−η−−2−222... *it wyznaczone jako: oraz wyznaczone jako: oraz 0 0 0 v u u η η v u u η η 0 0 0 v u u η η v u u η η sowanie sprawdzianów DF * , DF * lub też ADF. p t występowania korelacji seryjnej vit zaleca się stosowanie sprawdzianów DFp , DFt lub też ADF. W przypadku wyst ęęępowania korelacji seryjnej vvvitit zaleca sisisięęże W przypadku wyst powania korelacji seryjnej zalecaMonte stosowanie * Wyniki symulacji Monte Carlo, przedstawione przez Kao, pokazują, zniekształ‑ W przypadku wyst powania korelacji seryjnej ęstosowanie stosowanie Wyniki symulacji Carlo, przedstawione przez K itit zaleca DFt lub też ADF. *** *** * * cenia rozmiaru testu w skończonych próbach przy wykorzystaniu sprawdzianów zniekształcenia rozmiaru testu w skończonych próbach pr sprawdzianów DF , DF lub te ż ADF . ą , e i Monte Carlo, przedstawione przez pokazuj t sprawdzianów DFpKao, , DF lub te ż ADF . sprawdzianów DF , DF lub te ż ADF . ppp tt t * * DF mniejsze niż w przypadku zastosowania sprawdzianów DF próbach przy wykorzystaniu iaru testu w skończonych DFKao, , DF ą t i ADF. mniejsze sprawdzianów p*, DF t* są p, sDF ąąą,,, żżżeee niż w przypa Wyniki symulacji przez pokazuj Wyniki symulacji Monte Carlo, przedstawione przez Kao, pokazuj pKao, tpokazuj Wyniki symulacji Monte Monte Carlo, Carlo, przedstawione przedstawione przez * Jednocześnie warto zauważyć, że sprawdziany DF , DF są bardziej odporne na błędy śnie warto zauważy DFprzy , DF wykorzystaniu iwykorzystaniu ADF. Jednocze sprawdzianów p próbach t zniekształcenia rozmiaru testu DFt są mniejsze niż w przypadku zastosowania czonych próbach przy zniekształcenia rozmiaru testu sko czonych próbach zniekształcenia rozmiaru testu ww wsko skońńńczonych pprzy t wykorzystaniu ****do pozostałych. Rozkłady w porównaniu asymptotyczne testów zostały DFt i ADF. Jednocze śspecyfikacji nie warto zauwa żyć***,,* żeDF sprawdziany DFżp, DF są bardziej odporne na błędy specyfikacji w DF mniejsze zastosowania sprawdzianów DF DFtttt ssąsąąsekwencyjnej mniejsze ni niżż ww wt przypadku przypadku zastosowania sprawdzianów DF DF mniejsze ni przypadku zastosowania sprawdzianów pppp,, założeniu wyprowadzone przy zbieżności T i N, czyli zakłada się, że testów zostały wy iej odporne na sprawdzianów błędy specyfikacji w porównaniu do pozostałych. Rozkłady asymptotyczne DF , DF i ADF . Jednocze ś nie warto zauwa ż y ć , ż e sprawdziany DF , DF i ADF . Jednocze ś nie warto zauwa ż y ć , ż e sprawdziany sprawdzianów DF , DF i ADF . Jednocze ś nie warto zauwa ż y ć , ż e sprawdziany sprawdzianów liczba okresów wzrasta pp ttszybciej niż liczba jednostek w panelu. założeniu sekwencyjnej zbieżności T i N, czyli zakłada się, pp tt dy asymptotyczne testów zostały wyprowadzone przy DF , DF s ą bardziej odporne na bł ę dy specyfikacji porównaniu liczba jednostek w do panelu. wzrasta szybciej niżw DF DF bardziej odporne na bł błęędy dy specyfikacji w porównaniu do DF specyfikacji w porównaniu do nej zbieżności T i N , czyli zakłada , że liczbaodporne okresów na pppp,, DF tttt ssąąsiębardziej ą identyczno ść (homogeniczność Testy Kao zakładaj czba jednostek w panelu. pozostałych. Rozkłady asymptotyczne testów zostały wyprowadzone przy pozostałych. Rozkłady asymptotyczne testów zostały wyprowadzone przy pozostałych. Rozkłady asymptotyczne testów zostały wyprowadzone przy rozpatrywanej relacji. W wielu przypadkach, założeniem ładają identyczność (homogeniczność) parametrów β 43 zało żżżeniu sekwencyjnej zbie żżżno śści TTTiiiNNN,,,czyli zakłada sisisięężę,,nicowanych żżżeeeliczba okresów zało eniu sekwencyjnej zbie no ci czyli zakłada liczba okresów parametrów dla poszczególnyc rozpatrywanie zró zało eniu sekwencyjnej zbie no ś ci czyli zakłada , liczba okresów i. W wielu przypadkach, założeniem właściwym jest wzrasta szybciej a więc rozpatrywanie modelu ogólnego (1). Zazwyczaj za liczbajednostek jednostek wpanelu. panelu. wzrasta szybciejni niżżżliczba liczba jednostek w panelu. wzrasta szybciej ni owanych parametrów dla poszczególnych jednostek panelu, w ępuje jednoczesna zmiennych ą identyczno ść (homogeniczno ść parametrów βββ dla poszczególnyc Testy Kao zakładaj e modelu ogólnego (1). Zazwyczaj sięąą, żidentyczno eidentyczno nie ść wyst (homogeniczno ść))) korelacja parametrów Testy Kao zakłada zakładaj ść (homogeniczno ść parametrów Testy Kao zakładaj SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 43 10/15/12 13:07 PM ś nie ż e macierze wariancji-kowariancji dl oraz jednocze rozpatrywanej relacji. W a korelacja zmiennych dla poszczególnych jednostek panelu przypadkach, eniem wła właśściwym ciwym jest jest rozpatrywanej relacji. Wwielu wielu przypadkach, zało założżeniem Krystyna Strzała Testy Kao zakładają identyczność (homogeniczność) parametrów β rozpatrywa‑ nej relacji. W wielu przypadkach właściwym założeniem jest rozpatrywanie zróżni‑ cowanych parametrów dla poszczególnych jednostek panelu, a więc rozpatrywanie modelu ogólnego (1). Zazwyczaj zakłada się, że nie występuje jednoczesna korela‑ cja zmiennych dla poszczególnych jednostek panelu oraz jednocześnie że macierze Testy Pedroniego Testy Pedroniego wariancji7‑kowariancji dla poszczególnych jednostek mogą się różnić. zaproponował szereg testów88 dla ogólnego modelu generującego dane TestyPedroni Pedroniego 7 Pedroni zaproponował dla ogólnego generującego danei panelowe, tzn. zawierająszereg cego testów zróż8nicowane efektymodelu indywidualne α , jak 7 Pedroni szereg dla ogólnego modelu generującego Testyzaproponował Pedroniego panelowe, tzn. zawieraj ącegotestów zróżnicowane efekty indywidualne α i,dane jak i i heterogeniczne parametry βi oraz trendu liniowego ącego zró żwspółczynniki nicowane efekty indywidualne αδi., Procedura jak ipa‑ panelowe, zawieraj 7tzn. 8 dla ogólnego Pedroni zaproponował szereg testów modelu generującego dane heterogeniczne parametry βi oraz współczynniki trendu liniowego δi. Procedura post ępowania, tak jak w testów Kao, jest β przypadku oraz współczynniki trendu liniowego . Procedura heterogeniczne parametry nelowe, tzn. zawierającego zróżnicowane efektyzaproponowanych indywidualne α i heterogeniczne i, jakδprzez i post ępowania, takpierwszym jak wi przypadku testów zaproponowanych przez Kao, jest ą parametry ogólnego modelu dwuetapowa. W etapie szacowane s parametry β oraz współczynniki trendu liniowego δ . Procedura postępowania, i i post ępowania, tak jak w przypadku testów zaproponowanych przez Kao, modelu jest tak ą parametry ogólnego dwuetapowa. W pierwszym etapie szacowane s przeprowadzane jest badanie stacjonarno ci reszt na panelowego (1), a testów następnie jak w przypadku zaproponowanych Kao, jest dwuetapowa. Na pierw‑ ogólnego śśmodelu dwuetapowa. W szacowaneprzez są parametry ępnieetapie przeprowadzane jest badanie stacjonarno ciRównania reszt na panelowego (1),pierwszym a nast podstawie regresji pomocniczych dla poszczególnych jednostek panelu. szym etapie szacowane parametry ogólnego panelowego (1), a następnie ępniesąprzeprowadzane jest modelu badanie stacjonarno ści reszt na panelowego (1), a nast podstawie regresji pomocniczych dla poszczególnych jednostek panelu. Równania ą czne, maj ą posta ć analogiczn ą do równań pomocnicze, szacowane jako regresje ł podstawie regresji pomocniczych dla poszczególnych jednostek panelu. Równania przeprowadzane jest badanie stacjonarności reszt na podstawie regresji pomocni‑ mająą posta ć analogiczn ą do równań pomocnicze, szacowane jako regresje łączne,ędniaj rójednostek żnic ą, żłeąpanelu. uwzgl indywidualnie zró żnicowany (5)czych orazdla (6), z tą tylko czne, maj ą posta ćpomocnicze, analogicznąszacowane do równa ńjako pomocnicze, szacowane jako regresje poszczególnych Równania ą tylko ró ż nic ą , ż e uwzgl ę dniaj ą indywidualnie zró ż nicowany (5) oraz (6), z t autoregresyjny ρ oraz ż e liczba opó ź nie ń p regresji pomocniczej testu ą tylko ró ż nic ą , ż e uwzgl ę dniaj ą indywidualnie zró ż nicowany (5)parametr oraz (6), z t i i regresjeautoregresyjny łączne, mają postać analogiczną oraz (6),pomocniczej z tą tylko różnicą, parametr ρ i oraz że liczbado równań opóźnień (5) pi regresji testu ADF mo ż e przyjmowa ć zró ż nicowane warto ś ci dla poszczególnych jednostek parametr autoregresyjny ρ i oraz że zróżnicowany liczba opóźnieparametr ń pi regresji pomocniczejρitestu że uwzględniają indywidualnie autoregresyjny oraz że ADF możW e przypadku przyjmowa ćtestów zróżnicowane wartowyst ści dla poszczególnych jednostek panelu. Pedroniego ę puj ą dwa rodzaje hipotez ADF mo ż e przyjmowa ć zró ż nicowane warto ś ci dla poszczególnych jednostek liczba opóźnień pi regresji pomocniczej testu ADF zróżnicowane panelu. W przypadku testów Pedroniego wystmoże ępująprzyjmować dwa rodzaje hipotez alternatywnych: ępują dwatestów rodzaje hipotezwy‑ panelu. W przypadku testów jednostek Pedroniego wyst wartości dla poszczególnych panelu. W przypadku Pedroniego alternatywnych: alternatywnych: • zakładaj ą ca homogeniczno ść parametru ρ , okre ś lana przez Pedroniego i stępują dwa rodzaje hipotez alternatywnych: • zakładająca homogeniczność parametru ρ i , określana przez Pedroniego ąca homogeniczność homogeniczno parametru , okre ślana Pedroniego •zz zakładaj grupowego albo testu panelowego mianem testu wewnśćątrz zakładająca parametru ρi ,ρokreślana przezprzez Pedroniego mianem i ątrz statistics grupowego albo testu panelowego mianem testu wewn withindimension, panel test ): (ang. albo(ang. withindimension, testu panelowego mianem testu grupowego wewnątrz testu wewnątrz albo grupowego testu panelowego panel withindimension, panel statistics (ang. withindimension, panel statistics testtest ): ): (ang. statistics test): H A : ρ1 = ρ 2 = ... = ρ N = ρ < 1 , (9) H AH:Aρ:1 ρ=1 ρ=2 ρ=2 ...= =...ρ=N ρ=N ρ= <ρ1<, 1 , (9) (9) (9) • zakładająca heterogeniczność parametru ρ i , nazwana przez Pedroniego zakładająca heterogeniczność parametru ρiρ, nazwana przez Pedroniego testem heterogeniczno parametru ρ inazwana , nazwana przez Pedroniego zakładaj caącaheterogeniczno ść ść parametru przez Pedroniego •z•z zakładaj dimension, statistics test ): testemągrupowym (ang. between i , group grupowym (ang. between dimension, group statistics test): between dimension, group statistics testem grupowym (ang. between dimension, group statistics testtest ): ): testem grupowym (ang. H A : ρ i < 1 dla i = 1, 2, ..., N , (10) (10) 2, ..., H AH:Aρ:i ρ<i 1< 1dladla (10)(10) i =i1= , 21,,..., N, N, lim przy założeniu, że Nlim (m/N)=δ , 0 < δ ≤ 1. →∞ przy założeniu, że przy zało ż eniu, ż e lim ( m / (Nm)/N = )= δ ,δ 0 < ,δ0≤<1..δ ≤ 1. przy założeniu, żNe→N∞→∞ Statystyka panelowa ZN,T Pedroniego jest wyznaczana na podstawie reszt jestjest wyznaczana podstawie Statystyka panelowa Statystyka panelowaZN,T ZZN,TPedroniego Pedroniego jest wyznaczana na na podstawie resztreszt regresji Statystyka panelowa Pedroniego wyznaczana na podstawie reszt N,T regresji pomocniczej typu (5) lub (6). Pedroni pokazuje, ż e standaryzowana pomocniczej typu (5) lub (6). Pedroni pokazuje, że standaryzowana statystyka pa‑ regresji pomocniczej typu (5)(5)lublub (6).(6).Pedroni pokazuje, że żstandaryzowana regresji pomocniczej Pedroni e standaryzowana żna normalnego: dopokazuje, rozkładu normalnego: statystyka panelowa jesttypu asymptotycznie zbie nelowa jest asymptotycznie zbieżna do rozkładu żnażna do do rozkładu normalnego: statystyka panelowa jestjest asymptotycznie zbie rozkładu normalnego: statystyka panelowa asymptotycznie zbie Z − N Z NZ, T N−, T −N N → N (0,1), (11) N, T (11)(11) N (N 0,1(), 0,1), ω →→ ωω gdzie μ i ω s ą warto ś ciami ustalonymi na podstawie symulacji Monte Carlo. Panel cointegration…, op.cit.,na s. 653–670. μ7 iμP. Pedroni, ωi ω sąswarto ściami ustalonymi podstawie symulacji Monte Carlo. gdzie gdzie ą11warto ś ciami ustalonymi na podstawie symulacji Monte Carlo. 8 Łącznie Dla wariantu homogenicznej hipotezy alternatywnej oddzielnie sprawdzianów testu panelowej kointegracji.alternatywnej oddzielnie jest jest Dla wariantu homogenicznej hipotezy Dla wariantu homogenicznej hipotezy alternatywnej oddzielnie jest wyznaczanaśrednia średniaz liczników z liczników i mianowników statystyk DF oraz ADF dla wyznaczana i mianowników statystyk DFDF orazoraz ADF dla dla wyznaczana ś rednia z liczników i mianowników statystyk ADF poszczególnych jednostek panelu, a iloraz tych warto ś ci podlega standaryzacji poszczególnych tych warto ści ści podlega standaryzacji poszczególnychjednostek jednostekpanelu, panelu,a iloraz a iloraz tych warto podlega standaryzacji według formuły (11) przy wykorzystaniu współczynników korekty 44 7 7 7 P. Pedroni, Panel cointegration: asymptotic and finite sample properties of pooled time series P.tests Pedroni, Panel cointegration: andand finite sample properties of pooled time20, series P. Pedroni, Panel cointegration: asymptotic finite sample properties of pooled time with an application to theasymptotic PPP hypothesis, „Econometric Theory” 2004, vol. s.series 597– SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd tests with application to 44 the PPP hypothesis, „Econometric Theory” 2004, vol.vol. 20,with s. 597– tests with an application to the PPP hypothesis, „Econometric Theory” 2004, 20, s. 597– 625; P. an Pedroni, Critical values for cointegration tests in heterogeneous panels multiple 10/15/12 13:07 PM lim przy założeniu, że N→∞(m/N)=δ , 0 < δ ≤ 1. Statystyka panelowa ZN,T Pedroniego jest wyznaczana na podstawie reszt Panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania regresji pomocniczej typu (5) lub (6). Pedroni pokazuje, że standaryzowana statystyka panelowa jest asymptotycznie zbieżna do rozkładu normalnego: Z N, T − N ω (11) → N (0,1), (11) gdzie μ i ω są wartościami ustalonymi na podstawie symulacji Monte Carlo. gdzie wartościami ustalonymi na podstawie symulacji Monte Carlo. Dlaμ i ω są wariantu homogenicznej hipotezy alternatywnej oddzielnie jest Dla wariantu homogenicznej alternatywnej oddzielnie wyznaczana wyznaczana średnia z licznikówhipotezy i mianowników statystyk DF jest oraz ADF dla średnia z liczników i mianowników DF oraz ADF poszczególnych jed‑ poszczególnych jednostek panelu, astatystyk iloraz tych warto ścidla podlega standaryzacji nostek panelu, a iloraz tych wartości podlega standaryzacji według formuły (11) przy wykorzystaniu współczynników korekty stablicowanych w artykule Pedro‑ 7 P. Pedroni, Panel cointegration: asymptotic and finite sample properties of pooled time series 1) przy wykorzystaniu korekty niego z 1999 r.współczynników tests with an application to the PPP hypothesis, „Econometric 2004,(11) vol. 20,przy s. 597– wykorzystaniu ule Pedroniego z 1999 r. według doTheory” formuły grupaCritical testów,values tzw. grupowych, analogicznie podejścia Imawith ‑Pesarana 625;Druga P. Pedroni, for cointegration tests in heterogeneous panels multiple stablicowanych w artykule Pedroniego z 1999 r. w, tzw. grupowych, analogicznie do ofpodej ścia and Imaregressors, „Oxford Bulletin Economics Statistics” 1999, vol. jednostek 61, s. 653–670. ‑Shina, polega na uśrednianiu statystyk dla poszczególnych panelu, a na‑ 8 Druga grupa testów, tzw. grupowych, analog na uśrednianiu statystyk poszczególnych jednostek Łączniestandaryzacji 11dla sprawdzianów testu panelowej kointegracji. 9. stępnie zgodnie z formułą (11) 9 Pesarana-Shina, polega na uśrednianiu statystyk dla daryzacji zgodnie z formułą (11) . ntegracji wzorowane na procedurze Johansena panelu, a następnie standaryzacji zgodnie z formułą (1 3. Panelowe testy kointegracji wzorowane na pr 3. Panelowe testy kointegracji wzorowane 34 Johansena edury Johansena dona procedurze badania kointegracji panelowej, Zastosowanie procedury Johansena do badan Maddalę i Wu10, polega na wykorzystaniu wyników zaproponowane przez Maddal ę i Wu10, polega na Zastosowanie procedury Johansena do badania kointegracji panelowej, zapropo‑ zczególnych jednostek panelu w celu uzyskania statystyki badania kointegracji poszczególnych jednostek panelu nowane przez Maddalę i Wu10, polega na wykorzystaniu wyników badania kointe‑ panelowej zgodnie z propozycją Fishera z 1932 r. pozycją Fishera z gracji 1932poszczególnych r. jednostek panelu w celu uzyskania statystyki panelowej zgod‑ Przypomnijmy, że procedura łączenia indywidualn rocedura łączenia indywidualnych niezależnych wyników nie z propozycją Fishera z 1932 r. polega na odpowiednim ł ą czeniu prawdopodobień m łączeniu prawdopodobieństw empirycznych (ang. pPrzypomnijmy, że procedura łączenia indywidualnych po‑ testu są ciągłe, p values). Wniezależnych przypadku, wyników gdy statystyki dy statystyki testulega są ci poziomy istotno π i (i = 1, naągłe, odpowiednim łączeniuści prawdopodobieństw empirycznych (ang. p‑values). 2, …, N) są niezależnymi zmiennymi, a wyrażenie − mi zmiennymi, a W przypadku, wyrażenie −2log πi ma rozkład . χ 2 (2) poziomy gdy estatystyki testu są ciągłe, istotności πi (i = 1, 2, …, N) są 2 (2).ęBiorąc ąc pod χuwag właściwo addytywności zmienny niezależnymi zmiennymi, a wyrażenie –2 log π Bior ma rozkład podśćuwagę ciwość addytywności zmiennych o rozkładzie χ 2 , możnae i zauwa żyć, zauważyć, że sumaże suma logarytmów prawdopo właściwość addytywności zmiennych o rozkładzie χ2, można lo‑ N a logarytmów garytmów prawdopodobie ń stw empirycznych log π indywidualnych indywidualnych testów będzie m prawdopodobieństw empirycznych γ = −2 t =1 e i 2 ywidualnych testów będzie miała – cojestjest testów będzie miałarozkład rozkład χ 2 N – co istotąistot testu MaddalaMaddala i Wu zapro‑ ą Fishera. testu Fishera. i Wu zaproponowali ponowali stosowanie testu Fishera zarówno do badania występowania pierwiastków ę powania pierwiastków zarówno do badania wyst Maddala i Wu zaproponowali stosowanie testu Fishera danych, jak i do badania kointegracji panelowej zgodn jednostkowych w panelu danych, jak i do badania kointegracji panelowej zgodnie występowania pierwiastków jednostkowych w panelu Zapis blokowo-diagonalny rozpatrywanego system z propozycją Johansena. kointegracji panelowej zgodnie z propozycją Johansena. ka ż dej jednostki panelu niezale ż nie od pozostały Zapis blokowo ‑diagonalny rozpatrywanego systemu umożliwia modelowanie żliwia modelowanie onalny rozpatrywanego systemu umo kointegracji jest wyznaczany dla każdej jednostk każdej jednostki panelu niezależnie żod co oznacza, że rząd kointegracji lu niezależnie od pozostałych, co oznacza, e pozostałych, rząd struktury długo- i krótkookresowej nie pozostają ze jest wyznaczany dla każdej jednostki oddzielnie, a parametry struktury długoi krót‑ są podsystemy p aczany dla każdej jednostki oddzielnie, a parametry W praktyce modelowaniu poddawane kookresowej ze sobą ą ze nie sobpozostają ą w żadnej zalew żadnej żności. zależności. W praktyce modelowaniu p −1 ookresowej nie pozostaj poddawane są podsystemy postaci: u poddawane są podsystemy postaci: Δyit Π it yi , t −1 Γii, k Δyi , t −k + η p −1 (12) gdzie: Δyit Π it yi , t −1 Γii, k Δ9 yPor. P. Pedroni, i , t − k + η it , Panel cointegration…, op.cit., s. 602–605. k =1 10 G.S. Maddala, S. Wu, op. cit., s. 631–652. M mnożników całkowitych (ang. total impact multipliers M×M współczynników oznaczających45dostosowania SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd k =1 • Πii – macierz M×M mnożników całkowitych (an matrix), • Γii,k – macierze M×M współczynników oznacza 45 krótkookresowe (ang. short-run adjustment co-e 10/15/12 13:07 PM ących pole Ustalenie liczby wektorów kointegruj danych, jak i do badania kointegracji panelowej zgodnie z propozycją Johansena. Zapis blokowo-diagonalny rozpatrywanego systemu umożliwia modelowanie każdej jednostki panelu niezależnie od pozostałych, co oznacza, że rząd kointegracji jest wyznaczany dla każdej jednostki oddzielnie, a parametry Krystyna Strzała struktury długo- i krótkookresowej nie pozostają ze sobą w żadnej zależności. W praktyce modelowaniu poddawane są podsystemy postaci: p −1 Δyit = Π it yi , t −1 Γii, k Δyi , t − k + η it , (12)(12) k =1 gdzie: gdzie: zz Π – macierz M×M mnożników całkowitych (ang. total impact multipliers matrix), panelu. • Πiiii – macierz M×M mnożników całkowitych (ang. total impact multipliers Γii,k – macierze współczynnikówprzez oznaczających dostosowania krótkookre‑ 11 ą testówM×M zaproponowanych Johansena jest wykorzystanie Podstaw ), short‑run adjustment co‑efficient matrix). matrix sowe (ang. faktu, że rząd macierzy Πii jest równy liczbie jej niezerowych pierwiastków Ustalenie liczby wektorów panelu. kointegrujących polega na wyznaczeniu rzędu macie‑ panelu. • Γii,k – macierzeλM,×M oznaczaj ących dostosowania śwspółczynników lad macierzy rząd sumie wszystkich jej rpierwiastków charakterystycznych 11 rzy Πii. Jeżeli zmienneik są askointegrowane, macierzy Πii wynosi ri < M), testów zaproponowanych przez Johansena11 jest wy w Podstawąą testów i (0 < zaproponowanych przez Johansena jest Podstaw short-run adjustment co-efficient matrix ). krótkookresowe (ang. ę dzy zmiennymi, rz ą d charakterystycznych. W przypadku braku kointegracji pomi gdzie ri oznacza liczbę wektorów kointegrujących danej jednostki panelu. faktu, ż e rz ą d macierzy Π jest równy liczbie jej niezerowych faktu, że rząd macierzy Πiiii jest równy liczbie jej niezerowych pp 11 jest wykorzystanie macierzy Π testów jest równy 0, czyli przez odpowiada sytuacji braku niezerowych Podstawą zaproponowanych Johansena że wszystkich jej p ii lad wyznaczeniu macierzyfaktu, sumie charakterystycznych λλikik,, aa śśna lad macierzy sumie wszystkich jej p charakterystycznych Ustalenie liczby wektorów kointegruj ą cych polega rz ędu rząd macierzycharakterystycznych ii jest równy liczbie jejmacierzy. niezerowych pierwiastków charakterystycznych pierwiastków Wnioskowanie dotyczące liczby macierzy Πiimacierzy . Jeżeli sumie zmienne charakterystycznych. są skointegrowane, rz ąprzypadku d macierzy Πiikointegracji wynosi ri pomi dzy zmie zmie charakterystycznych. W braku kointegracji pomięędzy W przypadku braku λik, a śladkointegruj jej pierwiastków charakterystycznych. W przy‑ ących wszystkich dla poszczególnych jednostek panelu przeprowadza się wektorów macierzy Π jest równy 0, czyli odpowiada sytuacji braku macierzy Π ii jest równy 0,ąΠcych czyli odpowiada <M) braku , gdzie ri oznacza ę wektorów kointegruj jednostki (0< kointegracji pomiędzy zmiennymi, rząd macierzy równy 0, czyli narpadku śladu Λliczb warto ści sytuacji braku n ii jest danej trace (ri ) lubii też statystyki maksymalnej ipodstawie statystyki pierwiastków charakterystycznych macierzy. Wnioskowanie dotyc dotyc odpowiada braku niezerowych pierwiastków charakterystycznych macierzy. pierwiastków charakterystycznych macierzy. Wnioskowanie własnej Λ max (sytuacji ri , ri +1 ) 12 . panelu. ą cych dla poszczególnych jednostek panelu przep wektorów kointegruj ących dla poszczególnych jednostek panelu przep wektorów kointegruj Wnioskowanie dotyczące liczby wektorów kointegrujących jed‑ W przypadku obydwu testów rozkłady statystykdlasąposzczególnych niestandardowe. nana podstawie statystyki ladu Λ Λtrace lubteż teżżsta‑ statystyki maksymal na podstawie ladu lub te nostek panelu przeprowadza się podstawiestatystyki statystykiśśśladu trace ((rrii )) lub 2statystyki maksymal 9 12 Por. Pedroni, Panel cointegration, op.cit., s. 602–605. ęP. kszo śćmaksymalnej pakietów ekonometrycznych wykorzystuje warto ś ci statystyki χ Witystyki 12 2N wartościwłasnej własnej Λ własnej Λmax 10 max ((rrii ,,rrii++11)) ... G.S. Maddala, S. Wu, op. cit., s. 631–652. ś ci prawdopodobie ń stw empirycznych wyznaczone na podstawie warto W przypadku obydwu testów rozkłady statystyk są niestandardowe. Większość W przypadku przypadku obydwu obydwu testów testów rozkłady rozkłady πistatystyk statystyk ssąą nies nies W 13 pakietów ekonometrycznych wykorzystuje wartości statystyki wyznaczone na pod‑ stablicowanych przez MacKinnona, Hauga i Michelisa . kszość ść pakietów pakietów ekonometrycznych ekonometrycznych wykorzystuje wykorzystuje warto wartośści ci sta sta Więększo Wi stawie wartościącprawdopodobieństw i stablicowanych przez MacKin‑ Przedstawiaj macierz Πii jako empirycznych iloczyn dwóch macierzy o pełnym rzędzie ci prawdopodobie prawdopodobieńństw stw empir empir wyznaczone na na podstawie podstawie warto wartośści nona, Hauga i Michelisa13. wyznaczone ' kolumnowym i wymiarach M × r w postaci Π = B A , model (12) mo ż na 13 13 ii ii ii stablicowanych przezmacierzy MacKinnona, Hauga Michelisa i iloczyn dwóch Przedstawiając macierz Πiistablicowanych jako o pełnym rzędzie ko‑ 35 .. przez MacKinnona, Hauga ii Michelisa zapisa ć jako: Przedstawiaj ą c macierz Π jako iloczyn dwóch macierzy oo pełn peł Przedstawiaj Πiiii można jako iloczyn lumnowym i wymiarach M × ri w postaci Πii = Bąii cAiimacierz , model (12) zapisać dwóch jako: macierzy zz kolumnowym wymiarach M××rri w w postaci postaci(13) Πiiii == BBiiii AAii'ii' ,, model model ( Δkolumnowym yit = Bii Aii' yit −1 i+i ηwymiarach M Π it . (13) i zapisa jako: zapisa jako: Kolumny macierzy Bii Bzawieraj ą r ććortogonalnych wektorów kointegrujących. Kolumny macierzy ii zawierają rii ortogonalnych wektorów kointegrujących. Ko‑ ' lumny macierzy AiiAsą określane mianem współczynników dostosowawczych. są określane mianem współczynników Kolumny macierzy ΔΔdostosowawczych. yyitit == BBiiii AAii'ii Jeśli yyitit−−11 wek‑ ++ηηitit.. ii tory kointegrujące tworzą kombinacje liniowe, którym można nadać interpretację re‑ ą kombinacje którym żna nadać wektorów Jeśli wektory kointegrujące tworz Kolumny macierzyliniowe, Bii zawieraj zawieraj ortogonalnych wektorów koin koin Kolumny macierzy ąą rriimo ortogonalnych lacji długookresowych, współczynniki tewspółczynniki określają siłęBi kierunek od ii te okreśwpływu ę relacji długookresowych, lają sił ęodchyleń i kierunek interpretacj okrena lane mianem współczynników dostos Kolumny macierzy stanu równowagi na system, a więc charakteryzują korekty AAiiii ssąą okre śśefekt lane mianem współczynników dostos macierzy od stanu Kolumny równowagi długookresowej system, abłędem. więc wpływu odchyleńdługookresowej Jednoznaczna macierzy Aii i Bkointegruj nałożenia ogra‑liniowe, ii wymaga ąą wektory kointegruj ce tworz tworzwarunków kombinacje liniowe, którym którym m m Je ą efektidentyfikacja korekty błęJe dem. charakteryzuj śślili wektory ce ąą kombinacje 2 niczających (restrykcji) na elementy macierzy B , z których r danych jest przez relacjiii długookresowych, długookresowych, współczynniki te te okre okreśślaj lająą sił si interpretacjęę relacji Jednoznaczna identyfikacjainterpretacj macierzy Aii i Bii wymaga nałożienia ri współczynniki warunków od stanu stanu równowagi równowagi długookresowej długookresowej na na syste syst wpływu odchyle odchyleńń od wpływu elementy macierzy B , z których ograniczających (restrykcji) nacharakteryzuj efekt korekty korekty błęędem. dem.ri danych jest charakteryzuj ąą efekt bł 11 S. Johansen, Statistical analysis of cointegration vectors, „Journaliiof Economic Dynamic and Control” przez ę wektorów kointegruj ących. identyfikacja Źródłem kolejnych Jednoznaczna identyfikacja macierzyrAiA(riii−1) wymaga nało nałożżenia enia rr 1988, normalizacj vol. 12, s. 231–254. Jednoznaczna macierzy ii BBiiii wymaga ii 12 Por. M. Kokocińska, K. Strzała, Zintegrowany system oceny aktywności przedsiębiorstw i prognozowa‑ restrykcji jest teoria ekonomii, która Akademii pozwala na zidentyfikowanie wektorów cychEkonomicznej (restrykcji) na elementy elementy macierzy Bii,, zz których których rri ograniczaj ąących (restrykcji) na macierzy ograniczaj nia kategorii makroekonomicznych, Wydawnictwo w Poznaniu, Poznań 2007; P. Kę‑ B ii i kointegruj ą cych jako relacji długookresowych. błowski, op.cit., s. 173–197. przez normalizacj ę wektorów kointegruj ą cych. Ź ródłem kolejnyc przez normalizacj ę wektorów kointegruj ą cych. Ź ródłem kolejnych żną kwesti ą jest specyfikacja W13przypadku procedury Johansena wadistriubution J.G. MacKinnon, A.A. Haug, L. Michelis, Numerical functions of likelihood ratio tests for cointegration, „Journal of Applied Econometrics” 1999, vol. 14, s. 563–577. restrykcji jest teoria ekonomii, która pozwala na zidentyfikowani zidentyfikowani ącym. Warto ści pozwala krytycznena elementów deterministycznychrestrykcji w wektorze jestkointegruj teoria ekonomii, która kointegrująących cych jako jako relacji relacji długookresowych. długookresowych. kointegruj kwestiąą jest jest W przypadku przypadku procedury procedury Johansena Johansena wa ważżnnąą kwesti W 11 ą cym. Warto elementów deterministycznych w wektorze kointegruj 46 ącym. Wartośśc w wektorze S. Johansen , Statistical analysis of elementów cointegration deterministycznych vectors, „Journal of Economic Dynamickointegruj and Control” 1988, vol. 12, s. 231–254. 12 Por. M. Kokocińska, K. Strzała, Zintegrowany system oceny aktywności przedsiębiorstw i prognozowania kategorii 46makroekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej 10/15/12 13:07 PM 11 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 11 S. Johansen Johansen ,, Statistical Statistical analysis analysis of of cointegration cointegration vectors, vectors, „Journal „Journal of of Economic Economic D D S. 11 Podstaw ą testów zaproponowanych przez Johansena jest ą testów wykorzystanie zaproponowanych przez Johansena11 jest wykorzy Panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania ąd macierzy Πii jest równy liczbie jejfaktu, niezerowych że rząd macierzy pierwiastków Πii jest równy liczbie jej niezerowych pierwia jej pierwiastków λik, a ślad macierzy sumie wszystkich jej pierwia ycznych λik, a ślad macierzy sumie wszystkich charakterystycznych normalizację wektorów kointegrujących. Źródłem kolejnych ii restrykcji jest teoria ycznych. W przypadku braku kointegracji charakterystycznych. pomi W przypadku braku kointegracji pomiędzy zmiennym ę dzy zmiennymi, rz ą d kointegrujących ekonomii, która pozwala na zidentyfikowanie wektorów jako rela‑ Πii jest równy 0,cjiczyli odpowiada macierzy sytuacji braku Πii jest niezerowych równy 0, czyli odpowiada sytuacji braku niezero długookresowych. procedury Johansena ważną kwestią jestmacierzy. specyfikacja elemen‑ ące liczby w charakterystycznychW przypadku macierzy. Wnioskowanie pierwiastków dotycz charakterystycznych Wnioskowanie dotyczące tów deterministycznych w wektorze kointegrującym. krytyczne statystykpanelu przeprowad jednostek panelu przeprowadza ących si dla ę Wartości poszczególnych jednostek ointegrujących dla poszczególnych wektorów kointegruj (rri)) oraz wartości własnej +1) są na maksymalnej wa lub statystyki też statystyki maksymalnej warto śladu ści Λmax (ri i ,)rilub teżwrażliwe statystyki e statystyki śladu Λtrace namaksymalnej podstawie statystyki trace ( trace (r 12 12 obecność wyrazu wolnego i/lub trendu liniowego w wektorze kointegrującym, co po‑ własnej Λ max (ri , ri +1 ) . x ( ri , ri +1 ) . woduje konieczność weryfikowania elementów deterministycznych przed są niestandar ypadku obydwu testów rozkłady statystyk W przypadku są obecności obydwu testów rozkłady statystyk niestandardowe. ustaleniem liczby wektorów kointegrujących. Standardowo rozpatruje się cztery lub 2 pakietów ekonometrycznych wykorzystuje ę kszo warto ść ś ci pakietów statystyki ekonometrycznych χ wykorzystuje Wi 2N pięć możliwości ukształtowania elementów deterministycznych w procesie gene‑wartości statystyk prawdopodobie ństw – empirycznych prawdopodobie14ń. stw empirycznyc na podstawie rującym wartościobserwacje wyznaczone na podstawie wartości kointegrującym (zamiennie w modelu VAR) πi w wektorze i 13 13 Warto na ikońcu zauważyć, że propozycja Maddali i WuHauga polega ina wnioskowa‑ . . ych przez MacKinnona, Hauga Michelisa stablicowanych przez MacKinnona, Michelisa o występowaniu kointegracji zmiennych w modelu na podsta‑ jako iloczyn dwóch macierzy o pełnym ąc macierz rzędzieΠii panelowym, jako iloczynaledwóch macierzy o pełnym rz wiając macierz Πiiniu Przedstawiaj wie przeprowadzonych N niezależnych analiz kointegracyjnych. W takim przypadku ' m i wymiarach M×ri w postaci Π ii kolumnowym wymiarach = Bii Aii' , modeli (12) można M×ri w postaci Π ii = Bii Aii , model (12) m w istocie rzeczy nie wykorzystuje się informacji przekrojowych, a jedynie informa‑ zapisa : ć jako: cje pochodzące ze struktury czasowej każdej jednostki panelu oddzielnie, łącząc ' zgodnie Innymi ze względu Δ yit = Biiz propozycją Aii' yit −1 + η it . Fishera indywidualne, niezależne (13) Δywyniki. it = Bii Aii yit −1 + η it . na swoją konstrukcję propozycjami są testy panelowej kointegracji zaproponowane 15, Groena i Kleibergena 17. acierzy Bii zawieraj Kolumny macierzy ą riLarssona, ortogonalnych wektorów kointegruj Biiących. zawierają ri 16 ortogonalnych kointegrują przez Lyhagena i Lothgrena oraz Karamanwektorów dostosowawczych. Aii są określane mianem współczynników dostosowawc acierzy Aii są określane mianem współczynników Kolumny macierzy y kointegrujące tworzą kombinacje liniowe, którym kointegruj można nada ące ćtworzą kombinacje liniowe, którym można Jeśli wektory 4. Wyniki empiryczne ewaluacji dylematu współczynniki Feldsteinate określają siłę i kie relacji długookresowych, współczynniki te określaj ę relacji ą siłę idługookresowych, kierunek interpretacj chyleń od stanu równowagi wpływu na odchyle długookresowej system, ń oda stanu więc równowagi długookresowej na system, a i Horioki ują efekt korekty błędem. charakteryzują efekt korekty błędem. 2 z pomiarem międzynarodowej mobil‑ 2 Dylemat Feldsteina i Horioki, związany nałożenia riidentyfikacja warunków macierzy Aii i Bii wymaga nałożenia ri waru aczna identyfikacja macierzy Aii i Bii wymaga Jednoznaczna ności kapitału, zalicza się do jednej z najnowszych zagadek ekonomicznych, a jed‑ ych (restrykcji) nanocześnie elementyjest macierzy B , z których ącychrdyskutowanych (restrykcji) danych jestna zagadnień. elementy macierzy , z których ri danyc jednymograniczaj z bardzo często Wynika toBm.in. ii i ii że założenie kapitału,ęczy w postaci nieograniczonej, też kolejnych r (r alizację wektorówz faktu, przez normalizacj kointegruj ących. Źmobilności ródłem kolejnych riwektorów (rto −1) kointegruj ących. Źczy ródłem i i i w formie ograniczonej do średniego i/lub długiego okresu, jest „kamieniem wę‑ st teoria ekonomii, która pozwala narestrykcji zidentyfikowanie jest teoriawektorów ekonomii, która pozwala na zidentyfikowanie wek gielnym” współczesnejkointegruj makroekonomii, a głównie ekonomii międzynarodowej ze ych jako relacji długookresowych. ących jako relacji długookresowych. względu na bardzo szerokie implikacje makroekonomiczne. Problem wa pomiaru mię‑ ą jest specyf ą jest specyfikacja żną kwesti adku procedury Johansena ważną kwesti W przypadku procedury Johansena mobilności kapitału był przedmiotem ekonomistów ącym. Warto ści krytycznezainteresowania ącym. Wartości kryt deterministycznychdzynarodowej w wektorze kointegruj elementów deterministycznych w wektorze kointegruj od długiego czasu. W latach 70. XX wieku typowe podejście stosowane w badaniach (r ) oraz statystyki maksymalnej warto ści własnej Λtrace Λ(max ri) (oraz ri,ri+1) statystyki maksymalnej wartości własnej Λmax(ri,ri statystyk race i 14 Por. K. Strzała, Dylemat Feldsteina i Horioki – weryfikacja ekonometryczna, Wydawnictwo Uniwersy‑ 11 , Statistical analysis of tetu cointegration Johansen of Economic , Statistical Dynamic analysis and of cointegration vectors, „Journal of Economic Dynamic Gdańskiego,vectors, Gdańsk „Journal 2012,S. s. 77–78. vol. 12, s. 231–254. Control” 1988,Likelihoodbased vol. 12, s. 231–254. 15 R. Larsson, J. Lyhagen, M. Lothgren, cointegration tests in heterogenous panels, „Eco‑ 12 okocińska, K. Strzała, nometrics Zintegrowany oceny Por.aktywno M. Kokoci ści ńprzedsi ska, K.ębiorstw Strzała, Zintegrowany system oceny aktywności przedsię Journal”system 2001, vol. 4, s. 109–142. ia kategorii makroekonomicznych, Wydawnictwo i prognozowania Akademiicointegration kategorii Ekonomicznej makroekonomicznych, Wydawnictwo 16 J.J.J. Groen, F. Kleibergen, Likelihoodbased analysis in panels of vector correction models, Akademii Ekonom oznań 2007; P. Kębłowski, w Poznaniu, op.cit., s. 173–197. 2007;s. 295–318. P. Kębłowski, op.cit., s. 173–197. „Journal of Business & Economic Statistics”Pozna 2003, ńvol. 21, 13 non, A.A. Haug , L. Michelis, Numerical distrubution J.G.ofMacKinnon, functions of likelihood A.A. tests, Haugmimeo, ratio , L. Michelis, Numerical distrubution functions of likelihoo 17 D.D. Karaman, Comparison panel cointegration 2004. gration, „Journal of Applied Econometrics” 1999, tests vol.for14, cointegration, s. 563–577. „Journal of Applied Econometrics” 1999, vol. 14, s. 563–577. 47 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 47 36 10/15/12 13:07 PM Krystyna Strzała empirycznych zmierzające do uchwycenia zakresu mobilności kapitału polegało na porównywaniu poziomów oraz zmian stóp procentowych pomiędzy uprzemysłowio‑ nymi krajami świata18. Nowatorstwo podejścia Feldsteina i Horioki do weryfikacji hipotezy międzynarodowej mobilności kapitału zawiera się w zaproponowaniu re‑ gresji przekrojowej opisującej zależność krajowych stóp inwestycji i oszczędności. Przyjmując powszechną opinię, że występuje PCM (ang. Perfect Capital Mobility), czyli że kapitał jest nieskończenie mobilny, można założyć, iż każdy kraj, który można udziela pożżyczek yczekotwartą innymgospodarkę, krajom przy przy obowi zująąlub cejteż wiatowej realnej stopie stopie określićććjako małą może pożyczać udzielać pożyczek in‑ udziela po innym krajom obowi ąązuj cej śświatowej realnej udzielać pożyczek innym krajom przy obowi ą zuj ą cej ś wiatowej realnej stopie * nym krajom*rprzy obowiązującej stopie procentowej r*. Akceptując procentowej r*.. Akceptuj Akceptuj c to to światowej założżenie, enie,realnej Feldstein Horioka postawili postawili hipotezęę,, procentowej ąącto zało Feldstein ii Horioka hipotez procentowej r . Akceptuj ą c zało ż enie, Feldstein i Horioka postawili hipotez ę, w to założenie, Feldstein i Horioka postawili hipotezę, że oszczędności oraz inwestycje ż e oszcz ę dno ś ci oraz inwestycje krajowe nie s ą skorelowane. Zgromadzone eoszcz oszcz ędno ścioraz orazinwestycje inwestycjekrajowe krajowenienie sskorelowane. ą skorelowane. Zgromadzone w żeżkraju ę dno ś ci s ą Zgromadzone w oszcz ędno dno ści ci reaguj reagująZgromadzone ą na na zmiany zmiany w kraju światowych wiatowych możżliwo liwo ści ci inwestowania inwestowania krajowe nie ęsą skorelowane. oszczędności reagują na zmiany kraju oszcz ś ś mo ś kraju oszczędno ści reaguj ąprocentowej), na zmiany śawiatowych mo żfinansowane liwości inwestowania światowej wiatowej realnej stopyinwestowania inwestycje sąąstopy ze śświatowej wiatowej (śświatowych możliwości (światowej realnej procentowej), a in‑ realnej stopy procentowej), a inwestycje finansowane realnej stopy procentowej), a inwestycje są sfinansowane ze ze światowej (ś(wiatowej puli kapitału. Do weryfikacji weryfikacji hipotezy zaproponowali wykorzystanie przekrojowej westycje są finansowane ze światowej puli kapitału. Do weryfikacji hipotezy zapro‑ puli kapitału. Do hipotezy zaproponowali wykorzystanie przekrojowej puli kapitału. Do weryfikacji hipotezy zaproponowali wykorzystanie przekrojowej dnośści. ci. Przechodz ącc i stopy do ujęęcia cia panelowego, panelowego, regresji stopy inwestycjiprzekrojowej stopy oszcz oszczregresji ęędno Przechodz do regresji stopy inwestycji ii stopy ponowali wykorzystanie stopy inwestycji ści. Przechodz ąc ądo ujęuj cia oszczędności. panelowego, regresji stopy inwestycji i stopy oszczędno ę FH zapiszemy w postaci: regresj FHzapiszemy zapiszemy w postaci: regresję FH zapiszemy w postaci: regresj Przechodząc do ujęciawpanelowego, ę ęFH postaci: regresj i = α ++ ββssitit ++ μμitit,, (14) iit i=itit α= α + βsit + μ it , (14) (14)(14) oznacza stop ę inwestycji inwestycji krajowych, czyli iloraz nakładów gdzie: gdzie:i iiit=it =(=I((/IIY//)YY))ititoznacza oznacza stopę krajowych, czyliczyli iloraz nakładów inwe‑ oznacza stop ęinwestycji krajowych, czyli iloraz nakładów gdzie: stop ę inwestycji krajowych, iloraz nakładów gdzie: it it inwestycyjnych brutto i warto ś ci produktu krajowego brutto w kraju i w okresie stycyjnych brutto i wartości produktu krajowego brutto w kraju i w okresie inwestycyjnychbrutto bruttoi warto i warto produktu krajowego brutto w kraju w okresie inwestycyjnych ściści produktu krajowego brutto w kraju i wi okresie tt,, tt,, –stop stopę oszczędności, czyli iloraz oszczędności brutto i produktu kra‑ stop ę oszcz oszcz dno ci, czyli iloraz oszcz dno ci brutto brutto produktu ęędno czyli iloraz oszcz ęędno śści ii produktu ę ęoszcz ędno ści,śści, czyli iloraz oszcz ędno ści brutto i produktu a aasaitssit=it =(=S((S/SY//)YYit))ititstop jowego brutto w kraju i w okresie t. krajowego brutto w kraju w okresie okresie krajowego brutto kraju krajowego brutto ww kraju i wii w okresie t. tt.. Regresja FH przy wykorzystaniu danych przekrojowych, z wykorzystaniem ana‑ Regresja FH przy wykorzystaniu danych przekrojowych, wykorzystaniem RegresjaFH FHprzy przywykorzystaniu wykorzystaniudanych danych przekrojowych, zz wykorzystaniem Regresja przekrojowych, z wykorzystaniem liz szeregów czasowych, jak i danych panelowych, była weryfikowana przez rzesze analizszeregów szeregów czasowych, jak danych panelowych, była weryfikowana przez analiz szeregów czasowych, ii danych panelowych, była weryfikowana przez analiz czasowych, jakjak i danych panelowych, była weryfikowana przez ż nicowane wyniki, ale w wi ę kszo ś ci przypadków rzesze badaczy, co dawało zró badaczy, co dawało zróżnicowane wyniki, ale w większości przypadków regresja ta ż nicowane wyniki, ale w wi ę kszo ś ci przypadków rzesze badaczy, co dawało zró rzesze badaczy, co dawało zróżnicowane wyniki, ale w większości przypadków 19 19 19 19 . regresja ta nie obejmowała krajów Europy Centralnej i Wschodniej nie obejmowała krajów Europy Centralnej i Wschodniej . regresjatatanie nieobejmowała obejmowała krajów Europy Centralnej i Wschodniej. . regresja krajów Europy Centralnej i Wschodniej łabadania, badania, których celem było sprawdzenie, czy Autorkaartykułu artykułupodjęła podj Autorka artykułu których celem było sprawdzenie, czy włącze‑ ła badania, których celem było sprawdzenie, Autorka artykułu podj ęłaęębadania, których celem było sprawdzenie, czyczy Autorka podj wł czenie do analizzwi zwi zków inwestycjiinowych i oszcz oszcz dno ci nowych krajów do analiz związków inwestycji i oszczędności Unii ąączenie analiz zwi ąązków inwestycji ioszcz ęędno śści nowych krajów włwł ąnie czenie dodo analiz ązków inwestycji ękrajów dno ściczłonkowskich nowych krajów Ś rodkowej i Wschodniej oraz członkowskich Unii Europejskiej z Europy Śzastosowanie rodkoweji Wschodniej i testów Wschodniej członkowskich UniiEuropejskiej Europejskiej Europy Środkowej orazoraz członkowskich Unii z zEuropy Europejskiej z Europy Środkowej i Wschodniej oraz integracji ż liwo ci zastosowanie testów integracji i kointegracji panelowej daje mo żdyle‑ liwo zastosowanie testów integracji integracji kointegracji panelowejdaje daje mo żliwo ści śści zastosowanie i ikointegracji panelowej i kointegracji testów panelowej daje możliwości poszerzenia wnioskowania namo temat poszerzenia wnioskowania na temat dylematu Feldsteina Horioki. poszerzenia wnioskowania nana temat dylematu Feldsteina i Horioki. poszerzenia wnioskowania temat dylematu Feldsteina ii Horioki. matu Feldsteina i Horioki. Badania przeprowadzone w 2010 r. dotyczył 15 „starych” oraz 11 nowo Badania w w2010 15 15 „starych” oraz 11 przyję‑ nowo Badania przeprowadzonew 2010 r. 2010r.dotyczył r.dotyczył dotyczył „starych” oraz 11 nowo Badaniaprzeprowadzone przeprowadzone 15 „starych” oraz 11 nowo ę tych krajów członkowskich Unii Europejskiej i obejmowały swoim przyj ętych członkowskich Unii obejmowały przyj ękrajów tych krajów krajów członkowskich UniiEuropejskiej Europejskiej i obejmowały swoim przyj tych członkowskich Unii Europejskiej i obejmowałyi swoim zasięgiemswoim okres ęgiem giemokres okres1987–2007. 1987–2007.Szeregi Szeregi czasowe poddawane analizie pochodziły zasi ę giem czasowe poddawane analizie pochodziły zasi ę okres 1987–2007. Szeregi czasowe poddawane analizie pochodziły zasi 1987–2007. Szeregi czasowe poddawane analizie pochodziły z bazy Banku Świato‑ Światowego wiatowego – World World Development Indicators (2009). z bazy bazy Banku Światowego – World Development Indicators (2009). z zbazy Banku ŚDevelopment –Indicators Development Indicators (2009). Banku wego – World (2009). ś ci procesy generuj ce W pierwszym etapie poddano badaniu stacjonarno ś ci procesy generuj ąceąące WW pierwszym etapie poddano badaniu stacjonarno generuj pierwszym etapie poddano badaniu stacjonarności procesy W pierwszym etapie poddano badaniu stacjonarności procesy generujące obser‑ oszcz dno ci(s)((ss))z zzwykorzystaniem wykorzystaniem obserwacje stóp stóp inwestycji inwestycji(i)((ii))i iioszcz ędno ściśści obserwacje oszcz ęędno wykorzystaniem obserwacje stóp inwestycji 20 oraz 20 20 wacje stóp inwestycji (i)panelowych i oszczędności (s) pierwiastka z wykorzystaniem indywidualnych indywidualnych oraz testów pierwiastka jednostkowego Wyniki indywidualnych oraz panelowych testów jednostkowego . Wyniki indywidualnych oraz panelowych testów pierwiastka jednostkowego .. Wyniki ś ci i pierwiastka przeprowadzonych panelowych testów stacjonarno ś ci i pierwiastka przeprowadzonych panelowych testów stacjonarno przeprowadzonych panelowych testów stacjonarności i pierwiastka 18 Por. K. Strzała, Regresja Feldsteina i Horioki – dylemat, paradoks czy test mobilności kapitału „Prace ą uzna ć rozpatrywany panel za za zintegrowany w stopniu jednostkowego pozwalaj ą uzna ć rozpatrywany panel zintegrowany w stopniu jednostkowego pozwalaj ą uzna ć rozpatrywany panel jednostkowego pozwalaj i Materiały 21 Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego” 2011, vol. 8.za zintegrowany w stopniu 21 21 . .s. 167–168; jednostkowego wskazuj ąop.cit., , ąąż,,e żżee pierwszym .Indywidualne Indywidualne testypierwiastka pierwiastka jednostkowego wskazuj pierwszym 19 Ibidem, K. Strzała,testy Dylemat Feldsteina i Horioki – weryfikacja empiryczna…, Indywidualne testy pierwiastka jednostkowego wskazuj pierwszym s. 12–14. ę zró ż nicowan ą wewn ę trznie rozpatrywany panel krajów UE charakteryzuje si ę zró ż nicowan ą wewn trznie rozpatrywany panel krajów UE charakteryzuje si rozpatrywany panel krajów UE charakteryzuje się zróżnicowaną wewnęętrznie ą stochastyczn ą , stanowi ą c mieszank ę procesów typu I (1), I (0) oraz struktur ą stochastyczn ą , stanowi ą c mieszank ę procesów typu I (1), I (0) oraz struktur strukturą stochastyczną, stanowiąc mieszankę procesów typu I(1), I(0) oraz procesów niezidentyfikowanych. procesów niezidentyfikowanych. niezidentyfikowanych. procesów ępuje relacja długookresowa stopy oszcz ędno ści śści WW celu zbadania, wyst puje relacja długookresowa stopy oszcz dno ci W celu zbadania,czy czy wyst 48 ęępuje relacja długookresowa stopy oszcz ęędno celu zbadania, czy wyst i inwestycji, testy kointegracji panelowej zaproponowane przez ii inwestycji, inwestycji,wykorzystano wykorzystano testy kointegracji panelowej zaproponowane przez wykorzystano testy kointegracji panelowej zaproponowane przez ę ęFishera dladla indywidualnych testów Johansena oraz testtest Pedroniego, ę Fishera Fishera dla indywidualnych testów Johansena oraz test Pedroniego,statystyk statystyk indywidualnych testów Johansena oraz Pedroniego, statystyk SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 48 10/15/12 13:07 PM Panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania panelowych testów pierwiastka jednostkowego20. Wyniki przeprowadzonych panelo‑ wych testów stacjonarności i pierwiastka jednostkowego pozwalają uznać rozpatry‑ wany panel za zintegrowany w stopniu pierwszym21. Indywidualne testy pierwiastka jednostkowego wskazują, że rozpatrywany panel krajów UE charakteryzuje się zróż‑ nicowaną wewnętrznie strukturą stochastyczną, stanowiąc mieszankę procesów typu I(1), I(0) oraz procesów niezidentyfikowanych. W celu zbadania, czy występuje relacja długookresowa stopy oszczędności i inwe‑ stycji, wykorzystano testy kointegracji panelowej zaproponowane przez Pedroniego, statystykę Fishera dla indywidualnych testów Johansena oraz test Kao. W przypadku testów Pedroniego relacja jest szacowana metodą Pooled OLS przy trzech wariantach struktury deterministycznej wektora kointegrującego: a) bez elementów determini‑ stycznych, b) z wyrazem wolnym, c) z wyrazem wolnym i trendem liniowym, nato‑ miast w teście Kao występuje tylko wariant (b). Sprawdziany testu Fishera–Johansena są wyznaczane przy założeniu: braku trendu liniowego w procesie generującym ob‑ serwacje lub występowania trendu liniowego w procesie generującym obserwacje, co w efekcie prowadzi do rozpatrywania czterech wariantów struktury deterministycz‑ nej modelu VAR i wektora kointegrującego. Zastosowanie wymienionych powyżej testów skutkuje tym, że dla poszczególnych wersji rozpatrywanej relacji dysponujemy wynikami następującej liczby testów: dla wariantu (a) – 12, dla (b) – 14, dla (c) – 12. Biorąc pod uwagę, że rozpatrywany panel krajów jest zróżnicowany pod wzglę‑ dem struktury stochastycznej, rozpatrzono także wyniki zbiorcze testów zakłada‑ jących w HA zróżnicowanie parametru autoregresyjnego regresji pomocniczej, do których należą testy grupowe Pedroniego i testy Fishera–Johansena. W takim przy‑ padku dla poszczególnych wariantów struktury deterministycznej regresji pomoc‑ niczej dysponujemy wynikami następującej liczby testów: dla wariantu (a) – 4, dla (b) – 5, dla (c) – 4. W tabeli 1 zostały zamieszczone zbiorcze wyniki testów kointegracji dla regre‑ sji Feldsteina i Horoki dla rozszerzonej Unii Europejskiej (UE25 – górna część ta‑ blicy) oraz dla „starych” krajów członkowskich z pominięciem Luksemburga (UE14 – dolna część tablicy). 20 K. Strzała, Dylemat Feldsteina i Horioki – weryfikacja empiryczna…, op.cit., s. 95–113. 21 Przy podejściu panelowym oprócz „klasycznych” testów pierwiastka jednostkowego autorstwa Levina, Lina i Chu (LLC), Ima, Pesara i Shina (IPS) zastosowano testy Maddali i Wu w wersji MW‑ADF oraz MW ‑PP oraz test Hadriego w wersji H‑Z oraz H‑HcZ. 49 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 49 10/15/12 13:07 PM Krystyna Strzała Tabela 1. Wyniki badania kointegracji regresji FH, UE (1987–2007) Oszacowanie p‑value Skorygowany R2 El.det CI CI(2) UE25 0,993 0,000 --- nC, nT 6/6 2/2 0,294 0,000 0,122 C 2/12 2/3 0,295 0,000 0,121 C, T 4/8 3/1 UE14 0,919 0,000 --- nC, nT 6/6 0/4 0,078 0,036 0,012 C 3/11 2/3 0,085 0,022 0,019 C, T 6/6 4/0 Eviews 6. Metoda estymacji – Pooled Least Squares, C – wyraz wolny, T – trend; nC, nT – brak elementów deterministycz‑ nych w relacji. W kolumnie oznaczonej CI wyrażenie 6/6 oznacza, że 6 spośród 12 zastosowanych testów wskazuje na skointegrowanie analizowanej relacji, a 6 na brak kointegracji na poziomie istotności α = 0. Kolumna oznaczona CI(2) zawiera wyniki testów kointegracji zakładających w hipotezie alternatywnej zróżnicowanie parametru autoregresji. Wy‑ tłuszczeniem oznaczono statystyczną istotność parametrów na poziomie α = 0,05. Źródło: opracowanie własne. Interpretując wyniki badania kointegracji, warto zwrócić uwagę na elementy oceny formalnej, a następnie na implikacje w zakresie interpretacji ekonomicznej. W przypadku regresji FH dla UE14 wyraźne są bardzo niskie wartości skorygowa‑ nego współczynnika determinacji. Wartości skorygowanego rzędu 0,11 czy też 0,12 są akceptowalne w tym sensie, że są często spotykane w publikacjach zawierających regresje przekrojowo‑czasowe typu pooled, w których występuje wspólny wyraz wolny i w których nie uwzględnia się zróżnicowanych efektów indywidualnych ani też czasowych. Przyglądając się liczbom w kolumnie CI, zauważymy, że wyniki zbiorcze dla „kla‑ sycznej” regresji Feldsteina i Horioki w układzie zarówno rozszerzonej, jak i „starej” UE kształtują się bardzo podobnie. W przypadku regresji bez elementów determi‑ nistycznych dla obydwu paneli wynik jest niekonkluzywny, gdyż 6 spośród 12 zasto‑ sowanych testów kointegracji wskazuje na skointegrowanie regresji FH, a 6 testów − na brak kointegracji. Warto przy tym przypomnieć, że wnioskowanie wykorzystu‑ jące poszukiwanie relacji długookresowej stopy inwestycji i oszczędności ma na celu poddanie weryfikacji hipotezy wynikającej z warunku płynności salda rachunku bie‑ żącego. W kontekście tego nurtu rozważań bliskie jedności oszacowania parametru są wynikiem „wymuszonej” kointegracji, gdyż w przypadku stacjonarnego salda ra‑ chunku bieżącego (CA~I(0)). inwestycje i oszczędności będą skointegrowane z wek‑ torem kointegrującym równym [1,−1]. Przechodząc do interpretacji oceny współczynnika zatrzymania oszczędności, za‑ uważymy, że w regresji FH bez elementów deterministycznych dla UE25 oszacowanie parametru jest równe 0,993, z błędem szacunku równym 0,012. Poddając oszacowa‑ nie tego parametru weryfikacji statystycznej, stwierdzamy, że różni się statystycznie 50 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 50 10/15/12 13:07 PM Panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania istotnie od zera (tβ = 0 = 79,95), a jednocześnie nie różni się statystycznie istotnie od jedności (tβ = 1 = –0,5842), gdyż wartość krytyczna rozkładu t‑Studenta dla T = 525 wynosi tα* = 2,576 dla α = 0,01. Biorąc pod uwagę wskazania weryfikacji statystycz‑ nej, możemy przychylić się do wniosku, że relacja I = f(S) jest relacją długookresową (skointegrowaną), z wektorem kointegrującym równym [1,−1]. W tym przypadku proporcja wskazań drugiej grupy testów jest analogiczna, dając wynik 2/2. Dla „starych” krajów Unii Europejskiej (UE14) ocena współczynnika w regresji bez elementów deterministycznych równa 0,919 różni się statystycznie istotnie za‑ równo od zera, jak i od jedności, gdyż sprawdziany testu t‑Studenta wynoszą odpo‑ wiednio tβ = 0 = 58,78, tβ = 1 = –5,1756, a wartość krytyczna dla T = 254 przyjmuje taką samą wartość jak dla T = 525. Wyniki pierwszej grupy testów są niekonkluzywne (6/6), a w przypadku założenia zróżnicowania parametru regresyjnego w łącznej re‑ gresji pomocniczej (0/4) wyraźnie wskazują na brak kointegracji. Nie mamy pod‑ staw, aby wnioskować, że występuje „wymuszona” przez warunek płynności salda rachunku bieżącego kointegracja z wektorem równym [1,−1]. W przypadku regresji z wyrazem wolnym zarówno dla UE25, jak i UE14 prze‑ ważają wskazania testów niepozwalające na odrzucenie hipotezy zerowej o braku kointegracji. Podobnie, chociaż nie z taką ostrością podziału, kształtują się zbiorcze wyniki drugiej grupy testów (2 – CI, 3 – brak CI). W regresji ze stałą dla rozszerzo‑ nej UE tylko międzygrupowy test ADF Pedroniego wskazuje na występowanie koin‑ tegracji, a statystyka Fishera–Johansena (ze stałą w wektorze kointegrującym i mo‑ delu VAR) pozwala wnioskować o występowaniu jednego wektora kointegrującego w rozpatrywanym panelu krajów. Porównując wyniki badania kointegracji dla regresji pomocniczej ze stałą i tren‑ dem zawarte w kolumnie CI oraz CI(2), zauważymy diametralne różnice wskazań, zwłaszcza dla UE14. Testy drugiej grupy uwidaczniają występowanie relacji długo‑ okresowej. Wszystkie grupowe testy Pedroniego pozwalają na odrzucenie hipotezy o braku kointegracji, a test Fishera–Johansena wskazuje na jeden wektor kointegru‑ jący. Można sformułować wniosek, że włączenie trendu do wektora kointegrującego w istotny sposób zmienia wnioskowanie, a przy tym stała jest statystycznie istotna. Pozostaje odpowiedzieć na pytanie, które testy są w tym przypadku właściwe, lub też formułując pytanie inaczej – czy panel „starych” krajów UE należy traktować jako homo- czy też heterogeniczny. Przyglądając się wnikliwie ocenom współczynnika zatrzymania oszczędności uzy‑ skanym przy zastosowaniu podejścia panelowego oraz w regresjach przekrojowych dla kolejnych pięcioletnich podokresów, można wnioskować, że dylemat Feldsteina i Horioki przeszedł do historii. Byłoby to oczywiste dla „starych” krajów Unii Euro‑ pejskiej, w przypadku których ocena parametru β = 0,085 (w regresji ze stałą i tren‑ dem) jest statystycznie istotnie różna od zera na poziomie α = 0,05, ale jednocześnie wskazanie testów kointegracji nie pozwalają na jednoznaczne rozstrzygnięcie. Biorąc 51 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 51 10/15/12 13:07 PM Krystyna Strzała pod uwagę wskazania wszystkich testów (6/6), można przychylić się do wniosku, że regresja FH nie wykazuje cech relacji długookresowej. A jednocześnie faktem jest, że charakteryzuje się bardzo słabym dopasowaniem. Natomiast wyniki CI(2) wska‑ zują na występowanie relacji długookresowej pomiędzy stopą inwestycji i oszczęd‑ ności, jednakże przy obecności stałej i trendu o ujemnym nachyleniu. Warto przy tym zauważyć, że wartości ocen współczynnika zatrzymania oszczędności rzędu 0,08 są nawet mniejsze niż udział poszczególnych krajów Unii Europejskiej w puli międzynarodowego kapitału. Tak więc bez dalszych badań nie można jednoznacz‑ nie stwierdzić, że dylemat FH przeszedł do historii, ale być może rozwiązanie „za‑ gadki” jest już bardzo bliskie. W przypadku rozszerzonej Unii Europejskiej oceny współczynnika zatrzymania oszczędności w „klasycznej” regresji FH kształtują się na poziomie 0,294–0,295, co zgodnie z interpretacją Feldsteina i Horioki wskazuje na nieznaczne ograniczenie międzynarodowej mobilności kapitału. Trzykrotne zwiększenie oceny współczynnika zatrzymania oszczędności w przypadku rozszerzonej UE w porównaniu do UE14 nie wynika ze znaczącego zwiększenia udziału „dużych” gospodarek w rozpatrywanym panelu krajów ani też ze znaczącego zwiększenia przeciętnego udziału poszczegól‑ nych krajów w światowej puli kapitału, ale znajduje wyjaśnienie w tzw. obciążeniu ze względu na kraj pochodzenia. Można przypuszczać, że ten margines braku mobilności kapitału pomiędzy kra‑ jami wynika z dominacji niechęci do ryzyka nad dążeniem do osiągania maksymal‑ nych dochodów i jest nieodłącznie związany z funkcjonowaniem rynku. 5. Zakończenie Wraz z upowszechnieniem się poglądu o braku stacjonarności procesów ge‑ nerujących obserwacje oraz jednoczesnym zwiększeniem dostępności baz danych przekrojowo‑czasowych nastąpiła era modeli panelowych, a także dynamiczny wzrost zainteresowania metodami analizy niestacjonarnych, heterogenicznych danych pa‑ nelowych. Popularnym narzędziem badań w ostatnim okresie stała się analiza inte‑ gracji i kointegracji panelowej. Typowym podejściem jest przeprowadzenie zestawu dostępnych testów i wyciąganie wniosków na podstawie zbiorczych wyników, co może być potencjalnie mylące, jak wskazują wyniki badań nad dylematem Feldsteina i Horioki przeprowadzonych przez autorkę niniejszego artykułu. 52 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 52 10/15/12 13:07 PM Panelowe testy kointegracji – teoria i zastosowania Bibliografia Engle R., Granger C., Co‑integration and error correction representation, estimation and test ing, „Econometrica” 1987, vol. 55, s. 251–276. Hadri K., Testing for stationarity in heterogenous panel data, „The Econometrics Journal” 2000, vol. 3, s. 148–161. Groen J.J.J., Kleibergen F., Likelihoodbased cointegration analysis in panels of vector correction models, „Journal of Business & Economic Statistics” 2003, vol. 21, s. 295–318. Johansen S., Statistical analysis of cointegration vectors, „Journal of Economic Dynamic and Control” 1988, vol. 12, s. 231–254. Kao C., Spurious regression and residual‑based tests for cointegration in panel data, „Journal of Econometrics” 1999, vol. 90, s. 1–44. Karaman D.D., Comparison of panel cointegration tests, mimeo, 2004. Karlsson S., Lothgren M., On the power and interpretation of panel unit root tests, „Economic Letters” 2000, vol. 66, s. 249–255. Kębłowski P., Modele zintegrowanych szeregów przekrojowoczasowych, w: Gospodarka oparta na wiedzy, red. W. Welfe, PWE, Warszawa 2007, s. 173–199. Kokocińska M., Strzała K., Zintegrowany system oceny aktywności przedsiębiorstw i progno‑ zowania kategorii makroekonomicznych, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Po‑ znaniu, Poznań 2007. Larsson R., Lyhagen J., Lothgren M., Likelihoodbased cointegration tests in heterogenous pa‑ nels, „Econometrics Journal” 2001, vol. 4, s. 109–142. MacKinnon J.G., Haug A.A., Michelis L., Numerical distriubution functions of likelihood ra‑ tio tests for cointegration, „Journal of Applied Econometrics” 1999, vol. 14, s. 563–577. Maddala G.S., Wu S., A comparative study of unit root tests with panel data and a new sim‑ ple test, „Oxford Bulletin of Economics and Statistics” 1999, Special Issue, s. 631–652. McCoskey S., Kao C., A residual‑based test of the null of cointegration in panel data „Econo‑ metric Reviews” 1998, vol. 17, s. 57–84. Pedroni P., Critical values for cointegration tests in heterogeneous panels with multiple regres‑ sors, „Oxford Bulletin of Economics and Statistics” 1999, vol. 61, s. 653–670. Pedroni P., Panel cointegration: asymptotic and finite sample properties of pooled time series tests with an application to the PPP hypothesis, „Econometric Theory” 2004, vol. 20, s. 597–625. Strzała K., Dylemat Feldsteina i Horioki – teoria i empiria, w: Metody matematyczne, ekono‑ metryczne i informatyczne w finansach i ubezpieczeniach, red. P. Chrzan, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. K. Adamieckiego, Katowice 2006, s. 251–259. Strzała K., Dylemat Feldsteina i Horioki – weryfikacja empiryczna, Wydawnictwo Uniwersy‑ tetu Gdańskiego”, Gdańsk 2012 (w druku). 53 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 53 10/15/12 13:07 PM Krystyna Strzała Strzała K., Regresja Feldsteina i Horioki – dylemat, paradoks czy test mobilności kapitału „Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego” 2011, vol. 8, s. 167–182. Summary Panel cointegration tests – theory and empirics The majority of economic hypotheses is formulated as a long‑term relationship. The evaluation of long‑term relationship in econometrics is performed with the use of cointegration theory. The aim of the paper is presentation of the panel cointegra‑ tion tests. The individual and combined individual tests procedure are presented and discussed from the point of view of their applicability. The possible mistakes in infe‑ rence can occur in the case when the choosen precedure is not the optimal one for the specific data generation process. The theoretical issues are illustrated with eva‑ luation of Feldstein‑Horioka dilemma for EU countries. Keywords: individual and combined individual cointegration tests, Feldstein ‑Horioka dilemma JEL classification: C10, F32, O57 SGH_198_2012_08_97Roczniki_27_Witkowski.indd 54 10/15/12 13:07 PM
